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浙江省温州新力量联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）
1．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是 （　　）
A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)
C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)
【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2,3).
故答案为：B．
【分析】关于xOz平面对称那么这两个点x，z坐标不变，y坐标互为相反数.
2．若直线的倾斜角为，则（　　）
A．0 B． C． D．不存在
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线的斜率为0，倾斜角为.
故答案为：A.
【分析】根据直线的斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．已知两条直线和，若，则实数的值为（　　）
A．或1 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：两条直线和，
因为，所以，则实数.
故答案为：D.
【分析】根据两直线垂直的系数的关系列式求解即可.
4．平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，
，，，
则.
故答案为：A．
【分析】以为基向量，根据空间向量的线性运算表示即可.
5．在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，点为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（　　）
A．0 B． C． D．与的值有关
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：点为的中点，取中点，连接，，，
则，如图所示：
所以直线与直线所成角的余弦值转化为直线与直线所成角的余弦值，
因为该四面体为正四面体，，为等边三角形，
所以，，
在中，由余弦定理，，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】点为的中点，取中点，连接，，，根据中位线性质可得，问题转化为求直线与直线所成角的余弦值，在中，利用余弦定理求解即可.
6．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先化方程为，根据椭圆的标准方程的形式，列出方程组求解即可.
7．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：化直线方程为，
令，解得，则直线恒过点，
易知点在圆的内部，且的圆心，半径，
要使最小，则圆心到直线的距离最大，
当直线与直线垂直时，
圆心到直线的距离最大，
，，，
则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】化直线方程为，求得直线恒过的定点，易知圆心和半径，点M在圆的内部，分析可知直线与直线垂直时，最小，利用勾股定理求解即可.
8．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，
则直线斜率存在，设，
联立，解得，即，
由点在第一象限，所以，解得，
当为钝角时，由，，
则，解得；
当为钝角时，由，，
则，解得，
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：直线斜率存在，设直线，联立两直线求得点的坐标，由点在第一象限，解得，再分和为钝角，利用、，结合向量数量积的运算求解即可.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AB的斜率是 B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：A、点、，由斜率公式得，故A正确；
B、点关于轴的对称点的坐标为，
经x轴反射后直线的斜率，且，则，故B正确；
C、直线即直线的方程为：，即，
将代入得：，所以点，，故C不正确；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用斜率公式求解即可判断A；先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，根据，可得，即可判断B；直线即直线的方程，利用点斜式求得反射光线所在直线的方程，将代入得：，即可得点的坐标，即可判断C；利用两点间距离公式求解即可判断D.
10．已知以、为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，则下列结论正确的是（　　）
A．椭圆的方程为
B．三角形的面积的最大值为
C．三角形的周长为
D．
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示：
A、易知，因为点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，所以，解得，代入，解得，，则椭圆方程为，故A正确；
B、椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，所以，故B错误；
C、通过椭圆定义可知，三角形的周长为，故C正确；
D、设，，所以，，，
在中，，
即，解得，
同理在中，，，即，
将代入，可得
，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】易知，由题意可得，结合求得椭圆的方程即可判断A；根据椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积求解即可判断B；利用椭圆的定义求解即可判断C；设，，利用椭圆定义求得，，在中，利用过余弦定理可得，之间的关系，据此求解即可判断D.
11．在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列结论正确的是（　　）
A．存在，使得平面
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．对于任意的，四棱锥的体积为定值
D．当时，平面与平面夹角的余弦值为
【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在直三棱柱中，平面，
且，故两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由，，，，
得，
设平面PQR的法向量为，则，
令，得，
A、，则，且平面，即平面，故A正确；
B、，可得外接圆的圆心为的中点，
因为外接圆是平面与三棱柱外接球的截面圆，
故直三棱柱外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上，
又因为直三棱柱上下底面平行且全等，
故直三棱柱外接球的球心到上下底面的距离相等，
且侧棱，侧棱垂直底面，
所以直三棱柱外接球的球心为，
故直三棱柱外接球的半径
故外接球的表面积：，故B错误；
C、直三棱柱知，侧面为矩形，，
因为，故当时，四边形为直角梯形，
且梯形的面积：，
当时，四边形为矩形，
且矩形的面积：，
故四边形的面积为定值，且点为的中点是一个定点，
平面是一个固定平面，
故点到平面的距离为定值，
因为，分别在棱，上，所以平面和平面是同一平面，
故到平面的距离为定值，故四棱锥的高和底面积均为定值，
所以四棱锥的体积为定值，故C正确；
D、平面的法向量，当时，，
显然平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，，
则平面与平面所成角的余弦值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可判断AD；由，可得外接圆的圆心为的中点，确定直三棱柱外接球的球心，再利用球的表面积公式求解即可判断B；判断四棱锥的高和底面积是否为定值即可判断C.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为　 　．
【答案】
【知识点】直线的斜率；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率.
故答案为：.
【分析】根据直线的方向向量，求斜率即可.
13．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是　 　.
【答案】外切
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆的面积被直线平分，所以直线过圆心，
则，解得，则；
因为圆心距，所以圆与圆的位置关系是外切.
故答案为：外切.
【分析】易知两圆的圆心和半径，由直线平分圆面积可知直线过圆心，求得的值，再利用两点间距离公式求圆心距，根据圆心距和两圆半径之间关系确定两圆位置关系即可.
14．直线过点且与椭圆相交于、两点，若线段的中点为则直线的斜率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，
则，
点 和 满足椭圆方程，
将方程 (1) 减去 (2)：，
因式分解，
代入中点坐标：，得，
整理得，则斜率.
故答案为：．
【分析】设 和 ，利用中点坐标公式，结合点差法求解即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知三角形顶点，，．
（1）求边的直线方程；
（2）求边上的中线方程；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）解：由两点式得边的直线方程为，则；
（2）解：易知中点为，则边上的中线方程为，即；
（3）解：点C到直线AB的距离，，
故三角形的面积为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用点斜式求解即可；
（2）利用中点坐标公式先求中点，再利用点斜式求边上的中线方程即可；
（3）先利用点到直线的距离公式求点C到直线AB的距离，再由两点距离公式求，最后利用三角形面积公式求解即可.
（1）由两点式得边的直线方程为；
（2）中点为，故边上的中线方程为；
（3）点C到直线AB的距离，，
故三角形的面积为.
16．在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，，，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等，记，，，且，.
（1）当时，用向量表示，；
（2）是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：，
，
则；
（2）解：假设存在使得平面，又由平面，
可得，，
因为，则，其中，
可得
，
又因为，且，，，，
所以，，，，
所以，，
可得，
且，化简得，解得，
故存在，使得平面.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的数乘运算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）以为基向量表示，再根据空间向量的线性运算法则求解即可；
（2）假设存在使得平面，根据线面垂直的性质可得，因为，得到，，结合和，求得的值，即可得判断存在使得平面.
（1）解：由空间向量的运算法则，可得：，
，
则.
（2）解：假设存在使得平面，又由平面，
可得，，
因为，则，其中，
可得
，
又因为，且，，，，
所以，，，，
所以，，
可得.
且，
化简得，解得，故存在，使得平面.
17．已知定点、和动点.
（1）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得动点的轨迹为椭圆并求动点的轨迹方程.条件①：；条件②：.
（2）若直线与动点的轨迹相交于、两点，且，求（为坐标原点）的面积.
【答案】（1）解：选择条件①：，则，
解得，，，
则椭圆方程为；
选择条件②：，则，此时M为线段，不满足；
（2）解：由题意知：，设，，
联立，消元整理可得，
，即，
由韦达定理可得，，
，
，，满足，
，
又点到直线的距离，
，
把代入上式得：，
故的面积为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）选择条件①，根据椭圆的定义，求椭圆的方程；
选择条件②，易知M为线段，不满足题意；
（2）由题意知：，设，，联立直线和椭圆方程，消去，整理可得关于的一元二次方程，利用韦达定理，结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求的面积即可.
（1）选择条件①：，
则，，，
所以椭圆方程为；
（2）由题意知：，设，，
联立得，
，即，
，，
所以，
，，满足，
，
又点到直线的距离，
，
把代入上式得：
的面积为.
18．如图，在正方体中，为的中点，与平面交于点.
（1）求证：为的中点；
（2）点为棱上一点.
（i）若为棱的中点，正方体棱长为2，求平面截正方体所得的截面面积；
（ii）若二面角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明：在正方体中，
，且平面，平面，平面，
平面平面，平面，，，
为的中点，为的中点；
（2）解：（i）当为棱的中点时，则，即截面为等腰梯形，
，，，高为，
；
（ii）设正方体棱长为2，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，.
设平面的法向量为，
即
令，则，，，
设，，，
，
设平面的法向量为，
即，
令，则， ，
，
又，所以解得，即.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线线平行的判定定理可得平面，再根据线面平行的性质求证即可；
（2）（i）当为棱的中点时，则，根据线线平行可得截面为等腰梯形，求解长度，再求截面面积即可；
（ii）设正方体棱长为2，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）在正方体中，
，且平面，平面，
平面，
平面平面，平面，
，
，
为的中点，
为的中点.
（2）（i）当为棱的中点时，则有，
截面为等腰梯形，
，，，
高为，
；
（ii）设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
，.
设平面的法向量为，
即
令，则，，，
设，，，
，
设平面的法向量为，
即，
令，则， ，
，
又，所以解得，即.
19．如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.
（1）求四边形面积的最小值；
（2）求证：直线过定点；
（3）若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值.
【答案】（1）解：连接，，如图所示：
圆的标准方程为，易知圆心，半径为，
则，
若要使得四边形的面积最小，则只需最小，
当在轴上时，显然，；
（2）证明：因为，所以四点共圆，
且圆心为即，半径为，
所以过四点的圆的方程为，即，
因为直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
所以两圆方程相减可得直线的方程为，显然当时，，
所以直线过定点；
（3）解：设过点的切线为，即，
所以圆心到切线距离，即，
设，的斜率为，，所以，，
在中令，则有，
所以，
当且仅当时取等号，则.
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）连接，，易知圆心和半径，表示四边形的面积，要使得四边形的面积最小，则只需最小，根据的最小值求解即可；
（2）根据四点共圆求解出过四点的圆，然后由公共弦所在直线的方程的求法可求直线的方程，据此可证明过定点；
（3）过点的切线为，设，的斜率为，，利用点到直线的距离公式，结合相切关系可得的韦达定理形式，表示出并根据的韦达定理形式化简，由此可求.
（1）连接，，圆的标准方程为，故半径为，圆心，
所以，
若要使得四边形的面积最小，则只需最小，
当在轴上时，显然，
.
（2）因为，所以四点共圆，
且圆心为即，半径为，
所以过四点的圆的方程为，即，
因为直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
所以两圆方程相减可得直线的方程为，显然当时，
所以直线过定点.
（3）设过点的切线为，即，
所以圆心到切线距离，即，
设，的斜率为，，所以，，
在中令，则有，
所以，
当且仅当时取等号，
所以.
1 / 1浙江省温州新力量联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）
1．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是 （　　）
A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)
C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)
2．若直线的倾斜角为，则（　　）
A．0 B． C． D．不存在
3．已知两条直线和，若，则实数的值为（　　）
A．或1 B． C．1 D．
4．平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，点为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（　　）
A．0 B． C． D．与的值有关
6．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（　　）
A．4 B．3 C． D．
8．已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AB的斜率是 B．
C． D．
10．已知以、为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，则下列结论正确的是（　　）
A．椭圆的方程为
B．三角形的面积的最大值为
C．三角形的周长为
D．
11．在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列结论正确的是（　　）
A．存在，使得平面
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．对于任意的，四棱锥的体积为定值
D．当时，平面与平面夹角的余弦值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为　 　．
13．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是　 　.
14．直线过点且与椭圆相交于、两点，若线段的中点为则直线的斜率为　 　.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知三角形顶点，，．
（1）求边的直线方程；
（2）求边上的中线方程；
（3）求三角形的面积．
16．在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，，，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等，记，，，且，.
（1）当时，用向量表示，；
（2）是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
17．已知定点、和动点.
（1）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得动点的轨迹为椭圆并求动点的轨迹方程.条件①：；条件②：.
（2）若直线与动点的轨迹相交于、两点，且，求（为坐标原点）的面积.
18．如图，在正方体中，为的中点，与平面交于点.
（1）求证：为的中点；
（2）点为棱上一点.
（i）若为棱的中点，正方体棱长为2，求平面截正方体所得的截面面积；
（ii）若二面角的余弦值为，求的值.
19．如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.
（1）求四边形面积的最小值；
（2）求证：直线过定点；
（3）若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2,3).
故答案为：B．
【分析】关于xOz平面对称那么这两个点x，z坐标不变，y坐标互为相反数.
2．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线的斜率为0，倾斜角为.
故答案为：A.
【分析】根据直线的斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：两条直线和，
因为，所以，则实数.
故答案为：D.
【分析】根据两直线垂直的系数的关系列式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，
，，，
则.
故答案为：A．
【分析】以为基向量，根据空间向量的线性运算表示即可.
5．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：点为的中点，取中点，连接，，，
则，如图所示：
所以直线与直线所成角的余弦值转化为直线与直线所成角的余弦值，
因为该四面体为正四面体，，为等边三角形，
所以，，
在中，由余弦定理，，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】点为的中点，取中点，连接，，，根据中位线性质可得，问题转化为求直线与直线所成角的余弦值，在中，利用余弦定理求解即可.
6．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】先化方程为，根据椭圆的标准方程的形式，列出方程组求解即可.
7．【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：化直线方程为，
令，解得，则直线恒过点，
易知点在圆的内部，且的圆心，半径，
要使最小，则圆心到直线的距离最大，
当直线与直线垂直时，
圆心到直线的距离最大，
，，，
则的最小值为.
故答案为：A.
【分析】化直线方程为，求得直线恒过的定点，易知圆心和半径，点M在圆的内部，分析可知直线与直线垂直时，最小，利用勾股定理求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，
则直线斜率存在，设，
联立，解得，即，
由点在第一象限，所以，解得，
当为钝角时，由，，
则，解得；
当为钝角时，由，，
则，解得，
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：直线斜率存在，设直线，联立两直线求得点的坐标，由点在第一象限，解得，再分和为钝角，利用、，结合向量数量积的运算求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：A、点、，由斜率公式得，故A正确；
B、点关于轴的对称点的坐标为，
经x轴反射后直线的斜率，且，则，故B正确；
C、直线即直线的方程为：，即，
将代入得：，所以点，，故C不正确；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用斜率公式求解即可判断A；先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，根据，可得，即可判断B；直线即直线的方程，利用点斜式求得反射光线所在直线的方程，将代入得：，即可得点的坐标，即可判断C；利用两点间距离公式求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示：
A、易知，因为点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，所以，解得，代入，解得，，则椭圆方程为，故A正确；
B、椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，所以，故B错误；
C、通过椭圆定义可知，三角形的周长为，故C正确；
D、设，，所以，，，
在中，，
即，解得，
同理在中，，，即，
将代入，可得
，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】易知，由题意可得，结合求得椭圆的方程即可判断A；根据椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积求解即可判断B；利用椭圆的定义求解即可判断C；设，，利用椭圆定义求得，，在中，利用过余弦定理可得，之间的关系，据此求解即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在直三棱柱中，平面，
且，故两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由，，，，
得，
设平面PQR的法向量为，则，
令，得，
A、，则，且平面，即平面，故A正确；
B、，可得外接圆的圆心为的中点，
因为外接圆是平面与三棱柱外接球的截面圆，
故直三棱柱外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上，
又因为直三棱柱上下底面平行且全等，
故直三棱柱外接球的球心到上下底面的距离相等，
且侧棱，侧棱垂直底面，
所以直三棱柱外接球的球心为，
故直三棱柱外接球的半径
故外接球的表面积：，故B错误；
C、直三棱柱知，侧面为矩形，，
因为，故当时，四边形为直角梯形，
且梯形的面积：，
当时，四边形为矩形，
且矩形的面积：，
故四边形的面积为定值，且点为的中点是一个定点，
平面是一个固定平面，
故点到平面的距离为定值，
因为，分别在棱，上，所以平面和平面是同一平面，
故到平面的距离为定值，故四棱锥的高和底面积均为定值，
所以四棱锥的体积为定值，故C正确；
D、平面的法向量，当时，，
显然平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，，
则平面与平面所成角的余弦值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可判断AD；由，可得外接圆的圆心为的中点，确定直三棱柱外接球的球心，再利用球的表面积公式求解即可判断B；判断四棱锥的高和底面积是否为定值即可判断C.
12．【答案】
【知识点】直线的斜率；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率.
故答案为：.
【分析】根据直线的方向向量，求斜率即可.
13．【答案】外切
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆的面积被直线平分，所以直线过圆心，
则，解得，则；
因为圆心距，所以圆与圆的位置关系是外切.
故答案为：外切.
【分析】易知两圆的圆心和半径，由直线平分圆面积可知直线过圆心，求得的值，再利用两点间距离公式求圆心距，根据圆心距和两圆半径之间关系确定两圆位置关系即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，
则，
点 和 满足椭圆方程，
将方程 (1) 减去 (2)：，
因式分解，
代入中点坐标：，得，
整理得，则斜率.
故答案为：．
【分析】设 和 ，利用中点坐标公式，结合点差法求解即可.
15．【答案】（1）解：由两点式得边的直线方程为，则；
（2）解：易知中点为，则边上的中线方程为，即；
（3）解：点C到直线AB的距离，，
故三角形的面积为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用点斜式求解即可；
（2）利用中点坐标公式先求中点，再利用点斜式求边上的中线方程即可；
（3）先利用点到直线的距离公式求点C到直线AB的距离，再由两点距离公式求，最后利用三角形面积公式求解即可.
（1）由两点式得边的直线方程为；
（2）中点为，故边上的中线方程为；
（3）点C到直线AB的距离，，
故三角形的面积为.
16．【答案】（1）解：，
，
则；
（2）解：假设存在使得平面，又由平面，
可得，，
因为，则，其中，
可得
，
又因为，且，，，，
所以，，，，
所以，，
可得，
且，化简得，解得，
故存在，使得平面.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的数乘运算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）以为基向量表示，再根据空间向量的线性运算法则求解即可；
（2）假设存在使得平面，根据线面垂直的性质可得，因为，得到，，结合和，求得的值，即可得判断存在使得平面.
（1）解：由空间向量的运算法则，可得：，
，
则.
（2）解：假设存在使得平面，又由平面，
可得，，
因为，则，其中，
可得
，
又因为，且，，，，
所以，，，，
所以，，
可得.
且，
化简得，解得，故存在，使得平面.
17．【答案】（1）解：选择条件①：，则，
解得，，，
则椭圆方程为；
选择条件②：，则，此时M为线段，不满足；
（2）解：由题意知：，设，，
联立，消元整理可得，
，即，
由韦达定理可得，，
，
，，满足，
，
又点到直线的距离，
，
把代入上式得：，
故的面积为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）选择条件①，根据椭圆的定义，求椭圆的方程；
选择条件②，易知M为线段，不满足题意；
（2）由题意知：，设，，联立直线和椭圆方程，消去，整理可得关于的一元二次方程，利用韦达定理，结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求的面积即可.
（1）选择条件①：，
则，，，
所以椭圆方程为；
（2）由题意知：，设，，
联立得，
，即，
，，
所以，
，，满足，
，
又点到直线的距离，
，
把代入上式得：
的面积为.
18．【答案】（1）证明：在正方体中，
，且平面，平面，平面，
平面平面，平面，，，
为的中点，为的中点；
（2）解：（i）当为棱的中点时，则，即截面为等腰梯形，
，，，高为，
；
（ii）设正方体棱长为2，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，.
设平面的法向量为，
即
令，则，，，
设，，，
，
设平面的法向量为，
即，
令，则， ，
，
又，所以解得，即.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线线平行的判定定理可得平面，再根据线面平行的性质求证即可；
（2）（i）当为棱的中点时，则，根据线线平行可得截面为等腰梯形，求解长度，再求截面面积即可；
（ii）设正方体棱长为2，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）在正方体中，
，且平面，平面，
平面，
平面平面，平面，
，
，
为的中点，
为的中点.
（2）（i）当为棱的中点时，则有，
截面为等腰梯形，
，，，
高为，
；
（ii）设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
，.
设平面的法向量为，
即
令，则，，，
设，，，
，
设平面的法向量为，
即，
令，则， ，
，
又，所以解得，即.
19．【答案】（1）解：连接，，如图所示：
圆的标准方程为，易知圆心，半径为，
则，
若要使得四边形的面积最小，则只需最小，
当在轴上时，显然，；
（2）证明：因为，所以四点共圆，
且圆心为即，半径为，
所以过四点的圆的方程为，即，
因为直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
所以两圆方程相减可得直线的方程为，显然当时，，
所以直线过定点；
（3）解：设过点的切线为，即，
所以圆心到切线距离，即，
设，的斜率为，，所以，，
在中令，则有，
所以，
当且仅当时取等号，则.
【知识点】恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）连接，，易知圆心和半径，表示四边形的面积，要使得四边形的面积最小，则只需最小，根据的最小值求解即可；
（2）根据四点共圆求解出过四点的圆，然后由公共弦所在直线的方程的求法可求直线的方程，据此可证明过定点；
（3）过点的切线为，设，的斜率为，，利用点到直线的距离公式，结合相切关系可得的韦达定理形式，表示出并根据的韦达定理形式化简，由此可求.
（1）连接，，圆的标准方程为，故半径为，圆心，
所以，
若要使得四边形的面积最小，则只需最小，
当在轴上时，显然，
.
（2）因为，所以四点共圆，
且圆心为即，半径为，
所以过四点的圆的方程为，即，
因为直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
所以两圆方程相减可得直线的方程为，显然当时，
所以直线过定点.
（3）设过点的切线为，即，
所以圆心到切线距离，即，
设，的斜率为，，所以，，
在中令，则有，
所以，
当且仅当时取等号，
所以.
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