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内蒙古自治区呼伦贝尔市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（）
A． B． C．1 D．2
2．如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能取的值是（ ）
A． B．4 C． D．
4．如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数中的，的部分对应值如下表：
… 0 1 3 4 …
… 7 0 0 …
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．顶点坐标为
C．当时，随的增大而增大
D．图象与轴的交点坐标为和
6．把一个大正方形分成如图所示的四个不重叠的小正方形，现从中任选三个，则选中的三个小正方形中包括两个阴影部分小正方形的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，是圆心，弦于，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知抛物线，点，点是抛物线上两点，且．当时，始终满足，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
9．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为________．
10．如图，是的直径，点B，C在上，，，若，则的长为________．
11．已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________．
12．如图，在正方形中，，对角线，相交于点，点，分别是，上的两个动点，，则线段的最小值为________．
三、解答题
13．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若绕着点逆时针旋转后得到，画出，并写出点的对应点的坐标是________；
(2)若为平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
15．化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
(1)小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为 ；
(2)若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率．
16．如图，已知内接于，是的直径，E为射线上一点，满足，．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为，，求的长．
17．如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为．
(1)的长为________m，的取值范围是________；
(2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？
(3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由．
18．如图，抛物线的顶点坐标为，与直线相交于，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上存在点，使直线将线段平分，求点的坐标；
(3)直线上方的抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离最大？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根，
∴将代入原方程，得，
计算得，
整理得，
解得．
2．B
【详解】解：连接、，
∵，
∴，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∴．
3．A
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根．
∴，
解得且，即选项A符合题意．
4．C
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，
∴，，
∴，
∴．
5．B
【详解】解：抛物线过和，
设抛物线表达式为，
抛物线过，
，解得，
即抛物线表达式为，
由，可知抛物线开口向上，A错误；由顶点式可知抛物线顶点坐标为，B正确；由抛物线开口向上、对称轴为，可知当时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，C错误；由表中数据可知，抛物线与轴的交点坐标为和，D错误．
6．A
【详解】解：设四个小正方形分别为甲、乙、丙、丁，
阴影部分的小正方形分别为甲、丙，任选其中三个，共有四种等可能情况，
分别是①甲、乙、丙，②甲、乙、丁，③乙、丙、丁，④甲、丙、丁，
其中含有甲、丙的有2种情况．
∴选中的三个小正方形中包括两个阴影部分小正方形的概率是，
故选：A．
7．B
【详解】解：连接，如图，
∵是的直径，，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，，
∴，
故选B．
8．A
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线，
∴当时，点关于对称轴的对称点为点，
当时，，点，点均在对称轴的左侧，此时y随x的增大而减小，
∵点，点是抛物线上两点，且．当时，始终满足，
∴，
∴；
当时，，
∵点，点是抛物线上两点，且．当时，始终满足，
∴且，
∴；
综上所述，n的取值范围为或．
9．2
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
10．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
11．
【详解】解：抛物线关于直线对称，
，即，
则，
抛物线过点，且关于直线对称，
关于直线的对称点是，且抛物线过点，
则当时，，
即．
12．
【详解】解：在正方形中，对角线、交于点O，
，，，
∵，
∴
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，取最小值，即取得最小值，
，，
，
∴
线段的最小值为．
13．(1)，
(2)，
(3)，
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
或，
解得，；
（3）解：，
，
或，
解得，．
14．(1)如图，即为所求．
(2)点的坐标为或或
【详解】（1）解：由图可得，点的坐标是．
故答案为：．
（2）解：当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为；
当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为；
当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或．
15．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：∵（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属
∴小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为；
（2）解：画树状图如下：
共有种等可能结果，满足二人所选容器中的金属均能置换出氢气的结果有种，
∴二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率为．
16．(1)
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
．
在中，，
，即，
，
为的直径，
为的切线．
(2)
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点B作于点F，
则，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
，，
．
．
17．(1)，
(2)
(3)
解：亮亮的说法不正确，理由如下：
根据题意得，即，
，
该方程无实数根，
矩形花园的面积不可以为，即亮亮的说法不正确．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：根据题意得，
整理得，
解得（舍），，
答：当时，矩形花园的面积为；
（3）略
18．(1)
(2)点的坐标为或
(3)的最大值为
【详解】（1）解：（1）抛物线的顶点为，
解得：
抛物线的解析式为
（2）（2）由题意得，
解得或，
，，
设的中点为，
，
直线的解析式为，
列方程组，
解得或，
点的坐标为或；
（3）解：如图，作轴交于点，于点，
在直线上，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
设，则，
，
当时，最大为．
的最大值为．

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