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贵州省铜仁市碧江区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（　　）
A． B．6 C．8 D．4
3．二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
6．分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
7．如果，，，那么，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．若，则的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
9．若分式的值是零，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．缩小到原数的 D．变为原来的
11．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．设，，满足，，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．8 D．9
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．分解因式： =　 　
14．若，，则的值是　 　．
15．实数在数轴上如图所示，化简：　 　．
16．观察下列单项式：，，，，请你写出第个单项式是　 　．
三、解答题（本大题共9小题，第17-22小题每小题10分，第23、24小题每小题12分，第25小题14分，共98分）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．先化简分式：，再选取一个使原式有意义的数代入求值．
19．设，．
（1）求，的值；
（2）请运用（1）的结论求的值．
20．已知关于x的分式方程．
（1）已知，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求的值．
21．计算下面各题：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
22．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”.
（1）若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值．
（2）若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值．
23．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．
例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题：
（1）当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少．
（2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积．
24．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
（1）求型、型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
25．材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：．
材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）．
请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题：
（1）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____；
（2）在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值；
（3）若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．右边为和的形式，不是积，故A项错误；
B．右边为和的形式，不是积，故B项错误；
C．左边为多项式，右边为整式的积，且等式成立，故C项正确；
D．，故D项错误；
故选：C．
【分析】这道题主要考查因式分解的相关知识，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，同时验证变形过程是否正确，我们只需要结合定义逐一判断每个选项，就可以得出最终结果.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，
故选：D．
【分析】根据二次根式的乘法运算的性质计算即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】这道题主要考查二次根式的相关性质，根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解这个不等式就能得到最终答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，计算错误，A项错误；
B：，计算正确，B项正确；
C：，计算错误，C项错误；
D：，计算错误，D项错误；
故选：B．
【分析】本题需要根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方以及负整数指数幂的运算法则，对每个选项逐一分析判断.
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】用科学记数法的一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴ 变形后为：，
故选：C．
【分析】本题运用分式的基本性质，通过提取分母中的负号，将分式简化即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题可得：，，，∵，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查有理数比较，关键是分别利用零指数幂与负指数幂法则求出a、b、c的值，再比较大小即可.
8．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又 ∵，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查代数式化简求值，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式代入求解．
9．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为零，
∴ 分子且分母，
由得，
∴或，
当时，分母，不符合条件，
∴，
故选：D．
【分析】本题先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且排除掉分母，即可求出答案．
10．【答案】A
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵和都扩大到原来的 2 倍，
∴ 新分式为，
∵ 原分式为，
∴ 新分式，即分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【分析】根据分式的性质将和都扩大 2 倍后，代入分式并化简，即可发现新分式扩大到原来的2倍．
11．【答案】A
【知识点】列分式方程；根据数量关系列方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，
可列出相应的方程：，
故选：A．
【分析】设快马跑完这段路程需要的时间为x天，根据题意可得，慢马跑完800里路程所需的时间为x+1天，因此慢马的速度为；快马跑完800里路程所需的时间为x-2天，因此快马的速度为。再结合题目给出的等量关系，就可以列出对应的分式方程，从而求解问题.
12．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
同理，，，
又 ∵，
∴（注：由条件知，同理其他分母也不为零），
同理，，，
∴ 原式．
故选：C．
【分析】先将表达式和的分子化为我们需要的平方和的形式，，，通过因式分解化简后利用分式的加减法即可求得.
13．【答案】x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。
故答案为：x(x+2)(x-2)。
【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。
14．【答案】
【知识点】分式的通分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
∵，；
∴原式，
故答案为：．
【分析】本题先根据分式的通分，将所求代数式通分后化简，根据题意所给的，代入计算即可．
15．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题先根据数轴得到的取值范围，从而得到，，再根据绝对值和二次根式的化简进行化简即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察给定的单项式序列：
第1项：，分子为1，分母为3，符号为正，指数为1；
第2项：，分子为2，分母为5，符号为负，指数为2；
第3项：，分子为3，分母为7，符号为正，指数为3；
从以上规律可知，分子为，分母为，符号为（因为第一项为正），指数为．
因此，第个单项式为．
故答案为：．
【分析】本题考查对数字变化规律的分析与总结，先根据题目给出的一系列单项式各部分的变化关系，分别从单项式的符号、系数分子、系数分母以及字母的指数这几个部分寻找变化规律，最终推导出第个单项式的通式.
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先分别计算各项：-1的奇数次方、绝对值化简、零指数幂及算术平方根，然后合并求值即可.
（2）先分别处理各单项式的幂运算：计算积的乘方和负整数指数幂，然后统一系数与同底数幂进行乘除运算.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】解：原式
，
∵，，即，.
∴当时，
原式．
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】这道题考查分式化简求值的相关知识，先依照分式混合运算的运算顺序与法则对原式化简，再根据分式有意义的性质将合适的数值代入化简后的式子计算即可.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
（2）解：∵，，
∴．

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将x、y分别代入进行加法和乘法运算，然后利用平方差公式化简xy的值.
（2）先运用完全平方公式将x2 + y2转化为(x+y)2 - 2xy的形式，然后代入(1)的结论求值.
（1）解：∵，，
∴，；
（2）解：∵，，
∴．
20．【答案】（1）解：当，方程为方程两边同乘得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母得：
∴是原分式方程的解．

（2）解：方程两边同乘得：整理得：，
∵原分式方程无解，
∴或，
①当时，；
②当时，
解得：或，
当时，；
当时，；
∴的值可能为、1或3.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）先将m=2代入方程，然后方程两边同乘最简公分母(x-1)(x+2)化为整式方程求解，最后检验即可.
（2）先将分式方程化为整式方程得(m-1)x=-4，然后分两种情况讨论：m-1=0时方程无解，以及解出的x使最简公分母为零时原方程无解，从而求出m的值.
（1）解：当，方程为
方程两边同乘得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母得：
∴是原分式方程的解．
（2）解：方程两边同乘得：
整理得：，
∵原分式方程无解，
∴或，
①当时，；
②当时，
解得：或，
当时，；
当时，；
∴的值可能为、1或3.
21．【答案】（1）解：∵，
∴．

（2）解：∵∴
∴
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用同底数幂的除法和幂的乘方法则，将转化为的形式，然后代入已知条件求值.
（2）先将和统一化为以3为底的幂，然后利用同底数幂的乘法法则列方程求出a的值，最后代入求值.
（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵
∴
∴
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：由题意可得：
∴．

（2）解：由题可得：，∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的概念；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据"和谐二次根式"的定义列出等式，然后通过分母有理化求解m的值.
（2）先根据定义列出等式，然后展开整理，再通过分母有理化求出a的值.
（1）解：由题意可得：
∴．
（2）解：由题可得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵，
∵，
∴．
当时，代数式有最小值，最小值为．
（2）解：设，则，
∴，
解得．
∴．
∵，
∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．
【知识点】二次函数的最值；配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）设，则，根据题意建立不等式，解不等式可得x的取值范围，再根据矩形面积建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∵，
∴．
当时，代数式有最小值，最小值为．
（2）解：设，则，
∴，
解得．
∴．
∵，
∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．
24．【答案】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）解：设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据题意，得，
解得，
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）先设A型机器人单价为x万元，则B型为(x-3)万元，然后根据两种机器人数量相等列出分式方程求解，最后检验即可.（2）先设配备A型机器人y台，则B型为(10-y)台，然后根据总费用不超过70万元列出不等式，结合各至少配备1台的条件确定y的取值范围，最后列举所有整数解得到配备方案.
（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，
根据题意，得，
解得，
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
25．【答案】（1）10
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为5.
（3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上），
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为13.
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由题可得：，
∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴斜边长，
故答案为：；
【分析】（1）直接应用勾股定理，即可计算出斜边的长度；
（2）先过点作，延长后和垂线交于点，先算出的长度，再通过勾股定理计算出的长度即可；
（3）根据题意构造对应图形后，可以得到，，原问题就转化为求线段和的最小值；之后过点作，交的延长线于点，接着利用勾股定理算出的长度，即可得到所求代数式的最小值.
（1）解：由题可得：，
∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴斜边长，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为5；
（3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上），
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为13；
1 / 1贵州省铜仁市碧江区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．右边为和的形式，不是积，故A项错误；
B．右边为和的形式，不是积，故B项错误；
C．左边为多项式，右边为整式的积，且等式成立，故C项正确；
D．，故D项错误；
故选：C．
【分析】这道题主要考查因式分解的相关知识，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，同时验证变形过程是否正确，我们只需要结合定义逐一判断每个选项，就可以得出最终结果.
2．计算的结果是（　　）
A． B．6 C．8 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，
故选：D．
【分析】根据二次根式的乘法运算的性质计算即可得到答案．
3．二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】这道题主要考查二次根式的相关性质，根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解这个不等式就能得到最终答案.
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，计算错误，A项错误；
B：，计算正确，B项正确；
C：，计算错误，C项错误；
D：，计算错误，D项错误；
故选：B．
【分析】本题需要根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方以及负整数指数幂的运算法则，对每个选项逐一分析判断.
5．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】用科学记数法的一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．
6．分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴ 变形后为：，
故选：C．
【分析】本题运用分式的基本性质，通过提取分母中的负号，将分式简化即可得到答案．
7．如果，，，那么，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题可得：，，，∵，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查有理数比较，关键是分别利用零指数幂与负指数幂法则求出a、b、c的值，再比较大小即可.
8．若，则的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又 ∵，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查代数式化简求值，通过提取公因式，将所求表达式转化为已知条件的形式代入求解．
9．若分式的值是零，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为零，
∴ 分子且分母，
由得，
∴或，
当时，分母，不符合条件，
∴，
故选：D．
【分析】本题先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且排除掉分母，即可求出答案．
10．若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．缩小到原数的 D．变为原来的
【答案】A
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵和都扩大到原来的 2 倍，
∴ 新分式为，
∵ 原分式为，
∴ 新分式，即分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【分析】根据分式的性质将和都扩大 2 倍后，代入分式并化简，即可发现新分式扩大到原来的2倍．
11．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；根据数量关系列方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，
可列出相应的方程：，
故选：A．
【分析】设快马跑完这段路程需要的时间为x天，根据题意可得，慢马跑完800里路程所需的时间为x+1天，因此慢马的速度为；快马跑完800里路程所需的时间为x-2天，因此快马的速度为。再结合题目给出的等量关系，就可以列出对应的分式方程，从而求解问题.
12．设，，满足，，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
同理，，，
又 ∵，
∴（注：由条件知，同理其他分母也不为零），
同理，，，
∴ 原式．
故选：C．
【分析】先将表达式和的分子化为我们需要的平方和的形式，，，通过因式分解化简后利用分式的加减法即可求得.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．分解因式： =　 　
【答案】x(x+2)(x-2)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。
故答案为：x(x+2)(x-2)。
【分析】首先提出公因式x，括号内的式子利用公式法，利用平方差公式进行因式分解。
14．若，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的通分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
∵，；
∴原式，
故答案为：．
【分析】本题先根据分式的通分，将所求代数式通分后化简，根据题意所给的，代入计算即可．
15．实数在数轴上如图所示，化简：　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题先根据数轴得到的取值范围，从而得到，，再根据绝对值和二次根式的化简进行化简即可得到答案．
16．观察下列单项式：，，，，请你写出第个单项式是　 　．
【答案】
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察给定的单项式序列：
第1项：，分子为1，分母为3，符号为正，指数为1；
第2项：，分子为2，分母为5，符号为负，指数为2；
第3项：，分子为3，分母为7，符号为正，指数为3；
从以上规律可知，分子为，分母为，符号为（因为第一项为正），指数为．
因此，第个单项式为．
故答案为：．
【分析】本题考查对数字变化规律的分析与总结，先根据题目给出的一系列单项式各部分的变化关系，分别从单项式的符号、系数分子、系数分母以及字母的指数这几个部分寻找变化规律，最终推导出第个单项式的通式.
三、解答题（本大题共9小题，第17-22小题每小题10分，第23、24小题每小题12分，第25小题14分，共98分）
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先分别计算各项：-1的奇数次方、绝对值化简、零指数幂及算术平方根，然后合并求值即可.
（2）先分别处理各单项式的幂运算：计算积的乘方和负整数指数幂，然后统一系数与同底数幂进行乘除运算.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．先化简分式：，再选取一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，，即，.
∴当时，
原式．
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】这道题考查分式化简求值的相关知识，先依照分式混合运算的运算顺序与法则对原式化简，再根据分式有意义的性质将合适的数值代入化简后的式子计算即可.
19．设，．
（1）求，的值；
（2）请运用（1）的结论求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
（2）解：∵，，
∴．

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将x、y分别代入进行加法和乘法运算，然后利用平方差公式化简xy的值.
（2）先运用完全平方公式将x2 + y2转化为(x+y)2 - 2xy的形式，然后代入(1)的结论求值.
（1）解：∵，，
∴，；
（2）解：∵，，
∴．
20．已知关于x的分式方程．
（1）已知，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求的值．
【答案】（1）解：当，方程为方程两边同乘得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母得：
∴是原分式方程的解．

（2）解：方程两边同乘得：整理得：，
∵原分式方程无解，
∴或，
①当时，；
②当时，
解得：或，
当时，；
当时，；
∴的值可能为、1或3.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）先将m=2代入方程，然后方程两边同乘最简公分母(x-1)(x+2)化为整式方程求解，最后检验即可.
（2）先将分式方程化为整式方程得(m-1)x=-4，然后分两种情况讨论：m-1=0时方程无解，以及解出的x使最简公分母为零时原方程无解，从而求出m的值.
（1）解：当，方程为
方程两边同乘得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母得：
∴是原分式方程的解．
（2）解：方程两边同乘得：
整理得：，
∵原分式方程无解，
∴或，
①当时，；
②当时，
解得：或，
当时，；
当时，；
∴的值可能为、1或3.
21．计算下面各题：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴．

（2）解：∵∴
∴
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用同底数幂的除法和幂的乘方法则，将转化为的形式，然后代入已知条件求值.
（2）先将和统一化为以3为底的幂，然后利用同底数幂的乘法法则列方程求出a的值，最后代入求值.
（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵
∴
∴
∴，
∴．
22．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”.
（1）若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值．
（2）若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得：
∴．

（2）解：由题可得：，∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的概念；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据"和谐二次根式"的定义列出等式，然后通过分母有理化求解m的值.
（2）先根据定义列出等式，然后展开整理，再通过分母有理化求出a的值.
（1）解：由题意可得：
∴．
（2）解：由题可得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．
例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题：
（1）当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少．
（2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积．
【答案】（1）解：∵，
∵，
∴．
当时，代数式有最小值，最小值为．
（2）解：设，则，
∴，
解得．
∴．
∵，
∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．
【知识点】二次函数的最值；配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）设，则，根据题意建立不等式，解不等式可得x的取值范围，再根据矩形面积建立函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∵，
∴．
当时，代数式有最小值，最小值为．
（2）解：设，则，
∴，
解得．
∴．
∵，
∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．
24．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
（1）求型、型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
【答案】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）解：设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据题意，得，
解得，
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）先设A型机器人单价为x万元，则B型为(x-3)万元，然后根据两种机器人数量相等列出分式方程求解，最后检验即可.（2）先设配备A型机器人y台，则B型为(10-y)台，然后根据总费用不超过70万元列出不等式，结合各至少配备1台的条件确定y的取值范围，最后列举所有整数解得到配备方案.
（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，
根据题意，得，
解得，
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
25．材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：．
材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）．
请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题：
（1）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____；
（2）在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值；
（3）若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值．
【答案】（1）10
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为5.
（3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上），
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为13.
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由题可得：，
∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴斜边长，
故答案为：；
【分析】（1）直接应用勾股定理，即可计算出斜边的长度；
（2）先过点作，延长后和垂线交于点，先算出的长度，再通过勾股定理计算出的长度即可；
（3）根据题意构造对应图形后，可以得到，，原问题就转化为求线段和的最小值；之后过点作，交的延长线于点，接着利用勾股定理算出的长度，即可得到所求代数式的最小值.
（1）解：由题可得：，
∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴斜边长，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为5；
（3）解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上），
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是长方形，
，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
代数式的最小值为13；
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