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第一、二章双单元检测2026-2027学年北师版八年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 16的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【分析】计算，解答即可．
本题考查了平方根的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
故选：B．
2．已知的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误．
【详解】解：A、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、，
能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．和 C．与 D．和
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐项判断即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴与互为相反数，该选项符合题意；
、∵，
∴和相等，该选项不合题意；
、与互为倒数，该选项不合题意；
、∵，
∴和相等，该选项不合题意；
故选：．
4．一个直角三角形的三边长分别是6cm、8cm、xcm，则x的值为（ ）
A．100 B．10 C．10或2 D．100或28
【答案】C
【详解】分析：根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．
详解：分两种情况进行讨论：
①两直角边分别为6cm，8cm，由勾股定理得：x==10（cm）；
②一直角边为6cm，一斜边为8cm，由勾股定理得：x==2（cm）；
故选C．
如图，在中，，，，在数轴上，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，再根据同圆的半径相等可知AB=DB，再根据条件：点B对应的数是3，可求出D点坐标．
【详解】解：在中，，，，
∴AB=，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴BD=AB= ，
∴点D表示的数是： ．
故选A．
6．若（a为整数），则的值为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．根据题意得出，进而求出，然后代入即可得出答案．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
7．若，则的值是（ ）
A．10 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键．
根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得：，
，
故选：A．
如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即船向岸边移动了，
故选：A．
已知为实数，规定运算：，．
按上述规定，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可．
【详解】解：当时，
，
，
，
，
，
…… ,
，
，
，
故选: C．
到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，
完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．
【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示：
，
，
∴，
即，故图1符合题意；
图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示：
则大正方形的面积为：，
将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：，
∴，
∴，
∴，故图2符合题意；
图3：，，
∴，
整理得，故图3满足题意；
图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意；
综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个．
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．的平方根是____．
【答案】±3
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
12. 比较大小： （填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】根据实数大小比较解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
13．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
【答案】．
【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.
【详解】∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=﹣3，
∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．
故答案为．
14.如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是8，底面周长是12，
则蚂蚁爬行的最短路程为__________．
【答案】10
【分析】根据题意将圆柱展开，得出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下：
∴，
∴，
∴最短路程为10，
故答案为：10．
有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；
当输出值为时，输入的x值是 ．
【答案】2或64
【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案．
【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为，
∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；
当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；
当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，
若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，
∴第一次取算术平方根的结果为，
∴；
若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为，
∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意；
综上所述，或，
故答案为：2或64．
被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，
中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．
将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．
若该图形的周长为48，，则该图形的面积 ．

【答案】96
【分析】设，则，根据勾股定理得，代入数值得，求出x即可解决问题．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
∴该图形的面积为，
故答案为：96．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． （1）计算：；
（2）求等式中的值：．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查了实数的混合运算和利用平方根解方程，解题的关键是掌握运算法则和方程的解法．
（1）根据乘方、立方根、算术平方根，以及绝对值性质化简各项，再相加即可；
（2）将其整理为，再利用平方根的性质求解，即可解题．
【详解】解：（1）
；
（2）
解得或．
18．计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1．
（1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根．
【答案】（1）a=4,b＝2；（2）3a+2b的算术平方根4．
【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义列式计算即可；
（2）先计算3a+2b的值，再根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】（1）∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝＝9，
解得a＝4；
∵1-b的立方根为-1，
∴1﹣b＝＝-1，
解得b＝2．
（2）∵a＝4，b＝2，
∴3a+2b
＝3×4+2×2
＝16，
∴3a+2b的算术平方根为＝4．
为进一步落实立德树人的根本任务，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．
如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．
经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，
若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
【答案】此块空地全部种植花卉共需花费3600元
【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，过A作于点E，三线合一求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再乘以单价即可．
【详解】解：如图，过A作于点E，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴（元）．
答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元．
21. 阅读材料：
我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，
这样，．
那么便有：（），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，．
，
模型应用：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
；
．
模型应用：
在中，，，，那么边的长为多少？
（直接写出结果，结果化成最简）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式变形即可得到答案；
（2）根据完全平方公式变形即可得到答案；
（3）根据勾股定理进行求解，再根据完全平方公式变形即可得到答案；
【详解】（1），．
，，
，，
．
（2）．
，，
，，
，，
．
（3）．
，
，，
，，
，，
．
22．一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，
秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，
妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，．
与全等吗？请说明理由；
小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？
秋千静止时点离地面的高度是多少？
【答案】(1)与全等，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据求解即可得；
（3）先利用勾股定理可得，则，再根据求解即可得．
【详解】（1）解：与全等，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：由题意得：，，，
由（1）已证：，
∴，，
∴，
答：小启爸爸是在距离地面的地方接住小启的．
（3）解：∵，，，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
答：秋千静止时点离地面的高度是．
23．阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，
通常进行这样的化简：，
这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：，请阅读并解决下面问题：
_____________．
_____________．
_____________．
请计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意分子分母乘以有理化因式即可；
（2）利用平方差公式将分子变形为，然后求解即可；
（3）利用平方差公式将分子变形为，然后求解即可；
（4）利用前面的结果总结规律，然后化简求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
24. 已知：在中，，，点D在直线AB上，
连接CD，在CD 的右侧作，．
(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；
②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．
(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______．
(3)拓展延伸
如图3，，，，，求出线段EC的长．
【答案】(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②
(2)，
(3)
【分析】（1）①证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，即可得出BE⊥AD；
②由①得AD＝BE，∠ABE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2＝DE2，即可得出结论；
（2）连接BE，证△ACD≌△BCE（SAS），得∠A＝∠CBE＝45°，则∠DBE＝90°，再由勾股定理得，则，进而求解即可；
（3）过C作CA⊥CB交DB于A，证△ACD≌△BCE（ASA），得AD＝BE＝1，AC＝BC，则AB＝BC＝2，再由勾股定理求出DE的长，即可求解．
（1）解：①∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；
②由①得：AD＝BE，∠ABE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：AD2+BD2＝DE2；
（2）解：如图2，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴DE＝＝＝，
故答案为：，；
（3）解：过C作CA⊥CB交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示：
则∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∵∠DCO＝∠EBO＝90°，∠DOC＝∠EOB，
∴∠CDA＝∠CEB，
又∵CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE＝1，AC＝BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝，
∴AB＝=BC＝2，
∴BD＝AB+AD＝3，
∵∠DBE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴EC＝DE＝．
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第一、二章双单元检测2026-2027学年北师版八年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 16的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．2
2．已知的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．与 B．和 C．与 D．和
4．一个直角三角形的三边长分别是6cm、8cm、xcm，则x的值为（ ）
A．100 B．10 C．10或2 D．100或28
如图，在中，，，，在数轴上，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．若（a为整数），则的值为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．9
7．若，则的值是（ ）
A．10 B． C．3 D．
如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）
A． B． C． D．
已知为实数，规定运算：，．
按上述规定，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．0
到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，
完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．的平方根是____．
12. 比较大小： （填“”，“”或“”）．
13．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．
14.如图，一只蚂蚁要从A处沿圆柱体的侧面爬到B处，已知圆柱体的高是8，底面周长是12，
则蚂蚁爬行的最短路程为__________．
有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；
当输出值为时，输入的x值是 ．
被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，
中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．
将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．
若该图形的周长为48，，则该图形的面积 ．

三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． （1）计算：；
（2）求等式中的值：．
18．计算：
(1) (2)
19．已知2a+1的平方根是±3，1-b的立方根为-1．
（1）求a与b的值； （2）求3a+2b的算术平方根．
为进一步落实立德树人的根本任务，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．
如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．
经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，
若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
21. 阅读材料：
我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，
这样，．
那么便有：（），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，．
，
模型应用：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
；
．
模型应用：
在中，，，，那么边的长为多少？
（直接写出结果，结果化成最简）
22．一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，
秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，
妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，．
与全等吗？请说明理由；
小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？
秋千静止时点离地面的高度是多少？
23．阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，
通常进行这样的化简：，
这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：
例如：，请阅读并解决下面问题：
_____________．
_____________．
_____________．
请计算：
24. 已知：在中，，，点D在直线AB上，
连接CD，在CD 的右侧作，．
如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；
② 直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．
(2) 如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，
若，．直接写出DE的长______．
(3) 拓展延伸
如图3，，，，，求出线段EC的长．
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