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2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测
第一章 集合与常用逻辑用语·基础通关
建议用时：120分钟，满分：150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D C B C C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
CD BD AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
13．0或1
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
【答案】(1) （2分）
（2分）
(3) （3分）
(4)（3分）
(5) （3分）
16．（15分）
【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 （2分）
可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． （3分）
①若，由 ，得． （5分）
②若，代入 ，得，即 或 ，（7分）
当时，，符合题意；
当时， ，也符合题意；（9分）
③若，代入，得 ，即 或 ，（11分）
当时，②中已讨论，符合题意；
当时， ，不合题意； （13分）
综合①②③得或. （15分）
17．（15分）
【详解】（1）当时，，（3分）
因为，
此时，都有，
所以. （7分）
（2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集，（9分）
又，，
则，（12分）
解得.（15分）
18．（17分）
【详解】（1）命题 ： ， 为假命题，
当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意；（2分）
当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根，（4分）
所以 ，解得 .（7分）
故实数的取值集合.（8分）
（2）由 ，得 ，即.（10分）
因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 .（12分）
当 时， ，解得 ；（13分）
当 时，，解得 .（15分）
综上所述，实数的取值集合为或.（17分）
19．（17分）
【详解】（1）由，，得关于的方程无实根，（2分）
因此，解得，（5分）
所以实数m的取值范围是.（7分）
（2）由为假命题，则的否定：，为真命题，（9分）
即，，
而当时，，
当且仅当时取等号，因此，（11分）
因为为假命题且为真命题，则，（13分）
则， （15分）
所以实数m的取值范围是.（17分）/ 让教学更有效
2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测
第一章 集合与常用逻辑用语·基础通关
建议用时：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，
所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确.
2．（25-26高二下·新疆和田·期末）命题“”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定为.
3.（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．空集是集合的子集
C．代数式的值组成的集合是
D．集合与集合是同一个集合
【答案】D
【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对．
空集是任何非空集合的子集，B对．
当时，；
当或时，；
当时，C对．
是点集，是数集，D错．
故选：D
4．（25-26高二下·重庆·期末）集合，，，则实数的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．0或1
【答案】C
【详解】由条件，则或，
当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去，
当时，或（舍），
所以.
5.（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（ ）
A．10或18 B．或 C．18 D．
【答案】B
【详解】若，则方程只有一个解，
则，得，
所以或，此时，
若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解，
则，得，
所以方程可化为，则，；
综上，或.
6．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（ ）
A．7 B．14 C．15 D．31
【答案】C
【详解】由集合，且，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以集合，
所以的真子集的个数为个.
7．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题，
即，不等式恒成立，
当时，则不等式化简为恒成立，
当时，不等式恒成立，
则等价于，解得，
综上所述命题“，”是真命题的充要条件是
即命题“，”是假命题的充要条件是，
若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件，
则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集.
8．（25-26高三下·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ ）
A．2位 B．3位 C．4位 D．5位
【答案】B
【详解】参加竞赛的总人数：45 15=30（位），
根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15 30=3（位）.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26高二下·江西上饶·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．10以内质数集合：
B．
C．的解集：
D．与是同一个概念
【答案】CD
【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确；
集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确；
集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误；
是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误.
10．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围为
B．若，则实数的取值范围为
C．若，则实数的取值范围为
D．若，则实数的取值范围为
【答案】BD
【详解】当时，即，
则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确.
当时，即，
则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确．
11．（25-26高二下·山西·期末）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即，
的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由为假命题，得为真命题，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
13．（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________．
【答案】0或1
【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论：
当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意，
当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意，
综上，的值为或.
14．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________．
【答案】
【详解】∵ ，∴ ，且.
集合，分情况讨论：
① 若，解得，
此时，则，与矛盾，舍去；
② 若，
此时，则，与矛盾，舍去；
③ 若，解得，
此时，，符合题意.
综上，实数值的集合为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（25-26高一上·河北唐山·期中）设是小于9的正整数，．求：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1) (2) (3)
(4) (5)
【详解】（1）由题设，，则；
（2）由，则；
（3）由，
所以；
（4）由，
所以；
（5）由题设，
所以.
16．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围．
【答案】或
【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，
则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ．
①若，由 ，得．
②若，代入 ，得，即 或 ，
当时，，符合题意；
当时， ，也符合题意；
③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意；
当时， ，不合题意；
综合①②③得或.
17．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知集合．
(1)若，判断集合A与集合B的关系；
(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）当时，，因为，
此时，都有，
所以.
（2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集，
又，，
则，解得.
18．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合．
【答案】(1) (2)或
【详解】（1）命题 ： ， 为假命题，
当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意；
当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根，
所以 ，解得 .
故实数的取值集合.
（2）由 ，得 ，即.
因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 .
当 时， ，解得 ；
当 时，，解得 .
综上所述，实数的取值集合为或.
19．（2026高一·全国·专题练习）设命题：，，命题：，.
(1)若为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由，，得关于的方程无实根，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是.
（2）由为假命题，则的否定：，为真命题，
即，，
而当时，，
当且仅当时取等号，因此，
因为为假命题且为真命题，则，
则，
所以实数m的取值范围是.

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