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广东省河源市2025-2026 学年下学期八年级期末数学试题
1．计算的结果为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
2．已知a>b，则下列不等式错误的是 (　　)
A．a-2>b-2 B． C．- 2a<-2b D．2a<2b
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：对于选项 A，∵，不等式两边同时减去同一个数 2，不等号方向不变，∴，该式成立，不符合题意；
对于选项 B，∵，不等式两边同时除以同一个正数 3，不等号方向不变，∴，该式成立，不符合题意；
对于选项 C，∵，不等式两边同时乘以同一个负数 - 2，不等号方向发生改变，∴，该式成立，不符合题意；
对于选项 D，∵，不等式两边同时乘以同一个正数 2，不等号方向不变，∴，而非，该式错误，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查不等式的基本性质，要求选出错误的不等式变形。根据不等式的性质 1，不等式两边同时减 2，不等号方向不变，因此选项 A 的变形正确；根据不等式的性质 2，不等式两边同时除以正数 3，不等号方向不变，因此选项 B 的变形正确；根据不等式的性质 3，不等式两边同时乘负数 - 2，不等号方向必须改变，因此选项 C 的变形正确；而选项 D 中，不等式两边同时乘正数 2，不等号方向应保持不变，原式变形后不等号方向发生了错误改变，因此是错误的。
3．如图， A， B两点被池塘隔开， 在AB外选一点C， 连接AC和BC. 分别取AC、BC的中点D、E， 测得D、E两点间的距离为15m，则A、B两点间的距离为 (　　)
A．20m B．24m C．30m D．28m
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D、E 分别是边 CA、边 CB 的中点，
∴ 线段 DE 是的中位线，
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半，
∴，代入 DE 的长度计算后对应选项 C。
故答案为：C
【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用。根据中点的定义，D、E 分别为 AC、BC 两边的中点，因此 DE 是△ABC 的中位线；依据三角形中位线定理，中位线的长度等于第三边 AB 长度的一半，因此 AB 的长度为 DE 长度的 2 倍，通过计算即可得出 A、B 两点间的距离，对应正确选项。
4．如图，要从电线杆离地面 5米的点C处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为12米，则这根钢缆长为 (　　)
A．13米 B．12米 C．11米 D．10米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，电线杆垂直于地面，即，
∴为直角三角形，其中米，米。
根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
∴米，
即钢缆的长度为 13 米。
故答案为：A
【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用。首先根据电线杆与地面垂直的实际场景，确定△ABC 为直角三角形，其中∠ABC 为直角；明确两条直角边 BC、AB 的长度后，依据勾股定理，代入两条直角边的长度计算斜边 AC 的长度，即可得到钢缆的总长度。
5．在平面直角坐标系中，点P(-3，2)关于 x轴的对称点的坐标是 (　　)
A．(-2， -3) B．(-3， -2) C．(3， 2) D．(3， -2)
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于 x 轴对称的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原坐标的相反数。
∵ 点 P 的坐标为，
∴ 其关于 x 轴的对称点的横坐标仍为 - 3，纵坐标为，
即对称点坐标为，对应选项 B。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于 x 轴对称的点的坐标变化规律。根据坐标对称的性质，点关于 x 轴对称时，横坐标大小不变，纵坐标取原数的相反数；将点 P 的横坐标 - 3 保留，纵坐标 2 变为 - 2，即可得到对称点的坐标，匹配对应选项即可。
6．如图，在△ABC中， AB=AC=10， BC=5， 线段AB的垂直平分线交AB于点E， 交AC于点D， 则△BCD的周长为 (　　)
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DE 是线段 BA 的垂直平分线，点 D 在 DE 上，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴。
的周长，
将代入，可得周长。
∵，，
∴的周长。
故答案为：C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算。首先根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离相等，因此点 D 到 A、B 两点的距离相等，即 AD=BD；将△BCD 的周长中的 BD 替换为 AD，可将周长转化为 BC 与 AC 的长度之和，代入已知的边长数值即可计算出最终结果。
7．二元一次方程组 的解是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：使用加减消元法求解方程组：
记
将①+②，可消去未知数 y，得，
解得
把代入①式，得，
解得
因此方程组的解为。
故答案为：B
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，可选用加减消元法求解。观察方程组中两个方程的 y 项系数分别为 - 1 和 1，互为相反数，因此将两个方程左右两边分别相加，即可消去 y，得到只含 x 的一元一次方程；解出 x 的值后，将其代入任意一个原方程，即可求出 y 的值，最终得到方程组的解。
8．质检员小李检验如图所示的零件是否为平行四边形，则下列检查方法错误的是 (　　)
A．AB=CD， AD=BC B．AB∥CD， AD∥BC
C．AD∥BC， AB=CD D．AB∥CD， AB=CD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：对于选项 A，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，由且可判定四边形为平行四边形，方法正确，不符合题意；
对于选项 B，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，由且可判定，方法正确，不符合题意；
对于选项 C，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，无法保证一定是平行四边形，该判定方法错误，符合题意；
对于选项 D，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由且可判定，方法正确，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，需要选出错误的判定方法。选项 A 对应 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 的判定定理，可直接判定；选项 B 是平行四边形的定义，两组对边分别平行可直接判定；选项 C 中，一组对边平行、另一组对边相等不能作为平行四边形的判定依据，存在等腰梯形的反例，因此方法错误；选项 D 对应 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定定理，可有效判定。
9．已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：A：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＞-2，所以A不符合题意；
B：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＜2，所以B符合题意；
C：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＜-2，所以C符合题意；
D：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＞2，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据函数图象逐项进行分析，可分别得出不等式kx+b<0的解集 ，即可得出答案。
10．如图，一条河的两岸有A，B两个村庄，河宽为 2千米，A，B两村庄的直线距离为 13千米，A，B两村庄到河岸的距离分别为 1千米、2千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为 (　　)
A．12千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】B
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点 A 关于靠近 A 侧河岸的对称点，过点 B 作河岸的垂线，垂足为 D，过点作平行于河岸的直线，与过 B 的垂线交于点 G，
由题意得，千米，河宽千米，因此且，
∴ 四边形是平行四边形，故。
因此，根据两点之间线段最短，当、N、B 三点共线时，取得最小值，最小值为的长度。
在中，千米，千米，
由勾股定理得千米。
在中，千米，千米，
∴千米。
即的最小值为千米。
故答案为：B
【分析】本题考查最短路径问题，结合了平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用。解题的核心是利用平移与对称转化线段：通过作点 A 的对称点，结合河宽固定的条件，构造平行四边形将 AM 转化为 A'N，把 AM+BN 的和转化为 A'N+BN 的和；根据两点之间线段最短，当三点共线时线段和最小，此时 A'B 的长度即为最小值。最后通过构造直角三角形，先后利用勾股定理求出 BG 与 A'B 的长度，即可得到最终结果。
11．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
12．若分式 有意义，则 的取值范围是　 　 .
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得
13． “花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素.如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂， 图②是这种窗棂中的部分图案， 已知∠1+∠2+∠3+∠4=285°， 则∠5=　 　°.
【答案】75
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由多边形外角和的性质可知，任意多边形的外角和均为，
因此。
∵，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和定理的应用。根据多边形外角和的性质，任意多边形的外角和恒为 360°，图中五个角恰好对应多边形的五个外角；用外角和的总度数减去已知四个角的度数和，即可计算出∠5 的度数。
14．在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD，点E、F分别是AB、CD上的点， AF与DE相交于点P， BF与CE相交于点Q，若 则阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 EF，
∵且，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，因此 AB 与 CD 之间的距离处处相等。
和同以 AE 为底，高均为 AB 与 CD 之间的距离，
∴。
两边同时减去，可得。
同理可得，。
阴影部分的面积。
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，以及同底等高三角形面积相等的应用。首先根据 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，判定四边形 ABCD 为平行四边形，因此 AB 与 CD 间的高相等；连接 EF 后，△AED 与△AEF 同底等高，面积相等，同时减去公共部分△AEP 的面积，可推出△APD 与△EPF 面积相等；同理可得△BQC 与△EQF 面积相等，因此阴影部分面积等于两个已知三角形面积之和。
15．在△ABC中， AB=AC， O为BC上任意一点， OM⊥AB， ON⊥AC， CH⊥AB， 垂足分别为M、N、H， 连接AO. 已知OM=2， CH=5， 则ON的长为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，。
又∵，
∴。
∵，等式两边同时除以，
可得。
代入，，
得。
故答案为：3
【分析】本题考查等腰三角形的性质与面积法的应用。利用面积分割的思路，将△ABC 的面积拆分为△AOB 与△AOC 的面积之和，分别用底乘高的一半表示三个三角形的面积；结合 AB=AC 的条件，对面积等式进行化简，可得到等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高这一结论，代入已知的长度数值即可求出 ON 的长度。
16．阅读材料：
因式分解：
解： 将“x+y”看成整体， 令x+y=A，则原式
再将“A”还原，可以得到：原式
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法.请利用“整体思想”解答下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
【答案】（1）解：将“x-y”看成整体，令x-y=B，
则原式
再将“B”还原，可以得到：原式
（2）解：将 看成整体，令
则原式=(C+1)(C-3)+4
再将“C”还原，可以得到：原式
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法；整体思想
【解析】【分析】（1）本题考查利用整体思想进行因式分解，涉及完全平方公式的应用。将看作一个整体，原式符合完全平方公式的形式，其中首项为 1，末项为，中间项为 2×1×3 (x-y)，套用完全平方公式分解后，再将整体还原展开即可；
（2）本题考查整体思想与多项式乘法、因式分解的结合。将看作一个整体，先将两个含整体的多项式相乘，合并同类项后得到关于整体的二次三项式，再利用完全平方公式进行因式分解，最后将整体还原即可得到最终结果。
17．解不等式组和化简求值
（1）解不等式组：
（2）先化简，再求值： 其中x=3.
【答案】（1）解：解不等式3x-1≤5
得3x≤6
得x≤2.
解不等式2x+1≥3
得2x≥2
得x≥1.
取两个不等式的交集得1≤x≤2.
（2）解：
=x+2
当x=3时， 将x=3代入x+2， 可得值为5.
【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）本题考查一元一次不等式组的解法。分别求解两个一元一次不等式，第一个不等式通过移项、系数化为 1 求出解集，第二个不等式同样通过移项、系数化为 1 求出解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；
（2）本题考查分式的化简求值，涉及同分母分式的减法与平方差公式的应用。两个分式分母相同，直接将分子相减，分母保持不变；对分子利用平方差公式因式分解后，约分化为最简整式，再将 x=3 代入最简式计算出数值即可。
18．如图， 在平行四边形ABCD中， ∠DAB=60°.
（1）用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）在 (1) 的条件下， 若AD=8， 求AE的长.
【答案】（1）解：垂线作法如下：
①以D为圆心，任意长度为半径画弧，交AB于点M，N，
②分别以M，N为圆心，MD的长度为半径画弧，两弧交于点F
③连接DF， 交AB于点E.
如图所示，
（2）解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°-∠DAB=30°，
由30°角所对直角边是斜边的一半可知
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）本题考查尺规作图 —— 过直线外一点作已知直线的垂线。以点 D 为圆心，适当长度为半径画弧，与 AB 边交于两个点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接 D 与该交点，与 AB 的交点即为垂足 E，DE 即为所求的高；
（2）本题考查直角三角形的性质，含 30° 角的直角三角形的边角关系。由 DE 是 AB 边上的高可得△ADE 为直角三角形，结合∠DAB=60°，可推出∠ADE=30°；根据 “直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，30° 角∠ADE 对的直角边为 AE，斜边为 AD，因此 AE 长度为 AD 的一半，代入 AD 的数值即可求出 AE 的长。
19．启迪未来之星，推进科技教育.某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛 (竞赛成绩为十分制).各班以小组为单位组织竞赛.
【数据整理】
小东将本班甲、乙两组同学 (每组 8人)竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩 (单位：分)进行了如下分析：
　 平均数 中位数 众数
甲组 8 8 n
乙组 7.5 m 9
【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： m=　 　， n=　 　.
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 ▲ (填“甲”或“乙”)组的学生，请说明理由；
（3）小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好.小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由.(写出一条即可)
【答案】（1）7.5；8
（2）解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为 8分，乙组的中位数为7.5分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生；
（3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面.
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数；
甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数；
【分析】（1）本题考查中位数与众数的计算。对于乙组，将 8 名学生的成绩按从小到大排序，取第 4、5 名成绩的平均数即为中位数；对于甲组，找出出现次数最多的成绩即为众数；
（2）本题考查中位数的统计意义。中位数代表一组数据的中等水平，若成绩在小组中略偏上，说明成绩高于本组的中位数；对比两组的中位数，7.8 分高于哪一组的中位数，小明就属于哪一组；
（3）本题考查统计量的选择与数据分析。评价一组数据的好坏不能仅看平均数，可从众数的角度分析，乙组的众数高于甲组，说明乙组高分段的人数更多，也可从数据稳定性等角度分析，说明单一看平均数具有片面性。
20．随着“体重管理年”三年行动的实施，河源市市民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低 30元，用 5000元购买甲型健身器材的数量和用 5600元购买乙型健身器材的数量相同.
（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价.
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共 20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的 3倍，求本次购买最少花费多少元
【答案】（1）解：设甲型健身器材的单价为 x元，则乙型健身器材的单价为(x+30)元，
由题意得，
解得x=250，
经检验，x=250是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=280，
答：甲型健身器材的单价为 250元，乙型健身器材的单价为 280元；
（2）解：设购买甲型健身器材 m台，本次购买花费为 y元，
由题意得， y=250m+280(20-m)=-30m+5600，
∵甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的 3倍，
∴m≤3(20-m)，
∴m≤15，
∴0≤m≤15，且 m为整数，
∵在y=- 30m+5600中， - 30<0，
∵y随 m的增大而减小，
∴当m=15时， y有最小值，最小值为-30×15+5600=5150，答：本次购买最少花费 5150元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，属于价格数量问题。设甲型器材单价为 x 元，则乙型单价为 (x+30) 元，根据 “数量 = 总价 ÷ 单价”，分别表示出购买甲型、乙型器材的数量，再根据两种器材购买数量相等列出分式方程，求解并检验后即可得到两种器材的单价；
（2）本题考查一次函数与一元一次不等式的实际应用，属于方案最值问题。设购买甲型器材 m 台，总花费为 y 元，根据总花费 = 甲型花费 + 乙型花费，列出 y 关于 m 的一次函数关系式；根据甲型购买数量不超过乙型的 3 倍列出不等式，求出 m 的取值范围；再根据一次函数的增减性，结合 m 的取值范围，求出总花费的最小值即可。
21．如图，在 ABCD中， E为AD的中点，延长BE， CD交于点F，连接AF， BD.
（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；
（2）若BF=BC， CD=6， BD=8，求AD的长.
【答案】（1）证明：在 ABCD中， AB∥CD，
∴AB∥DF，
∴∠ABE-∠DFE， ∠BAE-∠FDE，
又E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)；
∴AB=DF，
又AB∥DF，
∴四边形ABDF 是平行四边形；
（2）解：由(1)知AB=DF，
又在 ABCD中， AB=CD， AD=BC，
∴ DF= CD=6，即D是CF的中点，
∵BF=BC，
∴BD⊥CF，
∵CD=6， BD=8，
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形的判定与全等三角形的判定与性质。首先根据平行四边形 ABCD 的性质，得到 AB 平行于 CD，即 AB 平行于 DF，进而得到两组内错角相等；结合 E 是 AD 中点得到 AE=DE，利用 AAS 可证明△ABE≌△DFE，从而得到 AB=DF；根据 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由 AB 平行且等于 DF 即可判定四边形 ABDF 是平行四边形；
（2）本题考查等腰三角形的性质与勾股定理的应用。由平行四边形的性质可得 AB=CD，结合 (1) 中 AB=DF，可推出 D 是 CF 的中点；已知 BF=BC，即△BCF 为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得 BD 垂直于 CF；在 Rt△BDC 中，已知 CD 和 BD 的长度，利用勾股定理求出 BC 的长度，再根据平行四边形对边相等，AD=BC，即可得到 AD 的长度。
22．如图 1， 直线l： y= kx+b与y轴交于点A(0，3)， 与x轴交于B(3，0)， 点C在线段AB上从A向B运动， 过点B作直线m垂直于x轴，另一动点P从B出发，沿直线m向上运动，记AC的长为a，P的坐标为(3，c)，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）结合图形，直接写出当 kx+b≥0时，x的取值范围为 ▲ ；求出直线l的表达式；
（2）当 时， 求证： △AOC≌△BCP；
（3）如图 2， 当OC⊥CP时，
①试猜想线段OC和CP的数量关系，并证明你得到的结论.
②直接写出c关于a的函数关系式.
【答案】（1）解： x≤3；
将A(0，3)和B(3，0)代入y= kx+b得，
解得
∴直线l的表达式： y=-x+3；
（2）证明：
∴AC=PB，
∵m⊥x轴， OA⊥x轴，
∴∠AOB=∠PBO=90°，
∴∠AOB+∠PBO=180°，
∴OA∥PB，
∴∠OAC=∠CBP，
在Rt△AOB中，
∴BC=OA，
在△AOC和△BCP中，
∴△AOC≌△BCP(SAS)；
（3）解：①OC=CP；
证明：过点C作DE⊥y轴，交OA于点D，交直线m于点E，
∴∠CDO=∠DOB=∠OBE=90°，
∴四边形OBED是矩形，
∴BE=OD， ∠CEP=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠CBE=∠OBE-∠OBA=90°-45°=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE，
∵BE=OD，
∴CE=OD，
∵OC⊥CP，
∴∠OCP=90°，
∴∠OCD+∠PCE=90°，
∵∠ODC=90°，
∴∠COD+∠OCD=90°，
∴∠COD=∠PCE，
在△COD和△PCE中，
∴△COD≌△PCE(AAS)，
∴OC=CP；
②
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：(1)解：∵直线l： y= kx+b与x轴交于B(3，0)，∴当 kx+b≥0时，根据图象可得： x≤3；
故答案为：x≤3
(3)②∵∠ODE=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
在Rt△ADC中，
∵△COD≌△PCE，
【分析】（1）本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，以及待定系数法求一次函数解析式。的解集对应直线 l 图象在 x 轴及上方部分的 x 的取值范围，结合 B 点坐标即可直接写出；将 A、B 两点坐标代入一次函数解析式，得到关于 k、b 的二元一次方程组，解方程组求出 k、b 的值，即可得到直线 l 的解析式；
（2）本题考查三角形全等的判定（SAS）。首先由 A、B 坐标，利用勾股定理求出 AB 的长度，结合 AC 的长度求出 BC 的长度，可得到 BC=OA；由 OA 和 BP 都垂直于 x 轴，可得 OA 平行于 BP，进而推出内错角∠OAC=∠CBP；再结合已知 AC=BP，利用两边及其夹角对应相等，即可证明△AOC≌△BCP；
（3）①本题考查全等三角形的判定与性质，属于一线三垂直模型。过点 C 作垂直于 y 轴的直线，分别交 y 轴和直线 m 于两点，构造两个直角三角形；先证明△BCE 为等腰直角三角形，得到 CE=BE，结合矩形的性质推出 OD=CE；再根据同角的余角相等，得到一组锐角相等，利用 AAS 证明两个直角三角形全等，即可得到 OC=CP；②本题考查等腰直角三角形的性质与函数关系式的推导。由△ADC 为等腰直角三角形，用含 a 的式子表示出 AD 和 CD 的长度，进而得到 OD 的长度；结合全等三角形的性质，得到 PE=CD，再通过线段的和差关系表示出 BP 的长度，即可得到 c 关于 a 的函数关系式。
23．将两个全等的含30°的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙.
已知： 如图 1， 在△ABC和△ADE中， ∠ACB=∠AED=90°， AC=AE=3， ∠B=∠D=30°.
（1）如图 2，在 绕点A旋转过程中，当点E恰好落在 的边AB上时，连接CE.求证： 是等边三角形.
（2）如图 3，在 绕点A旋转过程中，当 时，连接BD、CE，延长CE交BD于点F ， AB与 DE相交于点M .
①AM的长度为 ▲ . 的度数为 ▲ ．
②求证：点F为线段BD的中点.
（3）在 绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以DE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明：在和中，，．
，
，，
为等边三角形．
（2）解：
②证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
（3）解：BE=3或BE=9或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（2）①，，
，
，
，
又，
为含的直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）由，，，
为含的直角三角形，
，
由勾股定理得，，
能构成以为直角边的直角三角形，理由如下，
由（1）图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针旋转时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
综上，或或．
【分析】（1）本题考查等边三角形的判定与直角三角形的性质。首先在 Rt△ABC 中，根据直角三角形两锐角互余，由∠B=30° 求出∠BAC=60°；已知 AC=AE，即△ACE 是有一个角为 60° 的等腰三角形，根据 “有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形”，即可判定△ACE 为等边三角形；
（2）①本题考查平行线的性质、含 30° 角的直角三角形的性质以及等腰三角形的角度计算。由 AD 平行于 BC，根据内错角相等得到∠DAB=∠B=30°，结合∠DAE=60°，可求出∠BAE=30°；在 Rt△AEM 中，利用含 30° 角的直角三角形的三边关系，结合 AE 的长度即可求出 AM 的长度；先求出∠EAC 的度数，再由 AE=AC，根据等腰三角形内角和求出∠AEC 的度数，最后利用平角的定义即可求出∠DEF 的度数；②本题考查全等三角形的判定与中点的证明。延长 CF 交 AD 的延长线于点 H，由平行线的性质得到内错角相等，结合①中∠DEF 的度数，可推出∠DEF=∠DHF，进而得到 DH=DE；由三角板全等可知 DE=BC，等量代换得 DH=BC；再结合对顶角相等，利用 AAS 证明△DFH≌△BFC，得到 DF=BF，即可证明 F 是 BD 的中点；
（3）本题考查旋转的性质与直角三角形的分类讨论。分两种情况讨论：第一种是∠BED=90°，此时又分为点 E 落在线段 AB 上和点 E 落在 BA 的延长线上两种子情况，分别利用线段和差求出 BE 的长度；第二种是∠BDE=90°，当 AD 落在 AC 的延长线上时，先证明△ABD 为等边三角形，再结合∠ADE=30° 推出∠BDE=90°，最后利用勾股定理求出 BE 的长度，综合所有情况即可得到所有符合条件的 BE 的长度。
1 / 1广东省河源市2025-2026 学年下学期八年级期末数学试题
1．计算的结果为(　　)
A． B． C． D．
2．已知a>b，则下列不等式错误的是 (　　)
A．a-2>b-2 B． C．- 2a<-2b D．2a<2b
3．如图， A， B两点被池塘隔开， 在AB外选一点C， 连接AC和BC. 分别取AC、BC的中点D、E， 测得D、E两点间的距离为15m，则A、B两点间的距离为 (　　)
A．20m B．24m C．30m D．28m
4．如图，要从电线杆离地面 5米的点C处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为12米，则这根钢缆长为 (　　)
A．13米 B．12米 C．11米 D．10米
5．在平面直角坐标系中，点P(-3，2)关于 x轴的对称点的坐标是 (　　)
A．(-2， -3) B．(-3， -2) C．(3， 2) D．(3， -2)
6．如图，在△ABC中， AB=AC=10， BC=5， 线段AB的垂直平分线交AB于点E， 交AC于点D， 则△BCD的周长为 (　　)
A．25 B．20 C．15 D．10
7．二元一次方程组 的解是 (　　)
A． B． C． D．
8．质检员小李检验如图所示的零件是否为平行四边形，则下列检查方法错误的是 (　　)
A．AB=CD， AD=BC B．AB∥CD， AD∥BC
C．AD∥BC， AB=CD D．AB∥CD， AB=CD
9．已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，一条河的两岸有A，B两个村庄，河宽为 2千米，A，B两村庄的直线距离为 13千米，A，B两村庄到河岸的距离分别为 1千米、2千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为 (　　)
A．12千米 B．千米 C．千米 D．千米
11．因式分解： 　 　．
12．若分式 有意义，则 的取值范围是　 　 .
13． “花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素.如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂， 图②是这种窗棂中的部分图案， 已知∠1+∠2+∠3+∠4=285°， 则∠5=　 　°.
14．在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD，点E、F分别是AB、CD上的点， AF与DE相交于点P， BF与CE相交于点Q，若 则阴影部分的面积为　 　.
15．在△ABC中， AB=AC， O为BC上任意一点， OM⊥AB， ON⊥AC， CH⊥AB， 垂足分别为M、N、H， 连接AO. 已知OM=2， CH=5， 则ON的长为　 　.
16．阅读材料：
因式分解：
解： 将“x+y”看成整体， 令x+y=A，则原式
再将“A”还原，可以得到：原式
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法.请利用“整体思想”解答下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
17．解不等式组和化简求值
（1）解不等式组：
（2）先化简，再求值： 其中x=3.
18．如图， 在平行四边形ABCD中， ∠DAB=60°.
（1）用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）在 (1) 的条件下， 若AD=8， 求AE的长.
19．启迪未来之星，推进科技教育.某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛 (竞赛成绩为十分制).各班以小组为单位组织竞赛.
【数据整理】
小东将本班甲、乙两组同学 (每组 8人)竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩 (单位：分)进行了如下分析：
　 平均数 中位数 众数
甲组 8 8 n
乙组 7.5 m 9
【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： m=　 　， n=　 　.
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 ▲ (填“甲”或“乙”)组的学生，请说明理由；
（3）小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好.小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由.(写出一条即可)
20．随着“体重管理年”三年行动的实施，河源市市民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低 30元，用 5000元购买甲型健身器材的数量和用 5600元购买乙型健身器材的数量相同.
（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价.
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共 20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的 3倍，求本次购买最少花费多少元
21．如图，在 ABCD中， E为AD的中点，延长BE， CD交于点F，连接AF， BD.
（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；
（2）若BF=BC， CD=6， BD=8，求AD的长.
22．如图 1， 直线l： y= kx+b与y轴交于点A(0，3)， 与x轴交于B(3，0)， 点C在线段AB上从A向B运动， 过点B作直线m垂直于x轴，另一动点P从B出发，沿直线m向上运动，记AC的长为a，P的坐标为(3，c)，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）结合图形，直接写出当 kx+b≥0时，x的取值范围为 ▲ ；求出直线l的表达式；
（2）当 时， 求证： △AOC≌△BCP；
（3）如图 2， 当OC⊥CP时，
①试猜想线段OC和CP的数量关系，并证明你得到的结论.
②直接写出c关于a的函数关系式.
23．将两个全等的含30°的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙.
已知： 如图 1， 在△ABC和△ADE中， ∠ACB=∠AED=90°， AC=AE=3， ∠B=∠D=30°.
（1）如图 2，在 绕点A旋转过程中，当点E恰好落在 的边AB上时，连接CE.求证： 是等边三角形.
（2）如图 3，在 绕点A旋转过程中，当 时，连接BD、CE，延长CE交BD于点F ， AB与 DE相交于点M .
①AM的长度为 ▲ . 的度数为 ▲ ．
②求证：点F为线段BD的中点.
（3）在 绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以DE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：．
故选：D．
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：对于选项 A，∵，不等式两边同时减去同一个数 2，不等号方向不变，∴，该式成立，不符合题意；
对于选项 B，∵，不等式两边同时除以同一个正数 3，不等号方向不变，∴，该式成立，不符合题意；
对于选项 C，∵，不等式两边同时乘以同一个负数 - 2，不等号方向发生改变，∴，该式成立，不符合题意；
对于选项 D，∵，不等式两边同时乘以同一个正数 2，不等号方向不变，∴，而非，该式错误，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查不等式的基本性质，要求选出错误的不等式变形。根据不等式的性质 1，不等式两边同时减 2，不等号方向不变，因此选项 A 的变形正确；根据不等式的性质 2，不等式两边同时除以正数 3，不等号方向不变，因此选项 B 的变形正确；根据不等式的性质 3，不等式两边同时乘负数 - 2，不等号方向必须改变，因此选项 C 的变形正确；而选项 D 中，不等式两边同时乘正数 2，不等号方向应保持不变，原式变形后不等号方向发生了错误改变，因此是错误的。
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D、E 分别是边 CA、边 CB 的中点，
∴ 线段 DE 是的中位线，
根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半，
∴，代入 DE 的长度计算后对应选项 C。
故答案为：C
【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用。根据中点的定义，D、E 分别为 AC、BC 两边的中点，因此 DE 是△ABC 的中位线；依据三角形中位线定理，中位线的长度等于第三边 AB 长度的一半，因此 AB 的长度为 DE 长度的 2 倍，通过计算即可得出 A、B 两点间的距离，对应正确选项。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，电线杆垂直于地面，即，
∴为直角三角形，其中米，米。
根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，
∴米，
即钢缆的长度为 13 米。
故答案为：A
【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用。首先根据电线杆与地面垂直的实际场景，确定△ABC 为直角三角形，其中∠ABC 为直角；明确两条直角边 BC、AB 的长度后，依据勾股定理，代入两条直角边的长度计算斜边 AC 的长度，即可得到钢缆的总长度。
5．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于 x 轴对称的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原坐标的相反数。
∵ 点 P 的坐标为，
∴ 其关于 x 轴的对称点的横坐标仍为 - 3，纵坐标为，
即对称点坐标为，对应选项 B。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于 x 轴对称的点的坐标变化规律。根据坐标对称的性质，点关于 x 轴对称时，横坐标大小不变，纵坐标取原数的相反数；将点 P 的横坐标 - 3 保留，纵坐标 2 变为 - 2，即可得到对称点的坐标，匹配对应选项即可。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ DE 是线段 BA 的垂直平分线，点 D 在 DE 上，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴。
的周长，
将代入，可得周长。
∵，，
∴的周长。
故答案为：C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算。首先根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离相等，因此点 D 到 A、B 两点的距离相等，即 AD=BD；将△BCD 的周长中的 BD 替换为 AD，可将周长转化为 BC 与 AC 的长度之和，代入已知的边长数值即可计算出最终结果。
7．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：使用加减消元法求解方程组：
记
将①+②，可消去未知数 y，得，
解得
把代入①式，得，
解得
因此方程组的解为。
故答案为：B
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，可选用加减消元法求解。观察方程组中两个方程的 y 项系数分别为 - 1 和 1，互为相反数，因此将两个方程左右两边分别相加，即可消去 y，得到只含 x 的一元一次方程；解出 x 的值后，将其代入任意一个原方程，即可求出 y 的值，最终得到方程组的解。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：对于选项 A，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，由且可判定四边形为平行四边形，方法正确，不符合题意；
对于选项 B，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，由且可判定，方法正确，不符合题意；
对于选项 C，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，无法保证一定是平行四边形，该判定方法错误，符合题意；
对于选项 D，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由且可判定，方法正确，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，需要选出错误的判定方法。选项 A 对应 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 的判定定理，可直接判定；选项 B 是平行四边形的定义，两组对边分别平行可直接判定；选项 C 中，一组对边平行、另一组对边相等不能作为平行四边形的判定依据，存在等腰梯形的反例，因此方法错误；选项 D 对应 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定定理，可有效判定。
9．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：A：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＞-2，所以A不符合题意；
B：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＜2，所以B符合题意；
C：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＜-2，所以C符合题意；
D：由图象可知： 不等式kx+b<0的解集是x＞2，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据函数图象逐项进行分析，可分别得出不等式kx+b<0的解集 ，即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点 A 关于靠近 A 侧河岸的对称点，过点 B 作河岸的垂线，垂足为 D，过点作平行于河岸的直线，与过 B 的垂线交于点 G，
由题意得，千米，河宽千米，因此且，
∴ 四边形是平行四边形，故。
因此，根据两点之间线段最短，当、N、B 三点共线时，取得最小值，最小值为的长度。
在中，千米，千米，
由勾股定理得千米。
在中，千米，千米，
∴千米。
即的最小值为千米。
故答案为：B
【分析】本题考查最短路径问题，结合了平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用。解题的核心是利用平移与对称转化线段：通过作点 A 的对称点，结合河宽固定的条件，构造平行四边形将 AM 转化为 A'N，把 AM+BN 的和转化为 A'N+BN 的和；根据两点之间线段最短，当三点共线时线段和最小，此时 A'B 的长度即为最小值。最后通过构造直角三角形，先后利用勾股定理求出 BG 与 A'B 的长度，即可得到最终结果。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得
13．【答案】75
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由多边形外角和的性质可知，任意多边形的外角和均为，
因此。
∵，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和定理的应用。根据多边形外角和的性质，任意多边形的外角和恒为 360°，图中五个角恰好对应多边形的五个外角；用外角和的总度数减去已知四个角的度数和，即可计算出∠5 的度数。
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 EF，
∵且，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，因此 AB 与 CD 之间的距离处处相等。
和同以 AE 为底，高均为 AB 与 CD 之间的距离，
∴。
两边同时减去，可得。
同理可得，。
阴影部分的面积。
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，以及同底等高三角形面积相等的应用。首先根据 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，判定四边形 ABCD 为平行四边形，因此 AB 与 CD 间的高相等；连接 EF 后，△AED 与△AEF 同底等高，面积相等，同时减去公共部分△AEP 的面积，可推出△APD 与△EPF 面积相等；同理可得△BQC 与△EQF 面积相等，因此阴影部分面积等于两个已知三角形面积之和。
15．【答案】3
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，。
又∵，
∴。
∵，等式两边同时除以，
可得。
代入，，
得。
故答案为：3
【分析】本题考查等腰三角形的性质与面积法的应用。利用面积分割的思路，将△ABC 的面积拆分为△AOB 与△AOC 的面积之和，分别用底乘高的一半表示三个三角形的面积；结合 AB=AC 的条件，对面积等式进行化简，可得到等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高这一结论，代入已知的长度数值即可求出 ON 的长度。
16．【答案】（1）解：将“x-y”看成整体，令x-y=B，
则原式
再将“B”还原，可以得到：原式
（2）解：将 看成整体，令
则原式=(C+1)(C-3)+4
再将“C”还原，可以得到：原式
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法；整体思想
【解析】【分析】（1）本题考查利用整体思想进行因式分解，涉及完全平方公式的应用。将看作一个整体，原式符合完全平方公式的形式，其中首项为 1，末项为，中间项为 2×1×3 (x-y)，套用完全平方公式分解后，再将整体还原展开即可；
（2）本题考查整体思想与多项式乘法、因式分解的结合。将看作一个整体，先将两个含整体的多项式相乘，合并同类项后得到关于整体的二次三项式，再利用完全平方公式进行因式分解，最后将整体还原即可得到最终结果。
17．【答案】（1）解：解不等式3x-1≤5
得3x≤6
得x≤2.
解不等式2x+1≥3
得2x≥2
得x≥1.
取两个不等式的交集得1≤x≤2.
（2）解：
=x+2
当x=3时， 将x=3代入x+2， 可得值为5.
【知识点】解一元一次不等式组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）本题考查一元一次不等式组的解法。分别求解两个一元一次不等式，第一个不等式通过移项、系数化为 1 求出解集，第二个不等式同样通过移项、系数化为 1 求出解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；
（2）本题考查分式的化简求值，涉及同分母分式的减法与平方差公式的应用。两个分式分母相同，直接将分子相减，分母保持不变；对分子利用平方差公式因式分解后，约分化为最简整式，再将 x=3 代入最简式计算出数值即可。
18．【答案】（1）解：垂线作法如下：
①以D为圆心，任意长度为半径画弧，交AB于点M，N，
②分别以M，N为圆心，MD的长度为半径画弧，两弧交于点F
③连接DF， 交AB于点E.
如图所示，
（2）解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°-∠DAB=30°，
由30°角所对直角边是斜边的一半可知
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）本题考查尺规作图 —— 过直线外一点作已知直线的垂线。以点 D 为圆心，适当长度为半径画弧，与 AB 边交于两个点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接 D 与该交点，与 AB 的交点即为垂足 E，DE 即为所求的高；
（2）本题考查直角三角形的性质，含 30° 角的直角三角形的边角关系。由 DE 是 AB 边上的高可得△ADE 为直角三角形，结合∠DAB=60°，可推出∠ADE=30°；根据 “直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，30° 角∠ADE 对的直角边为 AE，斜边为 AD，因此 AE 长度为 AD 的一半，代入 AD 的数值即可求出 AE 的长。
19．【答案】（1）7.5；8
（2）解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为 8分，乙组的中位数为7.5分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生；
（3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面.
【知识点】折线统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数；
甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数；
【分析】（1）本题考查中位数与众数的计算。对于乙组，将 8 名学生的成绩按从小到大排序，取第 4、5 名成绩的平均数即为中位数；对于甲组，找出出现次数最多的成绩即为众数；
（2）本题考查中位数的统计意义。中位数代表一组数据的中等水平，若成绩在小组中略偏上，说明成绩高于本组的中位数；对比两组的中位数，7.8 分高于哪一组的中位数，小明就属于哪一组；
（3）本题考查统计量的选择与数据分析。评价一组数据的好坏不能仅看平均数，可从众数的角度分析，乙组的众数高于甲组，说明乙组高分段的人数更多，也可从数据稳定性等角度分析，说明单一看平均数具有片面性。
20．【答案】（1）解：设甲型健身器材的单价为 x元，则乙型健身器材的单价为(x+30)元，
由题意得，
解得x=250，
经检验，x=250是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=280，
答：甲型健身器材的单价为 250元，乙型健身器材的单价为 280元；
（2）解：设购买甲型健身器材 m台，本次购买花费为 y元，
由题意得， y=250m+280(20-m)=-30m+5600，
∵甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的 3倍，
∴m≤3(20-m)，
∴m≤15，
∴0≤m≤15，且 m为整数，
∵在y=- 30m+5600中， - 30<0，
∵y随 m的增大而减小，
∴当m=15时， y有最小值，最小值为-30×15+5600=5150，答：本次购买最少花费 5150元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，属于价格数量问题。设甲型器材单价为 x 元，则乙型单价为 (x+30) 元，根据 “数量 = 总价 ÷ 单价”，分别表示出购买甲型、乙型器材的数量，再根据两种器材购买数量相等列出分式方程，求解并检验后即可得到两种器材的单价；
（2）本题考查一次函数与一元一次不等式的实际应用，属于方案最值问题。设购买甲型器材 m 台，总花费为 y 元，根据总花费 = 甲型花费 + 乙型花费，列出 y 关于 m 的一次函数关系式；根据甲型购买数量不超过乙型的 3 倍列出不等式，求出 m 的取值范围；再根据一次函数的增减性，结合 m 的取值范围，求出总花费的最小值即可。
21．【答案】（1）证明：在 ABCD中， AB∥CD，
∴AB∥DF，
∴∠ABE-∠DFE， ∠BAE-∠FDE，
又E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)；
∴AB=DF，
又AB∥DF，
∴四边形ABDF 是平行四边形；
（2）解：由(1)知AB=DF，
又在 ABCD中， AB=CD， AD=BC，
∴ DF= CD=6，即D是CF的中点，
∵BF=BC，
∴BD⊥CF，
∵CD=6， BD=8，
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形的判定与全等三角形的判定与性质。首先根据平行四边形 ABCD 的性质，得到 AB 平行于 CD，即 AB 平行于 DF，进而得到两组内错角相等；结合 E 是 AD 中点得到 AE=DE，利用 AAS 可证明△ABE≌△DFE，从而得到 AB=DF；根据 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由 AB 平行且等于 DF 即可判定四边形 ABDF 是平行四边形；
（2）本题考查等腰三角形的性质与勾股定理的应用。由平行四边形的性质可得 AB=CD，结合 (1) 中 AB=DF，可推出 D 是 CF 的中点；已知 BF=BC，即△BCF 为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得 BD 垂直于 CF；在 Rt△BDC 中，已知 CD 和 BD 的长度，利用勾股定理求出 BC 的长度，再根据平行四边形对边相等，AD=BC，即可得到 AD 的长度。
22．【答案】（1）解： x≤3；
将A(0，3)和B(3，0)代入y= kx+b得，
解得
∴直线l的表达式： y=-x+3；
（2）证明：
∴AC=PB，
∵m⊥x轴， OA⊥x轴，
∴∠AOB=∠PBO=90°，
∴∠AOB+∠PBO=180°，
∴OA∥PB，
∴∠OAC=∠CBP，
在Rt△AOB中，
∴BC=OA，
在△AOC和△BCP中，
∴△AOC≌△BCP(SAS)；
（3）解：①OC=CP；
证明：过点C作DE⊥y轴，交OA于点D，交直线m于点E，
∴∠CDO=∠DOB=∠OBE=90°，
∴四边形OBED是矩形，
∴BE=OD， ∠CEP=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠CBE=∠OBE-∠OBA=90°-45°=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE，
∵BE=OD，
∴CE=OD，
∵OC⊥CP，
∴∠OCP=90°，
∴∠OCD+∠PCE=90°，
∵∠ODC=90°，
∴∠COD+∠OCD=90°，
∴∠COD=∠PCE，
在△COD和△PCE中，
∴△COD≌△PCE(AAS)，
∴OC=CP；
②
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：(1)解：∵直线l： y= kx+b与x轴交于B(3，0)，∴当 kx+b≥0时，根据图象可得： x≤3；
故答案为：x≤3
(3)②∵∠ODE=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠DAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
在Rt△ADC中，
∵△COD≌△PCE，
【分析】（1）本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，以及待定系数法求一次函数解析式。的解集对应直线 l 图象在 x 轴及上方部分的 x 的取值范围，结合 B 点坐标即可直接写出；将 A、B 两点坐标代入一次函数解析式，得到关于 k、b 的二元一次方程组，解方程组求出 k、b 的值，即可得到直线 l 的解析式；
（2）本题考查三角形全等的判定（SAS）。首先由 A、B 坐标，利用勾股定理求出 AB 的长度，结合 AC 的长度求出 BC 的长度，可得到 BC=OA；由 OA 和 BP 都垂直于 x 轴，可得 OA 平行于 BP，进而推出内错角∠OAC=∠CBP；再结合已知 AC=BP，利用两边及其夹角对应相等，即可证明△AOC≌△BCP；
（3）①本题考查全等三角形的判定与性质，属于一线三垂直模型。过点 C 作垂直于 y 轴的直线，分别交 y 轴和直线 m 于两点，构造两个直角三角形；先证明△BCE 为等腰直角三角形，得到 CE=BE，结合矩形的性质推出 OD=CE；再根据同角的余角相等，得到一组锐角相等，利用 AAS 证明两个直角三角形全等，即可得到 OC=CP；②本题考查等腰直角三角形的性质与函数关系式的推导。由△ADC 为等腰直角三角形，用含 a 的式子表示出 AD 和 CD 的长度，进而得到 OD 的长度；结合全等三角形的性质，得到 PE=CD，再通过线段的和差关系表示出 BP 的长度，即可得到 c 关于 a 的函数关系式。
23．【答案】（1）证明：在和中，，．
，
，，
为等边三角形．
（2）解：
②证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
（3）解：BE=3或BE=9或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（2）①，，
，
，
，
又，
为含的直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）由，，，
为含的直角三角形，
，
由勾股定理得，，
能构成以为直角边的直角三角形，理由如下，
由（1）图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针旋转时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
综上，或或．
【分析】（1）本题考查等边三角形的判定与直角三角形的性质。首先在 Rt△ABC 中，根据直角三角形两锐角互余，由∠B=30° 求出∠BAC=60°；已知 AC=AE，即△ACE 是有一个角为 60° 的等腰三角形，根据 “有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形”，即可判定△ACE 为等边三角形；
（2）①本题考查平行线的性质、含 30° 角的直角三角形的性质以及等腰三角形的角度计算。由 AD 平行于 BC，根据内错角相等得到∠DAB=∠B=30°，结合∠DAE=60°，可求出∠BAE=30°；在 Rt△AEM 中，利用含 30° 角的直角三角形的三边关系，结合 AE 的长度即可求出 AM 的长度；先求出∠EAC 的度数，再由 AE=AC，根据等腰三角形内角和求出∠AEC 的度数，最后利用平角的定义即可求出∠DEF 的度数；②本题考查全等三角形的判定与中点的证明。延长 CF 交 AD 的延长线于点 H，由平行线的性质得到内错角相等，结合①中∠DEF 的度数，可推出∠DEF=∠DHF，进而得到 DH=DE；由三角板全等可知 DE=BC，等量代换得 DH=BC；再结合对顶角相等，利用 AAS 证明△DFH≌△BFC，得到 DF=BF，即可证明 F 是 BD 的中点；
（3）本题考查旋转的性质与直角三角形的分类讨论。分两种情况讨论：第一种是∠BED=90°，此时又分为点 E 落在线段 AB 上和点 E 落在 BA 的延长线上两种子情况，分别利用线段和差求出 BE 的长度；第二种是∠BDE=90°，当 AD 落在 AC 的延长线上时，先证明△ABD 为等边三角形，再结合∠ADE=30° 推出∠BDE=90°，最后利用勾股定理求出 BE 的长度，综合所有情况即可得到所有符合条件的 BE 的长度。
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