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山西大学附中
2026~2027学年第一学期高三8月月考（总第一次)
数学试题
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z=i(2+),则z的虚部为(
A.1
B.2
C.i
D.2i
2.样本数据3,3,4,5,6,7,7,8的第80百分位数为(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
3.若集合A={XX=×},B={x0≤x≤1}，则A∩B=(
A.
B.{1
C.{0,1
D.{0,-11
4.记Sn为等差数列{a}的前n项和，a=2,S4=20,则a=(
A.7
B.6
C.5
D.4
5.已知0<<π，c0sa=
5,则sina+2
A.2
B.2
C.32
D.72
10
5
10
10
6.设函数f(x)=x2+2x+a,g()=Cos×+2x,曲线y=f(x)与y=g()恰有一个交点，
则a=(
A.-2
B.-1
C.1
D.2
7.已知直线：×-y+4=0,圆C:x2+y2=r2(r>0),若圆C上有且仅有三个点到直线
I的距离为22，则r=(
A.2
B.4
C.2W2
D.4W2
8.设U={《×,×2,×)X∈{-2，-11,2}，i=12,3)为空间中64个点构成的集合，点P(11-2),
记样本空间2=CuP,从2中随机取一个点，定义随机变量X如下：对2中的每个点
A(,X2,3),令X(A)=×+×2+X3,则X的数学期望值为(
A.-1
B.-1
C.0
21
63
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.已知正实数a,b,满足a+b=2,则(
)
A.Va+V6≤2B.2+2°≥4
C.a->1
D.a2+2b≥3
10.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点，过A作直线
上X=-弓的垂线，垂足为D,则(
A.F的坐标为(3，O)B.IADH AFI
C.AB26
D.OA⊥OB
试卷第1页，共4页
11.已知函数f(x)及其导函数f'()的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若g(x)为偶
函数且f(1+2x)=f(1-2x),g(0)=1,则(
)
A.g(2026)=-1
B.g(×+4)=g(x)
C.f(×)是奇函数
D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的3倍，则C的离心率为
13.已知向量a=(2,x),6=(1-1),若a/6,则a+6=
14.在三棱锥S-ABC中，若SA=SC=1,AB=BC=AC=√2，二面角S-AC-B为
则三棱锥S-ABC外接球的表面积为
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知
a(cosB+1)+b(Cos A+1)=3c,a=2b
(1)证明：△ABC为钝角三角形：
(2)若△ABC的面积为3W15,求b的值.
16.(15分)已知椭圆c:茶+长-1a>b>0的离心率为5，点20在精圆c上
(1)求C的方程：
(2)过点(O,-2)的直线I交C于A,B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求直线
1的方程.
试卷第2页，共4页山西大学附中
2026~2027学年第一学期高三8月模块诊断（总第一次)
数学答案
考试时间：120分钟
满分：150分
题号
2
3
6
1
8
9
10
答案
B
D
C
B
A
D
C
ABD
BC
题号
11
12
13
14
答案
AB
V10
3V2
0
3
15.【详解】(1)0ABC中，
由正弦定理得sinA-1+cosB)+sinB-(1+cosA)=3sinC'
sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=3sinC,
sin A+sin B+sin(A+B)=3sinC,sin(A+B)=sinC,sin A+sin B=2sinC,
又由正弦定理得a+b=2c,而a=2b,于是c=b,
金e层宝”ae有
=4
2bc
2
(2)口ABC中，因c0sA=-,
一4，则sinA=5，
4
而S-csnA,可得bc压-3正，bc=24.则有0=24，所以b=4,
4
16.【详解】(1)由题知，a=2,而离心率为，故c=2,
2
故b=V2,故椭圆方程为：父+二=1，
42
(2)由题设直线AB的斜率不为0，故设直线I:X=t(y+2),A(X,y1),B(x2,y2),
X=ty+2)可得e+2y+4y+4-4=0,
B
由
x2+2y2=41
故△=16t4-4(t2+2)(4t2-4)=4(8-4t2)>0即-√2且%+%气%会
4t2
故ae经×2刘--么+为-4%-e-2.解得1-
t2+2
3
答案第1页，共4页
所以直线1：X=
3(y+2)或x=-6
(y+2)
17.(I)证明：因为PA⊥平面ABCD,而ADc平面ABCD,所以PA⊥AD,
又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB,
而ABC平面PAB,所以AD⊥AB
因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,根据平面知识可知AD/BC,
又ADE平面PBC,BCc平面PBC,所以AD/I平面PBC.
(2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF,
因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAC⊥平面ABCD,而平面PACO平面ABCD=AC
所以DE⊥平面PAC,又EF⊥CP,所以CP⊥平面DEF,
根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
因为AD1DC,则CD=1,DE-5,CE=克
2
D
而△EFC为等腰直角三角形，所以EF=,1
22,
故tam∠DFE=DE=6,所以sin∠DFE=
EF
7
8a刻k-
1-k(X+1--kx+1-k
,X>-1
X+1
X+1
令f(x)=0,即+1-k=0,因为X+1>0,0X+1
解得×1卡-专1，且x及-1>0，
当xe(1-时，)>0，f(风)单调递增：当x（很-1)时，1)<0，f冈单调地减
(2)由(1)知X=是-1是f(冈在(Q+四)上唯一的极值点，是极大值点
所以（及少fo)=n(0+1-kx0=0.mf网=-所以f(冈)在(0+m)上难一的零点
综上，f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点.
(3)2×<2,证明如下：
由2)知，名=及1，光满足f0x)=h(%+)-%=0,且%e很1+
要比较2%与%的大小，即比较2传-1与%的大小
2x)-安刃=n2限-2*传-侯--2+2
答案第2页，共4页

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