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内蒙古自治区巴彦淖尔市巴盟杭锦后旗2025-2026学年上学期九年级数学期中测试卷
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把方程配方成的形式，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
3．电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
4．若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k≥
5．对于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示下列结论：；方程的两个根是；；当时，的取值范围是；当时，随的增大而增大．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知是方程的一个根，则的值为____．
10．“少年强，则国强”，为丰富学生的校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，某校组织了学生篮球赛，共有若干支队伍报名参赛．参赛的每两支队伍之间都要进行一场比赛，受场地和时间限制，每天都安排4场比赛，赛程持续7天．则参赛队伍共有___________支．
11．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______．
12．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．
三、解答题
13．选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
14．已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2．
(1)求的值；
(2)当x为何值时，．
(3)请在所给的坐标系中，画出函数与的图象（草图），并根据图象，直接写出时的取值范围．
15．已知关于的方程．
(1)求证：取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
16．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．

(1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示）
(2)若苗圃的面积为，求的值；
(3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由．
17．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）．
(1)求与的函数关系式；
(2)要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元；
(3)求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
18．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是线段上的一个动点，平行于y轴的直线交抛物线于点F，求面积的最大值；
(3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】解：A、缺少条件，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．A
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
可得，，
故选：A．
3．D
【详解】解：将增长率记作，则：
第一天票房约为2亿元；
第二天票房为亿元；
第三天票房为亿元；
前三天的累计票房为：．
故选：D．
4．C
【详解】解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，
∴且，
解得：k≤且k≠1．
故选C．
5．C
【详解】解：依题意，，
∵，
∴该函数图象开口向上，故选项A不符合题意；
当时，函数的最小值为1，故选项B不符合题意；
函数图象的对称轴为直线，故选项C符合题意；
当时y随x的增大而减小，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．A
【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即，
∴符号均一致，A项符合题意．
∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，
∴的符号矛盾，B项不符合题意．
∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则．
∴的符号矛盾，C项不符合题意．
∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则．
∴b的符号不一致，D项不符合题意．
故选：A．
7．D
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选D．
8．D
【详解】解：∵抛物线与轴有两交点，
∴，
∴，
∴正确；
∵抛物线与轴交于，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与轴另一交点坐标为，
∴方程的两个根是，，
∴正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线经过，，
∴，，
∴，
∴，
∴正确；
∵抛物线开口向下，方程的两个根是，，
∴当时，的取值范围是，
∴不正确；
由图象可得当时，随的增大而增大，
∴正确，
∴正确的有，共4个．
故选：D．
9．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
．
故答案为：．
10．
【详解】解：设参赛队伍共有x支，
由题意得，，
解得，或（舍去）．
答：参赛队伍共有支．
故答案为：．
11．
【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为：，
故答案为：．
12．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为．
故答案为：
13．(1)
(2)
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得
14．(1)
(2)3或
(3)
函数图象如图所示，
时x的取值范围为：．
【详解】（1）解：时，，
所以，交点的坐标为，
把交点坐标代入抛物线得，，
解得；
（2）解：由得，
∴，
∴，
解得或；
（3）略
15．(1)
证明：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根；
(2)的周长为10
【详解】（1）略
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴，
解得，
∴方程为，
解得或，
∴、的值分别为2、4，
∴的周长为；
当边长为4的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
∴方程为，
解得，
此时，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上，的周长为10．
16．(1)
(2)的值为8
(3)
苗圃的面积不可以达到．理由如下：
若可以达到，则，
化简得：，
，无解，
∴苗圃的面积不可以达到．
【详解】（1）解：依据题意，，
解得，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
即，
化简得，
解得，，
当时，，
（舍去），
；
（3）略
17．(1)
(2)17元
(3)；当时，日销售利润最大，最大利润1400元
【详解】（1）解：根据题意得：
，
y与x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：
解得：或（不符合题意舍去），
答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元．
（3）解：根据题意得，
，
，
当时，w随x的增大而增大，
∴当时，．
答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元．
18．(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或
【详解】（1）将，代入，
得：，解得：，
∴该抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，
∴
∴，
当时，的面积有最大值．
（3）∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，设点P的坐标为．
∵，
∴，
即或，
解得：，，，，
∵存在满足的点P，点P的坐标为或或或．

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