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基本不等式求最值问题 微考点专题练
2027学年高中数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知时，的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知正实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
7．如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．若，则的最小值为8
C．若，则的最小值为16
D．若，则的最小值为
10．已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ）
A．存在实数使得，是方程的两根
B．若，则的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
11．若正实数满足，则（ ）
A．的最小值是
B．的最大值是
C．的最大值是
D．的最小值是
12．已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（ ）
0 1 2
P 0.2 c a
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知实数，满足，则的最大值为_____.
14．已知，则的最小值为__________．
15．若，，且，则的最小值为________.
16．已知，则的最小值为______.
四、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值．
18．（1）已知，求的最大值及的值；
（2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值．
19．已知，为正实数，且，
(1)求的最大值.
(2)求的最小值；
(3)求的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C A B C D BCD ABD
题号 11 12
答案 BC ACD
1．B
【详解】由可知，易知，且，
所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，
因此的最小值为3.
2．C
【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论；
方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】（方法一）由，可得，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为13．
（方法二）由，可得，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为13．
3．D
【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围.
【详解】∵，
，
当且仅当，即，时等号成立.
的取值范围是.
4．C
【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围．
【详解】由命题“”为真命题，
，
解得：，
5．A
【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可．
【详解】由a，b为正实数且.
根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确；
，当且仅当时等号成立，故B错误；
，当且仅当时等号成立，故C错误；
根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得，
当且仅当时等号成立，即，故D错误.
6．B
【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
7．C
【分析】将不等式恒成立转化为恒成立.构造函数，利用基本不等式可求得，于是问题转化为恒成立．通过参变分离结合基本不等式求解即可得到答案.
【详解】对一切正实数，不等式恒成立恒成立，
令，则，
∵，当且仅当时取“＝”，
；
所以，即恒成立．
，
所以恒成立
令,则，恒成立.
令,，则．
因为，，则，当且仅当时等号成立.
所以.
所以.
8．D
【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误；
对于B，若取，，则，不满足，故B错误；
对于C，因，当且仅当时取等，
即当时，取得最小值，而,故C错误；
对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解，
所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解，
则，可得，因，则得，当时取等，故D正确.
9．BCD
【分析】利用基本不等式即可判定ABC，设，利用导数研究单调性得，进而利用基本不等式即可判定D.
【详解】对于A：，当且仅当时取等号，但不成立，故A错误；
对于B：x，y均为正实数，满足，因为，所以，
又因为，解得，同理，，
当且仅当时取等号（此时），所以的最小值为8，故B正确；
对于C：因为，，，所以，
当时，即，即，时等号成立，所以的最小值为16，故C正确；
对于D：由题意可得，
设，则在上恒成立，
则在上单调递增，且，
由的单调性可得，，
则，又因为，则有，
当且仅当时等号成立，即因此的最小值为，故D正确．
10．ABD
【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项.
【详解】选项A：若、是方程的两根，
由韦达定理得，，代入题干，
左边，右边，等式成立；又，
则，即或时存在这样的，A正确；
选项B：若，由基本不等式，
代入得，令，
则，解得即，当且仅当时等号成立，
但，故，即范围为，B正确；
选项C：令，则，则、是方程的两根，
判别式，解得或，
即的范围是，并非仅，C错误；
选项D：，
由：当时，，故；
当时，，故，综上范围为，D正确.
11．BC
【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D.
【详解】，当且仅当，
即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误；
由基本不等式得，即，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确；
，当时，取得最小值，故D错误．
12．ACD
【分析】由分布列期望的计算公式，可得，再结合基本不等式，逐项判断即可.
【详解】由期望的计算公式可得，得.
对于A：因,则，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B：由，可得，又由A可知，，
故，当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于C：因，则，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D：令，则，则，
则又因为，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
13．
【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.
【详解】令，则，
方程可化为，
整理得，则满足，
解得，所以，即，
所以的最大值为.
14．9
【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值.
【详解】因为，则，.
所以
.
当且仅当时，即等号成立.
因此，的最小值为9.
15．5
【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解.
【详解】由得，所以，
因为，，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为5.
16．/
【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，则，
令，由可知，即，
所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故答案为：
17．（1）7；（2）
【分析】（1）根据基本不等式求解即可.
（2）求出的范围，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值是7.
（2）由题意知，即，解得，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值是；
18．（1），；（2）的最小值为6，．
【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可；
（2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解．
【详解】（1）由题知，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
（2）因为，所以，整理得，
解得或（舍），
当且仅当时，取得最小值为6．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可；
（2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可；
（3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为，为正实数，
所以由，当且仅当时取等号，
因为，为正实数，
所以由
因此当时，有最大值；
（2），
因为，为正实数，
所以，
即，当且仅当时取等号，
所以当时，有最小值；
（3）设，即，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以当时，有最小值.
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