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不等式恒成立、能成立问题
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-4，4]
B.(-4，4)
C.(-∞，-4]∪[4，+∞)
D.(-∞，-4)∪(4，+∞)
2.已知关于x的不等式kx2+kx-<0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　)
A.(-3，0] B.(0，3]
C.[3，+∞) D.[2，+∞)
3.若当1≤x≤4时，不等式x2-(m+1)x+9≤0有解，则实数m的最小值为(　　)
A.9 B.5 C.6 D.
4.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|-1≤a≤4} B.{a|-1C.{a|a≤-1或a≥4} D.{a|-4≤a≤1}
5.对任意x满足-1≤x≤2，不等式x2-2x+a<0恒成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a<-3 B.a<-4
C.a<0 D.a>0
6.定义运算：x y=x(x+y)(x，y∈R).若关于x的不等式(x-a) (1-2x)<1恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1，1) B.(0，2)
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.若关于x的不等式x2-6x+2-a>0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值可以是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若对于 x∈{x|a≤x≤a+2}，不等式x2-2x-3≤0恒成立，则实数a的值可能为(　　)
A.-2 B.-1 C. D.2
9.命题p： x∈R，ax2+2x+3>0是假命题的一个充分条件可以是(　　)
A.a∈ B.a∈
C.a∈ D.a∈
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.若关于x的不等式ax2-2x+1<0有解，则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
11.若不等式x2-ax+4<0对任意x∈(3，4)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　.
12.关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
13.(13分)对于 x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2-mx-1<0恒成立，求m的取值范围.
14.(14分)已知不等式2x-1>m(x2+2).
(1)若 x>1，使不等式成立，求实数m的取值范围；(7分)
(2)是否存在实数x，使不等式对任意m∈[-1，1]恒成立.若存在，求出x的取值范围；若不存在，请说明理由.(7分)
不等式恒成立、能成立问题
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-4，4]
B.(-4，4)
C.(-∞，-4]∪[4，+∞)
D.(-∞，-4)∪(4，+∞)
答案　A
解析　由题意得，Δ=a2-16≤0，解得-4≤a≤4.
2.已知关于x的不等式kx2+kx-<0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　)
A.(-3，0] B.(0，3]
C.[3，+∞) D.[2，+∞)
答案　A
解析　因为关于x的不等式kx2+kx-<0的解集为R，则
当k=0时，得-<0，满足题意；
当k≠0时，则解得-3综上所述，k的取值范围为(-3，0].
3.若当1≤x≤4时，不等式x2-(m+1)x+9≤0有解，则实数m的最小值为(　　)
A.9 B.5 C.6 D.
答案　B
解析　因为当1≤x≤4时，不等式x2-(m+1)x+9≤0有解，
所以m+1≥x+有解，
又因为x+≥2=6，
当且仅当x=，即x=3时取等号，
所以当1≤x≤4时，x+的最小值为6，
所以m+1≥6，即m≥5，故m的最小值为5.
4.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|-1≤a≤4} B.{a|-1C.{a|a≤-1或a≥4} D.{a|-4≤a≤1}
答案　A
解析　由于-x2+4x=-(x-2)2+4≤4，
又因为-x2+4x≥a2-3a在R上有解，
只需a2-3a≤4，解得-1≤a≤4，
则实数a的取值范围为{a|-1≤a≤4}.
5.对任意x满足-1≤x≤2，不等式x2-2x+a<0恒成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a<-3 B.a<-4
C.a<0 D.a>0
答案　C
解析　因为x2-2x+a<0，
所以a<-x2+2x，
又因为-1≤x≤2，
所以-x2+2x=-(x-1)2+1≥-3，
所以a<-3，
又因为求“对任意x满足-1≤x≤2，不等式x2-2x+a<0恒成立的一个必要不充分条件”.
所以C正确.
6.定义运算：x y=x(x+y)(x，y∈R).若关于x的不等式(x-a) (1-2x)<1恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1，1) B.(0，2)
C. D.
答案　D
解析　因为(x-a) (1-2x)<1，即(x-a)(x-a+1-2x)<1，
整理可得x2-x+1+a-a2>0，
原问题等价于x2-x+1+a-a2>0恒成立，
则Δ=1-4(1+a-a2)=4a2-4a-3<0，
解得-所以实数a的取值范围为.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.若关于x的不等式x2-6x+2-a>0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值可以是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　AB
解析　不等式x2-6x+2-a>0在区间[0，5]内有解，仅需当x∈[0，5]时，(x2-6x+2)max>a即可，
令y=x2-6x+2，因为y=x2-6x+2的图象的对称轴为直线x=-=3，
所以当x=0时，(x2-6x+2)max=2，所以a<2.
8.若对于 x∈{x|a≤x≤a+2}，不等式x2-2x-3≤0恒成立，则实数a的值可能为(　　)
A.-2 B.-1 C. D.2
答案　BC
解析　不等式x2-2x-3≤0的解集是{x|-1≤x≤3}，
因为对于 x∈{x|a≤x≤a+2}，不等式x2-2x-3≤0恒成立，
记A={x|a≤x≤a+2}，B={x|-1≤x≤3}，
则A B，
所以
解得-1≤a≤1，
所以结合选项，实数a的值可能为-1，.
9.命题p： x∈R，ax2+2x+3>0是假命题的一个充分条件可以是(　　)
A.a∈ B.a∈
C.a∈ D.a∈
答案　ABD
解析　由题意，命题p的否定为 q： x∈R，ax2+2x+3≤0，
当a=0时，则2x+3≤0，解得x≤-，此时 p为真；
当a<0时，函数y=ax2+2x+3的图象开口向下，显然 p为真；
当a>0时，函数y=ax2+2x+3的图象开口向上，
则Δ=22-4×3·a≥0，解得0综上可知，当a∈时， p为真.
根据题意，结合充分条件的定义，知p为假命题，即 p为真命题的一个充分条件应为的子集，
而A，B，D三个选项中的范围是的子集.
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.若关于x的不等式ax2-2x+1<0有解，则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
答案　{a|a<1}
解析　因为ax2-2x+1<0有解，显然a≤0时恒成立；
又由解得0综上，a<1.
11.若不等式x2-ax+4<0对任意x∈(3，4)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　.
答案　[5，+∞)
解析　构造函数y=x2-ax+4，其图象开口向上，
因为不等式x2-ax+4<0对任意x∈(3，4)恒成立，
所以
即解得即a≥5，
所以实数a的取值范围是[5，+∞).
12.关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
答案　
解析　当a2-1=0时，a=1或a=-1，
若a=1，不等式为-1≤0，恒成立；
若a=-1，不等式为2x-1≤0，
解得x≤，不符合题意.
当a2-1≠0时，
若要不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1≤0的解集为R，
则a2-1<0，且Δ=(a-1)2+4(a2-1)≤0，
解得-≤a<1.
综上可得，实数a的取值范围是.
四、解答题(共27分)
13.(13分)对于 x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2-mx-1<0恒成立，求m的取值范围.
解　由不等式mx2-mx-1<0，得m(x2-x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2-x>0，
所以m(x2-x)<1可化为m<，
因为x2-x=-≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
14.(14分)已知不等式2x-1>m(x2+2).
(1)若 x>1，使不等式成立，求实数m的取值范围；(7分)
(2)是否存在实数x，使不等式对任意m∈[-1，1]恒成立.若存在，求出x的取值范围；若不存在，请说明理由.(7分)
解　(1)因为 x>1，使不等式成立，
即 x>1，使得m<成立，
令2x-1=t>1，则x=，
则===≤=，
当且仅当t=3，即x=2时取等号，所以m<.
故m的取值范围是.
(2)2x-1>m(x2+2)可化为m(x2+2)-2x+1<0，
若不等式对任意m∈[-1，1]恒成立，因为x2+2>0，
所以x2+2-2x+1<0，即x2-2x+3=(x-1)2+2<0，无解，故不存在实数x，使不等式对任意m∈[-1，1]恒成立.

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