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第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.已知命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则p的否定是(　　)
A.存在实数m，使方程x2+mx+1=0没有实数根
B.不存在实数m，使方程x2+mx+1=0没有实数根
C.对任意的实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)
A.p的否定： x∈A，2x∈B
B.p的否定： x A，2x B
C.p的否定： x A，2x∈B
D.p的否定： x∈A，2x B
3.(多选)关于命题p：“ x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A.p的否定： x∈R，x2+1=0
B.p的否定： x∈R，x2+1=0
C.p是真命题，p的否定是假命题
D.p是假命题，p的否定是真命题
4.(多选)下列命题的否定中，是存在量词命题且是真命题的有(　　)
A.所有平行四边形都是菱形
B. x∈R，x2-3x+3<0
C. x∈R，|x|+x2≥0
D. a∈R，x2-ax+1=0有实数根
5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x+1|>1；命题q： x>0，x3=x，则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
6.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)
A.等圆的面积相等，周长相等
B. x∈N，x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
7.已知命题“存在x∈{x|0A.{m|m≤0或m≥6} B.{m|m<0或m>6}
C.{m|m<0或m≥6} D.{m|m≤0或m>6}
8.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是　　　　　　　　　　　　　　.
9.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
10.(12分)写出下列命题的否定，并判断该命题的否定的真假：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(3分)
(2)非负数的平方是正数；(3分)
(3)有的四边形没有外接圆；(3分)
(4) x，y∈Z，使得x+y=5.(3分)
11.(多选)下列说法正确的有(　　)
A.“ x∈R，x-2>”是真命题
B.“ x∈R，x2>0”的否定是真命题
C.“至少有一个x使x2+2x+1=0成立”是全称量词命题
D.命题“ x∈R，12”
12.若“ x∈M，|x|>6”为真命题，“ x∈M，使x<5”为假命题，则集合M可以是(　　)
A.{x|x>6} B.{x|x<-6}
C.{x|x<6} D.{x|x>-6}
13.已知命题p： x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，且 p是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　.
14.(14分)已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0，命题q： x∈R，x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题 p为真命题，求实数a的取值范围；(7分)
(2)若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围.(7分)
15.命题“ x∈R， n∈N+，使得n≥2x+1”的否定是(　　)
A. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
B. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
C. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
D. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
16.命题“ x∈{x|-6≤x≤-4}，mx>24”是假命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.m≤-4 B.m≥-4
C.m<-6 D.m≥-6
第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分
1.已知命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则p的否定是(　　)
A.存在实数m，使方程x2+mx+1=0没有实数根
B.不存在实数m，使方程x2+mx+1=0没有实数根
C.对任意的实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根
答案　C
解析　命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根.
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)
A.p的否定： x∈A，2x∈B
B.p的否定： x A，2x B
C.p的否定： x A，2x∈B
D.p的否定： x∈A，2x B
答案　D
解析　命题p： x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，p的否定： x∈A，2x B.
3.(多选)关于命题p：“ x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A.p的否定： x∈R，x2+1=0
B.p的否定： x∈R，x2+1=0
C.p是真命题，p的否定是假命题
D.p是假命题，p的否定是真命题
答案　AC
解析　命题p：“ x∈R，x2+1≠0”的否定是“ x∈R，x2+1=0”.
所以p是真命题，p的否定是假命题.
4.(多选)下列命题的否定中，是存在量词命题且是真命题的有(　　)
A.所有平行四边形都是菱形
B. x∈R，x2-3x+3<0
C. x∈R，|x|+x2≥0
D. a∈R，x2-ax+1=0有实数根
答案　AD
解析　由符合题意的原命题是全称量词命题知，可排除B；
对于A，并不是所有的平行四边形都是菱形，是假命题；
对于C， x∈R，|x|+x2≥0，是真命题；
对于D，只有当Δ=a2-4≥0，即a≤-2或a≥2时，x2-ax+1=0有实数根，是假命题.
根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项A，D中，原命题的否定是真命题.
5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x+1|>1；命题q： x>0，x3=x，则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
答案　B
解析　对于命题p，取x=-1，
则有|x+1|=0<1，
故p是假命题， p是真命题，
对于命题q，取x=1，
则有x3=13=1=x，
故q是真命题， q是假命题，
综上， p和q都是真命题.
6.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)
A.等圆的面积相等，周长相等
B. x∈N，x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
答案　ACD
解析　A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；
B的否定： x∈N，x2<1，真命题；
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；
D的否定：所有梯形的对角线都不相等.如等腰梯形的对角线相等，假命题.
7.已知命题“存在x∈{x|0A.{m|m≤0或m≥6} B.{m|m<0或m>6}
C.{m|m<0或m≥6} D.{m|m≤0或m>6}
答案　A
解析　命题“存在x∈{x|08.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是　　　　　　　　　　　　　　.
答案　任意一个无理数，它的平方不是有理数
解析　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”.
9.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　{a|a≤1}
解析　∵命题p的否定是假命题，
∴命题p是真命题，
即存在x∈R，x2+2x+a=0为真命题，
∴Δ=4-4a≥0，∴a≤1.
10.(12分)写出下列命题的否定，并判断该命题的否定的真假：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(3分)
(2)非负数的平方是正数；(3分)
(3)有的四边形没有外接圆；(3分)
(4) x，y∈Z，使得x+y=5.(3分)
解　(1)命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”，
由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题.
(2)命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”，
因为02=0，不是正数，所以该命题的否定是真命题.
(3)命题的否定为“所有四边形都有外接圆”，
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题.
(4)命题的否定为“ x，y∈Z，都有x+y≠5”，
因为当x=0，y=5时，x+y=5，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题.
11.(多选)下列说法正确的有(　　)
A.“ x∈R，x-2>”是真命题
B.“ x∈R，x2>0”的否定是真命题
C.“至少有一个x使x2+2x+1=0成立”是全称量词命题
D.命题“ x∈R，12”
答案　ABD
解析　对于A，当x=9时，x-2=7>=3，是真命题，故A正确；
对于B，当x=0时，x2=0，所以“ x∈R，x2>0”是假命题，所以其否定是真命题，故B正确；
对于C，“至少有一个”是存在量词，命题为存在量词命题，故C错误；
对于D，命题“ x∈R，12”，故D正确.
12.若“ x∈M，|x|>6”为真命题，“ x∈M，使x<5”为假命题，则集合M可以是(　　)
A.{x|x>6} B.{x|x<-6}
C.{x|x<6} D.{x|x>-6}
答案　A
解析　“ x∈M，|x|>6”为真命题，
则M {x|x>6或x<-6}，
“ x∈M，使x<5”为假命题，
∴“ x∈M，x≥5”为真命题，
M {x|x≥5}，
∴M {x|x>6}.
13.已知命题p： x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，且 p是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　.
答案　{a|-3≤a≤1}
解析　因为 p是假命题，所以p是真命题，又 x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5}，
则解得-3≤a≤1，
即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
14.(14分)已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0，命题q： x∈R，x2+2ax+2a+a2=0.
(1)若命题 p为真命题，求实数a的取值范围；(7分)
(2)若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)由题意知， p： x∈{x|1≤x≤2}，x2-a<0为真命题，则当1≤x≤2时，a>(x2)min=1，
所以实数a的取值范围是(1，+∞).
(2)由q： x∈R，x2+2ax+2a+a2=0，
得Δ=4a2-4(2a+a2)=-8a≥0，解得a≤0，
因为命题 q为真命题，则a>0，由(1)知若命题p为真命题，则a≤1，
由命题p和 q均为真命题，得0所以实数a的取值范围是(0，1].
15.命题“ x∈R， n∈N+，使得n≥2x+1”的否定是(　　)
A. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
B. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
C. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
D. x∈R， n∈N+，使得n<2x+1
答案　D
解析　由题意可知，命题“ x∈R， n∈N+，使得n≥2x+1”的否定为命题“ x∈R， n∈N+，使得n<2x+1”.
16.命题“ x∈{x|-6≤x≤-4}，mx>24”是假命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.m≤-4 B.m≥-4
C.m<-6 D.m≥-6
答案　B
解析　命题“ x∈{x|-6≤x≤-4}，mx>24”是假命题，则其否定“ x∈{x|-6≤x≤-4}，mx≤24”是真命题.
当x∈{x|-6≤x≤-4}时，若m=0，则mx=0≤24，满足条件；
若m>0，要使“ x∈{x|-6≤x≤-4}，mx≤24”为真命题，则-6m≤24，即m≥-4，则m>0；
若m<0，要使“ x∈{x|-6≤x≤-4}，mx≤24”为真命题，则-4m≤24，即m≥-6，则-6≤m<0，
综上，当原命题为假命题时，m的取值范围是m≥-6，
结合选项，使原命题为假命题的一个充分不必要条件是m≥-4.

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