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4.1　一元二次函数
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.一元二次函数y=-2x2+2x+1的顶点坐标是(　　)
A.(1，1) B.(-1，-3)
C. D.
2.已知抛物线与x轴交于点(-1，0)，(1，0)，并且与y轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为(　　)
A.y=-x2+1 B.y=x2+1
C.y=-x2-1 D.y=x2-1
3.已知一元二次函数y=x2-3x+2，它的图象可以由函数y=x2的图象经过怎样的变换得到(　　)
A.向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
B.向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C.向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
4.关于一元二次函数y=-2x2+1，下列说法中正确的是(　　)
A.它的图象的开口方向是向上的
B.当x<-1时，y随x的增大而增大
C.它的顶点坐标是(-2，1)
D.当x=0时，y有最大值是2
5.函数y=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上函数值y随着自变量x的增大而减小，则a的取值范围是(　　)
A.[-3，+∞) B.(-∞，-3]
C.(-∞，5) D.[3，+∞)
6.(多选)已知函数y=x2-2x+2的函数值的取值范围是[1，2]，则x的取值范围可能是(　　)
A.[0，1] B.[1，2]
C. D.[-1，1]
7.已知一元二次函数y=x2+(k-2)x-2，则下列说法错误的是(　　)
A.其图象开口向上，且始终与x轴有两个不同的交点
B.无论k取何实数，其图象始终过定点(0，-2)
C.其图象对称轴的位置不确定，但其形状不会因k的取值不同而改变
D.函数的最小值大于-2
8.若y=-x2+x-m的函数值有正值，则实数m的取值范围是　　　　　　.
9.一元二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为直线x=2，最小值为-1，则它的解析式是　　　　　　.
10.(13分)对于一元二次函数y=x2+4x+6.
(1)指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(4分)
(2)画出它的图象，并说明其图象由y=x2的图象经过怎样平移得来；(5分)
(3)求函数的最值.(4分)
11.一元一次函数y=ax+b(a≠0)与一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　　)
12.(多选)如图是一元二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1.给出下面四个选项，正确的是(　　)
A.b2>4ac　　 　　B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a13.函数y=x2-2x，当-1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为　　　　　.
14.(15分)已知一元二次函数y=x2-4x+m.
(1)当m=2时，求一元二次函数y=x2-4x+m的最小值；(5分)
(2)若当-2≤x≤7时，一元二次函数y=x2-4x+m有最小值-5，在此条件下求函数的最大值.(10分)
15.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1，x2，且x1A.当m=0时，x1=2，x2=3
B.m>-
C.当m>0时，2D.当m>0时，x1<2<316.函数y=x2-2ax+a在区间[-1，1]上的取值范围为[-2，2]，则a的值为　　　　.
4.1　一元二次函数
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.一元二次函数y=-2x2+2x+1的顶点坐标是(　　)
A.(1，1) B.(-1，-3)
C. D.
答案　C
解析　y=-2x2+2x+1=-2+，
∴顶点坐标为.
2.已知抛物线与x轴交于点(-1，0)，(1，0)，并且与y轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为(　　)
A.y=-x2+1 B.y=x2+1
C.y=-x2-1 D.y=x2-1
答案　A
解析　设y=a(x-1)(x+1)，
代入(0，1)，得a(0-1)(0+1)=-a=1，
∴a=-1，∴y=-x2+1.
3.已知一元二次函数y=x2-3x+2，它的图象可以由函数y=x2的图象经过怎样的变换得到(　　)
A.向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度
B.向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C.向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
答案　B
解析　y=x2-3x+2=x2-3x+-+2=-，所以其图象可以由函数y=x2的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，故B正确.
4.关于一元二次函数y=-2x2+1，下列说法中正确的是(　　)
A.它的图象的开口方向是向上的
B.当x<-1时，y随x的增大而增大
C.它的顶点坐标是(-2，1)
D.当x=0时，y有最大值是2
答案　B
解析　∵一元二次函数y=-2x2+1，a=-2<0，∴该函数的图象开口方向向下，故选项A错误；
当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
它的顶点坐标为(0，1)，故选项C错误；
当x=0时，y有最大值1，故选项D错误.
5.函数y=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上函数值y随着自变量x的增大而减小，则a的取值范围是(　　)
A.[-3，+∞) B.(-∞，-3]
C.(-∞，5) D.[3，+∞)
答案　B
解析　函数图象的对称轴是直线x=1-a，开口向上，则1-a≥4，解得a≤-3.
6.(多选)已知函数y=x2-2x+2的函数值的取值范围是[1，2]，则x的取值范围可能是(　　)
A.[0，1] B.[1，2]
C. D.[-1，1]
答案　ABC
解析　对于A，当x∈[0，1]时，y=x2-2x+2=(x-1)2+1∈[1，2]，故A正确；
对于B，当x∈[1，2]时，y=x2-2x+2=(x-1)2+1∈[1，2]，故B正确；
对于C，当x∈时，y=x2-2x+2=(x-1)2+1∈[1，2]，故C正确；
对于D，当x∈[-1，1]时，y=x2-2x+2=(x-1)2+1∈[1，5]，故D错误.
7.已知一元二次函数y=x2+(k-2)x-2，则下列说法错误的是(　　)
A.其图象开口向上，且始终与x轴有两个不同的交点
B.无论k取何实数，其图象始终过定点(0，-2)
C.其图象对称轴的位置不确定，但其形状不会因k的取值不同而改变
D.函数的最小值大于-2
答案　D
解析　对于A选项，函数对应的二次方程x2+(k-2)x-2=0，其判别式Δ=(k-2)2+8>0恒成立，故抛物线始终与x轴有两个不同的交点，故A选项正确；
对于B选项，当x=0时，函数值y=-2，故B选项正确；
对于C选项，抛物线的形状只与二次项系数a有关，无论k取何实数，该函数图象的形状都与y=x2的图象形状相同，故C选项正确；
对于D选项，函数的最小值ymin=，其中-8-(k-2)2≤-8，所以ymin≤-2，故D选项错误.
8.若y=-x2+x-m的函数值有正值，则实数m的取值范围是　　　　　　.
答案　
解析　由题意知y=-x2+x-m的最大值>0，∴m<.
9.一元二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为直线x=2，最小值为-1，则它的解析式是　　　　　　.
答案　y=x2-2x+1
解析　依题意可设y=a(x-2)2-1(a>0)，
又其图象过点(0，1)，
∴4a-1=1，∴a=.
∴y=(x-2)2-1=x2-2x+1.
10.(13分)对于一元二次函数y=x2+4x+6.
(1)指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(4分)
(2)画出它的图象，并说明其图象由y=x2的图象经过怎样平移得来；(5分)
(3)求函数的最值.(4分)
解　(1)配方得y=(x+4)2-2，可知图象开口向上，对称轴为直线x=-4，顶点坐标为(-4，-2).
(2)y=x2+4x+6的图象如图所示，其图象可以看作先将y=x2的图象向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到.
(3)由图可知，函数在x∈R内没有最大值，
当x=-4时，函数有最小值，即ymin=-2.
11.一元一次函数y=ax+b(a≠0)与一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　　)
答案　C
解析　选项A，y=ax+b中，a>0，而y=ax2+bx+c的图象开口向下，矛盾；
选项B，y=ax+b中，a>0，b>0，而y=ax2+bx+c的图象的对称轴x=->0，矛盾；
选项C，y=ax+b中，a<0，b<0，y=ax2+bx+c的图象开口向下，且对称轴x=-<0，满足题意；
选项D，y=ax+b中，a<0，但y=ax2+bx+c的图象开口向上，矛盾.
12.(多选)如图是一元二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1.给出下面四个选项，正确的是(　　)
A.b2>4ac　　 　　B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a答案　AD
解析　因为图象与x轴交于两点，
所以b2-4ac>0，即b2>4ac，A正确；
对称轴为直线x=-1，
即-=-1，2a-b=0，B错误；
结合图象，当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，C错误；
由对称轴为直线x=-1知，b=2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a13.函数y=x2-2x，当-1≤x≤t时，该函数的最大值为3，则t的最大值为　　　　　.
答案　3
解析　令y=3，则x2-2x=3，解得x=-1或x=3.
由图可知，t的最大值为3.
14.(15分)已知一元二次函数y=x2-4x+m.
(1)当m=2时，求一元二次函数y=x2-4x+m的最小值；(5分)
(2)若当-2≤x≤7时，一元二次函数y=x2-4x+m有最小值-5，在此条件下求函数的最大值.(10分)
解　(1)把m=2代入得y=x2-4x+2=(x-2)2-2≥-2，所以函数的最小值为-2.
(2)一元二次函数y=x2-4x+m的图象开口向上，且对称轴为直线x=2，
把x=2代入y=x2-4x+m，
得4-8+m=-5，解得m=-1，
所以y=x2-4x-1，
当x=-2时，y=4+8-1=11，
当x=7时，y=49-28-1=20，
所以函数的最大值为20.
15.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1，x2，且x1A.当m=0时，x1=2，x2=3
B.m>-
C.当m>0时，2D.当m>0时，x1<2<3答案　C
解析　当m=0时，(x-2)(x-3)=0，
∴x1=2，x2=3，故A对；
方程(x-2)(x-3)=m可化为x2-5x+6-m=0，
由方程有两个不等实根得Δ=25-4(6-m)=1+4m>0，
∴m>-，故B对；
当m>0时，画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象如图，
由(x-2)(x-3)=m得，函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m图象的交点横坐标分别为x1，x2，由图可知，x1<2<316.函数y=x2-2ax+a在区间[-1，1]上的取值范围为[-2，2]，则a的值为　　　　.
答案　-1
解析　y=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2.
当a<-1时，在[-1，1]上y随x的增大而增大，
∴解得a=-1(舍去)；
当-1≤a≤0时，
解得a=-1；
当0当a>1时，在[-1，1]上y随x的增大而减小，
∴无解，
综上，a=-1.

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