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集合与常用逻辑用语 章末评价试题
2026-2027学年高中数学人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
2．设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
3．设,则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．用(A)表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，，且，则的取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、多选题
9．下列命题中正确的有（ ）
A．，
B．，
C．
D．集合，集合，则
10．设集合，或，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
11．已知全集，且，则实数的值为__________
12．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为______．
13．已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________；
若至少有一个元素，则的取值范围__________．
四、解答题
14．已知集合，，且.
(1)写出集合的所有子集；
(2)求实数的值组成的集合.
15．已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16． 已知命题，，命题，.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
17．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；
(3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B A D A A AD ABC
1．A
根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
2．B
根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
3．B
根据不等式的性质，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
因为，且能推出 ；
不能推出且，（如），
所以，“”是“且”的必要不充分条件，
故选B．
4．B
由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果.
根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素；
当时，；当时，；当时，；
所以是“和谐集”中的一组元素；
当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素；
综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即.
故选：B
5．A
根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果.
由“，”为真命题，得对于恒成立，
令，易知，时，，所以，，
故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，
故选：A．
6．D
根据新定义可确定(A)，从而得到(B)或(B)，然后解方程，讨论的范围即可.
，(A)，
(B)或4；
，
当时，方程只有1解，
当时，有2个解，
则，即有2个不同的解，
，
或.
故选：D
7．A
由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
8．A
通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数.
由题意，
设只持有股票的人数为，
则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )，
∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票,
∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) .
假设只同时持有了和股票的人数为,
∴, 即，
则的取值可能是,
与之对应的值为,
∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍
∴，即，
∴时满足题意，此时,
∴只持有股票的股民人数是,
故选：A.

本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得.
9．AD
判断存在量词命题、全称量词命题真假判断AB；由集合与集合的关系判断CD作答.
对于A，当时，，A正确；
对于B，当时，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，因为集合，而，因此，D正确.
故选：AD
10．ABC
根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD.
对于A，若，则，则，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，无解，
所以若，则，故D错误.
故选：ABC.
或
根据补集的定义求解.
因为全集，且，
所以，得或.
故答案为：或
12．
先求得，然后根据必要不充分条件的知识求得集合.
依题意，，
若，则，满足是的必要不充分条件.
当时，，
由于是的必要不充分条件，所以或，
解得或，
综上所述，的所有可能取值构成的集合为.
故答案为：
13．
由题意可知:
当A中仅有一个元素时, ,或,解得: ,;
当A中有0个元素时, ,解得: ;
当A中有两个元素时, ,解得: ;
所以,集合A至多有一个元素时的取值范围为: ,或;
集合A至少有一个元素时的取值范围为: .
本题考查的集合中元素的个数问题．在解答时,首先应将集合的元素个数问题转化为一元二次方程的根的个数问题,二次项系数为字母时，要讨论字母为0和字母不为0，在字母不为0时则要讨论判别式等于0，大于0，小于0时一元二次方程的根的个数问题．
14．(1)，，，
(2)
（1）先解一元二次方程求集合A，然后由子集定义即可得答案；
（2）分和讨论，当时求出集合B，根据集合关系即可求解.
（1）由解得或，
所以，
所以集合的所有子集为，，，.
（2）由得，
①当时，，满足条件.
②当时，，因为，
所以或，解得或.
综上，实数的值组成集合为.
15．(1)，
(2)
（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
(1)
(2)或
(3)
（1），可转化个；
（2），可转化成方程有两不等实根；
（3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案
（1）若命题p为真命题，则对恒成立，
即，因此，解得.
因此，实数m的取值范围是.
（2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根，
所以，则，解得或.
因此，实数m的取值范围是或.
（3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题，
则结合（1）（2）得或，
因此，实数m的取值范围是
17．(1)集合是封闭集，不是封闭集，理由见解析；
(2)命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；
(3)见解析.
(1)根据封闭集的定义判断即可；
(2) 对命题举反例说明即可；
对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；
(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明.
（1）解：对于集合 因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，，
所以集合不是封闭集；
（2）解：对命题：令，
则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；
对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，
所以，
同理可得，
所以，
所以是封闭集，故正确；
（3）证明：假设结论成立，设，
若，矛盾，所以，所以有，
设且，否则，
所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.
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