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2025-2026学年重庆市荣昌区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题
1.式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.如图， 中，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
3.一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
4.若为正整数，且满足，则的值( )
A. B. C. D.
5.一次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.一组数据是：，，，，，，，，，下列各数中，不是这组数据的四分位数的是( )
A. B. C. D.
7.下列各组数不能作为直角三角形三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
8.下列命题：平行四边形的对角线相等；矩形的对角线相等；菱形的对角线互相垂直；正方形的对角线相等且互相垂直其中是真命题的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.如图，正方形中，，点是的中点，连接，将绕点的逆时针旋转得到线段，连接并延长交延长线于点，连接，则长为( )
A. B. C. D.
10.已知多项式，，其中为正整数，下列说法：
当时，一定成立；
当的值为正数时，的最小值为；
当时，若为正整数，则整数的值仅有个．
其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
11.一组数据：，，，，的平均数是，这组数据的离差平方和是 ．
12.如图，中，，，，则 ．
13.已知函数，当时，函数值是 ．
14.若实数，同时满足，，则的值是 ．
15.如图，矩形中，边，作等腰直角三角形，，，连接，，若，则线段 ，线段 ．
16.如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为，其百位数字与个位数字的和为，我们称这样的三位自然数为“九久数”，例如：三位数，其各位数字互不相等且均不为，百位数字与个位数字的和为，所以是“九久数”最小的“九久数”是 ；记若一个“九久数”使能被整除，则满足题意的的最大值是 ．
三、解答题
17.计算：．
18.在学习平行四边形后，小刚同学对平行四边形进行了探究，并与学习同伴进行了交流．
现在你作为他的同伴，请根据他提供的想法和思路，完成以下作图和填空：
第一步：作图．
小刚在 中，作了如图请你用尺规完成基本作图：作的平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法．
第二步：利用全等三角形的知识证明结论．
证明：四边形是平行四边形，
，，．
，
．
是的平分线，
．
______．
在和中，
，
≌．
．
19.先化简，再求值：，其中．
20.某校开展了关于“我劳动我快乐”劳动知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了名学生的成绩成绩为百分制且为整数进行整理、描述和分析成绩均不低于分，用表示，共分四组：；；；，下面给出了部分信息：
七年级学生竞赛成绩在组的数据为：，，，，，，．
八年级名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
填空： ， ，
根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由写出一条即可
该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到分及以上的学生人数共有多少人？
21.综合与实践．
【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇如图均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成如图，荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题．
【数据测量】测得，两种型号折扇收拢时的数据左侧为扇面部分，如图所示．
【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图所示．根据该学习小组所测量的数据结合图，完成填空：
如图，要裁剪种型号折扇的扇面需要的矩形称为型矩形长是 ，宽是 ；要裁剪种型号折扇的扇面需要的矩形称为型矩形长是 ，宽是 ．
【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图，用这块夏布来裁剪出型矩形和型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪型矩形和型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪型矩形和型矩形
请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出型矩形和型矩形各多少块？
【拓展应用】一块型扇面销售价为元，一块型扇面销售价为元
在的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？
22.如图，已知中，，，动点从点出发，沿路线以个单位每秒的速度匀速运动，同时点从点出发，沿路线以个单位每秒的速度匀速运动，设点运动时间为秒，线段的长度为，线段的长度为．
直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围
在图中给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据函数图象分别写出函数，的一条性质
接合函数图象，直接写出时的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过
23.如图，四边形是校园小湖步道．某班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正东方向、点在东北方向，在点处测得点在正西方，点在南偏东方向；第二小组测得米．参考数据：，，，
计算的长度计算结果保留到根号形式
学校购置了两台机器人清扫小湖步道，甲机器人清扫路线是方向，乙机器人清扫路线是方向，已知甲机器人清扫的速度是每分米，乙的清扫速度是每分米．两台机器人同时开始工作，多少时间能够相遇？计算结果保留整数
24.如图，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是．
求该一次函数的解析式
将正比例函数的图象沿轴向右平移个单位长度得到直线，点对应点为，直线与直线交点为点，轴上有一动点，轴上有一动点，连接，，，当取最小值时，求点的坐标及的最小值
在的条件下，点为直线上一点，若，请直接写出点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程
25.菱形中，，点是菱形所在平面内一点，连接，
如图，当时，满足，垂足为点，若，求四边形的面积
如图，当时，在上取一点，连接，，若猜想并用等号表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论
如图，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点在直线上运动的过程中，当的长度取最小值时，直接写出的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】．
18.【答案】，，．
19.【答案】化简结果为，原式的值为．
20.【答案】【小题】
【小题】
八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由如下：
两个年级成绩的平均数一样，但七年级成绩的中位数，众数均低于八年级，
八年级学生的知识竞赛成绩较好
【小题】
该校七年级有学生人，八年级有学生人，
人，
估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到分及以上的学生人数共有人

21.【答案】【小题】
【小题】
横向分割：型矩形的列数：，型矩形的列数：，
型矩形有列，型矩形有列，
设型矩形有行，型矩形有行，
，
，
无正整数解，
当，时，结果小于，且与最接近，
型矩形的数量为：块，型矩形的数量为：块；
纵向分割：型矩形的行数：行，型矩形的行数：行，
设型矩形有列，型矩形有列，
，
，
解得：或，
型矩形的数量为：块，型矩形的数量为：块或型矩形的数量为：块，型矩形的数量为：块；
综上：横向分割：型矩形块，型矩形块；纵向分割：型矩形块，型矩形块或型矩形块，型矩形块
【小题】
元；
元，
元，
，
纵向分割型矩形块，型矩形块销售额最大，为元

22.【答案】【小题】，；理由如下：
根据题意，设点运动时间为秒，，动点从点出发，沿路线以个单位每秒的速度匀速运动，
当时，，当时，，
；
，点从点出发，沿路线以个单位每秒的速度匀速运动，
【小题】列表如下：
函数，的图象，如图即为所求；
针对函数，当，随的增大而增大；针对函数，在中，随的增大而增大
【小题】根据函数图象，当时，

23.【答案】【小题】过作于，于，
由题意知：，
四边形是矩形，
，
，，
米，
米，
米，
，，
是等腰直角三角形，
米
【小题】设两台机器人分钟能够相遇，
四边形是矩形，
米，
米，
米，
，
．
答：两台机器人约分钟能够相遇

24.【答案】【小题】点的横坐标是，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
【小题】由平移可得直线的解析式为，，
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，
，，
，
的最小值为，
当时，解得，
，
，
，
的最小值为，
直线的解析式为，
【小题】当点在的下方时，过点作交于点，过点作轴，过点作交于点，过点作交点，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
直线的解析式为，
当时，解得，
；
当点在的上方时，过点作交于点，过点作轴交于点，过点作交于点，
≌，
，，
，
直线的解析式为，
当时，解得，
；
综上所述：点坐标为或

25.【答案】【小题】四边形是菱形，，
，
，即，
，
，，
，
．
，，
，
，
在菱形中，，
四边形的面积
【小题】，
证明：如图，连接，，设与交于点，
四边形是菱形，
，，，．
．
四边形是菱形，
，，
，
又，
≌，
．
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
【小题】如图，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，
由旋转得，，，，
，即，
≌，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
点在垂直于的直线上运动，
当时，取得最小值．
，
，
此时点为和的交点，
如图，过点作于点，
设，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，

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