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集合 常考考点专题练
2027学年高中数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知全集，，，那么是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（ ）
A． B．
C． D．
3．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
二、多选题
7．若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ）
A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4
C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个
8．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（ ）
A．若，则集合中还有另外两个元素
B．集合中元素个数为3的倍数
C．集合中所有元素之积为1
D．若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则
三、填空题
11．若表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是______.
12．设集合，集合，则集合的元素个数为_____．
13．已知，，，，若且，则____________．
四、解答题
14．已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为．
（1）证明为单元素集，并用列举法写出，；
（2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系．
15．对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．
(1)若，求；
(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；
(3)设为有限集合，证明：．
16．已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：
i.且C中含有3个元素，
ii.（表示空集）．
17．已知全集为．
(1)求；
(2)设是奇函数，当时，，求的解析式，并求当时的值域．
18．已知集合，．
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
19．设集合，．记为同时满足下列条件的集合A的个数：
①；②若，则；③若，则．
(1)求；
(2)求的解析式（用n表示）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C D D BD AD ACD ABD
1．D
【分析】将全集进行化简，依次求出选项中的元素，即可得出答案.
【详解】由题可得，全集
对于选项A，，不符合题意；
对于选项B，，，不符合题意；
对于选项C，，不符合题意；
对于选项D，，符合题意；
故选：D.
2．B
【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.
【详解】设，，，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：
A B
C D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的.
故选：B
3．C
【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数．
【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人，
列出韦恩图，则，
可得，则只参加技术培训的人数为人．
4．C
【分析】解分式不等式求解集合A，解对数函数不等式得集合B，然后利用补集运算和交集运算求解即可.
【详解】由得，解得.又，所以.
由，得，所以，所以，
所以.
故选：.
5．D
【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由题意，得，
由于集合或}，，
所以或，解得或，
故实数的取值范围为，故D正确.
6．D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合.
【详解】因为集合的元素之和为1，
所以一元二次方程有等根时，可得，即，
当方程有两不相等实根时，，即，
综上，实数a 所有取值的集合为.
故选：D
7．BD
【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案.
【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组．
含一组的幸福集合有，，，共3个；
含两组的幸福集合有，，，共3个；
含三组的幸福集合有，共1个，
所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误；
其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误；
元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.
故选：BD.
8．AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项BC不正确.
故选：AD.
9．ACD
【分析】先根据交集得出一元二次不等式的解集，进而结合韦达定理计算判断各个选项.
【详解】由题可得集合，且，
所以方程的两根，满足，.
由韦达定理可知，，即，选项A正确，选项B错误.
.选项C正确.
从而，即.选项D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】利用集合与元素之间的关系计算，结合集合元素的互异性判断AB；求出所有元素积判断C；确定元素个数并求出所有元素判断D.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，（且），得，
令，得无解，即，同理，，
则，即集合A中任意一个元素可生成另外两个元素，
对任意互不生成的两个元素，各自生成另外两个元素，因此集合中元素个数为3的倍数，B正确；
对于C，，集合中互不生成的元素有个，则所有元素的积为，C错误；
对于D，依题意，集合中的元素个数应为3或6，由及
中有一个元素的平方等于所有元素的积，得中应有6个元素，且其中一个元素为，
由，得，又，则另外三个元素和为，
即，解得，，D正确.
故选：ABD
11．4
【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积．
【详解】根据定义有或，
，则，这是一个边长为的正方形，面积为，
同理，，也都形成一个边长为的正方形，面积都是，
所以.
故答案为：
12．68
【分析】先找出的关系，再分别进行讨论即可
【详解】设，则或4，
于是或．由于，
当时，，此时共有62个；
当时，，此时共有6个，
所以集合的元素个数为68．
故答案为：
13．或
【分析】已知四个递增数两两之和构成集合,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12或18两种情况,分别联立前三个和的方程,通过整体代入求出的两个可能取值.
【详解】由题意知.
满足,因为.
则必有.
若,联立，两式相加得，
代入得，解得.
若,联立，两式相加得，
代入得,解得.
14．（1）证明见解析，，；（2）答案见解析.
【解析】（1）由，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得为单元素集，进而可列举出，；
（2）由（1）的结果，归纳得，，并利用等比数列求和公式计算出，进而得出与的倍数关系．
【详解】（1）证明：∵，
数列中任意相邻两项具有2倍关系，∴或．
∵，而，∴．
∴为单元素集．
由此，得，，
则，．
（2）由（1）的结果，归纳得，
．
，
因为中的每一个元素的两倍构成的集合等于，
所以．
15．(1)
(2)4
(3)
对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且．
若，则；若，则．
故，从而．
因此，结论成立．
【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；
（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；
（3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于，
所以；
（2）设，则，因为，
故符合条件的的个数为.
（3）略
16．1084.
【分析】先判断出中含有12+12-4=20个元素，利用组合的定义直接求解.
【详解】因为集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，
所以中含有12+12-4=20个元素.
因此满足且C中含有3个元素，有.
所以满足且C中含有3个元素的集合C有1140个；
因为满足的集合C有个，
所以i、ii的集合C有1140-56=1084个.
17．(1)
(2)，
【分析】（1）根据题意，分别求得集合和，结合集合交集和补集的运算，即可求解；
（2）根据题意，求得函数的解析式为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，可得，即，
又由不等式，可得，即，
则或，所以.
（2）解：设，则，
因为函数为奇函数，且当时，，
可得，
所以函数的解析式为，
由（1）得，
当时，，可得；
当时，，可得，
所以当时的值域为.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）解不等式求出集合，再根据集合的运算即可求出答案；
（2）等价于，解方程得或，分为，和三种情况分别求解，即可求出答案.
【详解】（1）不等式可化为，
即，解得，
所以，
不等式，则，
令，则，解得，
即，所以，
所以，所以或，
所以或.
（2）因为，所以，
令，解得或，
当时，，符合；
当时，，
若，则，解得；
当时，，
若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
19．(1)4
(2)
【分析】（1）根据题意直接分析求解即可；
（2）根据题意分析可得：等于所有奇数的集合的子集个数，结合子集的性质分析求解.
【详解】（1）当时，则，
可得符合条件的集合A为：，，，，
所以．
（2）任取偶数，将x除以2，若商仍为偶数．再除以2，，经过k次以后，商必为奇数．
此时记商为m，于是，其中m为奇数,；
由条件知：若则为偶数；若，则为奇数．
于是x是否属于A，由m是否属于A确定．
设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数．
当n为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或）．
所以．
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