资源简介

八年级数学上学期期中综合质量检测试卷
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列4组数据中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6
3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
4. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A. 13米 B. 15米 C. 16米 D. 17米
7. 一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 在一次函数中，x每增加1，增加了k，b没变，因此，y也增加了k．而如图所示的一次函数图象中从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2．小明发现在一次函数中，x每增加2，y就增加了1，则一次函数与x轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 函数中，自变量的取值范围是_______.
10. 已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 _______．
11. 若点，在一次函数的图象上，则_________．（填“”、“”或“”）．
12. 如图，锦江师一初2024级某学习小组在做实验中发现：在弹性限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系：
物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …
在弹性限度内，弹簧长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数关系式为_________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是_________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 计算和解方程（组）：
（1）； （2）；
（3）
15. 如图，已知的三个顶点分别为、、．
（1）请在图中作出关于轴对称的图形（、、的对应点分别是、、）
（2）直接写出顶点坐标： ______， ______， ______；
（3）求四边形的面积．
16. 某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
（3）该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印制厂印制宣传材料能多一些？
17. 如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且．
（1）若，求的长；
（2）如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，连接，求的长．
18. 如图1，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点A，点是一次函数图象上一点，过点E的直线与x轴和y轴分别交于点C和点．
（1）求a的值和直线的解析式；
（2）若点P是直线上的一动点，若，求点P的坐标；
（3）如图2，点Q在直线上轴，垂足为M，射线平分，分别交x轴和y轴于点N和点H，当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，请直接写出点Q的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 比较大小：_________（填“>”、“=”、“<”）．
20. 若关于，的方程的解满足，则_________．
21. 如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是_________（取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则_________．（取3）
22. 在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为_________．
23. 如图，在中，，D为外一点，且，则的长为_________．
二、解答题（共30分）
24. 某工厂甲，乙两组工人同时加工某种机器零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图像如图所示．
（1）甲组的工作效率是 　 　件/；图中的值为 　 　；
（2）求乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式；
（3）当为何值时，甲、乙两组一共加工零件500件？
25. 【问题背景】
（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，，以为斜边在右侧构造等腰直角三角形，连接，试探究之间的数量关系”．经过小组合作交流，有同学提出以下思路：过点D作的垂线交的延长线于点E，然后可证明，进而可得到三条线段之间的数量关系．请在此思路上完成求解过程．
【迁移应用】
（2）如图2，中，，，，点P从B点出发以的速度沿延长线运动，运动时间为t秒．以为斜边在其右侧构造等腰直角．当D运动的路程为时，则P运动时间为多少秒？
【拓展延伸】
（3）如图3，在（1）的条件下，若与交于点P，过P作于Q，连接，若，的面积为9，求的长．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点．
（1）求直线的解析式；
（2）若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标；
（3）连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围．
答案解析
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有限小数，是有理数，不符合题意；
D、是分数，是有理数，不符合题意；
故选：A．
2. 下列4组数据中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．利用勾股数定义进行分析即可．
【详解】解：A．，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
B．，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
C．，因此是勾股数，故此选项符合题意；
D．，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：C．
3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，进行判断．
【详解】解：第二象限的点横坐标小于，纵坐标大于，
点)的横坐标，纵坐标，满足条件，
故选：C．
4. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的估算方法计算即可．
【详解】，
，
∴的值在2和3之间，
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算规则，二次根式的加减法需要合并同类二次根式，乘除法需遵循根号内数值运算的法则，通过直接计算可判断各选项的正误．
【详解】A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误。
D、，故该选项正确；
故选：D．
6. 如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A. 13米 B. 15米 C. 16米 D. 17米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵树高14米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选：B．
7. 一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查一次函数图象，熟练掌握k、b的符号与图象的位置关系是解题关键．
根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限，即可确定答案．
【详解】解：∵一次函数中，，，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限．
故选：A．
8. 在一次函数中，x每增加1，增加了k，b没变，因此，y也增加了k．而如图所示的一次函数图象中从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2．小明发现在一次函数中，x每增加2，y就增加了1，则一次函数与x轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得函数中k的值为，则有，然后令，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
令，则有，解得：，
∴一次函数与x轴的交点坐标为；
故选B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 函数中，自变量的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10. 已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据轴上点的纵坐标等于得出关于的方程，求出的值即可．
【详解】解：点的坐标为，且点在轴上，
，
解得，
故答案为：．
11. 若点，在一次函数的图象上，则_________．（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据解析式中，可得随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：在中，，
随的增大而增大，
，点，都在一次函数的图象上，
，
故答案为：．
12. 如图，锦江师一初2024级某学习小组在做实验中发现：在弹性限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系：
物体的质量 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 …
在弹性限度内，弹簧长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数关系式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列一次函数解析式，解题关键是掌握一次函数的概念．通过观察表格数据，当物体质量为零时弹簧长度即为原长，物体质量每增加1千克弹簧伸长量恒定，据此可确定函数关系式．
【详解】解：由表格可知，当物体质量时，弹簧长度，故弹簧原长为。物体质量每增加，弹簧长度增加，因此弹簧伸长量与物体质量成正比；
设弹簧长度与物体质量的函数关系式为，
代入点得：，
再把代入，求得，
故函数关系式为．
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径画弧交于点C和点D，直线交x轴于点E，点P是直线上一动点，连接和，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、勾股定理及一次函数的图象与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图、勾股定理及一次函数的图象与性质是解题的关键；连接，由线段垂直平分线的性质可知，则有，要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，
要使的值最小，即的值最小，所以当点A、B、P三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，
由一次函数可令时，则有，令时，则有，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 计算和解方程（组）：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方根的定义解方程，解二元一次方程组，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可；
（3）利用代入消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
或
，；
【小问3详解】
解：
将①代入②得，
解得，
将代入①得，
方程组的解为．
15. 如图，已知的三个顶点分别为、、．
（1）请在图中作出关于轴对称的图形（、、的对应点分别是、、）
（2）直接写出顶点坐标： ______， ______， ______；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式，解题的关键是数形结合．
（1）分别画出、、三点关于轴的对称点、、即可解决问题；
（2）根据所作图形即可求解；
（3）根据四边形是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
由图可知，，，，
故答案为：，，；
【小问3详解】
四边形的面积为．
16. 某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
（3）该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印制厂印制宣传材料能多一些？
【答案】（1）甲厂：，乙厂：；（2）乙厂比较合算；（3）甲厂印制宣传材料多一些
【解析】
【分析】（1）分别根据两厂的收费方式即可得；
（2）根据（1）的结论，分别求出时，y的值，再比较大小即可得；
（3）根据（1）的结论，分别求出时，x的值，再比较大小即可得．
【详解】解：（1）由题意得：甲厂收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式为，
乙厂收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式为；
（2）当时，
甲厂：（元）
乙厂：（元）
∵
乙厂比较合算；
（3）当时，
甲厂：，解得（份）
乙厂：，解得（份）
∵
甲厂印制宣传材料多一些
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，依据题意，正确得出一次函数的解析式是解题关键．
17. 如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且．
（1）若，求的长；
（2）如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，连接，求的长．
【答案】（1）
（2）
证明：，
，
，
，
∵O是的中点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
；
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形判定与性质、正方形性质及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题关键，
（1）先求出，再根据勾股定理求出结论即可；
（2）证明，从而证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（3）连接，先结合正方形性质及勾股定理求出，进而求出，再证明即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵正方形的边长为，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：连接，如下图，
在中，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
在正方形中，，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
∵，
，
，
．
18. 如图1，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点B和点A，点是一次函数图象上一点，过点E的直线与x轴和y轴分别交于点C和点．
（1）求a的值和直线的解析式；
（2）若点P是直线上的一动点，若，求点P的坐标；
（3）如图2，点Q在直线上轴，垂足为M，射线平分，分别交x轴和y轴于点N和点H，当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1），直线的解析式为
（2）点P的坐标为或
（3）点Q的坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质及角平分线的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质及角平分线的性质是解题的关键；
（1）把点代入进行求解a，然后设直线的解析式为，进而根据待定系数法可进行求解；
（2）由题意易得，，则有，设点，然后可分当点P在x轴的上方时，当点P在x轴的下方时，进而分类求解即可；
（3）由题意易得是等腰直角三角形，则有，设点，则，即，然后可分当点N为的中点时，当点O为的中点时，进而分类求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入得：，
∴，
设直线的解析式为，由题意得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知：直线的解析式为，，
令，则有，解得：，
∴，
由直线：，可令时，则有，
∴，
∴，
∴，
设点，则可分：
当点P在x轴的上方时，，
解得：，
∴；
当点P在x轴的下方时，，
解得：，
∴；
综上所述：当时，点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：由直线：，可令时，则有，
∴，即，
由可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点，则，即，
当点N为的中点时，如图所示：
∵点N为的中点，
∴，
∴，，
过点N作于点G，
∵平分，轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴；
当点O为的中点时，如图所示：
∴，则，
同理可得：，
解得：，
∴；
综上所述：当点M、点N和点O这三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，点Q的坐标为或．
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 比较大小：_________（填“>”、“=”、“<”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．通过计算两数的差，判断其正负，从而比较大小．
【详解】解：
，
，且，
，
因此 ，即，
故答案为：．
20. 若关于，的方程的解满足，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解，将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再代入已知条件，即可求出的值．
【详解】解：，
得，
整理得，
即，
，
解得，
故答案为：．
21. 如图1，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是．将圆柱沿将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是_________（取3）；经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．当蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等，则_________．（取3）
【答案】 ①. 15 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意得最短路径“路线二”为线段的长，则有，根据勾股定理可进行求解；由题意易得，进而求解即可．
【详解】解：由题意得最短路径“路线二”为线段的长，底面圆的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为15；．
22. 在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与几何等知识点．
分两种情况讨论，当点位于直线l的两侧，直线l交于点，通过证明进行求解；当点位于直线l的同侧，此时，那么根据一次函数的相同求解．
【详解】解：当点位于直线l的两侧，直线l交于点，如图：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
将代入，则，
解得；
当点位于直线l的同侧，此时，
设直线，则代入点，点，
，
解得，
∴，
故的值为或
故答案为：或．
23. 如图，在中，，D为外一点，且，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，等腰三角形性质，构建直角三角形用勾股定理求线段长是解题的关键．
过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，再由三线合一得为中点，，进而得，得，可得，由得，可得长，再用勾股定理分别求出、，用等积法求出长，即可得长．
【详解】如图，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，
∵，，
∴为中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
二、解答题（共30分）
24. 某工厂甲，乙两组工人同时加工某种机器零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图像如图所示．
（1）甲组的工作效率是 　 　件/；图中的值为 　 　；
（2）求乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式；
（3）当为何值时，甲、乙两组一共加工零件500件？
【答案】（1）60，280
（2）
（3）当时，两组一共生产500件
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图像求解即可；
（2）设乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为，将，求解即可；
（3）由（1）易知甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，结合乙组更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为，由题意“甲、乙两组一共加工零件500件”列式求解即可．
【小问1详解】
解：∵甲组加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点，
∴（件/时），
∵甲组加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点，
∵乙3小时加工120件，
∴乙的加工速度是：每小时40件，
∵乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．
∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工（件），
；
故答案为：60，280；
【小问2详解】
设乙组更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为，
∵图像过，，
则有，
解得，
；
【小问3详解】
由（2）可知，乙组更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为，
∵甲组的工作效率是60件/时，
∴甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，
由题意得，
解得，
答：当时，两组一共生产500件．
【点睛】本题主要考查了函数图像以及一次函数的应用等知识，理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键．
25. 【问题背景】
（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，，以为斜边在右侧构造等腰直角三角形，连接，试探究之间的数量关系”．经过小组合作交流，有同学提出以下思路：过点D作的垂线交的延长线于点E，然后可证明，进而可得到三条线段之间的数量关系．请在此思路上完成求解过程．
【迁移应用】
（2）如图2，中，，，，点P从B点出发以的速度沿延长线运动，运动时间为t秒．以为斜边在其右侧构造等腰直角．当D运动的路程为时，则P运动时间为多少秒？
【拓展延伸】
（3）如图3，在（1）的条件下，若与交于点P，过P作于Q，连接，若，的面积为9，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）8；（3）
【解析】
【分析】本题考查几何变换与动态几何的综合应用，重点涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的构造与证明、动点运动分析以及面积关系的转化．掌握辅助线的添加技巧，并灵活运用“旋转全等”模型是解题的关键．
（1）通过构造垂线证明三角形全等，推导出线段间的数量关系，先证明，进而有从而得出结论．
（2）将静态结论迁移至动态场景，需结合运动路径分析线段变化，体现几何与运动的结合，先证明，再判断点的运动路线，最后算出，可求出t．
（3）通过添加多重辅助线构造全等形，利用面积关系反推线段长度，综合性强，要求较高的空间想象能力，通过构造，找到各边关系，算出长度，最后通过（1）的结论算出．
【详解】解：（1）过点D作，交的延长线于点E，此时，，
在等腰中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在四边形中，，
又 ∵点E在的延长线上，
∴
∴
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（2） 在等腰中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在四边形中，，
又 ∵点E在的延长线上，
∴
∴
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴D朝延长线方向运动，
∴，
∵，
∴
∴，
当时，P与B重合，
即,
∴，
当D运动的路程为时，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点P从B点出发以的速度沿延长线运动，
∴（秒）．
故答案为：8．
（3）过点A作，过点Q作，直线交于点M，过点P作于点N，过Q作交于点E，延长交于点F，如下图．
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
设，，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
由（1）可知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
故答案为．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点．
（1）求直线的解析式；
（2）若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标；
（3）连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题综合考查了一次函数的解析式求解、图形的翻折变换以及直线夹角问题，涉及到待定系数法、分类讨论思想和方程思想
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）分，，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可；
（3）作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点，设，根据等面积法求得，进而求得直线的解析式为；过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而求得直线的解析式为，观察函数图象，即可求解．
【小问1详解】
设直线的解析式为，代入，得
解得：
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，C为中点．
∴
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
①当时，如图所示，
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，沿所在直线将翻折到的位置，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
延长交轴于点，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：，
∴
∴
∴
②当时，如图所示，过点作轴于点，
同理可得是等腰直角三角形，
∴
设，则，则，
∴，，，，
∴，
在中，，
在中，，
∵折叠
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
∴
在中，
∴
解得：
∴，
∴；
综上所述，或；
【小问3详解】
解：如图所示，作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点，
∴三角形是等腰直角，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
在中，
在中，
又∵
∵
∴，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴，
设直线的解析式为
代入，
∴
解得：
直线的解析式为；
过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴即
设直线的解析式为
代入，
∴
解得：
直线的解析式为；
综上所述，直线与直线所夹锐角小于，则k的取值范围为或．

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