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内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校2025-2026学年第二学期阶段性学科素养综合评价 八年级 数学 试卷
一、单选题
1．使式子有意义的的范围是（　　）
A． B．且 C． D．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．7，24，25 B．8，15，17 C．9，12，15 D．10，15，20
3．下列说法错误的是（　　）
A．勾股定理适用于所有三角形
B．勾股定理描述了直角三角形三边的数量关系
C．勾股定理的逆定理可用于判定直角三角形
D．常见的勾股数有3，4，5；5，12，13等
4．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
5．一根垂直于地面的旗杆在离地面12米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处，则旗杆折断前的高度为（　　）
A．13米 B．25米 C．17米 D．18米
6．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　）
A． B． C． D．12s
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．7 C．5或 D．7或25
8．如图在Rt中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知是整数，则正整数的最小值是______.
10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______．

11．已知x、y为实数，且，则__________．
12．如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得___________．

三、解答题
13．计算
(1)
(2)
(3)
14．已知，求：
(1)
(2)代数式的值．
15．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值．
16．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3）
17．综合与探索
勾股定理是解析几何发展中必不可少的基础性工具，而在定义一些高维度空间中两点间的距离时，也常使用勾股定理或其变形作为一种重要的刻画距离的方式．
(1)如图1，点A的坐标是___________，点B的坐标是___________，点A，B之间的距离为___________．
(2)如图1，点与点的坐标分别是，则点与点之间的距离为___________．
(3)如图2，点与点的坐标分别是，则点A，B之间的距离为___________．
18．综合应用
(1)如图1，和都是等腰直角三角形，的顶点E在的斜边AC上，求证：；
(2)如图2，，当时，求点与点之间的距离．
参考答案
1．A
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，
∴对于式子，可得不等式 ，
解不等式得 .
2．D
【详解】解：对选项A：，且均为正整数，则7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意；
对选项B：，且均为正整数，则8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意；
对选项C：，且均为正整数，则9，12，15是勾股数，故本选项不符合题意；
对选项D：，，，不满足勾股数的条件，则10，15，20不是勾股数，故本选项符合题意．
3．A
【详解】解：A、勾股定理仅适用于直角三角形，故A选项说法错误，符合题意；
B、勾股定理的内容就是描述直角三角形三边的数量关系，故B选项说法正确，不符合题意；
C、勾股定理的逆定理可通过三边的数量关系判定一个三角形是否为直角三角形，故C选项说法正确，不符合题意；
D、，，3，4，5和5，12，13都是勾股数，故D选项说法正确，不符合题意；
4．A
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故选：A．
5．B
【详解】解：∵旗杆垂直于地面，
∴未折断的旗杆部分、旗杆底部到落地点的地面部分、折断部分构成直角三角形，
设折断部分的长度为米，
根据勾股定理可得：
∵长度为正数，
∴，
∴旗杆折断前的高度为（米）．
6．C
【详解】解：∵ ，
∴ ．
7．D
【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，
得42+32=，所以=25；
②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，
得=42-32，所以=7；
故=25或7
故选：D．
8．A
【详解】解：∵∠OAB= 90°，OA= 2，AB= 1，
∴OB=
∵BC= AB= 1，
∴OC=OB- BC=-1，
∴ OP=-1，
∴P点对应的实数是-1，
故选：A．
9．6
【详解】∵，且是整数，
∴2是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为6．
10．47
【详解】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
11．0或-8
【详解】解：根据题意知，
解得x=±4，
则y=4，
∴或，
故答案为：0或-8．
12．
【详解】解：由勾股定理得：
，，，，…；
依此类推可得：，
∴，
故答案为：．
13．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
14．(1)8
(2)
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
．
15．(1)证明见解析
(2)24
【详解】（1）解：∵阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积，
；
（2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，
，
，
；
16．20米
【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知，
∵圆柱底面半径为米，取3，
∴底面圆的周长的一半米．
∵圆柱的高为12米，
米．
在中，由勾股定理得，米．
故答案为：20米．
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：连接
如图1，点A的坐标是，点B的坐标是，
∴由勾股定理得点A，B之间的距离为；
（2）解：过点分别作轴的垂线，交于点，则
∵点与点的坐标分别是
∴
∴；
（3）解：由图2可得，，，，
∴在中，由勾股定理得，．
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
和都是等腰直角三角形
且，
，，
，
又
在中，根据勾股定理，
即
（2）解：如图，连接，
在Rt中，根据勾股定理可得．
根据三角形面积公式可得，
由旋转可知．
，
在中，根据勾股定理可得，
在Rt中根据勾股定理可得
∴点与点之间的距离为；

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