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贵州省遵义市第十九中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学检测卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，外角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
5．2023年8月2日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽10米气步枪和10米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
6．将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（　　）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
8．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
12．如图，若，那么（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分、请把正确答案填写在答题卡相应位置上）
13．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y= 　 　 .
14．如图，中，、分别为角平分线和高，，，则　 　．
15．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　．
16．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如果一个三角形的一边长为，另一边长为．
（1）求这个三角形第三边的长的取值范围；
（2）当第三边长为偶数时，求三角形的周长．
18．如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
19．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
（1）若，求线段的长；
（2）若，求的度数
20．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接，．
（1）试说明；
（2）若是的平分线，，求的度数．
21． 有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？
（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．
22．【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律．
【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等．
【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上．
【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E，
【数据测量】，
【问题解决】
（1）求证：；
（2）求的长．
23．尺规作图（只保留作图痕迹，不要写作法）．
如图：
（1）画射线，连接并延长线段至E，使得；
（2）用直尺和圆规作，使得；
（3）在直线上找一点，使线段与线段之和最小，请在直线上标注出点M．
24．课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【猜想证明】
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想；
【探究应用】
（2）过点作交于点，若，求的度数．
25．（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据三角形的定义，结合各选项的图形得：C选项的图形是三角形.
故答案为：C．
【分析】根据“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”，结合各选项的图形即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质，得．
因为，，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠B，然后结合已知条件即可求解．
3．【答案】C
【知识点】三角形的分类
【解析】【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，对选项逐个进行判断即可．
4．【答案】D
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：图③和④是全等形．
故选：D
【分析】根据全等形的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性；
故答案为：A．
【分析】根据三角形具有稳定性选出即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，，
根据题意，，
在中，，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定；
D、正确，符合SAS判定。
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS判断即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示：
那么，即．
由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径．
故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可求解。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
根据图形发现：三角形未遮挡部分满足“角边角”，根据全等三角形的判定，小明所画的三角形与原来三角形全等，
∴这两个三角形全等的依据.
故答案为：．
【分析】根据图形发现，三角形未遮挡部分满足“角边角”，即可得答案.
10．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的高
【解析】【解答】解：A：由折叠可知，虚线是折痕所在直线，此时AD与BC不是垂直关系，根据三角形高的定义，从A点向BC边所在直线作垂线时，垂足不在D点，所以AD不是△ABC的高，该选项错误；
B：同样根据折叠性质，虚线为折痕所在直线，AD与BC不垂直，从A点向BC边所在直线作垂线，垂足不是D点，因此
AD不是△ABC的高，该选项错误；
C：按照此折叠方式，AD与BC不垂直，不满足三角形高是从顶点向对边所在直线作垂线这一条件，所以AD不是△ABC
的高，该选项错误；
D：由折叠可知，AD与BC（这里的BC所在直线包含DE）垂直，即从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线作垂线，顶点
A与垂足D之间的线段AD符合三角形高的定义，所以AD是△ABC的高，该选项正确。
故选：D．
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。结合折叠的性质逐一分析选项即可。
11．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：连接，
在中，，即，
在中，，即，
∴，
观察四个选项，只有C选项符合题意，
故答案为：C
【分析】连接，根据三角形三边关系即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：
，
由三角形内角和定理可得：，，，
∴，
故选：C．
【分析】根据三角形内角和定理，结合角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y=5
∴x+y=11．
故填11．
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
14．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：在中，平分
∴
∵，，
∴，
∴
∵，
∴
∴
故答案为：.
【分析】利用角平分线的概念可得，再利用三角形的内角和求出，可得，再求出，最后利用角的运算求出即可.
15．【答案】1
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：为中点，
，
为中点，
，
，
为中点，
，即阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据三角形中线的性质，可得出，进而得出，进一步即可得出，再根据点F是CE的中点，即可得出。
16．【答案】64
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；余角；三角形的高
【解析】【解答】解：如图，
∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形高线性质得，再根据推出，再根据
得出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
17．【答案】（1）解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为，
∴，
∴，
即这个三角形第三边的长的取值范围是：第三边的长；
（2）解：∵，且为偶数，
∴
当时，三角形的周长为，
当时，三角形的周长为，
∴三角形的周长为或

【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）求出x的值，再根据三角形周长即可求出答案.
（1）解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为，
∴，
∴，
即这个三角形第三边的长的取值范围是：第三边的长；
（2）解：∵，且为偶数，
∴
当时，三角形的周长为，
当时，三角形的周长为，
∴三角形的周长为或
18．【答案】（1）解：如图，
，，，
，
，
是的高线，
∴，
，
.
（2）解：如图，
平分，，
，
∵，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】（1）先根据等于10度，等于75度，等于之和，即可求出等于65度，进一步得到等于65度，即可证明和为90度，即可求出.
（2）根据角平分线定义，结合平分，得到等于50度，再根据等于，计算得40度即可得答案.
（1）解：，，，
，
，
是的高线，
∴，
，
；
（2）平分，，
，
∵
19．【答案】（1）解：如图，
，
，
.
（2）解：如图，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，结合条件全等，根据全等性质得
等于10，等于4，再根据等于减，代入已知数据计算即可得线段的长.
（2）根据全等三角形的性质，结合结合条件全等可得等于20度，等于60度，再根据三角形内角和定理可得等于100度，最后根据等于的差，代入已知数据计算即可得的度数.
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
20．【答案】（1）解：，
．
，
，
．
（2）解：，，
，
是的平分线，
，
∵，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行、内错角相等得到，进而利用角的关系得到，最后根据同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）先根据角的关系求出∠1，再根据角平分线的定义求得∠CDG，最后根据两直线平行，同位角相等求解即可．
（1）解：，
．
，
，
．
（2）解：，，
，
是的平分线，
，
∵，
．
21．【答案】（1）解：设底边长为xcm，则腰长为3xcm，
根据题意得，x+3x+3x＝21，
解得x＝3，
∴底边长为3cm．
（2）解：若5cm为底时，腰长＝（21-5）=8cm，
∴三角形的三边分别为5cm、8cm，8cm，
能围成三角形，
若5cm为腰时，底边＝21﹣2×5＝11，
三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，
∵5+5＝10＜11，
∴不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长为8cm的等腰三角形 ．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据三角形的周长为21cm列出方程并解之即可；
（2）分5cm为底和5cm为腰两种情况进行解答即可.
22．【答案】（1）解：如图，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
由题意得：，
由（1）得：，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；余角
【解析】【分析】（1）根据垂直，即可得和为90度，再根据垂直，垂直，得等于90度，进一步即可证明相等.
（2）根据题意得等于17，由（1）得相等，等于90度，即可全等，得出，即可得出答案．
（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意得：
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：如图1，射线，线段即为所求，
（2）解：如图2，即为所求，
（3）解：如图2，点即为所求，
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据射线，线段的定义作图即可.
（2）根据作一个角等于已知角即可.
（3）根据连接交于点，则点即为所求.
（1）如图1，射线，线段即为所求，
（2）如图2，即为所求，
（3）如图2，点即为所求，
24．【答案】（1）解：对角线与的位置关系为，证明如下：
如图1，
在和中，
∵，
，
，
，
．
（2）解：如图2，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据相等，相等，BD是公共边，根据全等三角形的判定定理证明
全等，根据全等性质得相等，再根据，再根据等腰三角形的“三线合一”即可证明对角线与的位置关系为.
（）根据，得相等，再根据相等，即可得相等，即可得等于20度，进一步得即可.
（1）解：，
证明：在和中，
，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
，且，
，
，
，
．
25．【答案】（1）证明：如图，
直线，直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：结论成立，理由如下：
如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，
同理（2）可得，，
∴，
设的底边上的高为，则的底边上的高为，
∴，，
，
∴，
∴，
∴与的面积之和为6．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）证明，则，，.
（2）证明，则，，.
（3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可．
1 / 1贵州省遵义市第十九中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学检测卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据三角形的定义，结合各选项的图形得：C选项的图形是三角形.
故答案为：C．
【分析】根据“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”，结合各选项的图形即可得答案.
2．如图，在中，外角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质，得．
因为，，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠B，然后结合已知条件即可求解．
3．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的分类
【解析】【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，对选项逐个进行判断即可．
4．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】D
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：图③和④是全等形．
故选：D
【分析】根据全等形的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．2023年8月2日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽10米气步枪和10米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性；
故答案为：A．
【分析】根据三角形具有稳定性选出即可．
6．将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，，
根据题意，，
在中，，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（　　）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定；
D、正确，符合SAS判定。
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS判断即可.
8．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示：
那么，即．
由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径．
故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可求解。
9．如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
根据图形发现：三角形未遮挡部分满足“角边角”，根据全等三角形的判定，小明所画的三角形与原来三角形全等，
∴这两个三角形全等的依据.
故答案为：．
【分析】根据图形发现，三角形未遮挡部分满足“角边角”，即可得答案.
10．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的高
【解析】【解答】解：A：由折叠可知，虚线是折痕所在直线，此时AD与BC不是垂直关系，根据三角形高的定义，从A点向BC边所在直线作垂线时，垂足不在D点，所以AD不是△ABC的高，该选项错误；
B：同样根据折叠性质，虚线为折痕所在直线，AD与BC不垂直，从A点向BC边所在直线作垂线，垂足不是D点，因此
AD不是△ABC的高，该选项错误；
C：按照此折叠方式，AD与BC不垂直，不满足三角形高是从顶点向对边所在直线作垂线这一条件，所以AD不是△ABC
的高，该选项错误；
D：由折叠可知，AD与BC（这里的BC所在直线包含DE）垂直，即从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线作垂线，顶点
A与垂足D之间的线段AD符合三角形高的定义，所以AD是△ABC的高，该选项正确。
故选：D．
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。结合折叠的性质逐一分析选项即可。
11．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：连接，
在中，，即，
在中，，即，
∴，
观察四个选项，只有C选项符合题意，
故答案为：C
【分析】连接，根据三角形三边关系即可求出答案.
12．如图，若，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：
，
由三角形内角和定理可得：，，，
∴，
故选：C．
【分析】根据三角形内角和定理，结合角之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分、请把正确答案填写在答题卡相应位置上）
13．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y= 　 　 .
【答案】11
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y=5
∴x+y=11．
故填11．
【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
14．如图，中，、分别为角平分线和高，，，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：在中，平分
∴
∵，，
∴，
∴
∵，
∴
∴
故答案为：.
【分析】利用角平分线的概念可得，再利用三角形的内角和求出，可得，再求出，最后利用角的运算求出即可.
15．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　．
【答案】1
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：为中点，
，
为中点，
，
，
为中点，
，即阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据三角形中线的性质，可得出，进而得出，进一步即可得出，再根据点F是CE的中点，即可得出。
16．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为　 　．
【答案】64
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；余角；三角形的高
【解析】【解答】解：如图，
∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形高线性质得，再根据推出，再根据
得出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如果一个三角形的一边长为，另一边长为．
（1）求这个三角形第三边的长的取值范围；
（2）当第三边长为偶数时，求三角形的周长．
【答案】（1）解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为，
∴，
∴，
即这个三角形第三边的长的取值范围是：第三边的长；
（2）解：∵，且为偶数，
∴
当时，三角形的周长为，
当时，三角形的周长为，
∴三角形的周长为或

【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）求出x的值，再根据三角形周长即可求出答案.
（1）解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为，
∴，
∴，
即这个三角形第三边的长的取值范围是：第三边的长；
（2）解：∵，且为偶数，
∴
当时，三角形的周长为，
当时，三角形的周长为，
∴三角形的周长为或
18．如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）解：如图，
，，，
，
，
是的高线，
∴，
，
.
（2）解：如图，
平分，，
，
∵，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】（1）先根据等于10度，等于75度，等于之和，即可求出等于65度，进一步得到等于65度，即可证明和为90度，即可求出.
（2）根据角平分线定义，结合平分，得到等于50度，再根据等于，计算得40度即可得答案.
（1）解：，，，
，
，
是的高线，
∴，
，
；
（2）平分，，
，
∵
19．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
（1）若，求线段的长；
（2）若，求的度数
【答案】（1）解：如图，
，
，
.
（2）解：如图，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，结合条件全等，根据全等性质得
等于10，等于4，再根据等于减，代入已知数据计算即可得线段的长.
（2）根据全等三角形的性质，结合结合条件全等可得等于20度，等于60度，再根据三角形内角和定理可得等于100度，最后根据等于的差，代入已知数据计算即可得的度数.
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
20．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接，．
（1）试说明；
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）解：，
．
，
，
．
（2）解：，，
，
是的平分线，
，
∵，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行、内错角相等得到，进而利用角的关系得到，最后根据同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）先根据角的关系求出∠1，再根据角平分线的定义求得∠CDG，最后根据两直线平行，同位角相等求解即可．
（1）解：，
．
，
，
．
（2）解：，，
，
是的平分线，
，
∵，
．
21． 有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？
（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．
【答案】（1）解：设底边长为xcm，则腰长为3xcm，
根据题意得，x+3x+3x＝21，
解得x＝3，
∴底边长为3cm．
（2）解：若5cm为底时，腰长＝（21-5）=8cm，
∴三角形的三边分别为5cm、8cm，8cm，
能围成三角形，
若5cm为腰时，底边＝21﹣2×5＝11，
三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，
∵5+5＝10＜11，
∴不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长为8cm的等腰三角形 ．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据三角形的周长为21cm列出方程并解之即可；
（2）分5cm为底和5cm为腰两种情况进行解答即可.
22．【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律．
【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等．
【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上．
【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E，
【数据测量】，
【问题解决】
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）解：如图，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
由题意得：，
由（1）得：，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；余角
【解析】【分析】（1）根据垂直，即可得和为90度，再根据垂直，垂直，得等于90度，进一步即可证明相等.
（2）根据题意得等于17，由（1）得相等，等于90度，即可全等，得出，即可得出答案．
（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意得：
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．尺规作图（只保留作图痕迹，不要写作法）．
如图：
（1）画射线，连接并延长线段至E，使得；
（2）用直尺和圆规作，使得；
（3）在直线上找一点，使线段与线段之和最小，请在直线上标注出点M．
【答案】（1）解：如图1，射线，线段即为所求，
（2）解：如图2，即为所求，
（3）解：如图2，点即为所求，
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据射线，线段的定义作图即可.
（2）根据作一个角等于已知角即可.
（3）根据连接交于点，则点即为所求.
（1）如图1，射线，线段即为所求，
（2）如图2，即为所求，
（3）如图2，点即为所求，
24．课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【猜想证明】
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想；
【探究应用】
（2）过点作交于点，若，求的度数．
【答案】（1）解：对角线与的位置关系为，证明如下：
如图1，
在和中，
∵，
，
，
，
．
（2）解：如图2，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（）根据相等，相等，BD是公共边，根据全等三角形的判定定理证明
全等，根据全等性质得相等，再根据，再根据等腰三角形的“三线合一”即可证明对角线与的位置关系为.
（）根据，得相等，再根据相等，即可得相等，即可得等于20度，进一步得即可.
（1）解：，
证明：在和中，
，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
，且，
，
，
，
．
25．（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和．
【答案】（1）证明：如图，
直线，直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：结论成立，理由如下：
如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，
同理（2）可得，，
∴，
设的底边上的高为，则的底边上的高为，
∴，，
，
∴，
∴，
∴与的面积之和为6．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）证明，则，，.
（2）证明，则，，.
（3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可．
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