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新湘教版八年级上册数学
第5章 直角三角形
5.2.1 勾股定理
学习目标
1. 了解勾股定理的文化背景，体会勾股定理的探索过程；
2. 了解利用拼图法验证勾股定理的方法；
3. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
任务导入
如图,在方格纸上(设小方格的边长为1)画一个顶点都在格点
上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使
其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？
A
B
C
a=3
b=4
c=
c=5
探索展示
A
B
C
a=3
b=4
c=5
我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边
叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”.
这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方.对于这一结论，古人称为
勾股算法.实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系.
勾
股
弦
勾2+股2=弦2
探索展示
探索展示
由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论.
画一个边长为a+b的正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形，
其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为 c，如图所示.由
此，你能探索出a2+ b2 =c2这一结论吗？
a
a
a
a
b
b
b
b
A
B
C
D
E
F
G
H
c
探索展示
a
a
a
a
b
b
b
b
A
B
C
D
E
F
G
H
c
由于四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去
4 个小直角三角形的面积。
∴ S=(a+b)2-ab×4
=a2+b2
=a2+2ab+b2-2ab
在△ABE与△BCF中
AE=BF
∠AEB=∠BFC
BE=CF
∴△ABE≌△BCF(SAS)
从而∠1=∠3
1
3
S
又∵∠1+∠2=90°
2
∴∠3+∠2=90°
从而∠CBA=180°-(∠3+∠2)=90°
同理可证
∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°
又∵BC=CD=DA=AB=c
因此四边形ABCD是正方形
∴S=c2
综上可知，S=a2+b2=c2
探索展示
由此可得:
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，
那么a2+b2=c2. 这一结论称为勾股定理。
a
b
c
下面给同学们介绍几种证明方法
c
a
b
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽,
用他所拼的图形证明命题吧.
∵S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
证：
赵爽弦图
探索展示
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中四个全等的直角三角形按图示方法拼图，然后分析其面积关系进行证明.
a
b
c
证：∵S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2
又∵S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
探索展示
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
a
a
b
b
c
c
证：
探索展示
探索展示
请通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理.
a
a
a
a
b
b
b
b
(1)
a
a
a
a
b
b
b
b
(2)
应用提升
例1 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
(1)若a=1，b=2，求c.
(2)若a=15，c=17，求b.
解:(1)根据勾股定理得，
∵ c >0
∴ c =
(2)根据勾股定理得，
∵ b >0
∴ b = 8
知
二
求
一
应用提升
例2 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB= AC=13，
BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长
A
B
C
D
解: 在△ABC中
∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD⊥BC
在Rt△ADB中，由勾股定理得
AD2+BD2=AB2
应用提升
课堂练习
1.当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5 都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
（A）5，12，13 （B）6，8，10
（C）7，24，25 （D）8，15，16
D
应用提升
课堂练习
2.求下图中各直角三角形未知的边长.
a
a
c
5
4
4
10
a=3
a=5
c=15
应用提升
课堂练习
3.已知Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长6cm，
求AC的长.
∴AC2=(AC-2)2+62
解：在Rt△ABC中
AC2=AB2+BC2
从而 AC=10
4.下列说法中,正确的是( )
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
应用提升
课堂练习
C
5. 如图所示，灰色部分（长方形）的面积为( )
A. 24 B. 30 C. 48 D. 18
6
8
3
应用提升
课堂练习
B
课堂小结
导图复盘
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，
a,b 为直角边，c 为斜边，
则有 a +b =c 。
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边
还是斜边时一定要分类讨论
下 课
Thanks!
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