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4.2　一元二次不等式及其解法
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.(多选)下面所给关于x的几个不等式，其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A.3-x2-x≤a B.mx2-5y>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
2.“x2>x”是“x>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知集合A=N+，B={x|y=}，则A∩B等于(　　)
A.{0，1，2，3} B.{0，1，2}
C.{1，2，3} D.{1，2}
4.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(x∈R)的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是(　　)
A.{x|x<-3或x>2}
B.{x|x<-2或x>3}
C.{x|-3D.{x|-25.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.若关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}，则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是(　　)
A.{x|x<-3或x>2}
B.{x|-3C.{x|x<-2或x>3}
D.{x|-27.已知2a+1<0，则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　)
A.{x|x<5a或x>-a}
B.{x|x>5a或x<-a}
C.{x|-aD.{x|5a8.若-10的解集是　　　　.
9.已知集合M={x|x2-6x-7<0}，N={x|2x>a}，若M N，则实数a的取值范围为　　　　.
10.(13分)已知函数y=ax2-(2a+1)x+2，a∈R.
(1)当a=2时，解关于x的不等式y≤0；(5分)
(2)若a>0，解关于x的不等式y≤0.(8分)
11.若关于x的不等式2ax2+ax-≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3，0)
B.(-3，0]
C.(-∞，-3)∪(0，+∞)
D.(-∞，-3]∪[0，+∞)
12.(多选)对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能是(　　)
A. B.(-1，a)
C.(a，-1) D.(a，+∞)
13.若关于x的不等式(a-2)x2-2(a-2)x+1>0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　.
14.(15分)已知y=ax2+x-a，a∈R.
(1)若不等式y3}，求a，b的值；(6分)
(2)若a<0，解不等式y>1.(9分)
15.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是(　　)
A. B.{x|2≤x≤8}
C.{x|2≤x<8} D.{x|2≤x≤7}
16.若关于x的不等式x2-(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　　)
A.(6，7] B.[-1，0)
C.[-1，0)∪(6，7] D.[-1，7]
4.2　一元二次不等式及其解法
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.(多选)下面所给关于x的几个不等式，其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A.3-x2-x≤a B.mx2-5y>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
答案　AD
2.“x2>x”是“x>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　x2>x x∈(-∞，0)∪(1，+∞)，
所以若x2>x成立，x>1不一定成立，即充分性不成立；
若x>1成立，x2>x一定成立，即必要性成立，
所以“x2>x”是“x>1”的必要不充分条件.
3.已知集合A=N+，B={x|y=}，则A∩B等于(　　)
A.{0，1，2，3} B.{0，1，2}
C.{1，2，3} D.{1，2}
答案　C
解析　因为A=N+，B={x|y=}={x|3x-x2≥0}={x|0≤x≤3}，所以A∩B={1，2，3}.
4.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)(x∈R)的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是(　　)
A.{x|x<-3或x>2}
B.{x|x<-2或x>3}
C.{x|-3D.{x|-2答案　B
解析　当y=0时，x=-2或x=3，
∴对应方程的根为-2和3，又y随x的增加先减小后增加，
∴a>0，结合函数图象(图略)，可得不等式的解集为{x|x<-2或x>3}.
5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　方法一　取x=1检验，满足，排除A；
取x=4检验，不满足，排除B，C.
方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0，
即(x-1)(2x+9)≤0，解得-≤x≤1.
6.若关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}，则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0的解集是(　　)
A.{x|x<-3或x>2}
B.{x|-3C.{x|x<-2或x>3}
D.{x|-2答案　A
解析　∵关于x的不等式ax-b≤0的解集为{x|x≥2}，
∴a<0且b=2a，
则关于x的不等式ax2+(3a-b)x-3b<0，
可化为ax2+ax-6a<0，即x2+x-6>0，
∴(x-2)(x+3)>0，∴x>2或x<-3，
∴不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
7.已知2a+1<0，则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　)
A.{x|x<5a或x>-a}
B.{x|x>5a或x<-a}
C.{x|-aD.{x|5a答案　A
解析　方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a，5a，
∵2a+1<0，∴a<-，
∴-a>5a，结合函数y=x2-4ax-5a2的图象(图略)，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}.
8.若-10的解集是　　　　.
答案　
解析　原不等式可化成(x-a)<0，因为-1，故原不等式的解集为.
9.已知集合M={x|x2-6x-7<0}，N={x|2x>a}，若M N，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(-∞，-2]
解析　由x2-6x-7<0，得(x-7)(x+1)<0，
解得-1N={x|2x>a}=，
由M N，所以≤-1，
解得a≤-2，所以实数a的取值范围为(-∞，-2].
10.(13分)已知函数y=ax2-(2a+1)x+2，a∈R.
(1)当a=2时，解关于x的不等式y≤0；(5分)
(2)若a>0，解关于x的不等式y≤0.(8分)
解　(1)当a=2时，y≤0，
即2x2-5x+2≤0，
可得(2x-1)(x-2)≤0，
所以≤x≤2，
所以y≤0的解集为.
(2)不等式y≤0即ax2-(2a+1)x+2≤0，又a>0，
可化为(x-2)≤0.
①当02，
解得2≤x≤；
②当a=时，有=2，解得x=2；
③当a>时，有<2，解得≤x≤2.
综上，当0不等式的解集为；
当a=时，不等式的解集为{x|x=2}；
当a>时，不等式的解集为.
11.若关于x的不等式2ax2+ax-≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3，0)
B.(-3，0]
C.(-∞，-3)∪(0，+∞)
D.(-∞，-3]∪[0，+∞)
答案　B
解析　当a=0时，2ax2+ax-≥0 -≥0，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意；
当a≠0时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足
解得-3综上所述，实数a的取值范围是(-3，0].
12.(多选)对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能是(　　)
A. B.(-1，a)
C.(a，-1) D.(a，+∞)
答案　ABC
解析　根据题意，易知a≠0.
当a>0时，a>-1，函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上，故不等式的解集为(-∞，-1)∪(a，+∞).
当a<0时，函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下，若a=-1，则不等式的解集为 ；
若-1若a<-1，则不等式的解集为(a，-1).
13.若关于x的不等式(a-2)x2-2(a-2)x+1>0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　[2，3)
解析　当a-2=0，即a=2时，原不等式可化为1>0，对 x∈R都成立，∴a=2满足条件，
若a-2≠0，
则a-2>0，且Δ=4(a-2)2-4(a-2)<0，
解得2综上，实数a的取值范围是2≤a<3.
14.(15分)已知y=ax2+x-a，a∈R.
(1)若不等式y3}，求a，b的值；(6分)
(2)若a<0，解不等式y>1.(9分)
解　(1)由题意知不等式ax2+x-a-b<0的解集为{x|x<-1或x>3}，
所以解得
(2)由题意，ax2+x-a>1可化为[ax+(a+1)](x-1)>0，易知方程[ax+(a+1)](x-1)=0的两根为x1=-1-，x2=1.
当a<-时，-1-<1，不等式的解集为；
当a=-时，-1-=1，不等式的解集为 ；
当-1，不等式的解集为，
综上所述，当a<-时，不等式的解集为；
当a=-时，不等式的解集为 ；
当-15.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是(　　)
A. B.{x|2≤x≤8}
C.{x|2≤x<8} D.{x|2≤x≤7}
答案　C
解析　由4[x]2-36[x]+45<0，得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8.
16.若关于x的不等式x2-(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　　)
A.(6，7] B.[-1，0)
C.[-1，0)∪(6，7] D.[-1，7]
答案　C
解析　不等式x2-(m+3)x+3m<0可化为(x-3)(x-m)<0，
当m>3时，不等式的解集为(3，m)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6当m=3时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；
当m<3时，不等式的解集为(m，3)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以-1≤m<0.
综上可知，实数m的取值范围是[-1，0)∪(6，7].

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