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广东省深圳市罗湖区深圳中学2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试卷
一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分)
1．近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列式子中，从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
3．根据图中所标出的角度，下列平行四边形中不一定是菱形的是(　　)
A． B．
C． D．
4．阿基米德曾说：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力向下压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA=150cm， 阻力臂OB=50cm， BD=20cm，则AC的长度是(　　)
A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm
5．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠B=30°，分别以A， B为圆心，大于 的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交BC于点D，连接AD．若BD=6，则 CD的长为(　　)
A．2 B．3 C． D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中记录：“今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日，疾马日速倍迟．”译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为x里/天，列出方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
7．如图，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD若BC=4， AE=5，则四边形ACBE的周长为(　　)
A．16 B．18 C．19 D．20
8．对关于x的一元二次方程 将其一次项系数变为相反数，得到方程 则称这两个方程为“共轭方程”．若m为方程 的根，n为其共轭方程 的根，其中k为整数，且 则k的值为(　　)
A．6 B．–6 C．3 D．-3
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
9．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　 　．
10． 如图， 矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O， 且∠AOD=120°， 过点A作AE⊥BD于点E， 若BE=1， 则DE=　 　．
11．学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形ABCDE， 其中∠C=∠E=90°， ∠A=∠B=∠D， 则∠A的度数为　 　度．
12．若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是　 　．
13． 如图，在平行四边形ABCD中， AC=2， BC=3， ∠ACB=45°， 点E是AD的中点，点F、G分别是BC和AC上的动点， 且CF=2AG ，连接AF，EG，则AF+2EG的最小值是　 　．
三、解答题(共7小题，共61分)
14．先化简再求值：其中m=2．
15．解方程：
（1）
（2）
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)， B(-4，1)， C(-1，2)．
（1） 将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1， 请画出 ；
（2） 画出△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC绕某点旋转得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为　 　；
（4）若存在点D 使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标：　 　．
17．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集内，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x-7=1的解为x=4，不等式组 的解集为2（1）若不等式组为，则方程2x+5=1是不是该不等式组的“相伴方程” 请说明理由；
（2）若关于x的方程3x-k=6是不等式组 的“相伴方程”，求k的取值范围．
18．如图，在△ABC中， AB=AC， F为BC中点，将△BEF沿EF折叠，使得点B的对应点B'落在边AC上．
（1）证明△FB'C∽△ABC；
（2）若AB=AC=6， BC=8，求线段B'C的长度．
19．根据以下素材，探索完成任务：
背景 第二届世界人形机器人运动会将于2026年8月22日至26日在北京举办，吸引众多队伍与科创企业参与．
素材1 与上届相比，本次运动会赛项更为丰富，新增了机器人拔河项目，该项目采用单循环赛制，每两支参赛队伍之间均比赛一次，最终通过积分、得失分率等指标确定名次，本次机器人拔河项目一共进行了55场比赛．
素材2 某品牌机器人8月份销售额为200万元，受赛事带动，该品牌机器人销售额连续两个月稳步增长，10月份销售额达到242万元．
素材3 该品牌机器人每台生产成本为6000元，定价为8000元时，平均每天能售出10台；售价每降低80元，平均每天就能多售出2台．为提高利润，某商家计划开展打折促销活动．
问题解决
任务1 根据素材1，求拔河项目共有多少支参赛队伍；
任务2 根据素材2，求该品牌机器人销售额的月平均增长率；
任务3 根据素材3，若想使该品牌机器人的利润最高，商家应该打几折出售 每日最高利润为多少元
20．在正方形ABCD中， 点O是对角线AC的中点， 点P为线段AC上.一个动点，连接BP，过点P作PQ⊥PB，PQ交射线DC于点Q．
（1）【观察发现】
如图1，若点P在线段AO上，点Q在线段DC上，直接写出线段 PB 与线段PQ 的数量关系：　 　；
（2）【类比迁移】
①如图2，若点P在线段OC上，点Q在DC延长线上，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②如图3，在(2)①的条件下，连接BQ并延长交AC 延长线于点 E，请猜想线段AP，EP， CE的等量关系并证明；
（3）【拓展探究】
如图4， 若AC=5， 取BQ的中点 F， 则当点 P 从点A 运动到点C时， 点F所经过的路径长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行分析，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：右边是多项式，属于整式的乘法运算，所以A不属于 因式分解 ；
B：左边是平方差，右边是差的平方，左边和右边不相等，所以B不属于因式分解；
C：右边不是整式的积的形式，所以C不属于因式分解；
D：左边是多项式，右边是整式的积的形式（完全平方），且左边等于右边，所以D属于因式分解。
故答案为：D。
【分析】根据因式分解的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A：根据图中两个30°的角相等，可得出邻边相等，所以A可以判定该四边形是菱形；
B：根据图中两个60°的角相等，可得出邻边相等，所以A可以判定该四边形是菱形；
C：根据图中两个角的和等于180°，可以得到一组对边平行，所以C不能判定该四边形是菱形；
D：根据图中两个角的和等于90°，可得出四边形的两条对角线互相垂直，所以D能判定该四边形是菱形.
故答案为：C。
【分析】根据菱形的判定，逐项进行判断即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：因为AC∥BD，
所以△OAC∽△OBD，
所以
因为 OA=150cm， OB=50cm， BD=20cm，
所以，
所以AC=（cm）
故答案为：A。
【分析】首先根据AC∥BD，得出△OAC∽△OBD，进而得出，进一步即可得出AC的长。
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE垂直平分AB，
所以AD=BD=6，
因为 ∠B=30°，
所以∠DAB=∠B=30°，
在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠B=30°，
所以∠CAB=60°，
所以∠CAD=30°，
所以CD=
故答案为：B。
【分析】首先根据尺规作图得出DE垂直平分AB，进而得出AD=BD=6，然后在 Rt△ABD中，可根据含30°锐角的直角三角形的性质得出CD=。
6．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设慢马的速度为x里/天， 则快吗的速度为2x里/天，
根据题意，得： 。
故答案为：D。
【分析】 设慢马的速度为x里/天， 则快吗的速度为2x里/天，根据 用慢马送需要的时间比规定时间多1天， 用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 分别表示出规定的时间，即可得出方程。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵ AE||BD，
∴∠CDB=∠DAE，
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
.'.∠C=∠ADE=90°，
∴DE//BC，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△DCB中：
∵∠ADE =∠C
AD =CD
∠DAE = ∠CDB
∴△ADE ≌ △DCB(ASA)，
∴DE=BC= 4，AE=BD=5
在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，
由勾股定理得：DC = 3，
∴AD=DC=3，
∵ED=BC，DE||BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴CD=BE= 3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE + AE=3+3+4+3+5=18，B
故答案为：B.
【分析】 先利用平行和垂直关系判定四边形AEDB为平行四边形，得到边的等量关系；再结合D是AC中点，通过勾股定理求出AC、BE等边的长度；最后将四边形ACBE各边长度相加得到周长。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解： 已知m为方程x2+kx-1=0的根，n为其共轭方程x2-kx-1=0的根，
设x2+kx-1=0的另一个根为s，x2-kx-1= 0的另一个根为t，
则ms=-1，nt=-1，
那么s=，t=，
因此m -=-k①，n-=k②，
那么m -+n-=0，
整理得：m+n=
则mn =1，
又∵=-6，
∴m-n=-6，
①-②得m --n+=-2k，
整理得：(m-n)+=-2k，
则-6-6=-2k，
解得： k= 6，
故答案为：A.
【分析】设x2+kx-1=0的另一个根为s，x2-kx-1= 0的另一个根为t，根据根与系数的关系可得出ms=-1，nt=-1，进而得出s=，t=，根据①+②得mn =1，m-n=-6，再由①-②得m --n+=-2k，进一步即可得出k= 6。
9．【答案】4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
【分析】将代数式利用提公因式法分解因式，再整体代入即可算出答案。
10．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，
所以OA=OB=OC=OD，
因为 ∠AOD=120°，
所以∠AOB=60°，
所以△AOB是等边三角形，
因为 AE⊥BD于点E，
所以OE=BE=1，
所以OB=OD=2，
所以DE=1+2=3.
故答案为：3
【分析】首先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，再根据∠AOD=120°， 得出∠AOB=60°， 进而得出△AOB是等边三角形，再根据三线合一的性质可得出OE=BE=1，进而即可得出OB=OD=2，进而得出DE=1+2=3.
11．【答案】120
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，
因为 ∠C=∠E=90°，
所以 ∠A+∠B+∠D=360°，
因为 ∠A=∠B=∠D，
所以 ∠A =120°。
故答案为：120
【分析】首先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，进而可得出∠A+∠B+∠D的度数，再根据三个角相等，即可求得 ∠A的度数 。
12．【答案】m>-5且m≠-1
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解分式方程可得出：x=
因为分式方程的解为正数，
所以＞0且-2≠0，
解得：m>-5且m≠-1
故答案为：m>-5且m≠-1。
【分析】首先解分式方程可得出x=，再根据分式方程的解为正数，可得出＞0且-2≠0，解得m>-5且m≠-1。
13．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以CB为一边在平行四边形ABCD的外部作 ∠BCM= ∠ACB=45°，且CM=2AE=AD=BC=3， 连接FM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，AD∥BC，
∵∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠EAG=∠FCM=45°，
又∵CF=2AG，
∴△AEG∽△CMF，
∴MF=2EG，
∴ AF+2EG =AF+MF，
∴当A，F，M三点在同一直线上时，AF+MF的值最小，即AF+2EG的值最小，此时最小值为AM的长度，
∵∠ACM=∠ ∠ACB + ∠BCM= 90°，
∴AM=
故答案为：。
【分析】以CB为一边在平行四边形ABCD的外部作 ∠BCM= ∠ACB=45°，且CM=2AE=AD=BC=3， 连接FM，根据SAS证明△AEG∽△CMF，从而得出MF=2EG，进而得出AF+2EG =AF+MF，进而当A，F，M三点在同一直线上时，AF+MF的值最小，即AF+2EG的值最小，此时最小值为AM的长度，然后根据勾股定理即可求得答案。
14．【答案】解：原式
当m=2时， 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，进而把 m=2 代入化简后的代数式，求出代数式的值即可。
15．【答案】（1）解：【法1】(x-4)(x-2)=0
x-4=0或x-2=0
【法2】a=1，b=-6，c=8
【法3】x2-6x+9=1
(x-3)2=1
x-3=±1
x=3±1
x1=4， x2=2
（2）解：【法1】(x+1)(x+3)=0
x+1=0或x+3=0
x1=-1， x2=-3
【法2】x2+4x+3=0
a=1，b=4，c=3
【法3】x2+4x+3=0
(x+2)2=1
x+2=±1
x=-2±1
x1=-1， x2=-3
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法或公式法解方程，即可求出方程的解；
（2）可以根据提取公因式把方程左边进行因式分解，解方程或者首先把原方程化为一般形式，然后用公式法解方程。
16．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求
（3）(-3， 0)
（4）(0， 6) ， (-6， 4) ， (-2， -2)
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】即：（3）因为 A(-3，5)，A2（-3，-5）
，
所以AA2的中点坐标为：（-3，0）
故答案为：（-3，0）；
（4）设点D的坐标为（x，y），
可分成三种情况：①线段AB为对角线，
因为 A(-3，5)， B(-4，1)， C(-1，2)．
所以AB的中点坐标为：（），
所以，，
所以x=-6，y=4
所以D（-6，4）；
②线段BC为对角线，同理可得出D（-2，-2）；
③线段AC为对角线，同理可得出D（0，6）；
综上， 点D的坐标为（-6，4）；（-2，-2）；（0，6）；
【分析】（1）根据平移的方向和距离作出平移后的图形即可；
（2）根据中心对称的特征，作出中心对称图形即可。
（3）找出一对对应点，求出它们连线的中点坐标即可；
（4）分成三种情况：根据对角线互相平分，可得出点D的坐标。①线段AB为对角线，D（-6，4）；②线段BC为对角线，点D的坐标为（-2，-2）；线段AC为对角线，D（0，6）。
17．【答案】（1）解：解不等式①，得x<4
解不等式②， 得x≤-2
∴不等式组的解集为x≤-2
解2x+5=1， 得x=-2， 满足x≤-2
∴2x+5=1是不等式组的相伴方程
（2）解：解不等式①， 得x>-1
解不等式②，得x≤1
∴不等式组的解集为
解，得
∵关于x的方程3x-k=6是不等式组的相伴方程．
解得-9【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）分别解不等式组和方程，然后根据“相伴方程”的定义进行判断即可；
（2）首先解不等式组求其解集，解方程用含k的式子表示出方程的解，然后根据“相伴方程”的定义，可得出，然后解不等式即可求得 k的取值范围．
18．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∵F为BC中点，
∴BF=CF
∵ABEF 折叠得AB'EF，
∴B'F=BF=CF
∴∠FB'C=∠C=∠B
又∵∠C=∠C，
∴△FB'C∽△ABC
（2）解： ∵F为BC 中点， BC=8，
∵△FB'C∽△ABC，
∵AB=AC=6，
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再根据折叠性质得出∠FB'C=∠C=∠B，进而根据AA即可得出△FB'C∽△ABC；
（2）由（1）知△FB'C∽△ABC，进而得出，进一步由已知线段即可得出 B'C的长度．
19．【答案】解：任务1解：设共有n支参赛队伍，
解得 (不合题意，舍去)
答：共有11支参赛队伍．
任务2解：设该品牌销售额的月平均增长率为x，
解得 (不合题意，舍去)
0.1=10%
答：该品牌销售额的月平均增长率为10%．
任务3【法1】解：设商家应该降价y元出售，
利润=(8000-6000-y)(10+y+80×2)
当y=800时，原式有最大值36000
答：应打九折出售，每日最高利润为36000元．
【法2】解：设商家应该打y折出售，
利润=
=(800y-6000)(10+200-20y)
当y=9时，原式有最大值36000
答：应打九折出售，每日最高利润为36000元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-传染问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设共有n支参赛队伍，根据机器人拔河项目一共进行了55场比赛．即可得出方程，解方程并取其符合题意的解集可；
任务2：设该品牌销售额的月平均增长率为x，根据增长率问题公式，即可得出方程，解方程并取其符合题意的值即可；
任务3：设商家应该降价y元出售，根据利润=（售价-成本价）×销量，即可得出利润=，进而根据二次函数的最大值即可得出每日最高利润，并求出此时y的值，进一步即可得出 商家应该打几折出售 。
20．【答案】（1）PB=PQ
（2）解：①成立．证明如下：
过点 P 作 PG⊥BC 于点 G，作 PH⊥CD于点 H，
∴∠PGC=∠PHC=90°
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠GCH =90°， AB=BC
∴∠ACB=45°=∠CPG
∴CG=PG
∴四边形CHPG是正方形，
∴∠HPG=90°， PG=PH
∵PB⊥PQ
∴∠BPQ=∠HPG=90°
∴∠BPQ-∠GPQ=∠HPG-∠GPQ=90°
即∠BPG=∠QPH
又∵∠BGP=∠QHP
∴△BPG≌△△QPH
所以PB=PQ．
证明：由(2)得PB=PQ，且∠BPQ=90°
∴∠PBQ=45°
过点B 作BM⊥BP，且BM=BP，连接CM
∴∠MBP=∠ABC=90°
∴∠MBP-∠CBP=∠ABC-∠CBP
即∠MBC=∠PBA
∵AB=BC， BM=BP
∴△ABP≌△CBM
∴AP=CM， ∠BCM =∠BAP =45°
∴∠ACM =∠BCM+∠ACB=45°+45°=90°
∴CM⊥AE
连接EM，
∵BP=BM， ∠MBE=∠PBE， BE=BE
∴△BPE≌△BME
∴EP=EM
在Rt△CEM中，
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(1)如图，连接PD，
∵四边形ABCD是正方形， 点P为线段AC上.一个动点，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，
又AP=AP，
∴△ABP≌△ADP，
∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，
∴∠CBP=∠PDQ
∵ PQ⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∵∠BCQ=90°，
∴∠BPQ+∠BCQ=180°，
∴四边形BCQP是圆内接四边形
∴∠PQD=∠CBP
∴∠PDQ=∠PQD
∴PB=PQ
故答案为：PB=PQ。
如图所示，作D关于BC的对称点L，连接BL，取中点K，连接OK，当点P与点A重合时，点Q与点O重合，当点P与点C重合时，点Q与点K重合．
∵O， F， K分别是 BD， BQ， BL的中点，
∴OF∥DL.， FK∥DL.，
∴O，F， K三点共线，
∴当点P从点A运动到点C时，动点F的轨迹是线段OK ，点Q所经过的路径长为OK的长，
∵AC=5，
则
故答案为：
【分析】（1）如图，连接PD，首先根据正方形的性质可证得△ABP≌△ADP，进而得出PB=PD，∠ABP=∠ADP，再根据等角的余角相等可得出∠CBP=∠PDQ，进一步根据∠CBP+∠CQP=180°，可得出四边形BCQP是圆内接四边形，可得出∠PDQ=∠PQD，根据等腰三角形的判定可得出PB=PQ；
（2）①成立．过点 P 作 PG⊥BC 于点 G，作 PH⊥CD于点 H，首先证明四边形CHPG是正方形，∠HPG=90°， PG=PH，进而可根据ASA可证得△BPG≌△△QPH，即可得出PB=PQ；，过点B 作BM⊥BP，且BM=BP，连接CM，首先根据SAS证得△ABP≌△CBM，进而AP=CM， ∠BCM =∠BAP =45°，再通过证明△BPE≌△BME，可得出EP=EM，进而在Rt△CEM中，根据勾股定理，可得出，进一步可代换为；
（3）如图所示，作D关于BC的对称点L，连接BL，取中点K，连接OK，当点P与点A重合时，点Q与点O重合，当点P与点C重合时，点Q与点K重合．首先根据三角形的中位线定理，可得出O，F， K三点共线，进一步得出当点P从点A运动到点C时，动点F的轨迹是线段OK ，点F所经过的路径长为OK的长，然后根据正方形的性质和勾股定理可先得出进而根据三角形中位线定理即可得出即可得出答案。
1 / 1广东省深圳市罗湖区深圳中学2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试卷
一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分)
1．近年来，“博物馆热”持续升温，博物馆作为生动的历史教科书成为文旅新宠．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行分析，即可得出答案。
2．下列式子中，从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：右边是多项式，属于整式的乘法运算，所以A不属于 因式分解 ；
B：左边是平方差，右边是差的平方，左边和右边不相等，所以B不属于因式分解；
C：右边不是整式的积的形式，所以C不属于因式分解；
D：左边是多项式，右边是整式的积的形式（完全平方），且左边等于右边，所以D属于因式分解。
故答案为：D。
【分析】根据因式分解的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
3．根据图中所标出的角度，下列平行四边形中不一定是菱形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A：根据图中两个30°的角相等，可得出邻边相等，所以A可以判定该四边形是菱形；
B：根据图中两个60°的角相等，可得出邻边相等，所以A可以判定该四边形是菱形；
C：根据图中两个角的和等于180°，可以得到一组对边平行，所以C不能判定该四边形是菱形；
D：根据图中两个角的和等于90°，可得出四边形的两条对角线互相垂直，所以D能判定该四边形是菱形.
故答案为：C。
【分析】根据菱形的判定，逐项进行判断即可得出答案。
4．阿基米德曾说：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力向下压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA=150cm， 阻力臂OB=50cm， BD=20cm，则AC的长度是(　　)
A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：因为AC∥BD，
所以△OAC∽△OBD，
所以
因为 OA=150cm， OB=50cm， BD=20cm，
所以，
所以AC=（cm）
故答案为：A。
【分析】首先根据AC∥BD，得出△OAC∽△OBD，进而得出，进一步即可得出AC的长。
5．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠B=30°，分别以A， B为圆心，大于 的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交BC于点D，连接AD．若BD=6，则 CD的长为(　　)
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE垂直平分AB，
所以AD=BD=6，
因为 ∠B=30°，
所以∠DAB=∠B=30°，
在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠B=30°，
所以∠CAB=60°，
所以∠CAD=30°，
所以CD=
故答案为：B。
【分析】首先根据尺规作图得出DE垂直平分AB，进而得出AD=BD=6，然后在 Rt△ABD中，可根据含30°锐角的直角三角形的性质得出CD=。
6．我国古代数学名著《九章算术》中记录：“今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日，疾马日速倍迟．”译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为x里/天，列出方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设慢马的速度为x里/天， 则快吗的速度为2x里/天，
根据题意，得： 。
故答案为：D。
【分析】 设慢马的速度为x里/天， 则快吗的速度为2x里/天，根据 用慢马送需要的时间比规定时间多1天， 用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 分别表示出规定的时间，即可得出方程。
7．如图，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD若BC=4， AE=5，则四边形ACBE的周长为(　　)
A．16 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵ AE||BD，
∴∠CDB=∠DAE，
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
.'.∠C=∠ADE=90°，
∴DE//BC，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△DCB中：
∵∠ADE =∠C
AD =CD
∠DAE = ∠CDB
∴△ADE ≌ △DCB(ASA)，
∴DE=BC= 4，AE=BD=5
在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，
由勾股定理得：DC = 3，
∴AD=DC=3，
∵ED=BC，DE||BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴CD=BE= 3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE + AE=3+3+4+3+5=18，B
故答案为：B.
【分析】 先利用平行和垂直关系判定四边形AEDB为平行四边形，得到边的等量关系；再结合D是AC中点，通过勾股定理求出AC、BE等边的长度；最后将四边形ACBE各边长度相加得到周长。
8．对关于x的一元二次方程 将其一次项系数变为相反数，得到方程 则称这两个方程为“共轭方程”．若m为方程 的根，n为其共轭方程 的根，其中k为整数，且 则k的值为(　　)
A．6 B．–6 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解： 已知m为方程x2+kx-1=0的根，n为其共轭方程x2-kx-1=0的根，
设x2+kx-1=0的另一个根为s，x2-kx-1= 0的另一个根为t，
则ms=-1，nt=-1，
那么s=，t=，
因此m -=-k①，n-=k②，
那么m -+n-=0，
整理得：m+n=
则mn =1，
又∵=-6，
∴m-n=-6，
①-②得m --n+=-2k，
整理得：(m-n)+=-2k，
则-6-6=-2k，
解得： k= 6，
故答案为：A.
【分析】设x2+kx-1=0的另一个根为s，x2-kx-1= 0的另一个根为t，根据根与系数的关系可得出ms=-1，nt=-1，进而得出s=，t=，根据①+②得mn =1，m-n=-6，再由①-②得m --n+=-2k，进一步即可得出k= 6。
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
9．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
【分析】将代数式利用提公因式法分解因式，再整体代入即可算出答案。
10． 如图， 矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O， 且∠AOD=120°， 过点A作AE⊥BD于点E， 若BE=1， 则DE=　 　．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，
所以OA=OB=OC=OD，
因为 ∠AOD=120°，
所以∠AOB=60°，
所以△AOB是等边三角形，
因为 AE⊥BD于点E，
所以OE=BE=1，
所以OB=OD=2，
所以DE=1+2=3.
故答案为：3
【分析】首先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，再根据∠AOD=120°， 得出∠AOB=60°， 进而得出△AOB是等边三角形，再根据三线合一的性质可得出OE=BE=1，进而即可得出OB=OD=2，进而得出DE=1+2=3.
11．学校里一段艺术连廊是由完全相同的砖块密铺而成，如图，每块砖可看作五边形ABCDE， 其中∠C=∠E=90°， ∠A=∠B=∠D， 则∠A的度数为　 　度．
【答案】120
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，
因为 ∠C=∠E=90°，
所以 ∠A+∠B+∠D=360°，
因为 ∠A=∠B=∠D，
所以 ∠A =120°。
故答案为：120
【分析】首先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，进而可得出∠A+∠B+∠D的度数，再根据三个角相等，即可求得 ∠A的度数 。
12．若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是　 　．
【答案】m>-5且m≠-1
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解分式方程可得出：x=
因为分式方程的解为正数，
所以＞0且-2≠0，
解得：m>-5且m≠-1
故答案为：m>-5且m≠-1。
【分析】首先解分式方程可得出x=，再根据分式方程的解为正数，可得出＞0且-2≠0，解得m>-5且m≠-1。
13． 如图，在平行四边形ABCD中， AC=2， BC=3， ∠ACB=45°， 点E是AD的中点，点F、G分别是BC和AC上的动点， 且CF=2AG ，连接AF，EG，则AF+2EG的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以CB为一边在平行四边形ABCD的外部作 ∠BCM= ∠ACB=45°，且CM=2AE=AD=BC=3， 连接FM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，AD∥BC，
∵∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠EAG=∠FCM=45°，
又∵CF=2AG，
∴△AEG∽△CMF，
∴MF=2EG，
∴ AF+2EG =AF+MF，
∴当A，F，M三点在同一直线上时，AF+MF的值最小，即AF+2EG的值最小，此时最小值为AM的长度，
∵∠ACM=∠ ∠ACB + ∠BCM= 90°，
∴AM=
故答案为：。
【分析】以CB为一边在平行四边形ABCD的外部作 ∠BCM= ∠ACB=45°，且CM=2AE=AD=BC=3， 连接FM，根据SAS证明△AEG∽△CMF，从而得出MF=2EG，进而得出AF+2EG =AF+MF，进而当A，F，M三点在同一直线上时，AF+MF的值最小，即AF+2EG的值最小，此时最小值为AM的长度，然后根据勾股定理即可求得答案。
三、解答题(共7小题，共61分)
14．先化简再求值：其中m=2．
【答案】解：原式
当m=2时， 原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，进而把 m=2 代入化简后的代数式，求出代数式的值即可。
15．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：【法1】(x-4)(x-2)=0
x-4=0或x-2=0
【法2】a=1，b=-6，c=8
【法3】x2-6x+9=1
(x-3)2=1
x-3=±1
x=3±1
x1=4， x2=2
（2）解：【法1】(x+1)(x+3)=0
x+1=0或x+3=0
x1=-1， x2=-3
【法2】x2+4x+3=0
a=1，b=4，c=3
【法3】x2+4x+3=0
(x+2)2=1
x+2=±1
x=-2±1
x1=-1， x2=-3
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法或公式法解方程，即可求出方程的解；
（2）可以根据提取公因式把方程左边进行因式分解，解方程或者首先把原方程化为一般形式，然后用公式法解方程。
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)， B(-4，1)， C(-1，2)．
（1） 将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1， 请画出 ；
（2） 画出△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△ABC绕某点旋转得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为　 　；
（4）若存在点D 使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标：　 　．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求
（3）(-3， 0)
（4）(0， 6) ， (-6， 4) ， (-2， -2)
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】即：（3）因为 A(-3，5)，A2（-3，-5）
，
所以AA2的中点坐标为：（-3，0）
故答案为：（-3，0）；
（4）设点D的坐标为（x，y），
可分成三种情况：①线段AB为对角线，
因为 A(-3，5)， B(-4，1)， C(-1，2)．
所以AB的中点坐标为：（），
所以，，
所以x=-6，y=4
所以D（-6，4）；
②线段BC为对角线，同理可得出D（-2，-2）；
③线段AC为对角线，同理可得出D（0，6）；
综上， 点D的坐标为（-6，4）；（-2，-2）；（0，6）；
【分析】（1）根据平移的方向和距离作出平移后的图形即可；
（2）根据中心对称的特征，作出中心对称图形即可。
（3）找出一对对应点，求出它们连线的中点坐标即可；
（4）分成三种情况：根据对角线互相平分，可得出点D的坐标。①线段AB为对角线，D（-6，4）；②线段BC为对角线，点D的坐标为（-2，-2）；线段AC为对角线，D（0，6）。
17．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集内，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x-7=1的解为x=4，不等式组 的解集为2（1）若不等式组为，则方程2x+5=1是不是该不等式组的“相伴方程” 请说明理由；
（2）若关于x的方程3x-k=6是不等式组 的“相伴方程”，求k的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式①，得x<4
解不等式②， 得x≤-2
∴不等式组的解集为x≤-2
解2x+5=1， 得x=-2， 满足x≤-2
∴2x+5=1是不等式组的相伴方程
（2）解：解不等式①， 得x>-1
解不等式②，得x≤1
∴不等式组的解集为
解，得
∵关于x的方程3x-k=6是不等式组的相伴方程．
解得-9【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）分别解不等式组和方程，然后根据“相伴方程”的定义进行判断即可；
（2）首先解不等式组求其解集，解方程用含k的式子表示出方程的解，然后根据“相伴方程”的定义，可得出，然后解不等式即可求得 k的取值范围．
18．如图，在△ABC中， AB=AC， F为BC中点，将△BEF沿EF折叠，使得点B的对应点B'落在边AC上．
（1）证明△FB'C∽△ABC；
（2）若AB=AC=6， BC=8，求线段B'C的长度．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C
∵F为BC中点，
∴BF=CF
∵ABEF 折叠得AB'EF，
∴B'F=BF=CF
∴∠FB'C=∠C=∠B
又∵∠C=∠C，
∴△FB'C∽△ABC
（2）解： ∵F为BC 中点， BC=8，
∵△FB'C∽△ABC，
∵AB=AC=6，
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再根据折叠性质得出∠FB'C=∠C=∠B，进而根据AA即可得出△FB'C∽△ABC；
（2）由（1）知△FB'C∽△ABC，进而得出，进一步由已知线段即可得出 B'C的长度．
19．根据以下素材，探索完成任务：
背景 第二届世界人形机器人运动会将于2026年8月22日至26日在北京举办，吸引众多队伍与科创企业参与．
素材1 与上届相比，本次运动会赛项更为丰富，新增了机器人拔河项目，该项目采用单循环赛制，每两支参赛队伍之间均比赛一次，最终通过积分、得失分率等指标确定名次，本次机器人拔河项目一共进行了55场比赛．
素材2 某品牌机器人8月份销售额为200万元，受赛事带动，该品牌机器人销售额连续两个月稳步增长，10月份销售额达到242万元．
素材3 该品牌机器人每台生产成本为6000元，定价为8000元时，平均每天能售出10台；售价每降低80元，平均每天就能多售出2台．为提高利润，某商家计划开展打折促销活动．
问题解决
任务1 根据素材1，求拔河项目共有多少支参赛队伍；
任务2 根据素材2，求该品牌机器人销售额的月平均增长率；
任务3 根据素材3，若想使该品牌机器人的利润最高，商家应该打几折出售 每日最高利润为多少元
【答案】解：任务1解：设共有n支参赛队伍，
解得 (不合题意，舍去)
答：共有11支参赛队伍．
任务2解：设该品牌销售额的月平均增长率为x，
解得 (不合题意，舍去)
0.1=10%
答：该品牌销售额的月平均增长率为10%．
任务3【法1】解：设商家应该降价y元出售，
利润=(8000-6000-y)(10+y+80×2)
当y=800时，原式有最大值36000
答：应打九折出售，每日最高利润为36000元．
【法2】解：设商家应该打y折出售，
利润=
=(800y-6000)(10+200-20y)
当y=9时，原式有最大值36000
答：应打九折出售，每日最高利润为36000元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-传染问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设共有n支参赛队伍，根据机器人拔河项目一共进行了55场比赛．即可得出方程，解方程并取其符合题意的解集可；
任务2：设该品牌销售额的月平均增长率为x，根据增长率问题公式，即可得出方程，解方程并取其符合题意的值即可；
任务3：设商家应该降价y元出售，根据利润=（售价-成本价）×销量，即可得出利润=，进而根据二次函数的最大值即可得出每日最高利润，并求出此时y的值，进一步即可得出 商家应该打几折出售 。
20．在正方形ABCD中， 点O是对角线AC的中点， 点P为线段AC上.一个动点，连接BP，过点P作PQ⊥PB，PQ交射线DC于点Q．
（1）【观察发现】
如图1，若点P在线段AO上，点Q在线段DC上，直接写出线段 PB 与线段PQ 的数量关系：　 　；
（2）【类比迁移】
①如图2，若点P在线段OC上，点Q在DC延长线上，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②如图3，在(2)①的条件下，连接BQ并延长交AC 延长线于点 E，请猜想线段AP，EP， CE的等量关系并证明；
（3）【拓展探究】
如图4， 若AC=5， 取BQ的中点 F， 则当点 P 从点A 运动到点C时， 点F所经过的路径长为　 　．
【答案】（1）PB=PQ
（2）解：①成立．证明如下：
过点 P 作 PG⊥BC 于点 G，作 PH⊥CD于点 H，
∴∠PGC=∠PHC=90°
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠GCH =90°， AB=BC
∴∠ACB=45°=∠CPG
∴CG=PG
∴四边形CHPG是正方形，
∴∠HPG=90°， PG=PH
∵PB⊥PQ
∴∠BPQ=∠HPG=90°
∴∠BPQ-∠GPQ=∠HPG-∠GPQ=90°
即∠BPG=∠QPH
又∵∠BGP=∠QHP
∴△BPG≌△△QPH
所以PB=PQ．
证明：由(2)得PB=PQ，且∠BPQ=90°
∴∠PBQ=45°
过点B 作BM⊥BP，且BM=BP，连接CM
∴∠MBP=∠ABC=90°
∴∠MBP-∠CBP=∠ABC-∠CBP
即∠MBC=∠PBA
∵AB=BC， BM=BP
∴△ABP≌△CBM
∴AP=CM， ∠BCM =∠BAP =45°
∴∠ACM =∠BCM+∠ACB=45°+45°=90°
∴CM⊥AE
连接EM，
∵BP=BM， ∠MBE=∠PBE， BE=BE
∴△BPE≌△BME
∴EP=EM
在Rt△CEM中，
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(1)如图，连接PD，
∵四边形ABCD是正方形， 点P为线段AC上.一个动点，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，
又AP=AP，
∴△ABP≌△ADP，
∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，
∴∠CBP=∠PDQ
∵ PQ⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∵∠BCQ=90°，
∴∠BPQ+∠BCQ=180°，
∴四边形BCQP是圆内接四边形
∴∠PQD=∠CBP
∴∠PDQ=∠PQD
∴PB=PQ
故答案为：PB=PQ。
如图所示，作D关于BC的对称点L，连接BL，取中点K，连接OK，当点P与点A重合时，点Q与点O重合，当点P与点C重合时，点Q与点K重合．
∵O， F， K分别是 BD， BQ， BL的中点，
∴OF∥DL.， FK∥DL.，
∴O，F， K三点共线，
∴当点P从点A运动到点C时，动点F的轨迹是线段OK ，点Q所经过的路径长为OK的长，
∵AC=5，
则
故答案为：
【分析】（1）如图，连接PD，首先根据正方形的性质可证得△ABP≌△ADP，进而得出PB=PD，∠ABP=∠ADP，再根据等角的余角相等可得出∠CBP=∠PDQ，进一步根据∠CBP+∠CQP=180°，可得出四边形BCQP是圆内接四边形，可得出∠PDQ=∠PQD，根据等腰三角形的判定可得出PB=PQ；
（2）①成立．过点 P 作 PG⊥BC 于点 G，作 PH⊥CD于点 H，首先证明四边形CHPG是正方形，∠HPG=90°， PG=PH，进而可根据ASA可证得△BPG≌△△QPH，即可得出PB=PQ；，过点B 作BM⊥BP，且BM=BP，连接CM，首先根据SAS证得△ABP≌△CBM，进而AP=CM， ∠BCM =∠BAP =45°，再通过证明△BPE≌△BME，可得出EP=EM，进而在Rt△CEM中，根据勾股定理，可得出，进一步可代换为；
（3）如图所示，作D关于BC的对称点L，连接BL，取中点K，连接OK，当点P与点A重合时，点Q与点O重合，当点P与点C重合时，点Q与点K重合．首先根据三角形的中位线定理，可得出O，F， K三点共线，进一步得出当点P从点A运动到点C时，动点F的轨迹是线段OK ，点F所经过的路径长为OK的长，然后根据正方形的性质和勾股定理可先得出进而根据三角形中位线定理即可得出即可得出答案。
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