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2025-2026学年江苏省兴化中学高二下学期七月份月考
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 定义集合运算：，已知集合，，则集合的元素个数为（）
A.4 B.5 C.6 D.7
2. 已知实数，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为（）
A.2 B.4 C.6 D.8
4. 为研究某学科刷题时长与考试得分的相关性，统计得到一组样本数据，拟合回归直线，已知样本中心点为，且刷题时长每增加1小时，得分平均提升9.9分，则回归方程为（）
A. B. C. D.
5. 某车间批量生产零件，每件零件为合格品的概率为0.9，合格品盈利30元，不合格品亏损40元，批量生产150件零件的利润均值为（）
A.3150元 B.3450元 C.4050元 D.4350元
6. 已知函数，则是在上单调递增的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 已知抛物线，过抛物线上两点的弦长，则的最小值为（）
A.4 B.6 C.8 D.10
8. 由数字组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）
A.12 B.14 C.16 D.18
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知等差数列的公差，首项，且满足，为数列前项和，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
10. 已知函数，下列关于函数的性质说法正确的是（）
A. 在上单调递增 B.在上单调递减
C. 的值域为 D. 为非奇非偶函数
11. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为1 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，第12～14题每题5分，第15题6分，共21分。
12. 已知随机变量，满足正态分布参考数据：，，则________。
13. 若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则________。
14. 已知向量满足，且，则与的夹角为________。
15.已知数列满足，且，则数列的通项公式________，数列的前项和________。
四、解答题：本题共5小题，共71分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，步骤完整、逻辑清晰方可满分。
16.（13分）
在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点为的中点。
(1) 求证：平面；
(2) 求二面角的余弦值。
17.（14分）
已知数列的前项和为，且满足，数列满足。
(1) 求的通项公式；
(2) 定义分段数列，求数列的前项和。
18.（14分）
已知椭圆的左右焦点分别为，坐标原点为，点为椭圆第一象限内动点，射线交椭圆于点，射线交椭圆于点，若。
(1) 求动点的轨迹方程；
(2) 求直线的固定方程，并证明直线恒过定点。
19.（15分）
甲、乙两人进行羽毛球定点发球比赛，每轮两人各发球一次，甲先发。规则：仅一人发球成功时，成功者得1分、失败者扣1分；两人均成功或均失误时，两人得分不变；一方累计得分达4分时，比赛结束，该方获胜。已知甲发球成功率为，乙发球成功率为，各次发球相互独立。
(1) 设一轮比赛中甲的得分为随机变量，求的分布列与数学期望；
(2) 记为甲当前得分为时最终获胜的概率，证明数列为等比数列，并求甲最终获胜的概率。
20.（15分）
已知函数。
(1) 若，求函数的极值；
(2) 若函数的最小值为0，求实数的值；
(3) 设点为函数图像上任意一点，若存在定点，使得点到的距离平方恒为定值，求该定值。
参考答案
一、单项选择题（5分×8=40分）
1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.A 7.B 8.C
二、多项选择题（6分×3=18分）
9.BCD 10.ACD 11.BD
三、填空题（21分）
12.0.9545 13.1 14.
15.；
四、解答题
16. (1) 取中点构造中位线，可证线面平行；(2) 二面角余弦值为。
17. (1)；(2) 。
18. (1) 结合面积关系求得轨迹为椭圆局部；(2) 直线恒过定点。
19. (1) 分布列取值，期望；(2) 求得甲获胜概率。
20. (1) 极大值，极小值；(2) ；(3) 定点距离定值为2。

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