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双量词的应用问题 微考点专题练
2027学年高中数学一轮复习备考
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
6．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题
B．和都是真命题
C．和都是真命题
D．和都是真命题
8．已知，给出以下两个命题，则（ ）
①对任意，都有；②存在，使得．
A．①②均为真命题 B．①②均为假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
二、多选题
9．若是定义域为R的单调递增函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则，
B．，，且，有
C．，，且，有
D．，
10．（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．，
B．“，”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“，”的否定是“，”
11．已知，则（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．有最小值
三、填空题
12．已知命题，若为真命题，则的取值范围为______．
13．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______.
14．若，且“，”为假命题，则_________．
15．已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____．
四、解答题
16．已知函数．
(1)当时，函数在一个周期内的图象，如图A为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，求曲线的对称中心；
(2)当时，若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
17．已知命题，，命题，．
(1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
18．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，，
(1)若，求函数的不动点；
(2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围：
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．设为实数，已知是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性；
(2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B D C B A AB AB
题号 11
答案 AD
1．B
【分析】由命题的否定的定义即可得到结果.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变．
所以命题“，，”的否定是：“，，”．
故选：B．
2．B
【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得.
【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值.
对：因为，所以，
由，
所以函数在上单调递增，
又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为.
对：当时，，因为，故满足题意；
当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为，
由.所以；
当时，在上单调递减，所以在上的最大值为，
由，结合得.
综上可知，实数的取值范围为.
3．B
【分析】求出二次函数在上的值域为，分、、两种情况讨论，求出函数在上的值域，由题意可得出，当时，直接验证即可，在、两种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】函数，
当时，，则，则，
函数在的值域记为，
对任意的，存在，使，则，
①当时，，则，则；
②当时，因为，则，则，
所以，，解得；
③当时，因为，则，即，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
4．B
【分析】应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数.
【详解】对于函数，对任意固定的取遍一切实数，．
要存在使得，只需．
该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即．
因此的取值范围是．
故选：B.
5．D
【详解】命题为真：，，则，即.
命题为真：方程有实根，
化简得得，解得或.
均为真，取交集得或.
6．C
【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围．
【详解】由命题“”为真命题，
，
解得：，
7．B
【详解】当时，不成立，所以命题是假命题，是真命题；
根据指数函数和对数函数的图象可知，函数与在上有一个交点，
则，，即命题是真命题，是假命题.
8．A
【分析】利用分类讨论思想，数形结合思想来判断不等式成立，可判断①，利用赋值，即可判断②.
【详解】
命题①：如图，在单位圆中，令，根据正弦函数的定义有：，
根据弧长公式可得：弧长为，当时，由图可得弧长大于线段长，
即，
再根据正弦函数曲线，如图可知：当时，正弦曲线在线段的上方，
由于直线的方程为，则当时，有，
因为，所以有
当，时，，
根据正弦函数单调性可知： ，
又因为，所以，即满足，
当，时，，
同理根据正弦函数单调性可知： ，
又因为，所以，即满足，
当，时，，
所以有，即满足，
综上命题①是真命题；
命题②：当时，由，可得，
由，
构造函数，由，，
则根据零点存在性定理，可知在区间上有零点，
即存在，使得成立，
从而可证明：存在，使得，
故命题②是真命题；
故选：A
9．AB
【分析】结合函数单调性分讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断D.
【详解】对于A，因为是定义域为R的单调递增函数且，
所以当时，恒成立，当时，恒成立，
所以，恒成立，故A正确；
对于B，，，且，都有，
所以，故B正确；
对于C，设，则，都有，故C错误；
对于D，例如在定义域为R的单调递增函数，但
所以，，故D错误.
故选：AB
10．AB
【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.
【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：，
对所有实数恒成立，因此选项A正确；
选项B：由绝对值的非负性，，
因此，不可能小于0，因此选项B正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误.
故选：AB.
11．AD
【分析】由得.举例说明判断A；利用导数证明即可判断B；易知，结合二次函数的图象与性质即可判断C；，结合其几何意义和点线距公式计算即可判断D.
【详解】由，得或，即或.
又函数的图象恒在的图象上方，
所以无解，故，即.
A：当时，成立，所以，使得，故A正确；
B：易知函数的图象恒在的图象上方，则；
设，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
得，即，
所以不存在，使得，故B错误；
C：设，
由，得，
对于二次函数，
其对称轴为，且，
所以，都有不成立，故C错误；
D：，
其几何意义为点到点的距离的平方减去1.
又点到直线，即的距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD
12．
【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解.
【详解】可化为，
由题意可知，恒成立，
当时，原不等式为，解得，不合题意；
当时，依题意得，解得，
综上所述，的取值范围为．
13．
【分析】把不等式化为，先由右侧非负得到，从而，从而原不等式恒成立问题可转化为在上恒成立，.通过分析函数的最大值和最小值可求参数的取值范围.
【详解】不等式整理为.因，两边同除以得.
该式成立要求，即.故，否则在时无解.
故在上恒成立，
即存在实数，使得在上恒成立（▲），
设，，其中，
因单调递增，故 .
在处取得最小值，在单调递减，在单调递增.
①时， .
由▲可得，解得，即，故.
②时， .
由▲可得，化简得，解得.
结合，得.
综上，实数的取值范围为
14．
【分析】根据题意得函数与函数在有相同的零点，再求出零点，进而得到即可．
【详解】由题得函数与函数有相同的零点，
而在的零点为，，
所以，也是的两个根，
即：，
15．或或
【分析】就、、、结合正弦型函数的值域的包含关系分类讨论后可得取值范围.
【详解】当时，函数的最小正周期小于等于，的值域为，的值域也为，符合题意；
当时，，且，故的值域为，
故的值域为，而，
则或，
所以或,结合可得或；
故此时对任意的，都存在，使得成立，
当时，此时且，故，
此时的值域为，
同理的值域为，其中，
由题设有或，
故或，故或.
故（舍）或（舍）或.
当时，且，故，
此时的值域为，
同理的值域为，其中，
故，故当时，不存在，使得成立，
故不合题意；
综上，或或.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象等腰直角三角形可求周期，从而求得，再根据整体法可求对称中心；
（2）根据偶函数求得初相位，再根据三角变换公式及正弦函数性质求得的值域后根据恒成立的关于的不等式组，从而可求其范围；
（3）根据（2）中的结果可得在上恒成立，利用换元法及参变分离可求的取值范围.
【详解】（1）设函数的最小正周期为．由为等腰直角三角形知，，所以，解得，所以．
令，解得，
故曲线的对称中心为．
（2）因为为偶函数，所以，
因为，所以，则．
，
若，则，则．
因为不等式在上恒成立，
所以，解得，故实数的取值范围为．
（3）由题意，得．
因为，所以，则．
因为对任意的，都有，
所以，
则对任意的，都有，即．
令，则对任意的恒成立．
若，则恒成立，．
若，则．
因为在上单调递减，所以，则，解得．
若，则．因为在上单调递减，
所以，则，即．
综上，实数的取值范围是．
17．(1)
(2)
【分析】（1）分别求出命题，命题为假命题时的取值范围，进而得到结果即可；
（2）求（1）中的补集即可．
【详解】（1）若命题，为真命题，则，即.
所以若为假命题，则.
若命题，为真命题，
则，即.
若为假命题，则，
综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为；
（2）由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为，
故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为．
18．(1)0，1；
(2)；
(3)
【分析】（1）将代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可；
（2）令，则，将问题转化为在上有两个不同解，根据二次函数根的分布求解即可；
（3）由题意可得，即有，从而得在上恒成立，利用换元法，结合指数函数，反比例型函数及对勾函数的性质求解即可.
【详解】（1）当时，，
令，则有，
所以，
即，
解得或，
经检验，和均满足题意；
所以函数的不动点为：0，1；
（2）由题意可得，
即，在上有两个不同解，
令，则，
则问题转化为在上有两个不同解，
由二次函数根的分布可得，
解得，
所以实数的取值范围为；
（3）因为在上单调递减，
所以，
原不等式可化为，
即，
所以，即，
所以，
所以在上恒成立；
令，则，
则有在上恒成立，
因为在上单调递增，
所以；
在上单调递减，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19．(1)，证明见解析
(2)或
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，
则，即，所以，则，
设，且，则，
由，得，则，
所以在上单调递减.
（2）依题意，，
而函数在上单调递减，
则，
因此，
当时，，解得，则；
当时，，解得，则，
所以m的取值范围是或．
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