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第2课时　基本不等式的应用
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知a>0，b>0，2a+b=1，则+的最小值为(　　)
A.2 B. C.4 D.9
2.若a>0，b>0，且a+b=3，则--的最大值为(　　)
A.-9 B.-7 C.-5 D.-3
3.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y++的最小值为(　　)
A.10 B.6 C.4 D.9
4.在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位：米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)满足v2=，则该类昆虫的最大跳跃高度为(　　)
A.0.25米 B.0.5米 C.0.75米 D.1米
5.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为(　　)
A.3 B.8 C.4 D.9
6.已知x>0，y>0且xy+2x+y=2，则2x+y的最小值为(　　)
A.1 B.4-4
C.2 D.-1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是(　　)
A.+的最小值是2
B.xy的最大值是1
C.x2+y2的最小值是4
D.x(y+1)的最大值是2
8.若x>0，y>0，x+2y=1，则下列说法正确的是(　　)
A.xy的最大值是
B.+的最小值是8
C.4x2+y2的最小值为
D.的最小值是4
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　　.
10.不等式(x+y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
(1)xy的最小值；(6分)
(2)x+y的最小值.(7分)
12.(15分)某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2 000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18 000元(长方体保护罩最大容积为10立方米).
(1)求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；(7分)
(2)求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.(8分)
第2课时　基本不等式的应用
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知a>0，b>0，2a+b=1，则+的最小值为(　　)
A.2 B. C.4 D.9
答案　C
解析　由2a+b=1，得+=+=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号，所以+的最小值为4.
2.若a>0，b>0，且a+b=3，则--的最大值为(　　)
A.-9 B.-7 C.-5 D.-3
答案　D
解析　因为a>0，b>0，且a+b=3，
所以--=-(a+b)=--≤--=-3，
当且仅当=，即a=1，b=2时等号成立，
所以--的最大值为-3.
3.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y++的最小值为(　　)
A.10 B.6 C.4 D.9
答案　A
解析　由xy=x+4y，得+=1，
所以x+y++=(x+y)+1=4+1+++1≥6+2=6+4=10，
当且仅当x=6，y=3时，等号成立，
所以x+y++的最小值为10.
4.在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位：米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)满足v2=，则该类昆虫的最大跳跃高度为(　　)
A.0.25米 B.0.5米 C.0.75米 D.1米
答案　A
解析　由v2=可知v2-Hv4=4H，且v>0，
故H==≤=，
当且仅当v2=2，即v=时等号成立，所以该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
5.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为(　　)
A.3 B.8 C.4 D.9
答案　A
解析　由题意知，p=7，易知7-b>0，7-c>0，S==≤·=3，
当且仅当7-b=7-c，即b=c=4时，等号成立，
因此三角形面积的最大值为3.
6.已知x>0，y>0且xy+2x+y=2，则2x+y的最小值为(　　)
A.1 B.4-4
C.2 D.-1
答案　B
解析　已知x>0，y>0，且xy+2x+y=2，y=，其中02x+y=2x+=2(x+1)+-2=2(x+1)+-4≥2-4=4-4，
当且仅当2(x+1)=，即x=-1时取等号，故2x+y的最小值为4-4.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是(　　)
A.+的最小值是2
B.xy的最大值是1
C.x2+y2的最小值是4
D.x(y+1)的最大值是2
答案　AB
解析　因为正数x，y满足x+y=2，
所以+=(x+y)
=×≥×=2，
当且仅当即x=y=1时，等号成立，
所以+的最小值是2，故A正确；
因为正数x，y满足x+y=2，
所以xy≤==1，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以xy的最大值是1，故B正确；
由≤，得x2+y2≥2，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以x2+y2的最小值是2，故C错误；
x(y+1)≤==，
当且仅当即x=，y=时，等号成立，
所以x(y+1)的最大值是，故D错误.
8.若x>0，y>0，x+2y=1，则下列说法正确的是(　　)
A.xy的最大值是
B.+的最小值是8
C.4x2+y2的最小值为
D.的最小值是4
答案　AB
解析　∵x+2y=1≥2，
∴xy≤，当且仅当
即时等号成立，故A正确；
+=(x+2y)=4++
≥4+2=8，
当且仅当即时等号成立，故B正确；
4x2+y2=4(1-2y)2+y2=17y2-16y+4
=17+≥，
当且仅当y=时等号成立，故C错误；
==2≥4，
当且仅当xy=1时等号成立，而0三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　　.
答案　
解析　由a2+2ab=1可得b=，
所以a2+b2=a2+=+-≥2-=，
当且仅当a2=时，等号成立.
10.不等式(x+y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　　　　.
答案　16
解析　(x+y)=1+a++
≥1+a+2 =1+a+2=(+1)2，
当且仅当=时取等号，即(x+y)的最小值为(+1)2.
若不等式(x+y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则(+1)2≥25，
即+1≥5，则≥4，则a≥16，
即正实数a的最小值为16.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
(1)xy的最小值；(6分)
(2)x+y的最小值.(7分)
解　(1)方法一　由x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，得+=1，
则1=+≥2=，得xy≥64，
当且仅当=，
即x=16，y=4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
方法二　因为x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，
所以xy=2x+8y≥2，
所以xy≥8，即≥8，xy≥64，
当且仅当2x=8y，即x=16，y=4时，等号成立，
所以xy的最小值为64.
(2)由(1)可得+=1，
则x+y=·(x+y)
=10++≥10+2=18，
当且仅当=，即x=12且y=6时等号成立，
所以x+y的最小值为18.
12.(15分)某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2 000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18 000元(长方体保护罩最大容积为10立方米).
(1)求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；(7分)
(2)求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.(8分)
解　(1)设保险费用为y1=，代入x=4，y1=18 000，解得t=72 000，
则总费用y=2 000(x-0.5)+(0.5即y=2 000x+-1 000(0.5(2)由基本不等式可得
y=2 000x+-1 000≥2-1 000=24 000-1 000=23 000，
当且仅当2 000x=，即x=6时等号成立.
故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小，最小值为23 000元.

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