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【真题汇编】【专题09】压轴解答题专练（含解析）
一、综合题
1．（2026八上·临海期末）如图， 在四边形ABCD中，∠BAD=60°，连接AC， BD，且AB=AC=BD， 把△ABC沿着AB 翻折， 得到△ABC'， 连接C'D.
（1） 若∠BAC=20°， 则∠BCD=　 　°， ∠BC'D=　 　°；
（2） 若
①求出∠BC'D 的度数；
②求证：
（3） 若 则 　 　．
2．（2026八上·宁海期末）如图1，在平面直角坐标系中， 点A 坐标为(1， 0)， 点B坐标为(0，3)，以线段AB为底边向右作等腰直角△ABC．
（1）求边AC 的长和点C的坐标．
（2）如图2，将等腰直角△ABC向右平移m个单位，记平移后的三角形为△DEF，点F恰好在直线上，求直线DF对应的函数表达式．
（3）在(2)的条件下，若点G为直线DF上的动点， 使∠GEF=∠ABO，请直接写出点G的坐标.
3．（2026八上·舟山期末）已知：如图1，在等腰中，．
（1）求的值．
（2）如图2，为线段上一点，连接，作点关于直线的对称点，连接PE，DE，
①如图3，若点落在线段上时，求此时的值．
②如图4，若点落在线段上时，求此时的面积．
4．（2026八上·宁波期末）已知在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ACB=30°，点F是边AC上一动点，以CF为斜边向下作Rt△CDF，使∠D=90°，∠FCD=∠ABF.
（1）如图1，设∠ABF的度数为α，
①用含α的代数式表示∠BFD；
②当α为何值时，△ABF≌△DCF；
（2）设AB=1，
①如图2，延长FD交 BC于G，若FD=DG，求AF长；
②如图3，连结BD，在点 F从点A运动到点C的过程中，求BD的最小值.
5．（2026八上·宁波期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，以线段为底边向右作等腰直角．
（1）求边的长和点C的坐标．
（2）如图2，将等腰直角向右平移m个单位，记平移后的三角形为，点F恰好在直线上，求直线对应的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，若点G为直线上的动点，使，请直接写出点G的坐标．
6．（2026八上·杭州期末） 已知 和 都是等腰直角三角形， 且A，D，E三点在同一条直线上.
（1） 当与 在如图1所示位置时，连接CE，求证：
（2）在(1)的条件下，判断AE，CE，BD之间的数量关系，并说明理由：
（3） 当 与 在如图2所示的位置时，连接CE，若BE平分求 E的面积.
7．（2026八上·宁波期末） 图 1，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为 (1，0)，点 B 坐标为 (0，3)，以线段 AB 为底边向右作等腰直角 .
（1） 求边 AC 的长和点 C 的坐标.
（2） 如图 2，将等腰直角 向右平移 m 个单位，记平移后的三角形为 ，点 F 恰好在直线 上，求直线 DF 对应的函数表达式.
（3） 在(2)的条件下，若点 G 为直线 DF 上的动点，使 ，请直接写出点 G 的坐标.
8．（2026八上·黄岩期末）如图1，△ABC中，AB=AC，点D，E分别是边AB，AC上的动点，且AD=CE.
（1）当点D在AC的垂直平分线上时，连接CD，DE.
①求证：△CDE是等腰三角形；
②求证：∠ADE=∠BCD；
（2）如图2，在（1）的条件下过点D作DF⊥BC，垂足为F，求证：BC-DE=2BF；
（3）如图3，连接CD，BE，交点为G，若S△ABC=a，直接写出四边形ADGE面积的最大值（结果用含a的式子表示）.
9．（2026八下·义乌开学考） 如图1， Rt△ABC中， ∠B=90°， ∠A=30°， AC的垂直平分线交AB 于点D， 交AC于点E， 连接 CD.
（1） 求证： CE=CB；
（2） 如图2， 点G是DE上一点， 在BC的下方作∠GCF=60°交AB 的延长线于点 F， 连接GF， 求证：△GFC 是等边三角形；
（3）在（2） 的条件下， 若AF=AC， AD+DG=kGC， 求k的值.
10．（2026八上·滨江期末）如图，在△ABC中，. ，延长AC到点D，使 连结BD，将 沿BC折叠， BD的对应边BE交AC于点F， 连结AE。
（1） 求∠ACE的度数；
（2） 求AE的长；
（3） 求△ABF 与△CEF的面积比。
11．（2026八上·金东期末）已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，点 P 是线段AB 上的动点，点C是x轴上的动点，连结 PC．
（1） 求A， B两点的坐标；
（2）如图1，连结BC，若△BCP 是以BP为斜边的等腰直角三角形，求直线PC的解析式；
（3） 如图2， 作PM⊥x轴于点 M， 以PM为边向右作正方形 PMNR， 边NR 交直线AB于点Q．若AQ=PC， AN=OC， 求点 P 的坐标．
12．（2026八上·东阳期末）在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，E是BC上一点，连结AE交BD于点F，连结DE.
（1）如图1，当∠BAC=2∠C，且AE⊥BD时
①求∠BAC的度数；
②求证：AE+DE=BD.
（2）如图2，当∠C=30°，且DE⊥BC时，求AF与BD之间的数量关系.
13．（2026八上·浦江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，线段AB的垂直平分线CE分别交AB、x轴于点E、C， ED⊥x轴于点 D.
（1）求点A、B的坐标和线段AB的长；
（2）证明△AOB≌△EDC；
（3）把直线AB绕着点B旋转45°后，与直线 CE交于点 P，求点 P的坐标.
14．（2026八上·余杭期末）如图，直线 点E在AB上，点E到CD的距离为8，直角 中 FG=8；保持 在绕点 E 旋转的过程中，线段 FC与 CD 始终有交点，交于点M，连结EM；
（1）如图1，若EM=9，求FM的长度；
（2）如图2，当点G在 CD上时，求证：EG平分
（3）直接写出MG 的最大值；
15．（2026八上·慈溪期末）如图1，在△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， D为BC边上一点。速结AD、E为AD边上一点， DE=DB，连结BE， CE，记∠ABE=a。
（1）用含a的代数式表示∠CAD。
（2）若△CDE是以DE为腰的等腰三角形， BD=1，求AD的长。
（3）如图2，延长BE交AC于点 F，(若 FC=7， AD=12，求BD的长。
二、实践探究题
16．（2026八上·义乌期末）
（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ABC按如图放置，直角顶点C在原点，若顶点A落在点(1，2)处.则①AO 的长为　 　；②点B 的坐标为 　 　(直接写结果)；
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ABC按如图放置，直角顶点C在(0， - 2) 处， 点B (-3， 0)， 点 P为y轴上一点. 当△ABP是以AP 为底的等腰三角形时，求点 P 的坐标；
（3）拓展研究：如图3，在(2)的条件下，已知点D(5，2)，若点M为射线BC上一动点，连结MD，在坐标轴上是否存在点 Q，使△QMD 是以MD 为底边的等腰直角三角形.若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由.
17．（2026八上·海曙期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
（1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹.
（2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形.
（3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形.
三、解答题
18．（2025八上·莲都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB： 与y轴相交于点A，与x轴的正半轴相交于点B，P 是直线AB 上方第一象限内的一个动点.
（1）求直线AB 与两坐标轴围成的 的面积.
（2）若点P坐标为(3， m)， 直线y=kx经过点 P，且平分 的面积，求k和m的值.
（3）连结AP， BP，当 为等腰直角三角形时，求点 P的坐标.
19．（2026八上·宁波期末） 如图， 四边形ABDC中， AC=DC=6， ∠BAC的角平分线AD⊥BD于点D， E为AC的中点，求△ABD与△EBC面积之差的最大值.
20．（2026八上·嘉兴期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（3，0），B（0，4），点D，C分别在x轴、y轴上，OC=OA，直线CD垂直AB于点E.
（1）求k，b的值.
（2）求点E到y轴的距离.
（3）若点P是y轴上一点，当∠CDP=45°时，求点P的坐标.
21．（2026八上·温州期末）1号、2号两个热气球分别从地面和距离地面40米处同时匀速上升，先后到达距地面m米的高度，并停留此高度观光．设经过t(分钟)时，1号、2号两个热气球与地面的距离分别为 (米)，其函数图象如图所示．
（1）求1号热气球上升过程中h1关于t的函数表达式，并求出m的值．
（2）1号热气球在上升过程中，求两热气球与地面距离相等时的高度．
（3）2号热气球在上升过程中，经多少分钟它们的高度相差20米
22．（2026八上·临平期末）如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】（1）150°；30°
（2）解： ①解： 因为AB=BD， ∠BAC=60°，
所以△ABD是等边三角形，
所以AD=AB=AC，
所以∠ACB= (180°-∠BAC)÷2
所以
因为∠C'AB=∠CAB， AC'=AC=AD
所以∠C'AD=60°+α
所以
所以 。
②
∵
∴
∴∠CDB=∠C'DB
延长DC至点E， 使得DE=DC'， 连接EB，
∵在△BDC'与△BDE中
∴△BDC'≌△BDE (SAS)
∴∠BED=30°.
∵
∴∠ADC=150°， 那么∠BCE=30°
∴BC=BE.
过点B作 BH⊥CE， 垂足为点 H，
∴
∵在直角△BCH中， 可得
∴
∴
即
（3）
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】争：(1)∵AB=BD，∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=AD=BD
∴AC=AD
∵∠BAC=20°
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°-20°=40°
∴∠ACB=，∠ACD=
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=80°+70°=150°
∵由折叠知∠BAC'=20°
∵∠DAC'=∠BAD+∠BAC'=60°+20°=80°
∴AC'=AD
∴∠AC'D=
∴∠AC'B=∠ACB=80°
∴∠BC'D=∠AC'B-∠AC'D=80°-50°=30°
（3）假设 根据(2) 的结论， 可得C'D=5， C'D边上的高 那么
过点A作AI⊥CD，延长BC，过点 D作BC延长线上的垂线，垂足为G.可证 所以
所以
【分析】(1)由条件知△ABD为等边三角形，由等腰三角形的性质知∠ACB和∠ACD的度数，由此可得∠BCD的度数，由折叠知∠AC'B，在△AC'D中可得∠AC'D的度数，即可得∠BC'D的度数；
(2)①同(1)理根据等腰三角形的性质可得∠BC'D的度数；
②延长DC至点E， 使得DE=DC'， 连接EB，可证△BDC'≌△BDE B作 BH⊥CE在BCH中，由此可得；
(3)A作AI⊥CD，延长BC，过点 D作BC延长线上的垂线，可得BG的长，由此可得ACD的面积，由此得面积之比.
2．【答案】（1）解：∵A(1，0)，B(0，3)，
是以线段AB为底边的等腰直角三角形，
设C(p，q)，
，
解得或
∵等腰直角在线段AB右侧，
∴C(2，2)；
（2）解：∵将等腰直角向右平移m个单位得F，
∵点F恰好在直线上，
解得m=4，
∴将等腰直角.向右平移4个单位得
∴D(5，0)，F(6，2)，
设直线DF对应的函数表达式为y=kx+b，则
解得
∴直线DF对应的函数表达式为y=2x-10；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（3）解：当G在线段DF上时，过E作.轴于H，延长EG交x轴于M，如图：
由平移可知，∠DEH=∠ABO，E(4，3)，D(5，0)，F(6，2)，
即
是等腰直角三角形，
∴M(7，0)，
由E(4，3)，M(7，0)得直线EM解析式为y=-x+7，
联立解得
当G'在线段DF延长线上时，由知G，G'关于直线EF对称，
∴线段(GG'的中点为F(6，2)，
综上所述，G的坐标为或
【分析】(1)求出由等腰直角三角形性质可得设C(p，q)，可得(，求出p，q的值解答即可；
(2)把.F(2+m，2)代入得2=-解得m=4，即可知D(5，0)，F(6，2)，再用待定系数法得直线DF对应的函数表达式即可；
(3)分两种情况：当G在线段DF上时，过E作x轴于H，延长EG交x轴于M，由平移可知，H=∠ABO，E(4，3)，D(5，0)，F(6，2)，证明是等腰直角三角形，可得M(7，0)，求出直线EM解析式，联立求出交点坐标当G'在线段DF延长线上时，线段GG'的中点为F(6，2)，可得的坐标即可.
3．【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，；
（2）解：①过点作，设，
∵对称，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
在等腰中，则；
②连接，
∵，
∴，
∴，
∵内角和为，
∴，
∴，
∴，即，
设，
在中，，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据三线合一得到BD=DC=3，然后根据勾股定理解答即可；
（2）①过点作，设，根据角平分线的性质得到，根据列方程求出x的值解答即可；
②连接，设，在和中，根据勾股定理得到方程，求出a的值，即可得到EC长，再利用三角形的中线分出的三角形的面积相等解答即可．
4．【答案】（1）解：①∵∠A=90°，
∴∠AFB=90°-∠ABF=90°-α
∴∠CFD=90°-α
∵∠BFD=180°-∠AFB-∠CFD
∴∠BFD=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α；
②∵△ABF≌△DCF
∴BF=FC
∴∠FBC=∠BCF=30°
∵∠ABF=∠ABC-∠FBC
∴∠ABF=60°-30°=30°
（2）解：①在AB上取点H，使HF=HB，
∵FD=DG，CD⊥GF
∴∠DCF=∠DCG=∠ACB=15°
∴∠ABF=15°
∵HF=HB
∴∠HBF=∠HFB=15°
∴∠AHF=∠HBF+∠HFB=15°+15°=30°
设AF=m，则HF=2m，HB=2m，AH=m，
于是2m+m=1，解得m=；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'
∵BB'=BC，∠ABC=60°
∴△BBC为等边三角形
∴CB'=CB=BB'=2，∠CBB'=60°
∵∠ABF=∠ABF=α=∠FCD
∴∠CBF=60°-α，∠B'CD=30°+α
∴∠CDB'=180°-∠CBF-B'CD=90°
即D、F、B'共线
∴点D在以B'C为直径的圆上运动，圆心为B'C的中点M，
当B、D、M三点共线时，BD取最小值，
BM=，DM=1，故BDmin=

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；线段最值问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)①由直角三角形的性质知AFB=∠CFD=90°-α，即可得BFD的度数；
②当 △ABF≌△DCF时，BF=FC，可得∠FBC=30°，即得∠ABF=30°；
(2)①由等腰三角形的性质知∠DCF=∠DCG=15°，即知∠ABF=15°，在AB上取点H，使HB=HF，利用特殊角可得AF的长；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'，由角度关系知D、F、B'共线，知点D的轨迹，知当B、D、M共线时BD取最小值，求出BD的最不值即可.
5．【答案】（1）解：过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，，
∴，，
∵等腰直角，
∴，
设点坐标为，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：∵点坐标为，点A坐标为，将等腰直角向右平移m个单位得到，
∴，，
又∵点F恰好在直线上，
∴，
解得，
∴，，
设直线对应的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线对应的函数表达式为．
（3）解：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：如图，过点作轴于点，在轴上截取，连接交于点，作关于的对称点，
由（2）可知等腰直角向右平移4个单位，记平移后的三角形为，
∴点坐标为：，，，
∵等腰直角，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴设直线为：，
故，
∴，
∴直线为：，
∵为与的交点，
∴，
解得：，
∴；
∵作关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，即，为中点，
设，
∴，
解得；
∴
∴综上，的点坐标为：或．
【分析】（1）过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点，由直角三角形两锐角互余、平角及同角的余角相等推出∠CAN=∠BCM，从而利用“AAS”判断出△ANC≌△MCB，由全等三角形的对应边相等得AN=CM，BM=CN；由A、B两点的坐标得出OB=3，OA=1，利用勾股定理算出AB，根据等腰直角三角形性质及勾股定理求出AC；然后设点坐标为，则CN=b，AN=a-1，BM=a，则AN=CM=a-1，BM=CN=b，则a=b，然后根据CM+CN=MN=OB建立方程求出a=b=2，从而即可得到点C的坐标；
（2）由点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”得到，，将（2+m，2）代入直线，求出m的值，进而求出两点坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）过E作EH⊥x轴于H点，在x轴上截取HI=EH，连接EI交DF于G1，作G1关于F对称点G2；由平移得OH=4，∠ABO=∠HED，点E(4，3)；由等腰直角三角形性质得∠DEF=∠HEI=45°，从而根据角的构成推出∠DEH=∠G1EF=ABO，利用待定系数法求出EI的解析式，联立直线EI与DF得解析式，求解可得点的坐标；再利用垂直平分线性质以及中点坐标即可求出．
（1）解：过点作轴垂足为，过点作轴，与交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，，
∴，，
∵等腰直角，
∴，
设点坐标为，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：∵点坐标为，点A坐标为，将等腰直角向右平移m个单位得到，
∴，，
又∵点F恰好在直线上，
∴，
解得，
∴，，
设直线对应的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线对应的函数表达式为．
（3）解：如图，过点作轴于点，在轴上截取，连接交于点，作关于的对称点，
由（2）可知等腰直角向右平移4个单位，记平移后的三角形为，
∴点坐标为：，，，
∵等腰直角，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴设直线为：，
故，
∴，
∴直线为：，
∵为与的交点，
∴，
解得：，
∴；
∵作关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，即，为中点，
设，
∴，
解得；
∴
∴综上，的点坐标为：或．
6．【答案】（1）证明：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴∠BEA=∠BCA=45°
如图1，记BC与AE相交于点O，
则∠BOE=∠AOC，
∴在△BEO和△ACO中，
∠OBE+∠BOE+∠OEB=180°，∠OAC+∠AOC+∠ OCA=180°，
∵∠BOE=∠AOC
∴∠OBE=∠OAC
即∠EBC=∠EAC
（2）解：
理由如下：
如图1，过点C作CF⊥AE于点F，
∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠EBC=45°
∴∠ABD=∠EBC
由(1)知，∠EBC=∠EAC
∴∠ABD=∠EAC，
即∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)
∴BD=AF，AD=CF
在等腰直角△BDE中，BD=DE，
∴AF=DE，
∴AD+DF =DF+EF
∴AD=EF，
∴EF=CF，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴
∴
即
（3）解：如图2，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，
∵∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF(AAS)
∴BD=AF，AD=CF
∵BD=DE
∴DE=AF，
∴AD+AE=AE+EF
∴AD=EF，
∴EF=CF，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴∠BEC=180°-∠BED-∠CEF=90°
∵BE平分∠ABC，而在等腰直角△BAC中，∠ABC=45°，
∴∠CBE=∠ABE=22.5°
∴∠ABD=∠DBE-∠ABE=22.5°，
∴∠CAF=22.5°，
∴∠ACE=∠CEF-∠CAF =22.5°，
∴∠ACE=∠CAF
∴AE=CE
∵AD=1，
∴，
∴
在Rt△BDE中，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得∠BEA=∠BCA=45°，再根据三角形内角和定理得和对顶角性质即可得出结论；
(2)过点C作CF⊥AE于点F，证明△ABD≌△CAF(AAS)，得BD=AF，AD=CF.再根据等腰直角△BDE，得BD=DE，从而得出AF=DE，继而得到AD=EF， EF=CF，得到△CFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，最后由即可求解；
(3)过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F.证明△ABD≌△CAF(AAS)，得出BD=AF，AD=CF，进而证明AE=CE，从而求得，，，最后由求解即可.
7．【答案】（1）解：过C点作轴垂足为N，过B点作轴，BM与CN交于M点，
==，
，
，
，
，
点A坐标为(1，0)，点B坐标为(0，3)，
，
，
等腰直角，
，
设C点坐标为(a，b)，
，
，
，
，
C点坐标为(2，2)
（2）解：∵C点坐标为(2，2)，点A坐标为(1，0)，将等腰直角向右平移m个单位得到，
∴，，
又∵点F恰好在直线上，
∴，
解得，
∴F(6，2)，D(5，0)，
设直线DF对应的函数表达式为，
，
，，
∴直线DF对应的函数表达式为.
（3）或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】(3)解：如图，过 E 点作 轴于 H 点，在 x轴上截取，连接 E H 交 DF 于 点，作 关于 F 的对称点 ，由（2）可知等腰直角 向右平移 4 个单位，记平移后的三角形为 ，
点坐标为：(4，3)，，
等腰直角，
，
，
，
，
即，
，
设 E H 直线为： ，
故，
，
∵EI直线为： ，
∴为EI与DF的交点，
∴
解得： ， ，
∴；
∴作关于F的对称点，
∴， 即， F为中点，
设，
∴，，
解得，；
∴
∴综上， G的点坐标为： 或.
【分析】(1)过C点作轴垂足为N，过B点作轴，由一线三角模型可得，由全等的性质可得AN=CM，BM=CN，设点C(a，b)由此得a=b=2，即得点C的坐标；
(2)求出点F、D的坐标并将点F坐标代入直线，由此得m的值F、D的坐标，求出直线FD的表达式；
(3)过 E 点作 轴于 H 点，在 x轴上截取，连接 E H 交 DF 于 点，作 关于 F 的对称点 ，由(1)的结论知点E的坐标和I的坐标，求出直线EH的表达式，并求出EI与DF的交点G1的坐标，利用对称的性质可得G2的坐标.
8．【答案】（1）解：①∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD.
∵AD=CE，
∴CD=CE.
∴△CDE是等腰三角形.
②设∠A=x°，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠A=x°
∵AB=AC，CD=CE.
∵∠CED为△ADE的外角，
∴∠CED=∠A+∠ADE.
∴∠ADE=∠BCD.
（2）解：如图，在BC上取点H，使得DH=BD，
∵BD=DH，DF⊥BC，
即BH=2BF.
由（1）可得∠CED=∠B
∴∠CED=∠DHB.
∴∠DHC=∠DEA.
∵AB=AC，AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE.
即BD=AE.
∴AE=DH.
由（1）∠ADE=∠BCD.
∴△ADE≌△DCH（AAS）.
∴DE=CH.
∴BC-CH=BH.
即BC-DE=2BF.
（3）解：a
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：(3) 已知S△ABC=a，当时，四边形ADGE面积取得最大值，最大值为．
故答案为：.
【分析】(1)①先根据线段垂直平分线性质得AD=CD，结合已知AD=CE推得CD=CE，从而证明△CDE是等腰三角形；②先设∠A=x°，利用等腰三角形性质分别表示∠BCD和∠ADE，再通过三角形外角性质∠CED=∠A+∠ADE，从而证明∠ADE=∠BCD相等；
(2)先构造等腰△BDH得BH=2BF，再通过AAS证明△ADE≌△DCH得DE=CH，最后结合线段和差关系得BC-DE=2BF；
(3)通过几何最值分析，当时，四边形ADGE面积最大为．
9．【答案】（1）证明：垂直平分，
，，
，
∴，
，
，
，
，，
，
；
（2）证明：∵，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形；
（3）解：延长，相交于点，连接，
，，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
垂直平分 ，
，
，
，，
∵是等边三角形；
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
∵，由（1）得，
∴，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，然后根据三角形的外角得到交BDC=60°，即可得到∠BCD=∠DCA，再根据证明即可；
（2）根据ASA证明，即可得到CG=CF，再根据等边三角形的判定定理得到结论即可；
（3）延长，相交于点，连接，先根据AAS得到，然后推理得到是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，然后得到，根据线段的和差得到，即可求出的值．
10．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
如图：过E作于G，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
（3）解：如图：过B作于H，过E作交延长线于I，则，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据邻补角可得，再根据折叠得到，然后利用角的和差解答即可；
（2）由题意可得，根据折叠得到，过E作于G，再根据含30度直角三角形的性质求出CG=1，根据勾股定理求出AG和AE长即可；
（3）过B作于H，过E作交延长线于I，则，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，然后根据三角形的面积求得、，再求三角形面积比解答即可．
11．【答案】（1）解：当x=0时，y=3；
∴B(0，3)，
当y=0时，，解得x=6，
∴A(6，0)；
（2）解：如图，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为，
∴OD=m，，
∵∠BOA=∠BCP=∠PDC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=∠PCD+∠BCO=90°，
∴∠OBC=∠PCD，
又∵BC=PC，
∴△OBC≌△DCP，
∴PD=OC=，CD=OB=3，
∴，
解得m=4，
∴OC=1，
∴点C的坐标为(1，0)，P点坐标为(4，1)
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴
（3）解：设点P的坐标为，则点Q的横坐标为，纵坐标为，
∵ AN=OC=，
∴点C的坐标为
则，
解得或，
当时，点P的坐标为，
当时，点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0或y=0 ，求出对应的y，x的值即可得到与坐标轴的交点坐标；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的坐标为，然后根据AAS证明△OBC≌△DCP，即可得到PD=OC=，CD=OB=3，然后根据OD长列方程求出m值解答即可；
（3）设点P的坐标为，点C的坐标为(n，0)，根据正方形的性质表示点Q的坐标，然后根据两点间距离公式列方程求出m的值，即可得到点P的坐标.
12．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，作平分，交于H，
由（1）①可得，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
∵为的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点A作于点H，过点C作，交的延长线于点T，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵为的中线，
∴，；
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
∵，
∴；
∵，，
∴；
如图所示，过点作于点G，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．

【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）①根据等边对等角和三角形内角和定理可求出∠C的度数解答即可；
②作平分，交于H，即可得到，，然后根据ASA得到，即可得到，；然后根据SAS得到，即可得到，然后根据线段的和差证明即可；
（2）过点A作于点H，过点C作，交的延长线于点T，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出，设，根据30°的之间三角形的性质和勾股定理求出，由根据中线得到；然后根据勾股定理求出；证明，得到，，再证明，得到；求出，过点作于点G，由等面积法可得；在中，根据30°的之间三角形的性质和勾股定理求出，，据此可得答案然后计算比值解答即可．
13．【答案】（1）解： 在y=-2x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x=2，
（2）证明： ∵CE是AB的垂直平分线，
∴E为AB的中点，
∵A(2，0)， B(0，4)，
∴E(1，2)，
轴于点D，
在 和 中，
（3）解： 如图：
由(1)， (2)知B(0，4)，
∵E(1，2)，
∴直线CE解析式为
设
∵CE是AB的垂直平分线，
由旋转得
是等腰直角三角形，
整理得：
或m+1=0，
或m=-1，
∴P(3，3)或((-1，1).
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)在y=-2x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x=2， 故A(2，0)， B(0，4)， 根据勾股定理求出AB长解答即可
(2)证明 即可根据AAS证明两三角形全等；
(3)求出C(-3，0)，即可得到直线CE解析式，设 证明 是等腰直角三角形，有BE=PE，根据两点间距离公式列方程求出m的值解答即可.
14．【答案】（1）解： 当EM =9时
由∠F =90° ，EF =6
得
（2）证明：作GH⊥AB交AB于点H，知HG=8
∵在△EFG和△EHG中
∴△EFG≌△EHG(SAS)
∴∠FEG=∠HEG
∴EG平分∠FEB
（3）解： 当MG最大时， FM 最小；
当FM 最小时，EM 最小；
EM 的最小值为8
此时
所以MG的最大值为
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由勾股定理可得FM的长；
(2)作GH⊥AB，由全等的性质知△EFG≌△EHG，即得EG平分∠FEB；
(3)当MG最大时，EM最小，由勾股定理得MG的最大值.
15．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°， AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°
又∵DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE=∠CBA-∠ABE=45°-α，
∴∠ADC=∠DEB +∠DBE =90°-2α
∴∠CAD=90°-∠ADC=2α
（2）解：若CD=DE， 又∵DE=DB=1
∴AC =BC =2 由勾股定理得
若CE=DE， 则∠CED=∠CDE=90°-2α
∴∠ECD=180°-∠CED-∠CDE=90°-2α
∴∠ACE=2α =∠CAE
∴AE=CE=1
∴AD=2
（3）解：
如图延长BC 至点G使得CG=CF=7
∵AC=BC， ∠ACG=∠BCF
∴△ACG≌△BCF(SAS)
∴∠AGC=∠BFC=45°+α，∠GAC=∠FBC=45°-α
∴∠GAD=∠GAC+∠CAD=45°+α=∠AGC
∴GD=AD=12
∴CD=GD—CF=5
Rt△ACD 中由勾股定理得
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由等腰直角三形知∠CAB=∠CBA=45°，得∠DEB=45°-α，∠ADC=90°-2α，由此可得∠CAD；
(2)分CD=CE和CE=DE两种情况，分别求出AD的长即可；
(3)延长BC到点G，使CG=CF，可证△ACG≌△BCF，由此得CD=5，由勾股定理得AC的长，即可得BD的长.
16．【答案】（1）；
（2）解：如图2， 过点A 作AH⊥y轴. 设P (0， a)，
∴OB=3， OC=2，
同理
∴CH=OB=3， AH=OC=2，
∴OH=1，
∴A(2， 1)，
由题意得AB=PB， 即.
解得
∴点P 的坐标为(0， )或(
（3）解：在坐标轴上存在点Q，使△QMD 是以MD为底边的等腰直角三角形；理由如下：
∵B( - 3， 0)， C(0， - 2)，
∴设BC 的解析式为y= kx-2，
∴0=-3k-2，
解得
∴BC的解析式为
当点Q在x轴上的如图位置时，如图3，
设Q(b， 0)， 作 DE⊥x轴， x轴，垂足分别为E、F，如图3，
同理，
∴点M的横坐标为2+b，纵坐标为b-5，
解得b=1，
∴点Q坐标为(1， 0)；
当点Q在x轴上的如图位置时，
设Q(b， 0)， 作DE⊥x轴， MF⊥x轴， 垂足分别为E、F， 如图4，
同理， △DEQ≌△QFM，
∴MF=QE=b-5， QF=DE=2，
∴点M的横坐标为b-2，纵坐标为5-b，
解得b=17，
∴点Q坐标为(17， 0)；
当点Q在y轴上的如图位置时，
设Q(0， m)， 作DE⊥y轴， MF⊥y轴， 垂足分别为E、F， 如图5，
同理，
∴点M的横坐标为2-m，纵坐标为m-5，
解得m=5，
∴点Q坐标为(0， 5)；
综上，在坐标轴上存在点 Q，使 是以MD为底边的等腰直角三角形；点Q坐标为(0， 5) 或(1， 0) 或(17， 0).
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，
∵由A(1，2)知OD=1，AD=2
∴AO=
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠AOD+∠OBE=90°
∴∠AOD=∠BOE
又∵OA=OB，∠ADO=∠BEO
∴△AOD≌△OBE(AAS)
∴BE=OD=1，OE=AD=2
∴B(-2，1)
【分析】(1)过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，由勾股定理可得OA的长，由全等△AOD≌△OBE可得点B的坐标；
(2)设点P(0，a)由AB=PB可得求解方程即得点P的坐标；
(3)分类讨论点Q在x轴的位置和y轴的位置 ，利用图形的性质，利用全等可得点Q的坐标.
17．【答案】（1）解：如图1所示，和是偏等积三角形；
（2）如图2所示，和是偏等积三角形；
（3）如图3所示：过点B作，垂足为H.
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，
在和中
∴△ABH≌△ACD，
∵AE=AD，CD=BH，
又由图知，这两个三角形不全等
与为偏等积三角形
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线交AC于点D，连结BD，则△BAD和△BCD即为所作；
（2）利用偏等积三角形的定义作出△ABC与△DEF即可．
（3）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先根据AAS得到△ABH≌△ACD，即可得到CD=HB，根据三角形的面积公式可得S△ABE=S△CDA，再依据偏等积三角形的定义证明即可．
18．【答案】（1）解：在y=﹣x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=4，
∴A（0，3），B（4，0），
∴S△AOB=×3×4=6，
∴直线AB与两坐标轴围成的△AOB的面积为6；
（2）解：∵直线y=kx经过原点（0，0），且平分△AOB的面积，
∴直线y=kx经过边AB的中点（2，），
∴=2k，
解得k=，
∴y=x，
把（3，m）代入y=x得：m=；
∴k的值为，m的值为；
（3）解：当A为直角顶点时，过P作PC⊥x轴于C，如图：
∵∠PAB=90°，
∴∠OAB=90°﹣∠CAP=∠CPA，
∵∠AOB=90°=∠ACP，AB=AP，
∴△AOB≌△PCA（AAS），
∴OA=CP=3，OB=AC=4，
∴OC=OA+AC=3+4=7，
∴P（3，7）；
当B为直角顶点时，过P作PD⊥x轴于D，如图：
同理可得△AOB≌△BDP（AAS），
∴OA=BD=3，OB=PD=4，
∴OD=OB+BD=4+3=7，
∴P（7，4）；
当P为直角顶点时，过P作EF⊥y轴于E，过B作BF⊥EF于F，如图：
同理可得△BPF≌△PAE（AAS），
∴BF=PE，PF=AE，
设BF=PE=x，PF=AE=y，
∵∠EOB=∠FEO=∠F=90°，
∴四边形EOBF是矩形，
∴OE=BF，OB=EF，
∴3+y=x，4=x+y，
∴x=3.5，y=0.5，
∴PE=PE=3.5，
∴P（3.5，3.5）；
综上所述，P的坐标为（3，7）或（7，4）或（3.5，3.5）．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】（1）由y=﹣x+3求出A（0，3），B（4，0），再根据三角形面积公式可得△AOB的面积为6；
（2）根据直线y=kx经过原点（0，0），且平分△AOB的面积，可知直线y=kx经过边AB的中点（2，），可得k=，把（3，m）代入y=x得：m=；
（3）分三种情况画出图形，利用全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质解答即可．
19．【答案】解：延长交的延长线于H，过点D作于T，如图所示：
设的面积为S，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点E是的中点，，
，
又，
当为最大时，S为最大，则为最大，
根据“垂线段最短”得：，
时，为最大，最大值为6，
S的最大值为：，
的最大值是18．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；等积变换
【解析】【分析】延长交的延长线于H，过点D作于T，设的面积为S，根据ASA得到△ABD≌△AHD，即可得到，然后推理得到，根据等底同高的两个三角形的面积相等可以得出，再根据，可知为最大时，S为最大，则为最大，然后根据垂线段最短解答即可．
20．【答案】（1）解：∵一次函数y=kx+b过点A(3，0)，B(0，4)，
∴，解得.
（2）解：∵OC=OA=3，
∴C(0，3)．
∵直线AB斜率为，
∴CD⊥AB，直线CD斜率为．
∴直线CD的解析式为．
∴联立AB，CD得，
，解得，即点E到y轴的距离为.
（3）解：情况1：点P在y轴负半轴/点C下方
如图，过点C作CG⊥CD，交直线DP的延长线于点G；过点G作GQ⊥y轴于点Q．
∵∠CDP=45°，∠DCG=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，即DC=CG．
在Rt△DCO和Rt△CGQ中，
，
∴Rt△DCO≌Rt△CGQ（AAS）.
∴GQ=OC=3，CQ=OD=4．
∵C(0，3)，Q在y轴上，
∴OQ=CQ-OC=4-3=1，即G(3，-1)．
设直线DG的解析式为y=mx+n，代入D(-4，0)，G(3，-1)得
，
解得，，即．
令x=0，得，
∴P（0，-）．
情况2：点P在y轴正半轴/点C上方
过点C作CG⊥CD，交直线DP于点G；过点G作GQ⊥y轴于点Q．
同理可得△DCG为等腰直角三角形，DC=CG．
由Rt△DCO≌Rt△CGQ（AAS），得GQ=OC=3，CQ=OD=4．
∴OQ=OC+CQ=3+4=7，即G(-3，7)．
设直线DG的解析式为y=mx+n，代入D(-4，0)，G(-3，7)得
，
解得m=7，n=28，即y=7x+28．
令x=0，得y=28，
∴P(0，28)．
综上， 点P的坐标 为（0，-）或（0，28）.
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】(1)先将点A，B的坐标代入一次函数解析式，直接求出k和b的值；
(2) 先根据OC=OA确定点C的坐标，利用两直线垂直斜率之积为-1求出直线CD的斜率和方程，联立直线AB的方程求出交点E的横坐标，该值即为点E到y轴的距离；
(3) 先根据∠CDP=45°构造等腰直角三角形△DCG，利用“一线三等角”模型证明Rt△DCO与Rt△CGQ全等；再由全等三角形的对应边相等求出点G的坐标，进而用待定系数法求出直线DG的解析式；最后令解析式中x=0，得到点P在y轴上的坐标，分点P在C上方，下方两种情况，得到两个符合条件的解P（0，-）或（0，28）．
21．【答案】（1）解：设
将(20， 40)代入得40=20k，
解得k=2，
∴
将(50， m)代入得m=2×50=100．
（2）解：设
将 (0， 40)， (90， 100) 代入解得
依题意
解得t=30．
把 t=30代入得 米．
（3）解：①当0≤t≤30时，解得t=15．
②当30③当50综上所述， t=15或45或60．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；分类讨论
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出h1关于t的函数表达式，再将t=50代入解析式即可求出m值；
(2)利用待定系数法求出 h2关于t的函数表达式，联立两个函数求解即可；
(3)根据两个热气球的相对位置分三个区间段讨论，分别建立相应的一元一次方程求解。
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到OC=CD，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）△AOD是直角三角形，理由如下：由等边三角形每一个内角都等于60°得出∠ODC=60°，由全等三角形的对应角相等得出∠ADC=150°，然后根据角的构成可求出∠ADO=90°，从而根据直角三角形的定义可得结论；
（3）根据周角得，由角的构成可得，由三角形的内角和定理求出∠OAD=50°；分①，②，③三种情况，分别根据等边对等角建立方程，求解即可得出答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由题意得：，，
∴；
①若，则，即，
∴；
②若，则，即，
∴；
③若，则，即，
∴；
综上，当等于或或时，是等腰三角形．
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