资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
21.2一元二次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用公式法解一元二次方程时，的值为（ ）
A． B．8 C．16 D．17
2．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．解方程，较简便的方法是（ ）
A．因式分解法 B．直接开平方法 C．配方法 D．公式法
4．已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交
5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．当时，关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
7．如果一元二次方程的两个根是和，那么等于（　　）
A．2 B．0 C． D．
8．关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　）
A． B．9 C． D．3
9．关于方程的理解错误的是（ ）
A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是
C．这个方程是一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解
10．解方程时，确定方程有实数根后，由求根公式得（ ）
A． B． C． D．
11．若m和n是一元二次方程的两个解，且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
13．如果方程 可以配方成 ，那么 _____．
14．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”）
15．已知关于的一元二次方程的一个根为．
（1）________；
（2）求代数式的值为________．
16．直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________．
17．用公式法解方程，得__________．
三、解答题
18．解方程：
19．用配方法解方程：
(1)．
(2)
(3)
20．如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米．
(1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长；
(2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由．
21．已知关于x的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根是3，求m的值．
22．我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值．
对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如：
原式
．
所以，当，时，此式的最小值为2．
试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值：
(1)；
(2)．
《21.2一元二次方程的解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D D C D C B C
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解： ，
∴，
∴，，，
∴ ，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围；，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
一元二次方程没有实数根，
，
即： ，
解得：，
故选：A ．
3．C
【分析】对于方程，通过分析各解法的适用性，配方法较为简便.
【详解】解：将方程两边除以2，得 .
移项后为：，
配方得：即 .
开平方得：，故，即，.
其他方法分析：
- 因式分解法：常数项-782的因数组合较复杂，难以快速分解.
- 直接开平方法：方程无法直接整理成平方形式.
- 公式法：需计算判别式，虽可行但步骤较多.
综上，配方法步骤简洁且计算量小，故选：C.
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，掌握基本的几种解方程的方法是解题的关键.
4．D
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解．
【详解】解：若、是方程的两个根，
∴，
解得，，
当时，直线和的位置关系是相交；
当时，直线和的位置关系是相离；
故选：D ．
5．D
【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果．
【详解】解：对于一元二次方程，
根的判别式为，
当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项：
A选项：方程中，，
，
方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
B选项：方程中，，
，
方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
C选项：方程中，，
，
方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
D选项：方程中，，
，
方程有两个相等的实数根，符合要求．
6．C
【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论．
【详解】解：，
整理得，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴原方程没有实数根．
7．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设，是关于的一元二次方程，，，为常数）的两个实数根，则，．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．
8．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【详解】解：
，
方程可通过配方法转化为的形式，
，
解得：．
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式等等，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可判断A；解方程即可判断B；一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此可判断C；任何有解的方程都可以用公式法解方程，据此可判断D．
【详解】解：A、是一元二次方程，原说法正确，不符合题意；
B、∵，
∴，
解得，原说法错误，符合题意；
C、这个方程是一元二次方程的一般形式，原说法正确，不符合题意；
D、这个方程可以用公式法求解，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，先由方程的一般式得出的值，再求出根的判别式的值，最后代入求根公式计算即可，掌握求根公式是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：．
11．B
【分析】解关于x的方程，再求即可．
【详解】解：解一元二次方程得，
，，
m和n是一元二次方程的两个解，且，
则，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程．
12．A
【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
，．
．
13．
【分析】本题主要考查了配方法的应用，把方程配方成，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵方程 可以配方成 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N．
【详解】解：
，
∵,
∴
∴．
故答案为：．
15． 1
【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，；
（2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可．
【详解】解：（1）设一元二次方程的另一个根为，
则，
，
，
，
；
（2），
，
．
16．或
【分析】先根据一次函数的图象性质确定的取值范围，再分和两种情况，分别判断方程的类型，进而确定方程实数解的个数．
【详解】解：直线的比例系数，且直线不经过第一象限，
分两种情况讨论方程的解的情况，
（1）当时，方程化为，为一元一次方程，有个实数解；
（2）当时，方程为一元二次方程，
计算根的判别式，
，
，
可得，
此时一元二次方程有个不相等的实数解．
综上，方程的实数解的个数为或．
17．，
【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴，．
18．
，
【详解】解：
，或，
解得：， ．
19．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解．
（1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可；
（2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
∴，．
（2）解：
，
，
，
，
解得：，；
（3）解：
解得：，
20．(1)（米）
(2)
解：不能，理由如下，
根据题意，
，整理得，，
∴，
∴方程无解，
不能围成面积为
平方米的花圃．
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，
（1）根据题意可得（米），根据几何图形面积公式列式求解，再根据墙体长度确定合适的值即可；
（2）根据题意列式，再根据一元二次方程根与系数的关系可得，即方程无解，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，则（米），
∴，整理得，，
解得，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴，即（米）；
（2）略
21．(1)
证明：
，
∴方程总有两个实数根；
(2)
【分析】（1）根据判别式解题即可；
（2）将代入方程求解．
【详解】（1）略
（2）解：由题意知，，
，
，
解得．
22．(1)当时，多项式取得最大值为
(2)当，时，多项式的最小值为
【分析】（1）对进行配方，即可得出结果；
（2）对进行配方，即可得出结果．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为；
（2）解：
，
∵，，
∴，当且仅当且时等号成立，
由可得，，
将代入可得，
故当，时，多项式的最小值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑