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一元二次方程 一元二次方程中含参数问题 强化练
2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上学期
一、单选题
1．是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若是方程的一个解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为
A．4 B． C．2 D．
4．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．或 B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
6．若关于x的方程是一元二次方程，则m=______．
7．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为___________．
8．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．
9．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是_____．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
三、解答题
11．已知关于x的一元二次方程
(1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值．
(2)如果方程有实数根，求m的取值范围．
12．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
13．已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
(2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
15．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中．
(1)写出方程①的“换位方程”；
(2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
(3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值．
16．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
17．已知一元二次方程有两个根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，满足，求m的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 A B D B C
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴；
故选A．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入方程得，，
解得．
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴判别式，
解得：
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可得，，由可得，结合求出或，由题意可得，求出，即可得解．
【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴由可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
由题意可得，
解得：，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
6．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可．
【详解】解：根据题意可知
解得．
故答案为：．
7．
【分析】考查考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是列出不等式求解．根据一元二次方程无实数根，得到关于的不等式求解．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，解得：，
故答案为：．
8．2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程，得，
所以，
所以．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
10．且
【分析】本题考查了根的判别式．
直接根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得，
故答案为：且．
11．(1)
(2)且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可；
（2）由题意可得且，计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：且，
∴且
∴且，
∴m的取值范围是：且．
12．(1)
证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
13．（1）k≤3；（2）．
【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
14．(1)见解析
(2)的周长为．
【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理．
（1）根据即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
∵，，，
∴
，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根，
∴，，
∵是直角三角形，且斜边长，
∴，即，
∴，
整理得，
解得或，
∵和是直角边，
∴和是正数，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，
∴的周长为．
15．(1)
(2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有
，
∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根．
(3)或，或
【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论；
（3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案．
【详解】（1）解：在方程中，，，
∴方程①的“换位方程”为．
（2）解：略
（3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，
∴，，
，
∴，
当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，
∴
解得：或，
当时，代入方程①得，，
解得：；
当时，代入方程①得，，
解得：．
16．(1)
(2)
【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围；
（2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解．
【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得
，．
，
，
整理，得，
解得或．
又，
．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．
（1）利用根的判别式即可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根，
∴，
解得，
∴m的取值范围是；
（2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，，
又∵，
∴，
则，
解得或4，
又∵，
∴．
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