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2026年中国北方数学邀请赛
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.设正实数a,b满足：集合A=口2+3，a2b2}与集合B=6ab-7,6-b2湘等，则a+b=
2.若正整数n的各位数字之和为9，则称n是“三秦数”.将所有的“三秦数”从小到大排成数
列a1,42,…,4n,若44=2025，则k=
3.凸四边形ABCD中，E为AD中点，过点E作EF⊥BC于F,CF=2BF=2,
则(AC+DB)·BC=
4.在平面四边形ABCD中，BC⊥CD,BA=BC=CD=1.将△ABC沿对角线AC折起，使点
B运动到点P的位置.在折叠过程中，三棱锥P-ACD体积的最大值为
5.已知a.b为正实数，则+1+。6一的最小值为
a2+b+1a2+a+1
6.设实数x满足sim1+cosx+5in')=，则cos1+simx+cos'
7.己知双曲线C:￥-二=1的左、右焦点分别为F,5,P是右支上一点，过R作∠FPF,的角
45
平分线的垂线，垂足为M,则△MOP的面积的最大值为
8.若三元正整数数组(x,y,)满足x3+y3+z3-3xz=2026,则与1og2(x+y+)最接近的整数
为】
二、解答题（共56分）
9.(16分)已知曲线r:y=x+a(a≠0)，正方形ABCD的四个顶点都在曲线r上，求实数a的
取值范围及kAB+kB的值.
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10.(20分)已知数列a,}满足a,=cos(3a),a∈R.对任意非负整数m,都有a,s-,
2026
(1)求证：a1之am:
(2)求实数a的值.
11.(20分)求最小的正实数A,使得对任意三个复数，2，∈{仁∈C,<1,i=1,2,3},若
+2+3=0,则2+24+3+3<1.
2026年中国北方数学邀请赛
加试
一、(40分)如图，己知△ABC的外接圆、内切圆分别为⊙O、⊙I,⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、
E、F.过点D作DS⊥EF于点S.若⊙O与以AI为直径的圆的第二个交点为T,证明：T、S、I三点共线.
B
D
C
二、(40分)设正整数n≤2026，且3”+2和5"+2同时为合数，求满足条件的n的个数.
三、(50分》已知数列么满足到=经其中k=2,记6-名
,求证：对任意n∈N,
-bs号
四、(50分)设某校共有N名学生，被分成m个非空学习小组，其中2≤m≤N.每次从全体学
生中等可能地选出r名学生组成代表队，其中2≤r≤m.对于一种给定的分组方式，记所有C个
代表队中“所涉及的小组数”的平均值为A.设N=mg+t(0≤1≤m),当分组方式在所有m个
非空小组的分法中变化时，求A的最小值与最大值，并确定等号成立时的分组方式.
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