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第1课时　基本不等式
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.已知a，b∈R，则a2+b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|
2.代数式x2+取得最小值时对应的x值为(　　)
A.3 B.
C.±3 D.±
3.若0A.a>>>b B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
4.若0A.最小值0 B.最大值2
C.最大值2 D.不能确定
5.(多选)下列不等式一定成立且等号也能取到的是(　　)
A.3x+≥
B.3x2+≥
C.3(x2+1)+≥
D.+≥4
6.已知x∈(0，5)，则-x+的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　)
A. x>0，x+≥2 B. x<0，x+>-2
C. x>0，≥ D. x<0，≤-
8.已知a>b>c，则与的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　.
9.(x>0)的最小值为　　　　.
10.(12分)已知a>0，b>0，证明：+≥a+b.
11.若实数x，y满足xy=1，则3x2+5y2的最小值是　　　　.
12.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B.a2+b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
13.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.2+x+(x<0)的最大值为0
B.的最小值是2
C.若a>0，b>0，且a+b=1，则+的最大值是1
D.若a>0，b>0，则a+b+≥2
14.(15分)(1)已知0(2)若x>1，求4x+的最小值.(8分)
15.当x∈(0，+∞)时，不等式x2-mx+x+1>0恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
16.已知任意的正数a，b，c，有≥成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.若0A.6 B.4 C.5 D.3
第1课时　基本不等式
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共73分
1.已知a，b∈R，则a2+b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|
答案　A
解析　∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0，
∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时，等号成立).
2.代数式x2+取得最小值时对应的x值为(　　)
A.3 B.
C.±3 D.±
答案　D
解析　显然x2>0，∴x2+≥2=6，
当且仅当x2=，即x2=3，x=±时取等号.
3.若0A.a>>>b B.b>>>a
C.b>>>a D.b>a>>
答案　C
解析　∵0a+b，
∴b>>.又∵b>a>0，∴ab>a2，
∴>a.故b>>>a.
4.若0A.最小值0 B.最大值2
C.最大值2 D.不能确定
答案　C
解析　由基本不等式，得=·≤·=2，
当且仅当x=4-x，即x=2时等号成立，
故有最大值2，故C正确，B，D错误；
令=0，解得x=0或x=4，而0故取不到0，故A错误.
5.(多选)下列不等式一定成立且等号也能取到的是(　　)
A.3x+≥
B.3x2+≥
C.3(x2+1)+≥
D.+≥4
答案　BD
解析　A中，x可能是负数，不成立；B中，当且仅当3x2=，即x4=时，等号成立；C中，当且仅当3(x2+1)=，即(x2+1)2=时等号成立，而(x2+1)2=无解，不成立；D中，当且仅当=，即x2=2时，等号成立.
6.已知x∈(0，5)，则-x+的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　由于x∈(0，5)，所以0<5-x<5，故-x+=5-x+-5
≥2-5=3，
当且仅当5-x=，即x=1时等号成立.
7.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　)
A. x>0，x+≥2 B. x<0，x+>-2
C. x>0，≥ D. x<0，≤-
答案　AD
解析　利用基本不等式可得 x>0，x+≥2=2，
当且仅当x=1时，等号成立，故A正确；
x<0，x+=-≤-2=-2，
当且仅当x=-1时，等号成立，即命题 x<0，x+>-2不成立，故B错误；
易知 x>0，=≤=，
当且仅当x=1时，等号成立，故C错误；
易知当x=-1时，=-，即 x<0，≤-，故D正确.
8.已知a>b>c，则与的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　.
答案　≤
解析　因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，
所以=≥，
当且仅当a-b=b-c时，等号成立.
9.(x>0)的最小值为　　　　.
答案　2+2
解析　=x++2≥2+2=2+2.当且仅当x=时，等号成立.
10.(12分)已知a>0，b>0，证明：+≥a+b.
证明　因为a>0，b>0，
所以++(a+b)=+a++b≥2+2=2(a+b)，
当且仅当a=b时等号成立，
故+≥a+b成立.
11.若实数x，y满足xy=1，则3x2+5y2的最小值是　　　　.
答案　2
解析　因为实数x，y满足xy=1，
所以3x2+5y2=(x)2+(y)2≥2x·y=2xy=2，
当且仅当x=y时取等号，所以3x2+5y2的最小值是2.
12.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B.a2+b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由AC=a，BC=b，可得圆O的半径r=，又OC=OB-BC=-b=，
则FC2=OC2+OF2=+=，
再根据题图知OF≤FC，即≤(a>0，b>0)，当且仅当a=b时，等号成立.
13.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.2+x+(x<0)的最大值为0
B.的最小值是2
C.若a>0，b>0，且a+b=1，则+的最大值是1
D.若a>0，b>0，则a+b+≥2
答案　AD
解析　对于A选项，由x<0可知，2+x+=-+2≤-2+2=0，
当且仅当x=-1时，等号成立，故A正确；
对于B选项，==+≥2=2，
当且仅当=，即=1时等号成立，
又∵≥2，
∴等号不成立，故B错误；
对于C选项，∵a>0，b>0，a+b=1，
∴+==≤=，
当且仅当a=b=时，等号成立，
故+的最大值为，故C错误；
对于D选项，∵a>0，b>0，
∴a+b+≥2+≥2=2，
当且仅当
即a=b=时，等号成立，故D正确.
14.(15分)(1)已知0(2)若x>1，求4x+的最小值.(8分)
解　(1)因为00，
所以x(4-3x)=×3x×(4-3x)≤×=，
当且仅当3x=4-3x，即x=时取等号，
所以x(4-3x)的最大值为.
(2)因为x>1，所以x-1>0，
所以4x+=4(x-1)++4≥8，
当且仅当4(x-1)=，即x=时取等号，
故4x+的最小值为8.
15.当x∈(0，+∞)时，不等式x2-mx+x+1>0恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，3)
解析　当x∈(0，+∞)时，不等式x2-mx+x+1>0恒成立，
即mx∵x>0，
∴x++1≥2+1=3，
当且仅当x=，即x=1时，等号成立，∴m<3.
16.已知任意的正数a，b，c，有≥成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.若0A.6 B.4 C.5 D.3
答案　B
解析　根据题意可得m2(3-m)=×m×m(6-2m)≤=4，
当且仅当m=6-2m，即m=2时，等号成立，
故m2(3-m)的最大值为4.

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