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浙江省北仑中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（育英班）
1．命题“” 的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“” 的否定是： “” .
故答案为：C.
【分析】利用全称命题的否定为特称命题，从而写出命题“” 的否定.
2．“”是“”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设，，
因为函数在定义域上严格单调递增，
所以，
取，满足，
但不满足，则充分条件不满足；
因为，函数在定义域上严格单调递增，
得，则必要条件满足，
所以“”是“”成立必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性和赋值法，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．已知，则y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，可得①，
②，两式相加得，则.
故答案为：D.
【分析】由，根据不等式的性质求得，结合求解即可.
4．已知函数，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：令，
则，
所以
解得，
则的定义域为．
所以，对于函数，则，
解得，
则函数的定义域为．
故答案为：C.
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数求定义域的方法，从而求出函数的定义域.
5．已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由函数对定义域内任意实数，
都有成立，
得函数在R上单调递增，
则，
解得，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性，从而得出实数x的取值范围.
6．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.当总造价最小时，的长为（　　）
A． B．5 C．4 D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，设米，
则，
∴总造价，当且仅当时，即当时取等号，
∴总造价最小时，的长为.
故答案为：A.
【分析】由题意，设米，根据总造价等于花坛、阴影部分、四个三角形造价总和得到关于的函数解析式，再利用基本不等式求最值的方法，从而确定对应的x值，进而得出总造价最小时的的长.
7．若函数的定义域为，且，则的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由①，
得②，
则①，得③，
由②-③，得，
因为，
所以．
当时，；
当时，；
当时，（当且仅当时，等号成立），
综上所述，的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先根据已知条件建立方程组法，从而求出函数解析式，再分类讨论得出函数值的取值范围，从而求出函数的最大值.
8．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【解答】解：设，由题意可知，
因为，
令，则，
所以，
则，
因为函数的定义域为，
所以，
则，
令，则，
所以，
则，
因为是定义在上的单调函数，
所以，
整理得，
解得或（舍）.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设，再代入可得，令，再代入可得，再结合函数的单调性列出方程得出t的值，从而得出函数的值.
9．下列命题正确的是（　　）
A．对于，恒成立 B．若，则
C． D．若，则
【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由，
则对于，恒成立，故A正确；
对于B，因为满足，此时，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，举例，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由结合恒成立问题求解方法，则可判断选项A，通过举例法可判断选项B，由幂指数的运算性质可判断选项C；举反例可判断选项D，从而找出真命题的选项.
10．已知函数，则下列选项正确的是（　　）
A．若的定义域为，则
B．若的定义域为，则
C．若的值域为，则
D．若在上单调递增，则
【答案】A,B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于A，由的定义域为，
得成立，
当时，成立，则；
当时，，
解得，
因此，故A正确；
对于B，由的定义域为，
得是不等式的解集，
则，且为方程的两根，
所以，
解得，故B正确；
对于C，由的值域为，
得函数的值域包含，
则，
解得，故C错误；
对于D，由在上单调递增，
得，
解得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用函数定义域求解方法求出参数m的取值范围，则判断出选项A和选项B；利用函数求值域的方法，从而求出参数m的取值范围，则判断出选项C；利用函数单调性求出参数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，的单调减区间为
B．函数为R上的单调函数，则
C．对，不等式恒成立
D．若恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，，
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递减，
则当时，的单调减区间为和，故选项A错误；
对于选项B，因为函数为减函数，函数的图象开口向下，
对称轴为直线，
所以，要使函数为上的单调函数，
须使函数在区间上单调递减，
则满足，
解得．故选项B正确；
对于选项C，因为当时，为开口向下的抛物线部分，为向上凸的函数，
则对，不等式恒成立，故选项C正确；
对于选项D，因为函数的图象是由函数图象向右平移1个单位后得到的，
又因为恒成立，
所以，函数的图象恒在函数图象的上方，
当时函数为上减函数，符合题意；
当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，
令，得或，
由图象平移，可得，
解得，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用m的值得出分段函数的解析式，再利用分段函数的图象求出分段函数的单调递减区间，则判断出选项A；利用一次函数的单调性和二次函数的单调性，从而确定的取值范围，则判断出选项B；根据当时函数凹凸性判断不等式是否成立，则判断出选项C；结合函数图象平移和的几何意义，从而求出实数的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．设全集，若集合，，则　 　.
【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：依题意，则或，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和补集的运算法则、交集的运算法则，从而得出集合.
13．已知函数的值域为，则实数的值为　 　.
【答案】13
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：由题意，可得，
解得，
令（），
则，
所以，开口方向向下，对称轴为，
则在单调递减，
当时，有最大值，
则最大值为，
解得.
故答案为：13.
【分析】令，则，再利用二次函数的开口方向、对称性和单调性，从而得出函数的值域，再根据已知条件得出实数a的值.
14．已知，若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴在区间上单调递增，
∴当时，；当时，，
令，
要想关于x的不等式在区间上恒成立，
则当时，；当时，，
∴，
则，
所以，
∴，当且仅当时，即当时取等号.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，从而得到函数的图象，再利用代入法得到的关系式，再根据基本不等式最值的方法，从而求出的取值范围.
15．（1） 已知，求的最小值；
（2）若，求的值．
【答案】解：（1）由，得，
则，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为9.
（2）由，
得，
则，，
所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
（2）利用已知条件和根式与分数指数幂的互化公式，再结合指数幂的运算法则，从而得出的值.
16．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，
所以.
（2）解：因为集合，
由，得，
当时，即当时，，符合题意，
则；
当时，即当时，，
则，
解得；
当时，即当时，，
则，无解，
所以，m的取值范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用m的值和解一元二次不等式的方法，从而得出集合A和集合B，再利用并集的运算法则得出集合.
（2）根据并集和子集的关系结合集合间的包含关系，从而分类讨论得出实数m的取值范围.
（1）当时，，，
所以.
（2）集合，
由，得，
当，即时，，符合题意，则；
当，即时，，则，解得；
当，即时，，则，无解，
所以m的取值范围或.
17．已知有限集，若，则称为“完全集”.
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）；
（3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2.
【答案】（1）解：集合，由完全集的定义：，，
则集合为“完全集”；
（2）解：不妨设，由于，所以，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”；
当时，，故只能，求得，
于是“完全集”只有一个，为；
当时，由，
即有，而，
又，
因此，故矛盾，
所以当时不存在“完全集”，
综上：“完全集”为；
（3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集，
设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根，
由，解得或（舍），
所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾，
所以中至少有一个大于2.
【知识点】集合的表示方法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）直接根据“完全集”的定义计算判断即可；
（2）设，由，可得，当时，求得，当时，，只能，求得，当时，由，推出矛盾，即可证明；
（3）设，由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程根与系数的关系求解证明即可.
（1）集合，由完全集的定义：
，，
所以集合为“完全集”.
（2）不妨设，由于，
所以，当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”；
当时，，故只能，求得，
于是“完全集”只有一个，为；
当时，由，
即有，而，
又，
因此，故矛盾，
所以当时不存在“完全集”，
综上：“完全集”为.
（3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集，
设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根，
由，解得或（舍），
所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾，
所以中至少有一个大于2.
18．已知函数
（1）当时，求函数在的值域；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）当，且满足，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
因为，所以，
所以函数的值域为；
（2）解：由，得，所以，
①、当，即时，原不等可化为，不等式的解集为，
②、当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为或，
③、当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为，
综上：当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为或，
当时，不等式解集为；
（3）解：由，得，所以，
，
当且仅当，即时取得最小值为.
【知识点】函数的值域；一元二次不等式及其解法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入，分离常数可得，再根据求函数的值域即可；
（2）原不等式转化为，分，，讨论，求不等式的解集即可；
（3）由，得，则，利用配凑法，结合基本不等式求最小值即可.
（1）当时，，因为，所以，
所以函数的值域为.
（2）由，得，所以，
①当，即时，原不等可化为，不等式的解集为，
②当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为或，
③当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为，
综上：当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为或，
当时，不等式解集为.
（3）由，得，所以，
从而
，
当且仅当，即时取得最小值为.
19．已知二次函数，且关于的不等式的解集是．
（1）若且关于的不等式在上有且仅有三个整数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若是定义在上的奇函数，且当时，.是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由不等式的解集是，
得是方程的两个根，
则，
因为函数，
所以不等式，
由，不等式在上有且仅有三个整数解，
得在上有且仅有三个整数解，
则在上有且仅有三个整数解，
作出函数的图象如下：
因为不等式的解集为，恰有3个整数解，
又因为不等式的解集为，恰有1个整数解1，
所以，
则实数的取值范围是.
（2）解：由（1）知，
不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
当时，不等式恒成立，则；
当时，不等式恒成立，
因为函数在上单调递增，
所以，
又因为，当且仅当时，即当时取等号，
因此，
所以实数k的取值范围是.
（3）解：由（1）得，当时，，
因为函数是上的奇函数，
则当时，，，
依题意，，
则，
因为，所以，则同号，
当时，函数，
当时，值域为，
得，
则且函数在上单调递减，
因此，
则是方程，
所以的不小于1的两个不等正根，
整理得，
因为，
解得或，
则，
当时，函数，
当时，值域为，
得，
则且函数在上单调递减，
因此，
则是方程，
所以的不大于的两个不等负根，
将方程化为，
因为，
所以或，
则，
所以，存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，
则或.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知的一元二次不等式的解集和根与系数的关系，从而求出函数的解析式，则将问题转化为恒有三个整数解，再借助二次函数图象得出实数m的取值范围.
（2）由（1）将问题转化为在上恒成立，再按是否为0分类，再结合分离参数法变形和函数的单调性以及基本不等式求最值的方法，从而求出实数k的取值范围.
（3）由(1)和函数的奇偶性求出函数，再根据已知条件可得同号，再分类讨论结合二次函数值域建立方程，从而求解得出a，b的值.
（1）由不等式的解集是，得是方程的两个根，
则，函数，不等式，
由，不等式在上有且仅有三个整数解，得在上有且仅有三个整数解，
即在上有且仅有三个整数解，作出函数的图象，
而不等式的解集为，恰有3个整数解，
不等式的解集为，恰有1个整数解1，因此，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，不等式恒成立，则；
当时，不等式恒成立，
而函数在上单调递增，则，
，当且仅当，即时取等号，
因此，所以实数k的取值范围是.
（3）由（1）得，当时，，
而函数是上的奇函数，则当时，，，
依题意，，即，而，则，即同号，
当时，函数，由当时，值域为，
得，于是，函数在上单调递减，因此，
则是方程，即的不小于1的两个不等正根，
整理得，而，解得或，即，
当时，函数，由当时，值域为，
得，于是，函数在上单调递减，因此，
则是方程，即的不大于的两个不等负根，
方程化为，而，解得或，即，
所以存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，
或.
1 / 1浙江省北仑中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（育英班）
1．命题“” 的否定是（　　）
A． B．
C． D．
2．“”是“”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.当总造价最小时，的长为（　　）
A． B．5 C．4 D．
7．若函数的定义域为，且，则的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
9．下列命题正确的是（　　）
A．对于，恒成立 B．若，则
C． D．若，则
10．已知函数，则下列选项正确的是（　　）
A．若的定义域为，则
B．若的定义域为，则
C．若的值域为，则
D．若在上单调递增，则
11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，的单调减区间为
B．函数为R上的单调函数，则
C．对，不等式恒成立
D．若恒成立，则实数m的取值范围是
12．设全集，若集合，，则　 　.
13．已知函数的值域为，则实数的值为　 　.
14．已知，若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围是　 　.
15．（1） 已知，求的最小值；
（2）若，求的值．
16．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围.
17．已知有限集，若，则称为“完全集”.
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）；
（3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2.
18．已知函数
（1）当时，求函数在的值域；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）当，且满足，求的最小值．
19．已知二次函数，且关于的不等式的解集是．
（1）若且关于的不等式在上有且仅有三个整数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若是定义在上的奇函数，且当时，.是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“” 的否定是： “” .
故答案为：C.
【分析】利用全称命题的否定为特称命题，从而写出命题“” 的否定.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设，，
因为函数在定义域上严格单调递增，
所以，
取，满足，
但不满足，则充分条件不满足；
因为，函数在定义域上严格单调递增，
得，则必要条件满足，
所以“”是“”成立必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性和赋值法，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
3．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，可得①，
②，两式相加得，则.
故答案为：D.
【分析】由，根据不等式的性质求得，结合求解即可.
4．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：令，
则，
所以
解得，
则的定义域为．
所以，对于函数，则，
解得，
则函数的定义域为．
故答案为：C.
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数求定义域的方法，从而求出函数的定义域.
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由函数对定义域内任意实数，
都有成立，
得函数在R上单调递增，
则，
解得，
所以，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性，从而得出实数x的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，设米，
则，
∴总造价，当且仅当时，即当时取等号，
∴总造价最小时，的长为.
故答案为：A.
【分析】由题意，设米，根据总造价等于花坛、阴影部分、四个三角形造价总和得到关于的函数解析式，再利用基本不等式求最值的方法，从而确定对应的x值，进而得出总造价最小时的的长.
7．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由①，
得②，
则①，得③，
由②-③，得，
因为，
所以．
当时，；
当时，；
当时，（当且仅当时，等号成立），
综上所述，的最大值为.
故答案为：B.
【分析】先根据已知条件建立方程组法，从而求出函数解析式，再分类讨论得出函数值的取值范围，从而求出函数的最大值.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【解答】解：设，由题意可知，
因为，
令，则，
所以，
则，
因为函数的定义域为，
所以，
则，
令，则，
所以，
则，
因为是定义在上的单调函数，
所以，
整理得，
解得或（舍）.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设，再代入可得，令，再代入可得，再结合函数的单调性列出方程得出t的值，从而得出函数的值.
9．【答案】A,C
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由，
则对于，恒成立，故A正确；
对于B，因为满足，此时，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，举例，则，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由结合恒成立问题求解方法，则可判断选项A，通过举例法可判断选项B，由幂指数的运算性质可判断选项C；举反例可判断选项D，从而找出真命题的选项.
10．【答案】A,B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于A，由的定义域为，
得成立，
当时，成立，则；
当时，，
解得，
因此，故A正确；
对于B，由的定义域为，
得是不等式的解集，
则，且为方程的两根，
所以，
解得，故B正确；
对于C，由的值域为，
得函数的值域包含，
则，
解得，故C错误；
对于D，由在上单调递增，
得，
解得，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用函数定义域求解方法求出参数m的取值范围，则判断出选项A和选项B；利用函数求值域的方法，从而求出参数m的取值范围，则判断出选项C；利用函数单调性求出参数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，，
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递减，
则当时，的单调减区间为和，故选项A错误；
对于选项B，因为函数为减函数，函数的图象开口向下，
对称轴为直线，
所以，要使函数为上的单调函数，
须使函数在区间上单调递减，
则满足，
解得．故选项B正确；
对于选项C，因为当时，为开口向下的抛物线部分，为向上凸的函数，
则对，不等式恒成立，故选项C正确；
对于选项D，因为函数的图象是由函数图象向右平移1个单位后得到的，
又因为恒成立，
所以，函数的图象恒在函数图象的上方，
当时函数为上减函数，符合题意；
当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，
令，得或，
由图象平移，可得，
解得，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用m的值得出分段函数的解析式，再利用分段函数的图象求出分段函数的单调递减区间，则判断出选项A；利用一次函数的单调性和二次函数的单调性，从而确定的取值范围，则判断出选项B；根据当时函数凹凸性判断不等式是否成立，则判断出选项C；结合函数图象平移和的几何意义，从而求出实数的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：依题意，则或，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和补集的运算法则、交集的运算法则，从而得出集合.
13．【答案】13
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：由题意，可得，
解得，
令（），
则，
所以，开口方向向下，对称轴为，
则在单调递减，
当时，有最大值，
则最大值为，
解得.
故答案为：13.
【分析】令，则，再利用二次函数的开口方向、对称性和单调性，从而得出函数的值域，再根据已知条件得出实数a的值.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴在区间上单调递增，
∴当时，；当时，，
令，
要想关于x的不等式在区间上恒成立，
则当时，；当时，，
∴，
则，
所以，
∴，当且仅当时，即当时取等号.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性，从而得到函数的图象，再利用代入法得到的关系式，再根据基本不等式最值的方法，从而求出的取值范围.
15．【答案】解：（1）由，得，
则，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为9.
（2）由，
得，
则，，
所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
（2）利用已知条件和根式与分数指数幂的互化公式，再结合指数幂的运算法则，从而得出的值.
16．【答案】（1）解：当时，，，
所以.
（2）解：因为集合，
由，得，
当时，即当时，，符合题意，
则；
当时，即当时，，
则，
解得；
当时，即当时，，
则，无解，
所以，m的取值范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用m的值和解一元二次不等式的方法，从而得出集合A和集合B，再利用并集的运算法则得出集合.
（2）根据并集和子集的关系结合集合间的包含关系，从而分类讨论得出实数m的取值范围.
（1）当时，，，
所以.
（2）集合，
由，得，
当，即时，，符合题意，则；
当，即时，，则，解得；
当，即时，，则，无解，
所以m的取值范围或.
17．【答案】（1）解：集合，由完全集的定义：，，
则集合为“完全集”；
（2）解：不妨设，由于，所以，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”；
当时，，故只能，求得，
于是“完全集”只有一个，为；
当时，由，
即有，而，
又，
因此，故矛盾，
所以当时不存在“完全集”，
综上：“完全集”为；
（3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集，
设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根，
由，解得或（舍），
所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾，
所以中至少有一个大于2.
【知识点】集合的表示方法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）直接根据“完全集”的定义计算判断即可；
（2）设，由，可得，当时，求得，当时，，只能，求得，当时，由，推出矛盾，即可证明；
（3）设，由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程根与系数的关系求解证明即可.
（1）集合，由完全集的定义：
，，
所以集合为“完全集”.
（2）不妨设，由于，
所以，当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”；
当时，，故只能，求得，
于是“完全集”只有一个，为；
当时，由，
即有，而，
又，
因此，故矛盾，
所以当时不存在“完全集”，
综上：“完全集”为.
（3）证明：若是两个不同的正数，且是完全集，
设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根，
由，解得或（舍），
所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾，
所以中至少有一个大于2.
18．【答案】（1）解：当时，，
因为，所以，
所以函数的值域为；
（2）解：由，得，所以，
①、当，即时，原不等可化为，不等式的解集为，
②、当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为或，
③、当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为，
综上：当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为或，
当时，不等式解集为；
（3）解：由，得，所以，
，
当且仅当，即时取得最小值为.
【知识点】函数的值域；一元二次不等式及其解法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入，分离常数可得，再根据求函数的值域即可；
（2）原不等式转化为，分，，讨论，求不等式的解集即可；
（3）由，得，则，利用配凑法，结合基本不等式求最小值即可.
（1）当时，，因为，所以，
所以函数的值域为.
（2）由，得，所以，
①当，即时，原不等可化为，不等式的解集为，
②当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为或，
③当，即时，不等式对应方程的根，
所以不等式的解集为，
综上：当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为或，
当时，不等式解集为.
（3）由，得，所以，
从而
，
当且仅当，即时取得最小值为.
19．【答案】（1）解：由不等式的解集是，
得是方程的两个根，
则，
因为函数，
所以不等式，
由，不等式在上有且仅有三个整数解，
得在上有且仅有三个整数解，
则在上有且仅有三个整数解，
作出函数的图象如下：
因为不等式的解集为，恰有3个整数解，
又因为不等式的解集为，恰有1个整数解1，
所以，
则实数的取值范围是.
（2）解：由（1）知，
不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
当时，不等式恒成立，则；
当时，不等式恒成立，
因为函数在上单调递增，
所以，
又因为，当且仅当时，即当时取等号，
因此，
所以实数k的取值范围是.
（3）解：由（1）得，当时，，
因为函数是上的奇函数，
则当时，，，
依题意，，
则，
因为，所以，则同号，
当时，函数，
当时，值域为，
得，
则且函数在上单调递减，
因此，
则是方程，
所以的不小于1的两个不等正根，
整理得，
因为，
解得或，
则，
当时，函数，
当时，值域为，
得，
则且函数在上单调递减，
因此，
则是方程，
所以的不大于的两个不等负根，
将方程化为，
因为，
所以或，
则，
所以，存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，
则或.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知的一元二次不等式的解集和根与系数的关系，从而求出函数的解析式，则将问题转化为恒有三个整数解，再借助二次函数图象得出实数m的取值范围.
（2）由（1）将问题转化为在上恒成立，再按是否为0分类，再结合分离参数法变形和函数的单调性以及基本不等式求最值的方法，从而求出实数k的取值范围.
（3）由(1)和函数的奇偶性求出函数，再根据已知条件可得同号，再分类讨论结合二次函数值域建立方程，从而求解得出a，b的值.
（1）由不等式的解集是，得是方程的两个根，
则，函数，不等式，
由，不等式在上有且仅有三个整数解，得在上有且仅有三个整数解，
即在上有且仅有三个整数解，作出函数的图象，
而不等式的解集为，恰有3个整数解，
不等式的解集为，恰有1个整数解1，因此，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，不等式恒成立，则；
当时，不等式恒成立，
而函数在上单调递增，则，
，当且仅当，即时取等号，
因此，所以实数k的取值范围是.
（3）由（1）得，当时，，
而函数是上的奇函数，则当时，，，
依题意，，即，而，则，即同号，
当时，函数，由当时，值域为，
得，于是，函数在上单调递减，因此，
则是方程，即的不小于1的两个不等正根，
整理得，而，解得或，即，
当时，函数，由当时，值域为，
得，于是，函数在上单调递减，因此，
则是方程，即的不大于的两个不等负根，
方程化为，而，解得或，即，
所以存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，
或.
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