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2025-2026学年山东省济宁学院附属中学七年级（下）期末
数学试卷
一、选择题
1.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 成语是中华文化的一大瑰宝，“守株待兔”是随机事件
B. 方程是二元一次方程
C. “已知，，求证：”若用反证法证明的第一步应先假设
D. “济宁明天降雨的概率是”，意思是济宁明天有的时间在降雨
3.数学实践课上，小丽先用根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，，然后她依次添加支撑木条，，并使得，，垂足分别为，，则支撑木条长度为( )
A. B. C. D.
4.如图，在三角形测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是( )
A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合
D. 三角形具有稳定性
5.某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有道题，对每一道题，答对得分，答错或不答扣分若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于分，则他至少要答对的题数是( )
A. 道 B. 道 C. 道 D. 道
6.如图，≌，已知点和点是对应点，的延长线分别交，于点，，且，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.根据以下对话，
给出下列三个结论：
班学生的最高身高为；
班学生的最低身高小于；
班学生的最高身高大于或等于．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
8.若关于的一元一次方程的解为非负数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，是的高，，分别是和的平分线且交于点，与交于点，已知，，连接下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11.命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是： ．
12.若个英文字母中元音字母有、、、、，则在单词数学中任意选择一个字母恰好为元音字母的概率是 ．
13.已知二元一次方程组的解满足，则的取值范围为______．
14.如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿南偏东 度方向航行．
15.在中，，，点在直线上，且，连接，则的度数为 ．
三、解答题
16.计算
解不等式
解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
17.如图所示，在中，，，是的角平分线，点在上，且，求的度数．
18.如图，在中，，点，在上，
求证：≌
若，且，试判断的形状，并说明理由
19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为
求、的值
请直接写出不等式的解集
连接，求的面积
20.如图，在中，，在上，
请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得≌，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程
若，，求的面积
21.近期济宁市交警开展“一盔一带”系列公益普法活动取得了一定的成效，根据相关研究表明，在涉及电动自行车的道路交通事故中，头部受伤致死的人数占死亡总数的以上，而在骑行过程中正确佩戴安全头盔，可以保护头部，大大减少伤害．某商店经销进价分别为元个、元个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：进售价均保持不变，利润售价进价
甲头盔销量个 乙头盔销量个 销售额元
周一
周二
请列方程组、不等式解答下列各题：
求甲、乙两种头盔的销售单价
若商店准备购进这两种头盔共个，且甲头盔的数量不多于乙头盔数量的倍，则分别购买多少个甲头盔与乙头盔，可使获得的利润最大？最大利润为多少元？
22.我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”例如：的“长度”，“整点”为，，，根据该约定，解答下列问题：
不等式组的“长度” ______；“整点”为______；
若不等式组的“长度”，求的值；
关于的不等式组恰有个“整点”，直接写出的取值范围______．
23.在中，，点在线段上，连接并延长至点，使，过点作，交直线于点．
如图，若，请用等式表示与的数量关系：______．
如图若，完成以下问题：
当点，点位于点的异侧时，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
当点，点位于点的同侧时，若，，请直接写出的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题】不等式去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得
【小题】解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
该解集在数轴上表示为：

17.【答案】解：，，
，
平分，
，
，
．
18.【答案】【小题】证明：，
，
在和中，
，
≌
【小题】解：是等边三角形，理由如下：
，
，
，
，
≌，
，，
，
是等边三角形

19.【答案】【小题】由条件可知，
一次函数的图象经过点，，
，
解得：
【小题】由图象可得不等式，即的解集是
【小题】如图，连接，
由可知，一次函数为，
当时，，
解得，
，
．

20.【答案】【小题】如图，点即为所求，
证明：由作图可知平分，
，
在和中，
，
≌
【小题】解：≌，
，，
，

21.【答案】【小题】设甲头盔的销售单价为元，乙头盔的销售单价为元，由题意可得：
，
解得，
答：甲头盔的销售单价为元，乙头盔的销售单价为元
【小题】设购进个甲头盔，设获得的利润为元，根据题意可得：
，
，
解得，
．
随的增大而增大，
当时，有最大值，为，
此时．
答：购买个甲头盔，个乙头盔，可使获得的利润最大，最大利润为元

22.【答案】；，； ； ．
23.【答案】；
过点作于，如图，
与同理，可证≌，
，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
；
或．
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