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周末练2　范围：第一章§3
[分值：110分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　)
A.60+30n≥300 B.60+30n≤300
C.60+30(n-1)≤300 D.60+30(n-1)≥300
2.已知a>0，b>0，设m=a-4+5，n=2-b，则(　　)
A.m≥n B.m>n
C.m≤n D.m3.若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是(　　)
A.|c|>|d| B.ac>bd
C.< D.>
4.已知实数0A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a
C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a
5.已知x<-1，则x+的最大值为(　　)
A.-2 B.- C.-1 D.-3
6.“+>2”是“>>0”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.若a，b，c∈R，a>0，cA.acC.3c>4b D.>
8.下列各式中最小值为2的是(　　)
A.x+ B.+
C.+ D.x+(x>-2)
9.若正实数a，b满足a+b=1，则(　　)
A.+的最大值是
B.+的最小值是
C.(1+a)(1+b)的最大值是
D.a2+2b2的最小值是
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.+　　　 +.(填“>”或“<”)
11.已知x，y都是正数.若+=2，且x>y，则x+y的最小值为　　　　.
12.已知2四、解答题(共27分)
13.(13分)(1)已知a>0，b>0，试比较M=+与N=+的大小；(6分)
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，p=a2+b2+c2，q=ab+bc+ac，试比较p与q的大小.(7分)
14.★★(14分)(1)已知x>0，y>0，求的最大值；(6分)
(2)求满足2+≥k对a>0，b>0有解的实数k的最大值，并说明理由.(8分)
15.★★(5分)若a>0，b>0，3a+5b=1，则的最小值为(　　)
A.16 B.18 C.20 D.22
16.★★(15分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；(7分)
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？(8分)
周末练2　范围：第一章§3
[分值：110分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　)
A.60+30n≥300 B.60+30n≤300
C.60+30(n-1)≤300 D.60+30(n-1)≥300
答案　D
解析　∵经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，方案A为一次性投资300万，方案B为第一年投资60万，以后每年投资30万，
∴60+30(n-1)≥300.
2.已知a>0，b>0，设m=a-4+5，n=2-b，则(　　)
A.m≥n B.m>n
C.m≤n D.m答案　A
解析　由题意知m-n=a-4+5-2+b=a-2+1+b-4+4=(-1)2+(-2)2≥0，当且仅当a=1，b=4时取等号，所以m≥n.
3.若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是(　　)
A.|c|>|d| B.ac>bd
C.< D.>
答案　D
解析　因为a>b>0，c>d，
当c=0，d=-1时，|c|=0<|d|=1，A选项错误；
当c=-1，d=-2，a=2，b=1时，ac=-2=bd，B选项错误；
当c=0时，=0=，C选项错误；
因为d2+1>0，所以>0，
又因为a>b>0，所以>，D选项正确.
4.已知实数0A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a
C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a
答案　C
解析　方法一　∵0∴01，-1<-a<0，
由0即>1>a>a2>0>-a，
∴>a>a2>-a.
方法二　特值法
取a=，计算可得选C.
5.已知x<-1，则x+的最大值为(　　)
A.-2 B.- C.-1 D.-3
答案　D
解析　因为x<-1，则x+1<0，所以-(x+1)>0，
故x+=(x+1)+-1=--1
≤-2-1=-2-1=-3，
当且仅当-(x+1)=，即x=-2时，等号成立，
所以x+的最大值为-3.
6.“+>2”是“>>0”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由+>2得+-2==>0，
所以即a>0，b>0，a≠b或a<0，b<0，a≠b，
所以充分性不成立；
由>>0知，b>a>0，
所以+≥2=2，
当且仅当=，即a=b时等号成立，
又因为b>a>0，所以+>2，所以必要性成立.
所以“+>2”是“>>0”的必要不充分条件.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.若a，b，c∈R，a>0，cA.acC.3c>4b D.>
答案　AD
解析　对于A，因为a>0，c对于B，因为c0，所以>，故B错误；
对于C，当c=-4对于D，因为a>0，c-b>0，a-b>0，b-c>0，a-c>0，
所以-=>0，
所以>，故D正确.
8.下列各式中最小值为2的是(　　)
A.x+ B.+
C.+ D.x+(x>-2)
答案　BD
解析　当x<0时，x+<0，A错误；
显然>0，则+≥2=2，
当且仅当=，即x=1时等号成立，B正确；
令t=(t≥)，
所以t+≥2=2，
当且仅当t=，即t=1，即x2+3=1，x2=-2时，等号成立，显然等号取不到，C错误；
因为x>-2，则x+2>0，x+=(x+2)+-2≥2-2=2，
当且仅当x+2=，即x=0时等号成立，D正确.
9.若正实数a，b满足a+b=1，则(　　)
A.+的最大值是
B.+的最小值是
C.(1+a)(1+b)的最大值是
D.a2+2b2的最小值是
答案　ACD
解析　因为a，b为正实数，a+b=1，所以≤=，即+≤，
当且仅当a=b=时等号成立，所以+的最大值为，故A正确；
+=(a+b)=5++≥5+2=9，当且仅当=，即b=2a=时等号成立，所以+的最小值是9，故B错误；
(1+a)(1+b)≤==，
当且仅当1+a=1+b，即a=b=时等号成立，
所以(1+a)(1+b)的最大值是，故C正确；
由a+b=1，得a=1-b，
则a2+2b2=(1-b)2+2b2=3b2-2b+1=3+，
所以当b=时，a2+2b2取得最小值，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.+　　　 +.(填“>”或“<”)
答案　>
解析　因为=17+2，
=17+2，所以>，故+>+.
11.已知x，y都是正数.若+=2，且x>y，则x+y的最小值为　　　　.
答案　2
解析　由x>y>0，得x-y>0，2y>0，
又+=2，
则x+y=(x-y)+2y=[(x-y)+2y]=
≥=2，
当且仅当=，即x=，y=时取等号，
所以x+y的最小值为2.
12.已知2答案　-2<7a+4b≤7
解析　设7a+4b=x(a+2b)+y(3a+b)=(x+3y)a+(2x+y)b，
所以解得
因为2则-4≤2(3a+b)≤2，
因此，-2<7a+4b≤7.
四、解答题(共27分)
13.(13分)(1)已知a>0，b>0，试比较M=+与N=+的大小；(6分)
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，p=a2+b2+c2，q=ab+bc+ac，试比较p与q的大小.(7分)
解　(1)M-N
=-
=-
=-=(a-b)
=-.
因为a>0，b>0，
所以(1+a)(1+b)>0，-(a-b)2≤0，得M-N≤0，当且仅当a=b时，等号成立，所以M≤N.
(2)因为a，b，c互不相等，
所以a2+b2-2ab=(a-b)2>0，
即a2+b2>2ab.
同理b2+c2>2bc，a2+c2>2ac.
所以2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac)，
即a2+b2+c2>ab+bc+ac，即p>q.
14.★★(14分)(1)已知x>0，y>0，求的最大值；(6分)
(2)求满足2+≥k对a>0，b>0有解的实数k的最大值，并说明理由.(8分)
解　(1)∵x>0，y>0，∴==1+≤2，当且仅当x=y时，取等号，∴当x=y时，的最大值为.
(2)∵a>0，b>0，∴设=m>0，=n>0，则a=m2，b=n2，∴2m+n≥2=2，
∵要求满足2+≥k对a>0，b>0有解的实数k的最大值，
∴2m+n≥k≥k=2k，
∴2k≤2，解得k≤，
∴满足2+≥k对a>0，b>0有解的实数k的最大值为.
15.★★(5分)若a>0，b>0，3a+5b=1，则的最小值为(　　)
A.16 B.18 C.20 D.22
答案　A
解析　a>0，b>0，3a+5b=1，则(a+b)+(2a+4b)=1，
==[(a+b)+(2a+4b)]
=10++≥10+2=16，
当且仅当=，
即a=b=时取等号，所以所求最小值为16.
16.★★(15分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；(7分)
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？(8分)
解　(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q+3)万元，每万件的售价为万元，
即万元.
∴该企业的年销售收入为
·Q=万元.
∴W=48Q+-32Q-3-x
=16Q+=(x≥0).
(2)∵W=(x≥0)，
∴W=
=--+50=-+50
≤-2+50=42.
当且仅当=，即x=7时，等号成立.
∴Wmax=42.
∴当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元.

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