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1.4.1线段的垂直平分线性质定理和判定定理-【导学练评】北师大版数学八年级下册
1．已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
2．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
一、基础达标：
3．在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得锐角为50°，则∠A的度数为　 　.
4． 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm， 那么ED=　 　cm；如果∠ECD=60°， 那么∠EDC=　 　.
5． 如图，因为AB是线段CD 的垂直平分线（已知），所以　 　。
6．如图，直线PO与AB交于O点，PA=PB，则下列结论中正确的是（　　）
A．AO=BO B．PO⊥AB
C．PO是AB的垂直平分线 D．P点在AB的垂直平分线上
7．如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为　 　cm．
8．如图， 在△ABC中， 已知AC=27， AB的垂直平分线交AB于点D， 交AC于点E， △BCE的周长等于50， 求BC的长.
9．如图，在四边形ABCD 中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P，且PA=PD ．求证：点P 一定在BC的垂直平分线上．
二、能力提升：
10．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长度
三、拓展迁移
11．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G．
求证：
（1）BF=CG；
（2）AF=（AB+AC）．
四、基础达标：
12．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边中线的交点
13．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（　　）
A．100° B．105° C．115° D．120°
14．如图，BC=10，BD=6，AD=4，则点D在线段　 　垂直平分线上．
15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为　 　．
16．下列条件中，不能判定MN是线段AB（M、N不在AB上）的垂直平分线。（　　）
A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥AB
C．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB
17．已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F=30°，DE=1，求BE的长
五、能力提升：
19．如图，三角形ABC是等边三角形，P是∠ABC平分线BD上的一点，PE⊥AB于E，线段BP的垂直平分线交BC于F，垂足为点Q，若BF=2，则PE为　 　 。
20． 如图所示，在△ABC中AB=AC= ，BD，CE为△ABC的两条中线相交于N，且BD⊥CE，M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值是　 　。
六、拓展迁移：
21．如图所示AC=AD，BC=BD
（1）请探究AB与CD的关系，并说明理由。
（2）要想AB与CD互相垂直平分，你认为除原有条件外，还需要添加什么条件
答案解析部分
1．【答案】证明：证法一：
∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
证法二：∵AB=AC，OB=OC，AO=AO
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO=∠CAO， 而AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴BD=CD，∠ADB=∠ACD=90°
AD是线段BC的垂直平分线
O在AD上
∴直线 AO 垂直平分线段BC
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】方法一，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
方法二：先根据SSS得到△ABO≌△ACO，即可得到∠BAO=∠CAO，再根据SAS得到△ABD≌△ACD，即可得到BD=CD，∠ADB=∠ACD=90°，进而证明结论即可.
2．【答案】解：连接AB，码头应建在线段 AB 的垂直平分线与靠近A，B一侧的河岸的交汇点处.如图，点 P就是码头应建的位置.
【知识点】尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】连接AB，作AB的垂直平分线交河岸边于点C，C点就是码头的位置.
3．【答案】或
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；线段垂直平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：分为两种情况：如图1，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为
如图2，AB的垂直平分线与AC相交时，
故答案为： 或
【分析】分为△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况，画图根据直角三角形的两锐角互余或三角形的外角解答即可.
4．【答案】7；60°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB是CD的垂直平分线， EC=7cm，
又
故答案为：7；60°.
【分析】根据垂直平分线的性质得到DE=EC；再根据等边对等角解答即可.
5．【答案】AB⊥CD，CD=DO
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：AB是CD的垂直平分线，相交于点O，
所以： 同时OD=OC.
故答案为： ，OD=OC.
【分析】根据垂直平分线的定义定义解答即可.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：分析题意，可知直线PO不一定是AB的垂直平分线，故C选项错误；
由于直线PO不一定是AB的垂直平分线，(OA=OB不正确，故A选项错误；
由于直线PO不一定是AB的垂直平分线， 不正确，故B选项错误；
由于PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线上，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上解答即可
7．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AB=AD+BD=AD+CD，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm；
故答案为8
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=CD，因此△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm。
8．【答案】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长等于50，
∴BE+EC+BC=50，
即：AE+EC+BC=50，
∴AC+BC=50，
∵AC=27，
∴BC=23.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出 的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解.
9．【答案】解：如图，连接PB、PC，
因为点P是AB，CD的垂直平分线的交点，
所以PA=PB，PD=PC，
又因为PA=PD，
所以PB=PC，
所以点P一定在BC的垂直平分线上.
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到PA=PB，PD=PC，即可得到PB=PC，再根据线段垂直平分线的判定证明即可.
10．【答案】解：∵DE是BC的垂直平分线，
，
，
，
即AC+AB=14cm，
又∵AB-AC=2cm，
设AB=xcm，AC=ycm，
根据题意得 解得 ，
即AB长8cm， AC长6cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，然后设AB=xcm，AC=ycm，列关于x，y的二元一次方程组求出x和y解答即可.
11．【答案】（1）证明：连接BE，CE．
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，
在Rt△EBF和Rt△ECG中，
BE=CE，EF=EG，
∴Rt△EBF≌Rt△ECG（HL），
∴BF=CG．
（2）证明：AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，∠FAE=∠GAE
AE=AE
Rt△AEF≌Rt△AEG(SAS)，
∴AF=AG，
∵AB=AF-BF，AC=AG+CG，BF=CG，
∴AB+AC=AF+AG=2AF，
∴AF=（AB+AC）
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，证出 CGE即可；
(2)求出 推出AF=AG，即可得出答案.
12．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据性质得出结论.
13．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： ∵BE是∠ABC的平分线， ∠ABC=50°，
∴∠EBC=25°，
∵AD 垂直平分线段BC，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBC=25°，
∴∠DEC=90°-25°=65°，
∴∠AEC=115°，
故答案为： C.
【分析】根据角平分线的定义求出∠EBC的度数，根据线段垂直平分线的性质得到 EB=EC ，求出∠C的度数，根据邻补角的概念计算即可.
14．【答案】AC
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：
6=4.
又
点D在线段AC的垂直平分线上.
故答案为：AC.
【分析】先根据先得和差得到CD=4=AD，即可根据线段垂直平分线的判定解答即可.
15．【答案】60°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直线CD垂直平分AB，
故答案为：60°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AC=BC，根据等边对等角，得 根据三角形的内角和定理，即可求得的度数.
16．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故A不符合题意；
平分AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故B不符合题意；
当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线，故C符合题意；
平分AB，
∴MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的判定解答即可.
17．【答案】证明：∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴D在线段BC的垂直平分线上
∴AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直平分线的判定得到AD是BC的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质证明即可.
18．【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠ABC+∠F=90°，∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠F=30°，
∴E在线段AB的垂直平分线上，
∵BE=AE，∠A=∠ABE=30°
∴BE=2DE=2.
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，得出 求出 得出由含 角的直角三角形的性质即可得出结果.
19．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 是等边三角形，P是 的平分线BD上一点，
，
在直角 中，，
，
∵QF是BP的垂直平分线，
，
在直角 中， ，
，
故答案是：
【分析】先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP=30°，由PE⊥AB于点E，进而可得 BP，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点F，可得BP=2BQ=4，进而可求PE的长.
20．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接DE.
∴BE=CD，
∵BC=CB，
∴△EBC≌△DCB (SAS)，
∴∠ECB=∠DBC， EC=BD，
∴BN=CN，
∴EN=DN，
∵BD⊥EC，
∴△EDM， △BCN都是等腰直角三角形，
∵AE=EB， AD=DC，
作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值=线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J.
∵AJ∥EN， AE=EB，
∴BN=NJ=10，
∴AJ=JH=2EN=10， BJ=2BN=20， AH=2AJ=20
∴AM+EM的最小值为
故答案为
【分析】连接DE.首先证明 是等腰直角三角形，再求出BC.作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于 M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值=线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J，利用面积法求出EH， TE，EH 即可解决问题.
21．【答案】（1）解： AB垂直平分CD，理由：
点A，B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD；
（2）解：想使AB与CD互相垂直平分，除原已知条件成立外，还需添加 或
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质即可得到结论.
1 / 11.4.1线段的垂直平分线性质定理和判定定理-【导学练评】北师大版数学八年级下册
1．已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
【答案】证明：证法一：
∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
证法二：∵AB=AC，OB=OC，AO=AO
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO=∠CAO， 而AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴BD=CD，∠ADB=∠ACD=90°
AD是线段BC的垂直平分线
O在AD上
∴直线 AO 垂直平分线段BC
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】方法一，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
方法二：先根据SSS得到△ABO≌△ACO，即可得到∠BAO=∠CAO，再根据SAS得到△ABD≌△ACD，即可得到BD=CD，∠ADB=∠ACD=90°，进而证明结论即可.
2．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
【答案】解：连接AB，码头应建在线段 AB 的垂直平分线与靠近A，B一侧的河岸的交汇点处.如图，点 P就是码头应建的位置.
【知识点】尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】连接AB，作AB的垂直平分线交河岸边于点C，C点就是码头的位置.
一、基础达标：
3．在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得锐角为50°，则∠A的度数为　 　.
【答案】或
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；线段垂直平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：分为两种情况：如图1，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为
如图2，AB的垂直平分线与AC相交时，
故答案为： 或
【分析】分为△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况，画图根据直角三角形的两锐角互余或三角形的外角解答即可.
4． 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm， 那么ED=　 　cm；如果∠ECD=60°， 那么∠EDC=　 　.
【答案】7；60°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB是CD的垂直平分线， EC=7cm，
又
故答案为：7；60°.
【分析】根据垂直平分线的性质得到DE=EC；再根据等边对等角解答即可.
5． 如图，因为AB是线段CD 的垂直平分线（已知），所以　 　。
【答案】AB⊥CD，CD=DO
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：AB是CD的垂直平分线，相交于点O，
所以： 同时OD=OC.
故答案为： ，OD=OC.
【分析】根据垂直平分线的定义定义解答即可.
6．如图，直线PO与AB交于O点，PA=PB，则下列结论中正确的是（　　）
A．AO=BO B．PO⊥AB
C．PO是AB的垂直平分线 D．P点在AB的垂直平分线上
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的概念
【解析】【解答】解：分析题意，可知直线PO不一定是AB的垂直平分线，故C选项错误；
由于直线PO不一定是AB的垂直平分线，(OA=OB不正确，故A选项错误；
由于直线PO不一定是AB的垂直平分线， 不正确，故B选项错误；
由于PA=PB，点P在线段AB的垂直平分线上，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上解答即可
7．如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为　 　cm．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AB=AD+BD=AD+CD，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm；
故答案为8
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=CD，因此△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm。
8．如图， 在△ABC中， 已知AC=27， AB的垂直平分线交AB于点D， 交AC于点E， △BCE的周长等于50， 求BC的长.
【答案】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长等于50，
∴BE+EC+BC=50，
即：AE+EC+BC=50，
∴AC+BC=50，
∵AC=27，
∴BC=23.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出 的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解.
9．如图，在四边形ABCD 中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P，且PA=PD ．求证：点P 一定在BC的垂直平分线上．
【答案】解：如图，连接PB、PC，
因为点P是AB，CD的垂直平分线的交点，
所以PA=PB，PD=PC，
又因为PA=PD，
所以PB=PC，
所以点P一定在BC的垂直平分线上.
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到PA=PB，PD=PC，即可得到PB=PC，再根据线段垂直平分线的判定证明即可.
二、能力提升：
10．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长度
【答案】解：∵DE是BC的垂直平分线，
，
，
，
即AC+AB=14cm，
又∵AB-AC=2cm，
设AB=xcm，AC=ycm，
根据题意得 解得 ，
即AB长8cm， AC长6cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，然后设AB=xcm，AC=ycm，列关于x，y的二元一次方程组求出x和y解答即可.
三、拓展迁移
11．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G．
求证：
（1）BF=CG；
（2）AF=（AB+AC）．
【答案】（1）证明：连接BE，CE．
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，
在Rt△EBF和Rt△ECG中，
BE=CE，EF=EG，
∴Rt△EBF≌Rt△ECG（HL），
∴BF=CG．
（2）证明：AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，∠FAE=∠GAE
AE=AE
Rt△AEF≌Rt△AEG(SAS)，
∴AF=AG，
∵AB=AF-BF，AC=AG+CG，BF=CG，
∴AB+AC=AF+AG=2AF，
∴AF=（AB+AC）
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，证出 CGE即可；
(2)求出 推出AF=AG，即可得出答案.
四、基础达标：
12．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据性质得出结论.
13．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（　　）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： ∵BE是∠ABC的平分线， ∠ABC=50°，
∴∠EBC=25°，
∵AD 垂直平分线段BC，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBC=25°，
∴∠DEC=90°-25°=65°，
∴∠AEC=115°，
故答案为： C.
【分析】根据角平分线的定义求出∠EBC的度数，根据线段垂直平分线的性质得到 EB=EC ，求出∠C的度数，根据邻补角的概念计算即可.
14．如图，BC=10，BD=6，AD=4，则点D在线段　 　垂直平分线上．
【答案】AC
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：
6=4.
又
点D在线段AC的垂直平分线上.
故答案为：AC.
【分析】先根据先得和差得到CD=4=AD，即可根据线段垂直平分线的判定解答即可.
15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为　 　．
【答案】60°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直线CD垂直平分AB，
故答案为：60°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AC=BC，根据等边对等角，得 根据三角形的内角和定理，即可求得的度数.
16．下列条件中，不能判定MN是线段AB（M、N不在AB上）的垂直平分线。（　　）
A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥AB
C．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故A不符合题意；
平分AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故B不符合题意；
当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线，故C符合题意；
平分AB，
∴MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的判定解答即可.
17．已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC
【答案】证明：∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴D在线段BC的垂直平分线上
∴AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直平分线的判定得到AD是BC的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质证明即可.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F=30°，DE=1，求BE的长
【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠ABC+∠F=90°，∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠F=30°，
∴E在线段AB的垂直平分线上，
∵BE=AE，∠A=∠ABE=30°
∴BE=2DE=2.
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，得出 求出 得出由含 角的直角三角形的性质即可得出结果.
五、能力提升：
19．如图，三角形ABC是等边三角形，P是∠ABC平分线BD上的一点，PE⊥AB于E，线段BP的垂直平分线交BC于F，垂足为点Q，若BF=2，则PE为　 　 。
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 是等边三角形，P是 的平分线BD上一点，
，
在直角 中，，
，
∵QF是BP的垂直平分线，
，
在直角 中， ，
，
故答案是：
【分析】先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP=30°，由PE⊥AB于点E，进而可得 BP，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点F，可得BP=2BQ=4，进而可求PE的长.
20． 如图所示，在△ABC中AB=AC= ，BD，CE为△ABC的两条中线相交于N，且BD⊥CE，M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值是　 　。
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接DE.
∴BE=CD，
∵BC=CB，
∴△EBC≌△DCB (SAS)，
∴∠ECB=∠DBC， EC=BD，
∴BN=CN，
∴EN=DN，
∵BD⊥EC，
∴△EDM， △BCN都是等腰直角三角形，
∵AE=EB， AD=DC，
作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值=线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J.
∵AJ∥EN， AE=EB，
∴BN=NJ=10，
∴AJ=JH=2EN=10， BJ=2BN=20， AH=2AJ=20
∴AM+EM的最小值为
故答案为
【分析】连接DE.首先证明 是等腰直角三角形，再求出BC.作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于 M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值=线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J，利用面积法求出EH， TE，EH 即可解决问题.
六、拓展迁移：
21．如图所示AC=AD，BC=BD
（1）请探究AB与CD的关系，并说明理由。
（2）要想AB与CD互相垂直平分，你认为除原有条件外，还需要添加什么条件
【答案】（1）解： AB垂直平分CD，理由：
点A，B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD；
（2）解：想使AB与CD互相垂直平分，除原已知条件成立外，还需添加 或
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质即可得到结论.
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