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4.3　一元二次不等式的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.(0，2]
B.(-∞，0)∪[2，+∞)
C.[0，2]
D.(-∞，0]∪[2，+∞)
2.(2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
3.与不等式≥0同解的不等式是(　　)
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0C.≥0 D.(x-3)(2-x)>0
4.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C=(500+30x)元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围是(　　)
A.{x|20≤x≤30，x∈N+}
B.{x|20≤x≤45，x∈N+}
C.{x|15≤x≤30，x∈N+}
D.{x|15≤x≤45，x∈N+}
5.设x∈R，则“|x+1|<1”是“<”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|1A. B.
C.{x|-37.(多选)已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则(　　)
A.a+b>0
B.abc>0
C.a-b+c=0
D.关于x的不等式bx2-ax-c>0的解集为{x|-28.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数a=　　　　.
9.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为　　　　　　.
10.(13分)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为(-∞，1)∪(2，+∞).
(1)求不等式bx+c>0的解集；(6分)
(2)求不等式cx2+bx+a<0的解集.(7分)
11.若a>0，b>0，则不等式-b<A.
B.
C.
D.
12.已知关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x113.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4}，则(　　)
A.a<0
B.a+b+c<0
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.+的最小值为6
14.(15分)数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？(7分)
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价×销量-成本.(8分)
15.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为(　　)
A.[5，40] B.[10，40]
C.(5，40) D.(10，40)
16.不等式≥0的解集为(　　)
A.∪[1，+∞)
B.
C.[1，+∞)
D.∪[1，+∞)
4.3　一元二次不等式的应用
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.(0，2]
B.(-∞，0)∪[2，+∞)
C.[0，2]
D.(-∞，0]∪[2，+∞)
答案　A
解析　由原不等式得x(2-x)≥0且x≠0，解得0即不等式的解集为(0，2].
2.(2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
答案　C
解析　≥2即为≤0，即故-2≤x<1，
故不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
3.与不等式≥0同解的不等式是(　　)
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0C.≥0 D.(x-3)(2-x)>0
答案　B
解析　由≥0，得解得2A项，由(x-3)(2-x)≥0，得2≤x≤3，与≥0不同解；
B项，由0C项，由≥0，得(x-2)(x-3)≤0且x-3≠0，解得2≤x<3，与≥0不同解；
D项，由(x-3)(2-x)>0，得24.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C=(500+30x)元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围是(　　)
A.{x|20≤x≤30，x∈N+}
B.{x|20≤x≤45，x∈N+}
C.{x|15≤x≤30，x∈N+}
D.{x|15≤x≤45，x∈N+}
答案　B
解析　设该厂每天获得的利润为y元，
则y=(160-2x)·x-(500+30x)=-2x2+130x-500，0根据题意，可得-2x2+130x-500≥1 300，
解得20≤x≤45，
故当20≤x≤45，且x∈N+时，每天获得的利润不少于1 300元.
5.设x∈R，则“|x+1|<1”是“<”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由|x+1|<1，可得-2由<可得-=<0，解得x<0或x>2，
设B={x|x<0或x>2}.
显然集合A是集合B的真子集，
所以“|x+1|<1”是“<”的充分不必要条件.
6.已知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|1A. B.
C.{x|-3答案　D
解析　由题意可知ax2+bx-2=0的两根为1和2，代入方程可得a=-1，b=3，
则不等式<0等价于<0，解集为{x|-17.(多选)已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则(　　)
A.a+b>0
B.abc>0
C.a-b+c=0
D.关于x的不等式bx2-ax-c>0的解集为{x|-2答案　BCD
解析　由题设及函数图象知y=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2)且a>0，
所以b=-a，c=-2a，则a+b=0，abc=2a3>0，a-b+c=0，A错误，B，C正确；
bx2-ax-c=-ax2-ax+2a>0，
则x2+x-2=(x+2)(x-1)<0，解得-28.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数a=　　　　.
答案　4
解析　由题意知，不等式的解集为{x|x<-1或x>4}，
故(x-a)(x+1)>0 (x+1)(x-4)>0，故a=4.
9.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为　　　　　　.
答案　[60，100]
解析　由汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，
得=11.5，解得k=100，
故每小时的油耗为-20 L.
由题意得-20≤9，解得45≤x≤100，
又60≤x≤120，故60≤x≤100，
所以速度x的取值范围为[60，100].
10.(13分)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为(-∞，1)∪(2，+∞).
(1)求不等式bx+c>0的解集；(6分)
(2)求不等式cx2+bx+a<0的解集.(7分)
解　(1)∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞，1)∪(2，+∞)，
∴a>0且1和2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根，
∴-=3，=2，∴b=-3a，c=2a，
不等式bx+c>0可化为-3ax+2a>0，
∵a>0，∴-3x+2>0，解得x<，
∴不等式bx+c>0的解集为.
(2)由(1)知b=-3a，c=2a，
不等式cx2+bx+a<0可化为2ax2-3ax+a<0，
∵a>0，∴2x2-3x+1<0，
即(2x-1)(x-1)<0，解得∴不等式cx2+bx+a<0的解集为.
11.若a>0，b>0，则不等式-b<A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　原不等式可化为即
可得
故不等式的解集为.
12.已知关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1答案　
解析　由条件知x1，x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根，则x1+x2=2a，x1x2=-8a2，故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152，解得a=.
13.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4}，则(　　)
A.a<0
B.a+b+c<0
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.+的最小值为6
答案　ACD
解析　对于A，根据题意可得，-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，故A正确；
对于B，由题意得-=1，=-12，即b=-a，c=-12a，则a+b+c=-12a>0，故B错误；
对于C，因为b=-a，c=-12a，
所以不等式cx2-bx+a<0即为-12ax2+ax+a<0，又a<0，
所以不等式可化为12x2-x-1<0，
解得-即不等式的解集为，故C正确；
对于D，b=-a，c=-12a，a<0，
则+=-6a=+2(1-3a)-2≥2-2=6，
当且仅当=2(1-3a)，即a=-时等号成立，
所以+的最小值为6，故D正确.
14.(15分)数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？(7分)
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价×销量-成本.(8分)
解　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，
根据题意有y==++10≥2+10=30，
当且仅当=，即x=100时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
(2)设月利润为W万元，则W=x-1 000-10x-=+13x-1 000，
由题知+13x-1 000≥400，
整理得x2+130x-14 000≥0，解得x≥70.
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
15.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为(　　)
A.[5，40] B.[10，40]
C.(5，40) D.(10，40)
答案　B
解析　第一次稀释后，药液浓度为，
第二次稀释后，药液浓度为=，
依题意有≤60%，
即V2-45V+200≤0，解得5≤V≤40，
又V-10≥0，即V≥10，所以10≤V≤40.
16.不等式≥0的解集为(　　)
A.∪[1，+∞)
B.
C.[1，+∞)
D.∪[1，+∞)
答案　A
解析　根据题意得，原不等式的解集等价于不等式组与的解集的并集，
解不等式组
得即x≥1；
解不等式组得
即-1≤x<-.
综上可得，不等式≥0的解集为∪[1，+∞).

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