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2.2　函数的表示法
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.函数y=f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　)
A.R
B.(-∞，1)∪(1，+∞)
C.(-∞，0)∪(0，+∞)
D.(-1，0)
2.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示，函数y=g(x)的图象如图所示，则f(g(4))等于(　　)
x 1 2 3 4
y=f(x) 3 1 4 2
A.4 B.3 C.1 D.
3.若一次函数的图象经过点A(1，6)和点B(2，8)，则下列点中，不在该函数图象上的是(　　)
A. B.
C.(-1，2) D.(-2，0)
4.已知函数f =+1，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=x2+1(x≠0)
B.f(x)=x2+1(x≠1)
C.f(x)=x2-2x+2(x≠0)
D.f(x)=x2-2x+2(x≠1)
5.函数f(x)与g(x)的定义域均为[m，n]，它们的图象如图所示，则不等式f(x)>g(x)的解集是(　　)
A.[m，a)∪(b，e) B.(a，c)∪(e，n]
C.(b，c)∪[m，a] D.(a，b)∪(c，e)
6.(多选)已知f(2x+1)=x2，则下列结论正确的是(　　)
A.f(-3)=4 B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(3)=9
7.若定义运算a b=则函数f(x)=x2 |x|的图象是(　　)
8.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是　　　　　　　　　　.
9.已知函数f(x)=x2+2x-1，g(x)为一次函数，若g(f(x))=2x2+4x+3，则g(x)=　　　　　　　　.
10.(13分)画出下列函数的图象：
(1)f(x)=2x-1，x∈[-1，2)；(4分)
(2)f(x)=+1，x∈(0，+∞)；(4分)
(3)f(x)=(x-1)2，x∈[0，3].(5分)
11.将函数f(x)=|-x2+1|+2的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为(　　)
12.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)=xf(y)，则f(x)的解析式可以为(　　)
A.f(x)=0 B.f(x)=x
C.f(x)=2x D.f(x)=x2
13.已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))=16x-30，则f(x)=　　　　　　　　　　.
14.(15分)(1)已知f =x2+，求f(x)；(4分)
(2)函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2，求函数f(x)的解析式；(5分)
(3)设定义在(0，+∞)上的函数g(x)满足g(x)=2·g-1，求g(x).(6分)
15.已知f()=x-，则函数f(x)的值域为(　　)
A.[1，+∞) B.
C. D.(-∞，1]
16.已知定义在正整数集上的函数f(x)满足f(x+f(y))=f(x)+y，且有f(1+f(1))=2，则(　　)
A.f(2 024)=2 025 B.f(2 024)>2 025
C.f(2 025)=2 024 D.f(2 025)<2 026
2.2　函数的表示法
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分
1.函数y=f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　)
A.R
B.(-∞，1)∪(1，+∞)
C.(-∞，0)∪(0，+∞)
D.(-1，0)
答案　C
解析　由题图知x≠0，即x∈(-∞，0)∪(0，+∞).
2.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示，函数y=g(x)的图象如图所示，则f(g(4))等于(　　)
x 1 2 3 4
y=f(x) 3 1 4 2
A.4 B.3 C.1 D.
答案　C
解析　由图象可知g(4)=2，所以f(g(4))=f(2)=1.
3.若一次函数的图象经过点A(1，6)和点B(2，8)，则下列点中，不在该函数图象上的是(　　)
A. B.
C.(-1，2) D.(-2，0)
答案　B
解析　设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
由该函数的图象经过点A(1，6)和点B(2，8)，
得解得
所以此函数的解析式为y=2x+4，
经检验，A，C，D选项的坐标都符合.
4.已知函数f =+1，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=x2+1(x≠0)
B.f(x)=x2+1(x≠1)
C.f(x)=x2-2x+2(x≠0)
D.f(x)=x2-2x+2(x≠1)
答案　D
解析　令t=1+，可得x=，
由题意得x≠0，则t≠1，
因为f =+1，
所以f(t)=(t-1)2+1=t2-2t+2(t≠1)，
则f(x)=x2-2x+2(x≠1)，故D正确.
5.函数f(x)与g(x)的定义域均为[m，n]，它们的图象如图所示，则不等式f(x)>g(x)的解集是(　　)
A.[m，a)∪(b，e) B.(a，c)∪(e，n]
C.(b，c)∪[m，a] D.(a，b)∪(c，e)
答案　A
6.(多选)已知f(2x+1)=x2，则下列结论正确的是(　　)
A.f(-3)=4 B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(3)=9
答案　AB
解析　令t=2x+1，则x=，
所以f(t)==，
则f(x)=，故B正确，C错误；
f(-3)==4，故A正确；
f(3)==1，故D错误.
7.若定义运算a b=则函数f(x)=x2 |x|的图象是(　　)
答案　B
解析　根据运算a b=
得f(x)=x2 |x|
=
由此可得图象如图所示.
8.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是　　　　　　　　　　.
答案　f(x)=
解析　由题图可知，f(x)的图象是由两段组成，
当-1≤x<0时，设f(x)=ax+b，
将(-1，0)，(0，1)代入解析式，
得解得
∴f(x)=x+1.
当0≤x≤1时，设f(x)=kx，将(1，-1)代入，
得k=-1，∴f(x)=-x.
综上，f(x)的解析式为f(x)=
9.已知函数f(x)=x2+2x-1，g(x)为一次函数，若g(f(x))=2x2+4x+3，则g(x)=　　　　　　　　.
答案　2x+5
解析　因为g(x)为一次函数，
所以可设g(x)=kx+b(k≠0)，
则g(f(x))=k(x2+2x-1)+b=kx2+2kx+b-k=2x2+4x+3，
则解得
所以g(x)=2x+5.
10.(13分)画出下列函数的图象：
(1)f(x)=2x-1，x∈[-1，2)；(4分)
(2)f(x)=+1，x∈(0，+∞)；(4分)
(3)f(x)=(x-1)2，x∈[0，3].(5分)
解　(1)f(x)=2x-1，x∈[-1，2)的图象如图.
(2)f(x)=+1，x∈(0，+∞)的图象如图.
(3)f(x)=(x-1)2，x∈[0，3]的图象如图.
11.将函数f(x)=|-x2+1|+2的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为(　　)
答案　C
解析　∵f(x)=
可得函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象.
12.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)=xf(y)，则f(x)的解析式可以为(　　)
A.f(x)=0 B.f(x)=x
C.f(x)=2x D.f(x)=x2
答案　ABC
解析　首先，各选项给出的函数定义域均为R.
对于A，yf(x)=y×0=0，xf(y)=x×0=0，所以yf(x)=xf(y)成立，故A符合题意；
对于B，yf(x)=yx，xf(y)=xy，所以yf(x)=xf(y)成立，故B符合题意；
对于C，yf(x)=y×2x=2xy，xf(y)=x×2y=2xy，所以yf(x)=xf(y)成立，故C符合题意；
对于D，yf(x)=y×x2=x2y，xf(y)=x×y2=xy2，所以yf(x)=xf(y)不是恒成立，故D不符合题意.
13.已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))=16x-30，则f(x)=　　　　　　　　　　.
答案　4x-6或-4x+10
解析　∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)=kx+b(k≠0)，
f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-30，
∴解得或
∴f(x)=4x-6或f(x)=-4x+10.
14.(15分)(1)已知f =x2+，求f(x)；(4分)
(2)函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2，求函数f(x)的解析式；(5分)
(3)设定义在(0，+∞)上的函数g(x)满足g(x)=2·g-1，求g(x).(6分)
解　(1)∵f =x2+=+2，
∴f(x)=x2+2.
(2)∵2f(x)-f(-x)=x2，
∴用-x替换上式中的x，
得到2f(-x)-f(x)=(-x)2=x2，
联立方程组
得f(x)=x2.
(3)∵定义在(0，+∞)上的函数g(x)满足g(x)=2·g-1，
将x换成可得g=·g(x)-1，
将其代入上式可得，
g(x)=2·-1=4g(x)-2-1，
∴g(x)=+(x>0).
15.已知f()=x-，则函数f(x)的值域为(　　)
A.[1，+∞) B.
C. D.(-∞，1]
答案　C
解析　设t=，则x=-t2+，t≥0，
则f(t)=-t2+-t，t≥0，
因此f(x)=-x2+-x=-(x+1)2+1，x≥0，
所以函数f(x)的值域为.
16.已知定义在正整数集上的函数f(x)满足f(x+f(y))=f(x)+y，且有f(1+f(1))=2，则(　　)
A.f(2 024)=2 025 B.f(2 024)>2 025
C.f(2 025)=2 024 D.f(2 025)<2 026
答案　D
解析　取x=y=1，得f(1+f(1))=f(1)+1，
又f(1+f(1))=2，故f(1)=1.
取y=1，得f(x+f(1))=f(x)+1，即f(x+1)=f(x)+1，
即对正整数x，f(x+1)-f(x)=1，
累加得f(x)=x，f(2 024)=2 024<2 025，f(2 025)=2 025<2 026.

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