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一元二次方程 一元二次方程中含参数问题
专题提升 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期
一、单选题
1．是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若是方程的一个解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为
A．4 B． C．2 D．
4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．或 B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
6．若关于x的方程是一元二次方程，则________．
7．已知关于x的方程的一个根为，则______．
8．关于的方程是一元二次方程，则的值为的______．
9．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为______．
10．已知m为方程的根，那么的值为______．
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
三、解答题
12．已知是关于x的一元二次方程的两实根．
(1)求k的取值范围；
(2)若是方程的根，求k的值．
13．已知关于的一元二次方程．
(1)取何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2)求取值范围内的最小整数时，方程的根．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根，满足，求的值．
15．已知一元二次方程有两个根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，满足，求m的值．
16．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若，为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求的值．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
(2)若，求一元二次方程的根；
(3)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．
18．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”．
例如：，即，解得
，是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____
(3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值．
19．我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)若关于的方程有两个相同的实数根，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 A B D B C
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴；
故选A．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入方程得，，
解得．
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴判别式，
解得：
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴由可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
由题意可得，
解得：，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
6．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出m即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：．
7．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把代入原方程求．
【详解】解：把代入原方程：
，
，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得，，
综上，，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据计算求解即可．
【详解】解；∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】解：∵m为方程的根，
∴，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：0．
11．且
【分析】本题考查了根的判别式．
直接根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得，
故答案为：且．
12．(1)
(2)或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键，
（1）根据方程有两实根可得，代入数值解不等式即可得到答案；
（2）由是方程的根，代入即可求k的值．
【详解】（1）解：∵有两实根，
∴，
∴，
解得：，
（2）解：∵是方程的根，
∴，
解得：或．
13．(1)且
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练相关知识是解题关键．
（1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可；
（2）根据题意可知，然后利用公式法求解该一元二次方程即可．
【详解】（1）解，由题意，可得，且，
解得且；
（2）∵且
∴取值范围内的最小整数时，可有，
当时，得，
解得．
14．(1)见解析；
(2)的值为或．
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
（）计算根的判别式的值得到，所以，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（）先利用根与系数的关系得，，再由已知条件得到，所以，然后解关于的方程即可．
【详解】（1）证明：∵
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
即的值为或．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．
（1）利用根的判别式即可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根，
∴，
解得，
∴m的取值范围是；
（2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，，
又∵，
∴，
则，
解得或4，
又∵，
∴．
16．(1)见解析
(2)或6或15
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
（1）计算方程的判别式得出即可证明结论；
（2）设方程的两个根为，，得，．由求根公式得．进而得必须是整数．
设（k为整数），则．可得，即，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得，再验证即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
设方程的两个根为，．
，．
方程的求根公式为．
，则．
因为方程的两个实数根均为整数，且p为非负整数，所以必须是整数．
设（k为整数），则．
当（m，n为整数，且），两式相减得，．
，
，
，
，
m，n，k均为整数，且p为非负整数，
，
当时，，此时．
当，，（舍负），
当，时， ，，（舍负），
其它情况不合题意，
综上，的值为0或6或15．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案；
（2）把代入，解一元二次方程即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
；
（2）解：把代入，得，
，
解得；
（3）解：，，
，
解得．
18．(1)不是
(2)或
(3)m的值为或或．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解；
（3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴方程不是“和积方程”，
故答案为：不是；
（2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，，
∴，
当时，解得；
当时，解得；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵方程是“和积方程”，
∴，
当时，
整理得，
解得（舍去）或；
当时，
整理得，
解得或；
∴m的值为或或．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的根的判别式，正确理解新定义列出对应的算式和方程是解题的关键．
（1）根据新定义可得，据此计算求解即可；
（2）根据新定义可得方程，整理得，再由方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
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