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内蒙古自治区乌兰察布市集宁亿利东方学校2025-2026学年九年级上学期11月期中三校联考数学试题
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．下列诗句表述的是随机事件的是（ ）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．危楼高百尺，手可摘星辰
4．把二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
5．复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（ ）
A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确
C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误
6．二次函数 的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
7．如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，曲线是由半径为个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第秒时点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____．
10．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____
11．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
12．在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则m的取值范围是______．
三、解答题
13．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
14．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有　 　人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
15．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一款空气净化器（如图1）特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
(3)若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？
16．如图，将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径．
17．如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长
18．综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米．
素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度；
任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？
任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
参考答案
1．B
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选：B．
2．C
【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，
解得：．
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选C．
3．B
【详解】解：A. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，故该选项不符合题意；
B. 东边日出西边雨，道是无晴却有晴，是随机事件，故该选项符合题意；
C. 会当凌绝顶，一览众山小，是必然事件，故该选项不符合题意；
D. 危楼高百尺，手可摘星辰，是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．B
【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴，
故选：B．
5．B
【详解】解：方法①中，如图：
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
方法②中，如图：
∵点是的中点．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
【详解】解：由函数图象可知，二次函数的顶点在第四象限，且二次函数的顶点坐标为
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：A
7．D
【详解】解：根据题意可知，则，
设，，
，
，即，
，
故选：D．
8．A
【详解】解：长为，则点运动长用时（秒），
如图，过作轴于点，交长于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴第秒点纵坐标为，
第秒点纵坐标为，
第秒点纵坐标为，
第秒点纵坐标为，
第秒点纵坐标为，
，
∴点纵坐标以，，，四个数为一个周期依次循环，
∵，
∴第秒时点的纵坐标与第秒点纵坐标相同为，
故选：．
9．且
【详解】解：∵，
∴，
整理可得，
又关于的方程有两个实数根，
，
解得：且，
故答案为：且．
10．12
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
∴落入黑色部分的概率是．
∴据此可以估计黑色部分的面积为．
故答案为：12．
11．
【详解】连接OC、OD，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴的长=（cm），
故答案为：．
12．或
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴相交于，
该抛物线的对称轴为，
∴抛物线还经过点
当时，，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∵，，
∴直线为，
①当时，该抛物线开口向上，函数有最小值，
∵点在点的左侧，
∴当且仅当顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点，
∴，
解得：，
②当时，该抛物线开口向下，函数有最大值，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵与线段只有一个公共点，
∴，
综上：或，
故答案为：或．
13．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：，
，
则，
或，
解得，．
14．解：（1）200．
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣
∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【详解】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数：（人）．
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可．
（3）根据题意列出表格或画树状图，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
15．(1)
(2)该空气净化器的售价是60元/台或80元/台
(3)该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入可得：
，解得，
即与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，
，
解得，，
答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台；
（3）解：设所获利润为元，
，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，
∴，
解得．
∴当时，有最大值，此时，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元．
16．(1)
解：与相切． 理由如下：
证明：连接，
，
，
图形沿过点的直线翻折，点的对应点落在边上，
，
，
，
又在中，，
，即，
又经过半径的外端，
与⊙O相切；
(2)
【详解】（1）略
（2）解：在中，，
，
∴，
∴，，
∵将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，
∴，
在中，，，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
∴，
同理可得，在中，，，
∴半径为．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在中，．
18．（1）；（2）；（3）米；（4）米
【详解】解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴图2中地面有效保护直径的长度为；
（2）由题意得，点M的坐标为，，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为；
（3）在中，当时，解得或，
∴，
∴米，
∴喷淋头M的地面有效保护直径为米；
（4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米，
则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
当抛物线恰好经过时，
则，
解得或（舍去），
∴喷淋头N距离喷淋头M至少为米．

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