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2025-2026学年黑龙江省大庆市第一中学八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题
1.用个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
2.如果、都不为零，且，那么下列比例中，正确的是( )
A. B. C. D.
3.将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是( )
A. B. C. D.
4.如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是( )
A. B.
C. D.
5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.在中，是边上的中线，点在上，且若，，则的长度为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
10.抛物线的图象如图所示，对称轴为直线下列说法：；为实数；；若和为图象上两点，且，则其中正确的个数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.如果函数是关于的二次函数，则 ．
12.在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有 个
13.如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，且相似比为，点在的边上，则点在上的对应点的坐标为 ．
14.在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律如图，为一凸透镜，是凸透镜的焦点在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于点若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是 ．
15.如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点连接、，若的面积为，则的值为 ．
16.如图，在由边长为的小正方形组成的网格中点，，，都在这些小正方形的格点上，、相交于点，则的正切值为 ．
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，为线段上一动点不与点、重合为第三象限内抛物线上一动点，连接并延长垂直轴于点，过点作的垂线，与轴交于点，则的最大值为 ．
18.如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，若，则边的长 ．
三、解答题
19.解方程：
20.计算：．
21.已知关于的一元二次方程
若方程有两个实数根，求实数的取值范围
若方程的两个实数根，满足，求的值
22.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是随机抽取的全校部分学生的模型设计成绩成绩为百分制，用表示，并整理，将其分成如下四组：：，：，：，：下面给出了部分信息：
模型设计成绩的频数分布直方图模型设计成绩的扇形统计图
根据以上信息解决下列问题：
本次共抽取了______名学生的模型设计成绩，补全直方图，在扇形统计图中组对应圆心角的度数为______
请估计全校名学生的模型设计成绩不低于分的人数
现从组中选出一男一女，组中选出两男一女，然后从选出的两组人中各选一名做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率
23.综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌．
Ⅰ求点到地面距离的长；
Ⅱ求建筑物的高度结果保留整数．
参考数据：，，，
24.长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分．
求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围；
大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
25.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点
求反比例函数与一次函数的表达式
结合图象直接写出关于的不等式的解集
直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点，使的值最小，此时最小值为
26.已知：中，，、为、边上的点，且，．
求证：∽；
，，，∽，求的长．
27.如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．
求抛物线的表达式
是线段上方抛物线上的一动点，连接、，求面积的最大值以及此时点的坐标
将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交直线于点，且请直接写出所有符合条件的点的坐标
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】【小题】原方程变形可得：
，
，
当时，；
当时，；
，
【小题】原方程因式分解可得：
，
或，
解得，

20.【答案】
21.【答案】【小题】由条件可知：
，解得．
即实数的取值范围为
【小题】由条件可知，，
又，
，解得，．
由知，故不符合要求舍去，因此

22.【答案】【小题】；补全直方图：
；
【小题】成绩不低于分对应组和组，总人数为人，
全校名学生中，估计人数为：人
【小题】记组：男生，女生；组：两名男生，，女生，
列表如下：
由表可知，其中“一男一女”的结果有种，共有种等可能的结果，

23.【答案】Ⅰ由题意得：，，，
；
Ⅱ在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌
过点作于点，根据题意，，，，

，
，，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
解得，
答：建筑物的高度约为．
24.【答案】解：设段所对应的反比例函数关系式为．
由条件可得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．
设直线的函数关系式为．
由条件可得，
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
小时．
答：草莓一天内最适合生长的时间有小时．
25.【答案】【小题】
反比例函数的图象过点，
，
解得，
反比例函数解析式为．
将代入，．
．
把，代入，
得
解得，
一次函数解析式为
【小题】
由图象可知，直线在双曲线下方的范围是或，
不等式解集为或
【小题】

26.【答案】证明：，，
，
，
，
，
∽；
解：过作于，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．

27.【答案】【小题】抛物线与轴交于点、，与轴交于点，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为
【小题】，，
，
设所在直线表达式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
所在直线表达式为，
如图，过点作于，交于，
设点，
，
，
，
当时，的面积的最大值为，
点
【小题】由题意得，
，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，
平移方式为将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位，
，
，点的对应点为，
，即，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
直线在一三象限的角平分线上，与轴的夹角为，
直线与直线与轴所成的夹角相等，
，
，
情况：如图，取点，当点在轴上方时，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点在直线上，
设，
，
解得：，
，
，
可得直线的表达式为，
联立得：，
解得：或不合题意，舍去，
；
情况：如图，当点在轴下方时，过点作交直线于点，与轴交点，过点作交直线于点，
设直线的解析式为，交点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，，
，
，
此时直线与抛物线的交点即为所求的，
，
，
在中，，
，
，即，
，即，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
设直线的解析式为，将点代入得：，
直线的解析式为，
联立得：
解得：或不合题意，舍去，
，
综上所述，点的坐标为或

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