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2025-2026学年宁夏银川市贺兰县北塔中学七年级（下）期末
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.年，搭载水质分析系统的“蛟龙号”深潜器在深海热泉口开展探测任务，传感器在采集的水样中，发现了一种未知的极端微生物，它的直径仅为将数据用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，已知，，下列条件中，无法判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
4.将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.从如图所示的张印有图案的卡片除所印图案外其他都相同中任取张，取出的卡片是轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
6.满足下列条件的，不是直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. D. ：：：：
7.如图，中，，，点是上任一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.无人机在军事、农业、航拍、物流、安防、电力、环保、科研与教育等多个领域发挥着越来越重要的作用，无人机爱好者小军有一次操控无人机从点出发派送物品到指定地点，如图是飞行路程随时间变化的关系图象下列分析错误的是( )
A. 无人机从出发点到指定派送点行驶的路程为
B. 在内，无人机的平均速度为
C. 在内，无人机在进行加速运动
D. 在内，无人机在进行匀速运动
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，在河岸的某段有一个饮用水水源保护区，某市要在附近新建一个自来水厂，将水引至工厂净化施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处这样修建的引水管最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 ．
10.已知，，则 ．
11.如图所示，有一个不规则的图案图中画图部分，小帆想估算该图案的面积他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果，则不规则图案的面积大约为 ．
12.在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的时间单位：和水温单位：的数据：则水沸腾之前，水温与时间之间的关系式为 ．
13.已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ．
14.如图，在中，，，在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点若，则的面积为 ．
15.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线交于点，交于点，点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
16.如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 时，与全等．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.计算：
18.先化简，再求值：，其中．
四、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
在这次研究中，一共调查了______名学生；
补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是______；
在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______；
若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生人数．
20.本小题分
如图，在中，
尺规作图：作边的垂直平分线，交边于点，交边于点；要求：保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，，求的长
21.本小题分
如图，和的顶点都在边长为的正方形组成的网格的格点上，且和关于直线成轴对称
的面积为
请在网格中作出直线
请在直线的上方找一点不与点重合，作出，使≌无需证明
22.本小题分
已知：如图，，．
若，求的度数；
求证：．
23.本小题分
盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示：
重量单位：千克
指针转过的角度
请直接写出 ，
设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为
指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由
某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的倍多千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果
24.本小题分
如图，已知：，，点在边上，且．
求证：≌；
如果为中点，，求的度数．
25.本小题分
综合与实践：
【基础巩固】如图，已知与相交于点，是的中点，求证：≌
【深入探究】如图，在的条件下，过点，分别作于点，于点，若当，时，求的长
【拓展探究】如图，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使，三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由
26.本小题分
我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，，分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．
请利用图证明勾股定理
图是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为，求的值
如图，若正方形的边长为，，，连接，求的长
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】垂线段最短
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】或
17.【答案】【小题】
【小题】

18.【答案】，．
19.【答案】解：；
爱好阅读人数为：名，
补全条形统计图，如图所示，
；
；
名
答：其中爱好运动的学生大约是名．
20.【答案】【小题】作的垂直平分线，如图，直线即为所求，
【小题】如图，连接，
垂直平分，
，
设，则，
，
，
，

21.【答案】【小题】
【小题】
直线，如图即为所求；
【小题】
使≌的，如图即为所求．

22.【答案】解：，
，
，
又，
，
即；
，
，
又，
，
．
23.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
不会，理由如下：
由可得盘秤转过的角的数值与物体的重量之间的关系式为，
当时，转过的角度，
，
称量千克的物品不会对盘秤造成损伤
【小题】
设第一次称重的重量为千克，则第二次称重的重量为千克，
由可得盘秤转过的角的数值与物体的重量之间的关系式为，
指针第二次转过的角度比第一次大，
，
解得，
第一次称重的重量为千克，则第二次称重的重量为千克，
千克
该顾客一共购买了千克水果

24.【答案】证明：，
，
即．
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
，
，
，
点为中点，
，
在和中，
≌，
，
．
25.【答案】【小题】证明：是的中点，
，
在和中，
，
≌
【小题】解：在的条件下，，≌，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，，，
，，
【小题】证明：，，，
≌，
，，
，，，
≌，
，
，
，
若测量出，则河流．

26.【答案】【小题】证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为，
，
，
【小题】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，
，，，
【小题】解：如图，延长交于点，
正方形的边长为，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，，，
在中，

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