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集合中的参数问题 微考点专题练
2027学年高中数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的公差为，集合，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
3．已知集合，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，且，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
5．已知、，集合，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，集合有8个子集，则的一个值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知且，若集合，，且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．设集合或，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．设集合或，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知，则可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知集合，若，则中所有元素之和为_____．
14．已知全集，集合，若，则________.
15．若，使得集合中包含且仅包含两个整数和，则正实数的取值范围是___________．
16．设表示有限集合中元素的个数，已知函数，，若，其中为常数，且，则的取值范围是________.
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求集合；
(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
18．已知集合，．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围．
19．已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D B C A B B AB
题号 11 12
答案 ABC AB
1．A
【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得.
【详解】由，解得，所以.
因为，所以，如图：
所以．
2．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期性，判断集合只有两个元素，化简后计算即得.
【详解】已知等差数列的公差为，则，
所以，则，
即.
故选：B.
3．A
【分析】解分式不等式得到集合，从而得到.讨论集合是否为空集，得到不等式（组）解得的取值范围.
【详解】令，则，所以或，
即或，可得，
而，分如下情况讨论，
①，即，则，
②，则，则，
∴，即.
故选：A.
4．D
【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合.
【详解】由题意得．
当时，；
当时，，由，可得或．
综上所述，实数的取值集合为．
故选：D.
5．B
【分析】根据交集运算可得出，即可得出，然后分和两种情况讨论，结合交集运算进行检验，即可得解.
【详解】已知集合，，且，所以，即.
若，则，此时，，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
6．C
【详解】因为，
所以.
因为，且，
所以，即实数的取值范围是.
7．A
【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值．
【详解】由题意得集合中有8个子集，
又，集合中有三个元素，即有三个正因数，
而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方，
设为质数，则，此时正因数为，
，，则或3，
的值可以为4或9，故A正确．
故选：A．
8．B
【分析】求出集合B，再由给定条件，对a分类讨论，利用数形结合及构造函数的方法，利用导数探讨函数最小值求解作答.
【详解】依题意，，，且 ，
当时，作出函数与的大致图象，
则，即，
所以，即；
当时，设，
若，，则恒成立，，满足 ，
于是当时， ，当且仅当，即不等式对成立，
，由得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
于是得，即，变形得，解得，
从而得当时，恒成立，，满足 ；
综上，实数a的取值范围是或.
故选：B.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
9．B
【分析】先由余弦函数的性质求解集合，再根据题意得，则，再讨论的情况即可．
【详解】由得，，故，
因为，所以，
所以，
因为集合补集中一段区间的长为，
所以当时，一定成立，
当时，时，有，
解得，所以满足的范围是，
综上所述，，
故选：B．
10．AB
【分析】根据参数范围确定集合间关系判断A，应用元素和集合关系列式计算判断B，应用交集及并集结果计算判断C，D.
【详解】对于A，若，则，则，故正确；
对于B，若，可得，故正确；
对于C，若，则，解得，故错误；
对于D，若，则，不等式无解，则若，故错误，
故选:AB
11．ABC
【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.
【详解】对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，不等式无解，故D错误.
故选：ABC.
12．AB
【分析】利用积化和差和辅助角公式得到，即可求解得到或，，可求答案.
【详解】，
，
，
，
，
，
，
，
或，,
，，或，，
经检验，或符合，其它都不符合.
故选：AB.
13．3
【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和．
【详解】因为，故或，
若，则，与元素的互异性矛盾；
若，则（舍）或，故，故，
所以中所有元素之和为3，
故答案为：3.
14．2
【分析】由元素与集合的关系得到，是3，4，5中的两个数，再分类讨论计算即可.
【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数.
当时，得.
若，则，符合题意；
若，则，不符合题意.
当时，得，则，不符合题意.
当时，得，则，不符合题意.
故答案为：2
15．
【分析】题设条件可转化为且，利用导数判断的单调性后可得正实数的取值范围.
【详解】由题设有，
因为，故，故，而，故，
若，则，矛盾，故，故，
若，则，矛盾；若，则，
这与矛盾，故，
故且①，
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故当时，，此时①无解；
故即或，
若，则且，故；
若，则且，
但，故此时不存在，
综上，
故答案为：.
16．
【分析】利用求导分析函数的单调性，并作出函数图象，再利用数形结合可分析出参数的范围.
【详解】由，可得，
当时，，所以在时单调递增，
当时，，所以在时单调递减，
当时，，所以在时单调递增，
由，且，作出函数的图象，如下：

因为，所以当时，，
由于必有一个解，且，
所以也必有一个解，且与的解不相同，
由图及题设：或.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知；
（2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果.
【详解】（1）因为，所以，所以，
由，解得或，
所以；
（2）当时，，，所以，满足条件；
当时，方程无解或仅有解，则只需，解得，
综上所述，的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论B是否为空集计算即可；
（2）利用补集、并集的概念化条件为，计算即可.
【详解】（1）若，则，即时，此时显然符合题意；
若，则，要满足，则，解得，
综上所述实数a的取值范围为；
（2）由题意可知若，则，
所以有，解之得，
则实数a的取值范围.
19．(1)
(2)
【分析】（1）分，两种情况，结合题意讨论求解即可；
（2）结合（1），根据题意讨论求解即可.
【详解】（1）由，得，
当时，即时，，满足；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围．
（2）由（1）知，当时，，所以，满足；
当或时，，，
由可得，所以．
综上所述，实数的取值范围．
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