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2025-2026学年湖北省十堰一中高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知点A（1，2），B（1，-1），则直线AB的倾斜角的大小为（　　）
A. B. C. D. 不存在
2.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（　　）
A.
B.
C. -
D.
3.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3=，S3=，则公比q=（　　）
A. 1或- B. - C. 1 D. -1或
5.点M为双曲线y2-x2=1的渐近线上一点，点N为圆C：x2+y2+4x+3=0上一点，则|MN|的最小值为（　　）
A. 1 B. C. D.
6.数列{an}中，a2=2，an=2an-1-1（n≥2），前n项和为Sn，则下面正确的是（　　）
A. a1=1 B. {Sn}有最大值
C. D.
7.设椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（3c,0）在椭圆外，过A的直线交椭圆Γ于P，Q两点，且P是线段AQ的中点，如图所示，若直线PQ，QF1的斜率之积为，则椭圆的离心率为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（　　）
A.
B. 2
C.
D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知直线l：kx-y+1-k=0与圆M：x2+y2-4x-4y+4=0，下列说法正确的是（　　）
A. 直线l在x轴和y轴上截距相等，则k=-1或1
B. 过点（0，3）且与圆M相切的直线方程为x=0或3x-4y+12=0
C. 直线l与圆M可能相交，可能相切，也可能相离
D. 当且仅当k=-1时，直线l被圆M截得的弦最短
10.已知数列{an}满足，则（　　）
A. a1=1
B. an=n+1
C. 当且仅当n=6时，数列{2an-15}的前n项和最小
D. 数列的前n项和为Sn，则S2026=-1012
11.已知O为坐标原点，点A（-2，-1）在抛物线C：x2=-2py上，过点B（0，1）的直线交C于P，Q两点，则下列结论中正确的是（　　）
A. 抛物线C的焦点坐标为（0，-1）
B. 为定值3
C. |BP||BQ|＞|BA|2
D. 若点P关于y轴的对称点为T，则直线TQ过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系Oxyz中，平面α的法向量=（1，2，2），点P（3，4，5）在α内，则原点O到α的距离为 .
13.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q.若△PQF是锐角三角形，则|PF|的取值范围是 .
14.某校数学兴趣小组创作了如下图数表，该数表的第一行是数列{n}，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和.如：3=1+2，12=5+7…各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和Sn= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}为等差数列，a5=10，a4为a2和a8的等比中项.
（1）求数列{an}通项公式；
（2）若数列{an}单调递增，求数列的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
如图，四边形CDEF为矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，AB∥CD，AD⊥DC，.
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求直线BC与平面BEF所成角的大小.
17.(本小题15分)
已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点N（2，0）是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点H（0，1）且倾角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点，以NA、NB为邻边作平行四边形，求此平行四边形的面积.
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，点A1在平面ABC上的射影为BC的中点O.
（1）若AB⊥AC，BC=BB1.
①求证：BC⊥AA1；
②求平面ABB1与平面AB1C夹角的余弦值；
（2）记线段CC1的中点为C2，线段CC2的中点为C3，线段的中点为Ck+1，如此得到点列C1，C2，…，Cn.已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为常数V，三棱锥Cn-AB1C的体积为Vn，数列前n项和为Sn，求证：.
19.(本小题17分)
已知R是圆上的动点，点，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，且MS∥NL，如图1，图2所示，记动点L的轨迹为曲线C.
（1）求证：||LM|-|LN||为定值，并求曲线C的方程；
（2）若过点P（-2，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，且A，B位于x轴同侧.
①若△AOB的面积不大于，求直线l斜率的取值范围；
②在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请给出你的结论，并证明.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】7
13.【答案】（2，+∞）
14.【答案】n 2n-1
15.【答案】设等差数列{an}的公差为d,
由题可得：可得，
即，
即，解得或，
故an=10或an=2+（n-1）×2=2n.
因为数列{an}单调递增，可知an=2n,
则，
则
=（2+4+6+…+2n）+（41+42+43+…+4n）
=
16.【答案】证明：因为四边形CDEF为矩形，所以DE⊥CD，
因为平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，DE 平面CDEF，
所以DE⊥平面ABCD，
因为BC 平面ABCD，所以BC⊥DE，
在平面ABCD中，因为AB∥CD，AD⊥DC，所以AB⊥AD，
又因为，
故△ABD为等腰直角三角形，则∠ABD=45°，
所以∠BDC=45°，且，
由余弦定理可得，
所以BC2+BD2=CD2，则BC⊥BD，
因为BD∩DE=D，BD、DE 平面BDE，
所以BC⊥平面BDE
因为DE⊥平面ABCD，AD⊥CD，
以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（0，2，1），
所以，，，
设平面BEF的一个法向量为，
则，则，
取x=1，可得，
，
设直线BC与平面BEF所成角为θ，
则．又，
所以直线BC与平面BEF所成角的大小为
17.【答案】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点N（2，0）是椭圆的右顶点，
则a=2．，
所以．
又b2+c2=a2，
所以b2=2
所以椭圆的方程为
由题意得直线l的方程为：y=x+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
消y得3x2+4x-2=0，
所以，
则 =，
因为N（2，0）到直线l：x-y+1=0的距离，
即
18.【答案】①证明：连接AO，如下图所示：
易知AO⊥BC，
点A1在面ABC上的射影为BC的中点O，则A1O⊥面ABC，
BC 面ABC，则A1O⊥BC，
AO∩A1O=O，AO，A1O 面AOA1，则BC⊥面AOA1，
AA1 面AOA1，则BC⊥AA1；
②建立空间直角坐标系，如下图所示：
A（1，0，0），B（0，-1，0），C（0，1，0），，
，，，
，
设平面ABB1的法向量为，
，，
令z1=1，则，
同理可得平面ACB1的法向量，
设平面ABB1与平面AB1C夹角为θ，
证明：，
Cn+1为线段CCn的中点，则，
数列{Vn}是首项为，公比为的等比数列，
则．
，
，
n∈N*，则，
所以
19.【答案】证明：圆的半径，圆心为，
由MS∥NL，|MR|=|MS|，得∠LRN=∠MRS=∠MSR=∠LNR，那么|LR|=|LN|，
因此为定值，
而，则||LM|-|LN||＜|MN|，于是点L的轨迹是以M，N为左右焦点，
实轴长的双曲线（除顶点外），半焦距，那么虚半轴长，
因此曲线C的方程为
①设直线l为x=my-2，A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2＞0，
根据，化简得（m2-2）y2-4my+2=0，由，
得m2≠2，根据韦达定理可得，m2＞2，
原点O到直线AB距离为，而，
=，整理得5m4-21m2+18≥0，
因此m2≥3，解得或，则或，
所以直线l斜率的取值范围是．
②证明：在x轴上存在定点Q（-1，0），使得△QAB的内心在一条定直线上，
证明如下：由①知，，y1+y2=2my1y2，
假定在x轴上存在定点Q，使得三角形QAB的内心在一条定直线上，令点Q（t,0），
，
=，当t=-1时，kAQ+kBQ=0，直线AQ，BQ关于直线x=-1，
即直线x=-1平分∠AQB，△QAB的内心在直线x=-1上，
所以在x轴上存在定点Q（-1，0），使得△QAB的内心在定直线x=-1上
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