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广西壮族自治区壮族自治区防城港市2025—2026学年七年级下学期期末质量检测数学试题
1．下列各数是无理数的是（　　)
A．- 2 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：选项 A，属于整数范畴，整数是有理数的一类，因此是有理数；
选项 B，是分数形式，分数属于有理数，因此是有理数；
选项 C，是整数，整数归属于有理数，因此是有理数；
选项 D，是开方运算后无法得到整数或分数的数，属于无限不循环小数，符合无理数的定义。
故答案为：D
【分析】本题考查无理数与有理数的概念辨析。解题时先明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，据此判断 A、B、C 选项分别对应整数、分数、整数，均属于有理数范畴；再依据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，开方开不尽的数是无理数的常见类型，由此判断属于无理数，最终确定正确选项。
2．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：对顶角需同时满足两项条件：一是两个角有公共顶点，二是其中一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线。
选项 A、D 中，两个角的两边不满足互为反向延长线的要求，不符合作对顶角的定义；
选项 B 中，两个角不存在公共顶点，不满足对顶角的前提条件；
选项 C 中，两个角既有公共顶点，两边也分别互为反向延长线，符合对顶角的定义。
故答案为：C
【分析】本题考查对顶角的定义识别。解题时先明确对顶角的核心判定标准，再逐一对照选项验证：首先依据 “对顶角必有公共顶点” 这一特征，排除无公共顶点的 B 选项；再依据 “两边互为反向延长线” 的特征，排除两边不满足反向延长关系的 A、D 选项；最终确认 C 选项完全符合对顶角的两项判定条件。
3．下列事件中最适合用全面调查方式收集数据的是（　　)
A．为制作校服，了解某班同学的身高情况
B．了解全市初三学生的视力情况
C．了解一种节能灯的使用寿命
D．了解我省农民的年人均收入情况
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：选项 A，班级学生的人数有限，调查工作量小，且制作校服需要每位同学的精准身高数据，适合采用普查方式；
选项 B，全市初三学生的基数庞大，全面调查耗费的人力、时间成本过高，适合采用抽样调查；
选项 C，测试节能灯的使用寿命会对产品造成损耗破坏，无法对所有产品逐一测试，只能采用抽样调查；
选项 D，全省农民的数量众多，全面普查的可操作性低，适合通过抽样调查获取数据。
故答案为：A
【分析】本题考查普查与抽样调查的适用场景判断。解题时结合两种调查方式的特点逐一分析：对于精确度要求高、调查范围小且无破坏性的场景，适合选用普查；对于调查范围广、具有破坏性或普查成本过高的场景，适合选用抽样调查。据此判断制作校服需精准数据且班级范围小，适合普查，其余三项均符合抽样调查的适用条件。
4．实数9的平方根是（　　)
A．3 B． C．±3 D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：，
根据平方根的定义，9 的平方根为。
故答案为：C
【分析】本题考查平方根的定义与计算。解题时依据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数叫做的平方根，且正数的平方根有两个，二者互为相反数。通过计算验证和的平方均等于 9，由此得出 9 的平方根是的结论。
5．已知a>b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（　　)
A．a+cb-c C．ac< bc D．ac> bc
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项 A，，根据不等式的性质 1，不等式两边同时加上同一个实数，不等号方向不变，，该选项错误；
选项 B，，根据不等式的性质 1，不等式两边同时减去同一个实数，不等号的方向保持不变，，该式恒成立；
选项 C，仅当时成立，取非负数时不成立，因此该式不恒成立。
选项 D，当时，成立；当时，；当时，，由于为任意实数，因此该式不恒成立；
故答案为：B
【分析】本题考查不等式的基本性质应用。解题时逐一结合不等式的性质验证选项：依据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变的性质，可直接判断 A 选项成立、B 选项错误；再依据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变的性质，分析 C、D 选项受的正负影响，无法在为任意实数时恒成立，最终确定恒成立的选项。
6．在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点 P 到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点 P的坐标为（　　)
A．（2，-3) B．（3，-2) C．（-3，2) D．（-2，3)
【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，
，，即，。
又 点位于第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，
，，即点的坐标为。
故答案为：D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征与点到坐标轴的距离关系。解题时先明确点到坐标轴距离的坐标含义：点到轴的距离对应纵坐标的绝对值，到轴的距离对应横坐标的绝对值，由此得到横、纵坐标的可能取值；再结合第二象限内点 “横负纵正” 的坐标符号特征，对取值进行筛选，最终确定点的坐标。
7．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠C＝∠CBE D．∠C+∠ABC＝180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∠1＝∠3，同旁内角相等，不能判定直线平行，故此选项不正确；
B.∠2＝∠4， 根据内错角相等 ，可判定直线平行AD∥BC，故此选项不正确；
C.∠C＝∠CBE，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故不符合题意；
D.∠C+∠ABC＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得 AB∥CD ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.
8．如图是一个数值转换器，当输入的x为36时，输出的y是（　　)
A．6 B． C．±6 D．±
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入时，第一步计算 36 的算术平方根，得；
由于 6 是有理数，需返回继续取算术平方根，计算得；
是无限不循环小数，属于无理数，满足输出条件，因此。
故答案为：B
【分析】本题考查算术平方根的计算与无理数的识别，结合数值转换的循环规则解题。解题时按照转换器的流程逐步运算：先对输入的 36 求算术平方根，得到有理数 6，因此进入下一轮运算；再对 6 求算术平方根得到，判断其为无理数后终止运算并输出结果。过程中需注意算术平方根的结果为非负数，因此不会出现正负两种结果。
9．在数轴上表示不等式组-1A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式中，表示在数轴上的位置画空心圆圈，线向右侧延伸；
表示在数轴上的位置画实心圆点，线向左侧延伸；
二者的公共部分即为不等式的解集，对应数轴上空心、实心，中间线段连通的图形。
故答案为：A
【分析】本题考查不等式解集在数轴上的表示方法。解题时遵循 “大于向右，小于向左，含等号用实心点，不含等号用空心圈” 的规则：先分别确定两个边界点的画法，不含等号画空心圈，含等号画实心点；再根据不等号方向确定画线方向，取二者的重叠区域，即可得到正确的数轴表示。
10．不等式组 的解集是（　　)
A．x>-2 B．x≤-1 C．- 2【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①：两边同乘 6 去分母，得，
去括号得，
移项合并得，
系数化为 1 得；
解不等式②：移项得，
合并同类项得，
系数化为 1 得；
根据 “大小小大中间找” 的口诀，不等式组的解集为。
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法与解集确定。解题时先分别求解两个一元一次不等式：解第一个不等式时通过去分母、去括号、移项合并、系数化为 1 的步骤，得到；解第二个不等式时通过移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤，注意系数为负时不等号方向改变，得到；最后依据不等式组解集的判定口诀，取两个解集的公共部分，得到最终的解集范围。
11．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫、每尺绢各值多少分 已知1钱等于10分，设1尺绫值x分，1尺绢值y分，则可列方程组为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：先统一单位，4 钱 8 分换算为分是分，6 钱 8 分换算为分是分。
根据 “绫 3 尺，绢 4 尺，总价值 48 分”，可得等量关系：3 尺绫的总价 + 4 尺绢的总价 = 48 分，即；
根据 “绫 7 尺，绢 2 尺，总价值 68 分”，可得等量关系：7 尺绫的总价 + 2 尺绢的总价 = 68 分，即。
联立可得方程组。
故答案为：D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，核心是找准等量关系并统一单位。解题时先将题目中的钱数单位统一为分，避免单位不一致导致错误；再分别根据两组 “绫的数量 × 单价 + 绢的数量 × 单价 = 总价值” 的等量关系，列出对应的二元一次方程，最后将两个方程联立组成方程组即可。
12．如图，图①是AD ∥BC的一张纸条，按图①→图②→图③的方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿 BF折叠并压平，若图③中∠CFE =18°，则图②中∠AEF 的度数为（　　)
A．114° B．108° C．120° D．126°
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
纸条沿第一次折叠，由折叠的性质可得，，
。
纸条沿第二次折叠，由折叠的性质可得。
点、、在同一直线上，，
，
解得，即。
，由两直线平行，同旁内角互补，
，
，
。
故答案为：A
【分析】本题考查翻折变换的性质与平行线的性质综合应用。解题时先设的度数为，结合第一次折叠的性质，即折叠前后对应角相等，得到与相等，进而表示出的度数；再结合第二次折叠的性质，得到与相等；利用平角为的性质列方程求解，得到的值；最后依据平行线 “两直线平行，同旁内角互补” 的性质，求出的度数，再由折叠性质推出的度数。
13．比较大小：　 　2（填“>”“<”或“=”)
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：将两个数分别平方，得，。
，且两个数均为正实数，正实数平方越大，原数越大，
故答案为：
【分析】本题考查实数的大小比较，采用平方法将无理数转化为有理数比较。解题时利用平方法对两个正实数分别平方，将无理数运算转化为整数比较；依据 “两个正实数，平方值大的原数更大” 的规律，通过比较平方后的结果 5 和 4，即可得出大于 2 的结论。
14．如图， 直线AB， CD相交于点O. 若∠1+∠2=100°， 则∠BOC的大小为　 　°
【答案】130
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解： 直线与交于点，与是对顶角，
根据对顶角相等的性质，。
，
，即。
又与互为邻补角，二者和为，
。
故答案为：
【分析】本题考查对顶角与邻补角的性质应用。解题时先根据两直线相交的特征，判断和是对顶角，依据对顶角相等的性质得到二者相等；结合已知的角度和，计算出的度数；再根据邻补角的定义，即相邻且互补的两个角和为，用减去的度数，即可求出的度数。
15．在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是用算筹表示的，若图①所示的算筹图表示的方程组为 则图②表示的方程组的解为　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：类比图 1 的算筹表示规则，可推出图 2 对应的方程组为
由①得，代入②得：
，
，
，
。
将代入①，得，解得。
因此方程组的解为。
故答案为：
【分析】本题考查算筹表示的二元一次方程组求解，需先类比规则列出方程组再求解。解题时先根据已知的算筹与方程组的对应关系，归纳出算筹的计数规则，进而写出图 2 对应的二元一次方程组；再选用代入消元法，通过变形代入、去括号、移项合并等步骤，依次求出和的值，得到方程组的解。
16．对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b= ab-a+b-2.例如，2※5=2×5-2+5-2=11.请根据上述的定义解决问题：若不等式1※x<2，则不等式的非负整数解是　 　.
【答案】0，1，2
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据新定义的运算规则，，
整理得。
代入不等式得，
移项得，
解得
满足的非负整数有 0、1、2，即为该不等式的非负整数解
故答案为：0，1，2
【分析】本题考查新定义运算与一元一次不等式的整数解求解。解题时先依据题目给出的运算定义，将转化为常规的代数式，整理化简后得到关于的一元一次不等式；解不等式得到的取值范围；再从取值范围内筛选出所有非负整数，即为所求的非负整数解。
17．
（1） 计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）解：原式=3-2-2
=-1
（2）解：
解： ②-①得： 3y=6， 解得y=2，
把y=2代入①： x-y2=1 x=3
方程组的解：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根与绝对值的化简。解题时先分别计算各项：根据算术平方根的定义，9 的算术平方根为 3；根据立方根的定义，-8 的立方根为 - 2；根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得；再将各项结果按照加减运算法则依次计算，得到最终结果。
（2）本题考查二元一次方程组的解法，可选用加减消元法求解。解题时观察两个方程中的系数相同，用第二个方程减去第一个方程，消去未知数，得到只含的一元一次方程，求解得到的值；再将的值代入第一个方程，计算求出的值，最终得到方程组的解。
18．如图，三角形ABC 在直角坐标系中.
（1）请直接写出点A、B两点的坐标；
（2）若把△ABC 向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到△A'B' C'， 在图中画出△A'B' C' ，并写出C'的坐标.
【答案】（1）解：由题意得A (-1， -1) ， B (4， 2)
（2）解：如图所示， △A'B' C' 为所求， 由图可知C'的坐标为(2， 4)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）本题考查平面直角坐标系中点的坐标读取。解题时根据点在坐标系中的位置，分别向轴、轴作垂线，垂足对应的数值分别为点的横坐标与纵坐标，结合点所在的象限确定坐标符号，即可读出、两点的坐标。
（2）本题考查坐标与图形的平移变换。解题时依据平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，分别对、、三点的横、纵坐标进行加 1 的运算，得到对应点、、的坐标；在坐标系中描出三个对应点后顺次连接，即可得到平移后的三角形，同时写出的坐标。
19．补全下面推理过程.
生活中常见一种折叠拦道闸，如图①所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，求∠ABC+∠BCD 的度数.
解： 如图③，过点 B 作 BF ∥AE.
∵CD ∥AE（ ) ，
∴ ▲ ∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠BCD+ ▲ =180°（ ).
∵AB⊥ AE，
∴∠EAB= ▲ °（ ) .
∵ BF ∥AE （辅助线作法)，
∴ ▲ +∠EAB =180°，
∴∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD = ▲ °.
【答案】解：如图③， 过点 B 作 BF ∥AE.
∵CD ∥AE ( 已知 )
∴ BF ∥CD (平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠BCD+ ∠CBF =180°(两直线平行， 同旁内角互补) ，
∵AB ⊥AE，∴∠EAB = 90 °(垂直的定义)
∵ BF ∥AE (辅助线作法)，
∴∠ABF+∠EAB =180°，
∴ ∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与平行公理推论的综合应用，通过作辅助线构建平行线模型求解角度和。解题时首先过点作，以已知的为前提，依据平行于同一直线的两条直线互相平行，推出与平行；再根据两直线平行同旁内角互补的性质，得到与互补。接着由垂直的条件，依据垂直的定义得出为 90°；结合，利用两直线平行同旁内角互补，推出与互补，计算得到的度数。最后将拆分为与的和，代入已得的角度关系，即可求出与的度数和。
20．为了了解某市2025年初中毕业生的实验考查成绩等级的分布情况，随机抽取了该市若干名学生的实验考查成绩进行统计分析，并根据抽取的成绩绘制了统计表（如表)和统计图
成绩等级 人数 百分比
B 90 30%
C m 40%
D 60 n
（1） 在表格中，m= ▲ ，n= ▲ ；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角β的度数是　 　；
（3）请你估计全市2万名考生中成绩被评为“B级及以上”的学生有多少名.
【答案】（1）解：120， 20%；
补全条形统计图如答图所示：
（2）72°
（3）解：20000×(10%+30%)=8000 (名) .
∴估计全市2万名考生中成绩被评为“B级及以上”的学生有8000名
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由扇形图知，等级人数为人，占总人数的，
∴总人数为人，
∴，，
（2）解：；
【分析】（1）本题考查统计图表的信息读取与数据计算。解题时先根据 B 等级的人数与对应百分比，用 “人数 ÷ 对应百分比” 求出抽取的总人数；再用总人数乘 C 等级的百分比得到的值，用 D 等级人数除以总人数再乘 100% 得到的值，最后根据计算结果补全条形统计图。
（2）本题考查扇形统计图圆心角的计算。解题时用圆周角 360° 乘 D 等级人数所占的百分比，即可求出对应扇形圆心角的度数。
（3）本题考查用样本估计总体。解题时先计算样本中 B 级及以上（A、B 等级）的人数所占的百分比之和，再用全市考生总人数乘这个百分比，即可估计出全市对应等级的学生人数。
21．某商店购买 A、B 两种文具袋，已知购买 A 种和 B 种文具袋共50个，总共花费600元。其中 A 种成本价为10元/个，B种成本价为15 元/个。
（1）购买 A、B两种文具袋各多少个
（2）若A 种售价为13 元/个，B种售价为20元/个。若这50个文具袋全部售出，要使总利润不少于180元，问A 种文具袋至多购买多少个
【答案】（1）解：设购买 A 种文具袋 x 个，B种文具袋 y 个。
根据题意，得：
解得：
答：购买 A 种文具袋 30 个，B 种文具袋 20 个。
（2）解：设购买 A 种文具袋 m 个，则购买 B 种文具袋 (50-m)个，根据题意，得：(13-10) m+ (20-15) (50-m)≥180
解不等式得：m≤35
答：要使总利润不少于 180 元，A种文具袋至多购买 35 个。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组的实际应用，属于购物数量与总价问题。解题时设购买 A 种文具袋个，B 种文具袋个，根据 “两种文具袋总数为 50 个” 列出第一个方程，根据 “总成本为 600 元”，结合单价乘数量等于总价的关系列出第二个方程，联立成方程组后求解，即可得到两种文具袋的购买数量。
（2）本题考查一元一次不等式的实际应用，属于利润最值问题。解题时设购买 A 种文具袋个，则 B 种文具袋数量为个，先分别计算单个 A、B 文具袋的利润，再根据 “总利润 = 单个利润 × 数量” 表示出总利润；结合 “总利润不少于 180 元” 的不等关系列出一元一次不等式，解不等式得到的取值范围，取范围内的最大值即为 A 种文具袋至多购买的数量。
22． 已知当m，n都是实数，且满足2m=8+n时，称 为“开心点”.例如点 A（5，3)为“开心点”.
因为当A（5，3)时，
得m=6， n=4，
所以2m=2×6=12， 8+n=8+4=12，
所以2m=8+n.
所以A（5，3)是“开心点”.
（1）判断点 B（4，10)是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1)是“开心点”，请判断点 M在第几象限，并说明理由.
【答案】（1）解：B(4，10) 不是“开心点”.
理由：m-1=4 m=5，
2m=10，8+n=26. 2m≠8+n.
（2）解：点M 在第三象限.
理由： m-1=a m=a+1， n=4a-4.
代入 2(a+1)=8+4a-4 2a+2=4a+4 a=-1.
点 M 坐标为 (-1，-3)，位于第三象限.
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）本题考查新定义概念的理解与应用，需按照定义逐步验证。解题时先根据 “开心点” 的坐标定义，由点的横、纵坐标分别列出关于、的方程，求解得到和的值；再将、代入和分别计算，验证二者是否相等，若相等则为开心点，不相等则不是。
（2）本题结合新定义考查平面直角坐标系中点的象限判断。解题时同样依据 “开心点” 的坐标定义，由点的横、纵坐标分别用含的式子表示出和；将其代入的等式中，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；进而求出点的横、纵坐标，根据横、纵坐标的符号判断点所在的象限。
23．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含 30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动. 如图1，已知两直线a，b且a∥b和Rt△ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°.
（1） 在图1中， ∠1=46°， 求∠2的度数；
（2）【深入探究】如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1=120°， 请说明理由.
（3）【拓展应用】缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，请直接写出∠1与∠2的度数.
【答案】（1）解：如图，
∵∠ACB=90°， ∠1+∠ACB+∠3=180°，
∴∠1+∠3=180°-∠ACB=90°，
∵∠1=46°，
∴∠3=90°-∠1=44°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=44°；
（2）解：如图， 过点B作BD∥a，则∠ABD=180°-∠2，
∵a∥b，
∴BD∥b∥a，
∴∠1=∠CBD， ∠ABD=180°-∠2，
∴∠2=180°-∠ABD
∴∠2-∠1=180°-∠ABD-∠CBD
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°
∴∠2-∠1=120°
（3）解：∠1=60°， ∠2=60°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点作，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上，，．
【分析】（1）本题考查平行线的性质与平角定义的应用。解题时先根据平角为 180°，结合直角与已知的，计算出的邻角的度数；再依据 “两直线平行，同位角相等” 的性质，由推出与该邻角相等，即可求出的度数。
（2）本题考查平行线的性质与辅助线的构造，通过作平行线实现角的转化。解题时过点作，先由平行公理推论推出；根据两直线平行同旁内角互补，由得到与互补，用含的式子表示；再根据两直线平行内错角相等，由得到与相等；最后结合的角的和差关系，代入整理后即可证明。
（3）本题考查角平分线的定义与平行线性质的综合应用。解题时先根据角平分线的定义，由平分结合已知的，求出的度数；再依据平行线的性质得到与相等，求出的度数；接着过点作平行线，利用平行线的性质分别求出相关角的度数，结合角的和差关系计算出的度数。
1 / 1广西壮族自治区壮族自治区防城港市2025—2026学年七年级下学期期末质量检测数学试题
1．下列各数是无理数的是（　　)
A．- 2 B． C．0 D．
2．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　)
A． B．
C． D．
3．下列事件中最适合用全面调查方式收集数据的是（　　)
A．为制作校服，了解某班同学的身高情况
B．了解全市初三学生的视力情况
C．了解一种节能灯的使用寿命
D．了解我省农民的年人均收入情况
4．实数9的平方根是（　　)
A．3 B． C．±3 D．
5．已知a>b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（　　)
A．a+cb-c C．ac< bc D．ac> bc
6．在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点 P 到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点 P的坐标为（　　)
A．（2，-3) B．（3，-2) C．（-3，2) D．（-2，3)
7．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠C＝∠CBE D．∠C+∠ABC＝180°
8．如图是一个数值转换器，当输入的x为36时，输出的y是（　　)
A．6 B． C．±6 D．±
9．在数轴上表示不等式组-1A． B．
C． D．
10．不等式组 的解集是（　　)
A．x>-2 B．x≤-1 C．- 211．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫、每尺绢各值多少分 已知1钱等于10分，设1尺绫值x分，1尺绢值y分，则可列方程组为（　　)
A． B．
C． D．
12．如图，图①是AD ∥BC的一张纸条，按图①→图②→图③的方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿 BF折叠并压平，若图③中∠CFE =18°，则图②中∠AEF 的度数为（　　)
A．114° B．108° C．120° D．126°
13．比较大小：　 　2（填“>”“<”或“=”)
14．如图， 直线AB， CD相交于点O. 若∠1+∠2=100°， 则∠BOC的大小为　 　°
15．在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是用算筹表示的，若图①所示的算筹图表示的方程组为 则图②表示的方程组的解为　 　.
16．对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b= ab-a+b-2.例如，2※5=2×5-2+5-2=11.请根据上述的定义解决问题：若不等式1※x<2，则不等式的非负整数解是　 　.
17．
（1） 计算：
（2）解方程组：
18．如图，三角形ABC 在直角坐标系中.
（1）请直接写出点A、B两点的坐标；
（2）若把△ABC 向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到△A'B' C'， 在图中画出△A'B' C' ，并写出C'的坐标.
19．补全下面推理过程.
生活中常见一种折叠拦道闸，如图①所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，求∠ABC+∠BCD 的度数.
解： 如图③，过点 B 作 BF ∥AE.
∵CD ∥AE（ ) ，
∴ ▲ ∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠BCD+ ▲ =180°（ ).
∵AB⊥ AE，
∴∠EAB= ▲ °（ ) .
∵ BF ∥AE （辅助线作法)，
∴ ▲ +∠EAB =180°，
∴∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD = ▲ °.
20．为了了解某市2025年初中毕业生的实验考查成绩等级的分布情况，随机抽取了该市若干名学生的实验考查成绩进行统计分析，并根据抽取的成绩绘制了统计表（如表)和统计图
成绩等级 人数 百分比
B 90 30%
C m 40%
D 60 n
（1） 在表格中，m= ▲ ，n= ▲ ；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中圆心角β的度数是　 　；
（3）请你估计全市2万名考生中成绩被评为“B级及以上”的学生有多少名.
21．某商店购买 A、B 两种文具袋，已知购买 A 种和 B 种文具袋共50个，总共花费600元。其中 A 种成本价为10元/个，B种成本价为15 元/个。
（1）购买 A、B两种文具袋各多少个
（2）若A 种售价为13 元/个，B种售价为20元/个。若这50个文具袋全部售出，要使总利润不少于180元，问A 种文具袋至多购买多少个
22． 已知当m，n都是实数，且满足2m=8+n时，称 为“开心点”.例如点 A（5，3)为“开心点”.
因为当A（5，3)时，
得m=6， n=4，
所以2m=2×6=12， 8+n=8+4=12，
所以2m=8+n.
所以A（5，3)是“开心点”.
（1）判断点 B（4，10)是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1)是“开心点”，请判断点 M在第几象限，并说明理由.
23．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含 30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动. 如图1，已知两直线a，b且a∥b和Rt△ABC，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°.
（1） 在图1中， ∠1=46°， 求∠2的度数；
（2）【深入探究】如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1=120°， 请说明理由.
（3）【拓展应用】缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，请直接写出∠1与∠2的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：选项 A，属于整数范畴，整数是有理数的一类，因此是有理数；
选项 B，是分数形式，分数属于有理数，因此是有理数；
选项 C，是整数，整数归属于有理数，因此是有理数；
选项 D，是开方运算后无法得到整数或分数的数，属于无限不循环小数，符合无理数的定义。
故答案为：D
【分析】本题考查无理数与有理数的概念辨析。解题时先明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，据此判断 A、B、C 选项分别对应整数、分数、整数，均属于有理数范畴；再依据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，开方开不尽的数是无理数的常见类型，由此判断属于无理数，最终确定正确选项。
2．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：对顶角需同时满足两项条件：一是两个角有公共顶点，二是其中一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线。
选项 A、D 中，两个角的两边不满足互为反向延长线的要求，不符合作对顶角的定义；
选项 B 中，两个角不存在公共顶点，不满足对顶角的前提条件；
选项 C 中，两个角既有公共顶点，两边也分别互为反向延长线，符合对顶角的定义。
故答案为：C
【分析】本题考查对顶角的定义识别。解题时先明确对顶角的核心判定标准，再逐一对照选项验证：首先依据 “对顶角必有公共顶点” 这一特征，排除无公共顶点的 B 选项；再依据 “两边互为反向延长线” 的特征，排除两边不满足反向延长关系的 A、D 选项；最终确认 C 选项完全符合对顶角的两项判定条件。
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：选项 A，班级学生的人数有限，调查工作量小，且制作校服需要每位同学的精准身高数据，适合采用普查方式；
选项 B，全市初三学生的基数庞大，全面调查耗费的人力、时间成本过高，适合采用抽样调查；
选项 C，测试节能灯的使用寿命会对产品造成损耗破坏，无法对所有产品逐一测试，只能采用抽样调查；
选项 D，全省农民的数量众多，全面普查的可操作性低，适合通过抽样调查获取数据。
故答案为：A
【分析】本题考查普查与抽样调查的适用场景判断。解题时结合两种调查方式的特点逐一分析：对于精确度要求高、调查范围小且无破坏性的场景，适合选用普查；对于调查范围广、具有破坏性或普查成本过高的场景，适合选用抽样调查。据此判断制作校服需精准数据且班级范围小，适合普查，其余三项均符合抽样调查的适用条件。
4．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：，
根据平方根的定义，9 的平方根为。
故答案为：C
【分析】本题考查平方根的定义与计算。解题时依据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数叫做的平方根，且正数的平方根有两个，二者互为相反数。通过计算验证和的平方均等于 9，由此得出 9 的平方根是的结论。
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项 A，，根据不等式的性质 1，不等式两边同时加上同一个实数，不等号方向不变，，该选项错误；
选项 B，，根据不等式的性质 1，不等式两边同时减去同一个实数，不等号的方向保持不变，，该式恒成立；
选项 C，仅当时成立，取非负数时不成立，因此该式不恒成立。
选项 D，当时，成立；当时，；当时，，由于为任意实数，因此该式不恒成立；
故答案为：B
【分析】本题考查不等式的基本性质应用。解题时逐一结合不等式的性质验证选项：依据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变的性质，可直接判断 A 选项成立、B 选项错误；再依据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变的性质，分析 C、D 选项受的正负影响，无法在为任意实数时恒成立，最终确定恒成立的选项。
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，
，，即，。
又 点位于第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，
，，即点的坐标为。
故答案为：D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征与点到坐标轴的距离关系。解题时先明确点到坐标轴距离的坐标含义：点到轴的距离对应纵坐标的绝对值，到轴的距离对应横坐标的绝对值，由此得到横、纵坐标的可能取值；再结合第二象限内点 “横负纵正” 的坐标符号特征，对取值进行筛选，最终确定点的坐标。
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∠1＝∠3，同旁内角相等，不能判定直线平行，故此选项不正确；
B.∠2＝∠4， 根据内错角相等 ，可判定直线平行AD∥BC，故此选项不正确；
C.∠C＝∠CBE，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故不符合题意；
D.∠C+∠ABC＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得 AB∥CD ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入时，第一步计算 36 的算术平方根，得；
由于 6 是有理数，需返回继续取算术平方根，计算得；
是无限不循环小数，属于无理数，满足输出条件，因此。
故答案为：B
【分析】本题考查算术平方根的计算与无理数的识别，结合数值转换的循环规则解题。解题时按照转换器的流程逐步运算：先对输入的 36 求算术平方根，得到有理数 6，因此进入下一轮运算；再对 6 求算术平方根得到，判断其为无理数后终止运算并输出结果。过程中需注意算术平方根的结果为非负数，因此不会出现正负两种结果。
9．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式中，表示在数轴上的位置画空心圆圈，线向右侧延伸；
表示在数轴上的位置画实心圆点，线向左侧延伸；
二者的公共部分即为不等式的解集，对应数轴上空心、实心，中间线段连通的图形。
故答案为：A
【分析】本题考查不等式解集在数轴上的表示方法。解题时遵循 “大于向右，小于向左，含等号用实心点，不含等号用空心圈” 的规则：先分别确定两个边界点的画法，不含等号画空心圈，含等号画实心点；再根据不等号方向确定画线方向，取二者的重叠区域，即可得到正确的数轴表示。
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①：两边同乘 6 去分母，得，
去括号得，
移项合并得，
系数化为 1 得；
解不等式②：移项得，
合并同类项得，
系数化为 1 得；
根据 “大小小大中间找” 的口诀，不等式组的解集为。
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法与解集确定。解题时先分别求解两个一元一次不等式：解第一个不等式时通过去分母、去括号、移项合并、系数化为 1 的步骤，得到；解第二个不等式时通过移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤，注意系数为负时不等号方向改变，得到；最后依据不等式组解集的判定口诀，取两个解集的公共部分，得到最终的解集范围。
11．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：先统一单位，4 钱 8 分换算为分是分，6 钱 8 分换算为分是分。
根据 “绫 3 尺，绢 4 尺，总价值 48 分”，可得等量关系：3 尺绫的总价 + 4 尺绢的总价 = 48 分，即；
根据 “绫 7 尺，绢 2 尺，总价值 68 分”，可得等量关系：7 尺绫的总价 + 2 尺绢的总价 = 68 分，即。
联立可得方程组。
故答案为：D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，核心是找准等量关系并统一单位。解题时先将题目中的钱数单位统一为分，避免单位不一致导致错误；再分别根据两组 “绫的数量 × 单价 + 绢的数量 × 单价 = 总价值” 的等量关系，列出对应的二元一次方程，最后将两个方程联立组成方程组即可。
12．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
纸条沿第一次折叠，由折叠的性质可得，，
。
纸条沿第二次折叠，由折叠的性质可得。
点、、在同一直线上，，
，
解得，即。
，由两直线平行，同旁内角互补，
，
，
。
故答案为：A
【分析】本题考查翻折变换的性质与平行线的性质综合应用。解题时先设的度数为，结合第一次折叠的性质，即折叠前后对应角相等，得到与相等，进而表示出的度数；再结合第二次折叠的性质，得到与相等；利用平角为的性质列方程求解，得到的值；最后依据平行线 “两直线平行，同旁内角互补” 的性质，求出的度数，再由折叠性质推出的度数。
13．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：将两个数分别平方，得，。
，且两个数均为正实数，正实数平方越大，原数越大，
故答案为：
【分析】本题考查实数的大小比较，采用平方法将无理数转化为有理数比较。解题时利用平方法对两个正实数分别平方，将无理数运算转化为整数比较；依据 “两个正实数，平方值大的原数更大” 的规律，通过比较平方后的结果 5 和 4，即可得出大于 2 的结论。
14．【答案】130
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解： 直线与交于点，与是对顶角，
根据对顶角相等的性质，。
，
，即。
又与互为邻补角，二者和为，
。
故答案为：
【分析】本题考查对顶角与邻补角的性质应用。解题时先根据两直线相交的特征，判断和是对顶角，依据对顶角相等的性质得到二者相等；结合已知的角度和，计算出的度数；再根据邻补角的定义，即相邻且互补的两个角和为，用减去的度数，即可求出的度数。
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：类比图 1 的算筹表示规则，可推出图 2 对应的方程组为
由①得，代入②得：
，
，
，
。
将代入①，得，解得。
因此方程组的解为。
故答案为：
【分析】本题考查算筹表示的二元一次方程组求解，需先类比规则列出方程组再求解。解题时先根据已知的算筹与方程组的对应关系，归纳出算筹的计数规则，进而写出图 2 对应的二元一次方程组；再选用代入消元法，通过变形代入、去括号、移项合并等步骤，依次求出和的值，得到方程组的解。
16．【答案】0，1，2
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据新定义的运算规则，，
整理得。
代入不等式得，
移项得，
解得
满足的非负整数有 0、1、2，即为该不等式的非负整数解
故答案为：0，1，2
【分析】本题考查新定义运算与一元一次不等式的整数解求解。解题时先依据题目给出的运算定义，将转化为常规的代数式，整理化简后得到关于的一元一次不等式；解不等式得到的取值范围；再从取值范围内筛选出所有非负整数，即为所求的非负整数解。
17．【答案】（1）解：原式=3-2-2
=-1
（2）解：
解： ②-①得： 3y=6， 解得y=2，
把y=2代入①： x-y2=1 x=3
方程组的解：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根与绝对值的化简。解题时先分别计算各项：根据算术平方根的定义，9 的算术平方根为 3；根据立方根的定义，-8 的立方根为 - 2；根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得；再将各项结果按照加减运算法则依次计算，得到最终结果。
（2）本题考查二元一次方程组的解法，可选用加减消元法求解。解题时观察两个方程中的系数相同，用第二个方程减去第一个方程，消去未知数，得到只含的一元一次方程，求解得到的值；再将的值代入第一个方程，计算求出的值，最终得到方程组的解。
18．【答案】（1）解：由题意得A (-1， -1) ， B (4， 2)
（2）解：如图所示， △A'B' C' 为所求， 由图可知C'的坐标为(2， 4)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）本题考查平面直角坐标系中点的坐标读取。解题时根据点在坐标系中的位置，分别向轴、轴作垂线，垂足对应的数值分别为点的横坐标与纵坐标，结合点所在的象限确定坐标符号，即可读出、两点的坐标。
（2）本题考查坐标与图形的平移变换。解题时依据平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，分别对、、三点的横、纵坐标进行加 1 的运算，得到对应点、、的坐标；在坐标系中描出三个对应点后顺次连接，即可得到平移后的三角形，同时写出的坐标。
19．【答案】解：如图③， 过点 B 作 BF ∥AE.
∵CD ∥AE ( 已知 )
∴ BF ∥CD (平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠BCD+ ∠CBF =180°(两直线平行， 同旁内角互补) ，
∵AB ⊥AE，∴∠EAB = 90 °(垂直的定义)
∵ BF ∥AE (辅助线作法)，
∴∠ABF+∠EAB =180°，
∴ ∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与平行公理推论的综合应用，通过作辅助线构建平行线模型求解角度和。解题时首先过点作，以已知的为前提，依据平行于同一直线的两条直线互相平行，推出与平行；再根据两直线平行同旁内角互补的性质，得到与互补。接着由垂直的条件，依据垂直的定义得出为 90°；结合，利用两直线平行同旁内角互补，推出与互补，计算得到的度数。最后将拆分为与的和，代入已得的角度关系，即可求出与的度数和。
20．【答案】（1）解：120， 20%；
补全条形统计图如答图所示：
（2）72°
（3）解：20000×(10%+30%)=8000 (名) .
∴估计全市2万名考生中成绩被评为“B级及以上”的学生有8000名
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由扇形图知，等级人数为人，占总人数的，
∴总人数为人，
∴，，
（2）解：；
【分析】（1）本题考查统计图表的信息读取与数据计算。解题时先根据 B 等级的人数与对应百分比，用 “人数 ÷ 对应百分比” 求出抽取的总人数；再用总人数乘 C 等级的百分比得到的值，用 D 等级人数除以总人数再乘 100% 得到的值，最后根据计算结果补全条形统计图。
（2）本题考查扇形统计图圆心角的计算。解题时用圆周角 360° 乘 D 等级人数所占的百分比，即可求出对应扇形圆心角的度数。
（3）本题考查用样本估计总体。解题时先计算样本中 B 级及以上（A、B 等级）的人数所占的百分比之和，再用全市考生总人数乘这个百分比，即可估计出全市对应等级的学生人数。
21．【答案】（1）解：设购买 A 种文具袋 x 个，B种文具袋 y 个。
根据题意，得：
解得：
答：购买 A 种文具袋 30 个，B 种文具袋 20 个。
（2）解：设购买 A 种文具袋 m 个，则购买 B 种文具袋 (50-m)个，根据题意，得：(13-10) m+ (20-15) (50-m)≥180
解不等式得：m≤35
答：要使总利润不少于 180 元，A种文具袋至多购买 35 个。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组的实际应用，属于购物数量与总价问题。解题时设购买 A 种文具袋个，B 种文具袋个，根据 “两种文具袋总数为 50 个” 列出第一个方程，根据 “总成本为 600 元”，结合单价乘数量等于总价的关系列出第二个方程，联立成方程组后求解，即可得到两种文具袋的购买数量。
（2）本题考查一元一次不等式的实际应用，属于利润最值问题。解题时设购买 A 种文具袋个，则 B 种文具袋数量为个，先分别计算单个 A、B 文具袋的利润，再根据 “总利润 = 单个利润 × 数量” 表示出总利润；结合 “总利润不少于 180 元” 的不等关系列出一元一次不等式，解不等式得到的取值范围，取范围内的最大值即为 A 种文具袋至多购买的数量。
22．【答案】（1）解：B(4，10) 不是“开心点”.
理由：m-1=4 m=5，
2m=10，8+n=26. 2m≠8+n.
（2）解：点M 在第三象限.
理由： m-1=a m=a+1， n=4a-4.
代入 2(a+1)=8+4a-4 2a+2=4a+4 a=-1.
点 M 坐标为 (-1，-3)，位于第三象限.
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）本题考查新定义概念的理解与应用，需按照定义逐步验证。解题时先根据 “开心点” 的坐标定义，由点的横、纵坐标分别列出关于、的方程，求解得到和的值；再将、代入和分别计算，验证二者是否相等，若相等则为开心点，不相等则不是。
（2）本题结合新定义考查平面直角坐标系中点的象限判断。解题时同样依据 “开心点” 的坐标定义，由点的横、纵坐标分别用含的式子表示出和；将其代入的等式中，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；进而求出点的横、纵坐标，根据横、纵坐标的符号判断点所在的象限。
23．【答案】（1）解：如图，
∵∠ACB=90°， ∠1+∠ACB+∠3=180°，
∴∠1+∠3=180°-∠ACB=90°，
∵∠1=46°，
∴∠3=90°-∠1=44°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=44°；
（2）解：如图， 过点B作BD∥a，则∠ABD=180°-∠2，
∵a∥b，
∴BD∥b∥a，
∴∠1=∠CBD， ∠ABD=180°-∠2，
∴∠2=180°-∠ABD
∴∠2-∠1=180°-∠ABD-∠CBD
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°
∴∠2-∠1=120°
（3）解：∠1=60°， ∠2=60°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点作，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上，，．
【分析】（1）本题考查平行线的性质与平角定义的应用。解题时先根据平角为 180°，结合直角与已知的，计算出的邻角的度数；再依据 “两直线平行，同位角相等” 的性质，由推出与该邻角相等，即可求出的度数。
（2）本题考查平行线的性质与辅助线的构造，通过作平行线实现角的转化。解题时过点作，先由平行公理推论推出；根据两直线平行同旁内角互补，由得到与互补，用含的式子表示；再根据两直线平行内错角相等，由得到与相等；最后结合的角的和差关系，代入整理后即可证明。
（3）本题考查角平分线的定义与平行线性质的综合应用。解题时先根据角平分线的定义，由平分结合已知的，求出的度数；再依据平行线的性质得到与相等，求出的度数；接着过点作平行线，利用平行线的性质分别求出相关角的度数，结合角的和差关系计算出的度数。
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