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2025-2026学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.的值是（　　）
A. 11 B. 17 C. 126 D. 132
2.下列函数中存在极值点的是（　　）
A. y=x3 B. y=ex-1 C. y=2lnx D. y=sinx
3.若水池的排水量V（单位：m3）与时间t（单位：s）满足函数关系式V=f（t），则f′（4）的实际意义是（　　）
A. 4秒时水池的排水量 B. 4秒内水池的排水总量
C. 4秒时水池排水量的瞬时变化率 D. 4秒内水池排水量的平均变化率
4.在空间直角坐标系O-xyz中，点P（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标为（　　）
A. （-3，2，1） B. （-3，-2，1） C. （3，-2，-1） D. （-3，2，-1）
5.如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有（　　）
A. 11条
B. 12条
C. 13条
D. 14条
6.在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），D（3，1，0），则点D到平面ABC的距离为（　　）
A. B. C. D.
7.甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）=lnx-kx,若存在唯一整数t,使得f（t）＞0，则实数k的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列选项中正确的有（　　）
A. 若随机变量ξ～N（5，σ2），P（ξ＜1）=0.1，则P（ξ＞9）=0.1
B. 若随机变量ξ的数学期望E（ξ）=4，则E（2ξ-1）=8
C. 研究两个变量的相关性时，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的相关性越强
D. 进行独立性检验时，统计量χ2的值越大，判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小
10.某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（　　）
A. 从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案
B. 从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案
C. 8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案
D. 8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案
11.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P，Q，R分别是棱DD1，AD，C1D1的中点，点M在四边形BCC1B1及其内部运动，则下列选项中正确的有（　　）
A. 存在点M，使得AR⊥MR
B. 存在点M，使得AM+MR=8
C. 若A1M∥平面CPQ，则直线A1M与AB所成的角可能为15°
D. 三棱锥M-DPQ的外接球半径的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间四边形OABC中，，，，若，，则= （用向量表示）.
13.已知函数在（1，3）上单调递增，则实数a的最大值为 .
14.从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,则：
（1）P（a＜b＜c＜d）= ；
（2）P（a＜b＜c＜d|a≤b≤c≤d）= .（结果用最简分数表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知.
（1）求f（x）展开式中含x5项的系数；
（2）求证：f（4）+1能被10整除.
16.(本小题15分)
为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析.
（1）将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表：
施肥 不施肥 合计
发育正常 70 30
发育不正常 40
合计 200
请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由.
（2）对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降.从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量x（g）与产量y（g），数据如表：
农作物编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
过量施肥量x（g） 0 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 2.5
产量y（g） 100 85 85 85 80 75 75 70 70 75
经计算，=15，=800，=29，=1135，求y关于x的线性回归方程.
附：χ2=
P（χ2≥x0） 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD⊥侧面MCD，△MCD是正三角形，E是MC的中点.
（1）求证：DE⊥平面MBC；
（2）若，且直线AF与平面MCD所成角的正弦值为.
（i）求λ的值；
（ii）求平面ADF与平面MBC所成的锐二面角的余弦值.
18.(本小题17分)
袋中共装有大小相同的20个红球和10个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取1个.
（1）若每次取出小球后放回，连取3次，记取出黑球的次数为X，求X的概率分布和方差；
（2）若每次取出的小球不放回，
（i）记前n次取球中（2≤n≤22），取出黑球次数为2的概率是f（n），求f（n）取最大值时n的值；
（ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是ξ，求ξ的数学期望.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x2+4x-aln（x+1），a∈R.
（1）若a=4，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点b,
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：ea-4-1＞b.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】AD
12.【答案】-
13.【答案】2
14.【答案】

15.【答案】由二项式定理可知，在的展开式中，，
令14-3r=5，解得r=3，因此，二项展开式中含x5的项系数为
证明：
=，
因为上式的每一项都能被10整除，所以f（4）+1能够被10整除
16.【答案】根据题意，列联表为：
施肥 不施肥 合计
发育正常 70 30 100
发育不正常 40 60 100
合计 110 90 200
零假设为H0=“是否施肥与该品种农作物是否发育正常无关”，
又χ2=≈18.182＞10.828，
则H0不成立，即有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关
已知=15，=800，则，，
又==-10，
又=80-（-10）×1.5=95，
则y关于x的线性回归方程为
17.【答案】证明：∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，
又∵平面MCD⊥平面ABCD，平面MCD∩平面ABCD=CD，BC 平面ABCD，
∴BC⊥平面MCD，又∵DE 平面MCD，∴BC⊥DE，
又在正△MCD中，E为MC的中点，故DE⊥MC，
又∵BC，MC 平面MBC，BC∩MC=C，
∴DE⊥平面MBC
（i）取CD的中点O，AB的中点N，连接OM，ON，
由平面MCD⊥平面ABCD，平面MCD∩平面ABCD=CD，
MO⊥CD，MO 平面MCD，可得MO⊥平面ABCD，
又由ABCD为正方形，O，N分别为CD，AB的中点，可得ON⊥CD，
分别以OD，ON，OM所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系，
则A（1，2，0），B（-1，2，0），D（1，0，0），，
由，（0＜λ＜1），
得，
∴，
又平面MCD的一个法向量为=（0，1，0），
由．
解得（舍去），
即有，
（ii）由，则，，
设面ADF的法向量为，
则，
可取，y=0，z=5，则，
由（1）知，平面MBC的一个法向量为，
设平面ADF与平面MBC所成锐二面角的大小为θ，
则，
∴平面ADF与平面MBC所成锐二面角大小的余弦值为
18.【答案】每次取出黑球的概率，所以，
则，，
，，
则 X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以
（i），
所以
=，
令，解得n＞5.2，
所以当6≤n≤21时，f（n+1）＜f（n） f（6）＞f（7）＞f（8）＞…＞f（22），
当2≤n≤5时，f（2）＜f（3）＜…＜f（6），
所以f（n）取最大值时n=6；
（ii）ξ的所有可能取值为：10，11，…，30，
因为，所以，而，
所以
=
19.【答案】f（x）=x2+4x-aln（x+1），定义域为（-1，+∞），
，
a=4时，f（0）=0，f′（0）=0，故切线方程为y=0
，x＞-1，
（i）当a≤4时，f'（x）≥0函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，
所以f（x）在（0，+∞）上不存在零点，
当a＞4时，令m（x）=2x2+6x+4-a,m（x）在（0，+∞）上单调递增，
m（0）=4-a＜0， x0∈（0，+∞），使得m（x0）=0，即f'（x0）=0，
所以x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，
f（0）=0，f（x0）＜f（0）=0，f（a）=a2+4a-aln（a+1）=a（a+4-l（a+1））＞0，
（其中m（a）=2a2+5a+4＞0，所以a＞x0），
所以当a＞4时，函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点b,其中b∈（x0，a）．
（ii）证明：b为f（x）唯一零点，所以f（b）=b2+4b-aln（b+1）=0，
所以，
要证ea-4-1＞b,即证ea-4＞b+1，即证，
即证a2-4a＞b2+4b,即证b＜a-4，
因为f（a-4）=a（a-4）-aln（a-3）=a（a-4-ln（a-3）），a＞4，
令g（a）=a-4-ln（a-3），则，
所以g（a）在（4，+∞）上单调递增，则g（a）＞g（4）=0，
即a-4-ln（a-3）＞0，又a＞4，所以f（a-4）＞0=f（b），
由（i）可知f（x）在（x0，+∞）单调递增，所以b＜a-4，得证..
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