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第一章 集合与逻辑、不等式
高考真题探源
2025年新高考Ⅰ卷 2025年新高考Ⅱ卷
题号 知识点 考教衔接 知识点 考教衔接
1 复数的乘法、复数的概念 人教A版必修第二册P70练习T1;P80练习T1 平均数 人教A版必修第二册P203例4
2 集合的补集、集合中元素个数 人教A版必修第一册P13例5;人教B版必修第一册P20练习A T4;北师大版必修第一册P10例7 复数的四则运算 人教A版必修第二册P79例5
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3 双曲线的离心率 人教A版选择性必修第一册P124例3 集合的交运算 人教A版必修第一册P12练习T2
4 正切函数图象的对称性 人教A版必修第一册P214习题5.4 T19 分式不等式的解法 人教A版必修第一册P57T4
5 函数奇偶性、周期性的应用;分段函数 人教A版必修第一册P86习题3.2T11;P203练习T4;P214习题5.4T15 余弦定理 人教A版必修第二册P44练习T2
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6 向量的加法、向量的模 人教A版必修第二册P9例2 直线与抛物线的位置关系 人教A版选择性必修第一册P135例4
7 直线与圆的位置关系、点线距 人教A版选择性必修第一册P99习题T13 等差数列的通项公式、前n项和公式 人教A版选择性必修第二册P21例7
8 对数运算、指对互化 人教A版必修第一册P140T4 三角恒等变换 人教A版必修第一册P218例3、P223T1
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9 空间中线线、线面位置关系的判断 人教A版必修第二册P148练习T4;P159练习T4;P162习题8.6 T4 等比数列的通项公式、前n项和公式 人教A版选择性必修第二册P37T3
10 抛物线的定义、抛物线的几何性质 人教A版选择性必修第一册P138T5;P146T6 奇函数的性质、函数的极值 人教A版必修第一册P86习题3.2T11;选择性必修第二册P95例7
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11 三角形面积公式、三角恒等变换、正弦定理 人教A版必修第二册P53T10、P54T18 双曲线的几何性质、圆的几何性质、余弦定理 湘教版选择性必修第一册P138习题3.2T8、P172复习题三T14
12 导数的几何意义 人教A版选择性必修第二册P82习题5.2 T11 平面向量的坐标运算、向量的垂直、模 人教A版必修第二册P60复习参考题6复习巩固T8
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13 等比数列前n项和公式、性质 人教A版选择性必修第二册P37T5 函数的极值点 人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5复习巩固T9
14 离散型随机变量的分布列和数学期望、排列与组合 人教A版选择性必修三P66T1;北师大版选择性必修第一册P202习题-2A组T6 球与圆柱的位置关系 湘教版必修第二册P197习题4.5T5
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15 古典概型、独立性检验 人教A版选择性必修第三册P132例4 三角恒等变换、三角函数的性质 人教A版必修第一册P255复习参考题5综合运用T21
16 等差数列的证明、错位相减法 人教A版选择性必修第二册P56T11 椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积 人教A版选择性必修第一册P112练习T4
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17 面面垂直、外接球球心位置、线线角的余弦值 人教A版必修第二册P164习题8.6T21;选择性必修第一册P39例10 线面平行、二面角 人教A版必修第二册P164习题8.6T21;选择性必修第一册P39例10
18 椭圆的方程、动点的轨迹问题、两动点间距离的最值问题 人教A版选择性必修第一册P112练习T4 利用导数研究函数的单调性、极值点和零点 人教A版选择性必修第二册P95例7
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19 三角函数的图象与性质 人教A版必修第一册P226T5 二项分布、全概率公式、不等式证明 人教A版选择性必修第三册P91T10
教材考点·真题分布
目 录 CONTENTS
教材探究问题 · 研析
教材阅读文字 · 拓展
教材典型母题 · 必刷
01
02
03
04
教材常用结论 · 推导
教材探究问题·研析
01
1.(人教A版必修第一册P11、P12)下列关系式成立吗
(1)A∪A＝A;(2)A∪ ＝A;(3)A∩A＝A;(4)A∩ ＝ .
探究
提示:都成立.其推广结论为:A B A∩B＝A A∪B＝B,以此为条件的试题很多,解题时注意集合A是否为空集.
2.(人教A版必修第一册P19)人教A版必修一P19例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗 如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗
提示:不唯一.常见的必要条件还有:
①四边形的两组对边分别相等;
②四边形的两组对边分别平行;
③四边形的一组对边平行且相等;
④四边形的两条对角线互相平分.
3.(人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗
提示:将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设每个直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a≠b),那么正方形的边长为,则4个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a2＋b2,由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和,即可得到不等式a2＋b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a＝b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a2＋b2＝2ab.
综上,对任意的a,b∈R,都有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立.
4.(人教A版必修第一册P45)如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC＝a,BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
提示:如题图,可证△ACD∽△DCB,因而CD＝.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为≤.显然,当且仅当点C与圆心重合,即当a＝b时,上述不等式的等号成立.
教材常用结论·推导
02
1.(人教A版必修第一册P8例1,练习T1拓展)n元集合A＝{a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有2n－1个,非空子集有2n－1个,非空真子集有2n－2个.
证明　在此仅证明子集个数为2n个.在此子集中:
不含元素的集合,有个;
有1个元素的集合,有个;
有2个元素的集合,有个;
……
有k个元素的集合,有个;
……
有n个元素的集合,有个.
故集合A子集的个数为＋…＋＋…＋＝2n.
【应用示例】 已知集合A＝{－3,－2,－1,0,1,2,3},B＝{x|x＝3n,n∈Z},则A∩B的子集个数是(　　)
A.3 B.4
C.8 D.16
C
解析 由题意得,A∩B＝{－3,0,3},则A∩B的子集有23＝8个.
2.(人教A版必修第一册P13练习T3拓展)德摩根定律:
① U(A∩B)＝( UA)∪( UB)(“交之补”等于“补之并”).
② U(A∪B)＝( UA)∩( UB)(“并之补”等于“补之交”)
证明　借助Venn图来证明:
①如图所示,
由图可得: U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
②如图所示,
由图可得: U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
【应用示例】 已知集合A＝{x|x>2},B＝{x|x<1},则( RA)∩( RB)＝(　　)
A. B.{x|1C.{x|1≤x≤2} D.R
C
解析　由于A＝{x|x>2},B＝{x|x<1},
故A∪B＝{x|x<1或x>2},
所以( RA)∩( RB)＝ R(A∪B)＝{x|1≤x≤2}.
3.(人教A版必修第一册P43T10,苏教必修第一册P54T11拓展)糖水不等式:已知b>a>0,m>0,则>.
证明　因为b>a,
所以>0,
故>.
推论(对数型糖水不等式)若b>a>1,m>0,则有:
(1)logba(2)logab>log(a＋m)(b＋m).
证明　因为b>a>1,m>0,所以lg b>lg a>0,由糖水不等式,得
logba＝<＝log(b＋m) ＝log(b＋m)即logbalogab＝>＝log(a＋m)>log(a＋m)(b＋m).
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,则(　　)
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
A
解析　法一(糖水不等式)
由已知条件9m＝10,可得m＝log910＝>＝lg >lg 11,
即m>lg 11,所以a>10lg 11－11＝0,即a>0.
又m＝<＝log8所以b<－9＝0,即b<0.
综上,a>0>b.选A.
法二(利用对数型糖水不等式)
因为9m＝10,所以m＝log910.
在上述推论中,取a＝9,b＝10,
可得m＝log910>log1011＝lg 11,
且m＝log910所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0,
b＝8m－9<－9＝0,
即a>0>b,选A.
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a＝log53,b＝log85,c＝log138,则(　　)
A.aC.bA
解析　a＝log53＝<＝log8a＝log53＝<＝log13根据选项应用排除法,选A.
4.(人教A版必修第一册P46练习T1、T2、苏教必修第一册P75T16拓展)基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a＝b时,等号成立,其中,,和分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数.
证明　法一　如图,AB是圆O的直径,OF⊥AB,CE⊥OD,
AC＝a,BC＝b,
则DE＝≤CD＝≤OD＝≤CF＝＝.
法二(苏教必修第一册P75T16)如图,ABDC为梯形,其中AB＝a,CD＝b,设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
因为GH是梯形ABDC的中位线,
所以GH＝(AB＋CD)＝(a＋b).
因为梯形ABLK与梯形KLDC相似,
所以,即KL＝.
因为△AEO∽△ACD,
所以, ①
同理, ②
由①＋②得＝1,
易得OE＝OF,
所以OE＝OF＝,
所以EF＝.
设梯形MNDC,ABNM,ABDC的面积分别为S1,S2,S,高分别为h1,h2,h,
则S1＝S2＝S,h1＋h2＝h,(a＋b)h＝(a＋MN)h2＝(b＋MN)h1,
所以＝h2＋h1＝h,所以MN＝.
由图可知,EF即<<<,
当a＝b,即ABDC为平行四边形时,等号成立.
【应用示例】 (多选)(2020·新高考Ⅱ卷)已知a>0,b>0,且a＋b＝1,则(　　 )
A.a2＋b2≥ B.2a－b>
C.log2a＋log2b≥－2 D.≤
ABD
解析　因为a>0,b>0,a＋b＝1,
所以a＋b≥2,当且仅当a＝b＝时,等号成立,即有ab≤.
对于A,由≥,
得a2＋b2≥,故A正确;
对于B,2a－b＝22a－1＝×22a,
因为a>0,所以22a>1,即2a－b>,故B正确;
对于C,log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2,故C错误;
对于D,在≤中,把a换成,b换成,
得≤,所以≤,故D正确.
综上可知,正确的选项为ABD.
5.(人教B版必修第一册P75例6,北师大版必修第一册P30T5(2)拓展)权方和不等式
(1)一般形式:设ai,bi>0(i＝1,2,3,…,n),α∈N,则≥(*).
证明　令xi＝,yi＝,则xi＝yi＝1,
(*)可变为≥1(**).
对(**)式证明如下:
左＝≥
＝[(α＋1)xi－αyi]
＝(α＋1)xi－αyi＝α＋1－α＝1.
当且仅当xi＝yi,
即＝…＝时,等号成立.
(2)二维形式:已知x,y,a,b>0,则有≥,当且仅当时,等号成立.
【应用示例】 权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设正数a,b,x,y,满足≥,当且仅当时,等号成立.则函数f(x)＝的最小值为(　　)
A.16 B.25
C.36 D.49
D
解析　因为a,b,x,y>0,则≥,
当且仅当时等号成立,又0于是得f(x)＝≥＝49,
当且仅当,
即x＝时取“＝”,
所以函数f(x)＝的最小值为49.故选D.
6.(人教A版必修第二册P37T16拓展)柯西不等式
(1)一般形式:设ai,bi∈R,i＝1,2,…,n,则·≥(aibi)2,当且仅当ai＝0或bi＝kai(k为常数)时,等号成立.
证明　构造二次函数
f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(＋…＋)x2＋2(a1b1＋…＋anbn)x＋(＋…＋),
易知f(x)≥0恒成立,故Δ≤0,
即4(a1b1＋…＋anbn)2－4(＋…＋)(＋…＋)≤0,
即(aibi)2≤·.
当且仅当aix＋bi＝0,即ai＝0或bi＝kai(k为常数)时,等号成立.
(2)二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2,当且仅当ad＝bc时,等号成立.
【应用示例】 柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),由|a·b|≤|a||b|得到(x1x2＋y1y2)2≤()(),当且仅当x1y2＝x2y1时取等号.现已知a≥0,b≥0,a＋b＝5,则的最大值为(　　)
A.18 B.9
C.2 D.3
D
解析　因为(x1x2＋y1y2)2≤()(),
令x1＝,y1＝1,x2＝,y2＝,
又a≥0,b≥0,a＋b＝5,
所以()2＝(·＋1·)2≤[()2＋12]·(a＋1＋b＋3)＝27,
当且仅当·＝1·,
即a＝5,b＝0时等号成立,
即≤3,故选D.
7.(人教A版选择性必修第一册P80T17拓展)
(1)加权均值不等式
①一般形式:设ai≥0,bi>0,且bi＝1,则·…≤aibi.当且仅当a1＝a2＝…＝an时,等号成立.
②二维形式:设a1,a2≥0,b1,b2>0,且b1＋b2＝1,则a1b1＋a2b2≥·(*),当且仅当a1＝a2时,等号成立.
证明　先证二维形式
(*)式 a1b1＋a2(1－b1)≥··a2,
不妨设a1≥a2,令t＝≥1,b1∈(0,1),
(* )式 －(t－1)b1≤1.
将t作为主元,令f(t)＝－(t－1)b1,
f'(t)＝b1－b1＝b1(－1)<0,
所以f(t)在[1,＋∞)递减,
所以f(t)≤f(1)＝1.
故a1b1＋a2b2≥·,
当且仅当a1＝a2时,等号成立.
再证一般形式(数学归纳法)
当n＝1时,b1＝1,有a1≤b1,结论成立.
假设当n＝k时,结论成立,
即·…≤a1b1＋…＋akbk,b1＋b2＋…＋bk＝1,
当n＝k＋1时,b1＋b2＋…＋bk＋1＝1,
所以＋…＋＝1,
·…
＝·
≤·
＝·.
因为(1－bk＋1)＋bk＋1＝1,
所以由(*)式得
·≤·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1
＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1,
故对 n∈N*,结论均成立.
(2)赫尔德不等式
设xi,yi>0,i＝1,2,…,n,p,q>1,且＝1,
则(·(≥xiyi.
证明　设ai＝,bi＝,则ai＝bi＝1,
由加权均值不等式知ai＋bi≥·,
累加后有
·≤ai＋bi＝＝1,
即·≤1,
即·≤1,
即xiyi≤(·(.
(3)闵可夫斯基(Minkowski)不等式
设ai,bi>0(i＝1,2,…,n),且p≥1,则[(ai＋bi)p≤(＋(,当且仅当ai＝kbi(k为常数)时,等号成立.
证明　(ai＋bi)p＝ai(ai＋bi)p－1＋bi(ai＋bi)p－1,
对上式两边分别用赫尔德不等式,
(ai＋bi)p≤([(ai＋bi)(p－1)q＋(·[(ai＋bi)(p－1)q
＝[(＋(]·[(ai＋bi)(p－1)q
其中＝1,故(p－1)q＝p,
从而(ai＋bi)p≤[(＋(]·[(ai＋bi)p,
即[(ai＋bi)p≤(＋(,
即[(ai＋bi)p≤(＋(,
当且仅当ai＝kbi(k为常数),等号成立.
特别地,Minkowski不等式的二维形式(即p＝2):
二元式:≥,
当且仅当时,等号成立.
n元式:＋…＋
≥,
当且仅当＝…＝时,等号成立.
【应用示例】 已知02
解析　法一　∵0则|PO|＝,
|PA|＝,
|PB|＝,
|PC|＝,
∵|PO|＋|PB|≥|BO|＝,|PA|＋|PC|≥|AC|＝,
∴|PO|＋|PB|＋|PA|＋|PC|≥2,
当且仅当点P为矩形的对角线的交点,
即x＝1,y＝时,等号成立.
法二　由Minkowski不等式
＋
≥＝2,
当且仅当,
即x＝1,y＝时,等号成立.
教材阅读文字·拓展
03
1.通过阅读《阅读与思考——集合中元素的个数》(人教A版必修第一册P15)和《阅读材料——康托尔与集合论》(北师大版必修第一册P13),可以从中提炼出如下结论:
(1)把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.
(2)一般地,对任意两个有限集合A,B,有
card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
(3)对于有限集合A,B,C,有
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).
(4)有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如
A＝{1,2,3,4,…,n,…},
B＝{2,4,6,8,…,2n,…},
我们无法数出集合中元素的个数,但可通过构建正整数n和正偶数2n之间的一个函数关系,而且还是“一一对应”的函数关系,得到集合A和集合B元素个数一样多.
【应用示例】 (1)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56%
C.46% D.42%
C
解析　法一　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%,解得x＝46%.故选C.
法二　设该中学学生人数为n,喜欢足球的学生形成集合A,喜欢游泳的学生形成集合B,则card(A∪B)＝0.96n,card(A)＝0.6n,card(B)＝0.82n.
因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B),
所以card(A∩B)＝card(A)＋card(B)－card(A∪B)＝0.6n＋0.82n－0.96n＝0.46n,故选C.
(2)(人教A版必修第一册P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
解　法一　设参加游泳、田径和球类比赛的学生分别形成集合A,B,C.
由题意得card(A)＝15,card(B)＝8,card(C)＝14,card(A∩B)＝3,card(A∩B∩C)＝0,card(A∩C)＝3,card(A∪B∪C)＝28.
由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C),
得card(B∩C)＝15＋8＋14－3－3＋0－28＝3,
所以card(B∪C)＝card(B)＋card(C)－card(B∩C)＝8＋14－3＝19,
所以只参加游泳一项比赛的人数为
card(A∪B∪C)－card(B∪C)＝28－19＝9.
法二　如图所示.设同时参加田径和球类比赛的有
x人,则28＝15＋8＋14－3－3－x,
解得x＝3,
即同时参加田径和球类比赛的有3人,而只参加游泳一项比赛的有15－3－3＝9人.
2.通过阅读《阅读与思考——几何命题与充分条件、必要条件》(人教A版必修第一册P24),可以从中提炼出如下结论:
(1)三角形相似的判定定理可以判定两个三角形是相似三角形;但利用三角形相似的判定定理不一定可以判定两个三角形不是相似三角形,如:和同一个三角形均不相似的两个三角形可能相似,即“p q” “ p q”.
(2)三角形相似的性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形,但三角形相似的性质定理不一定可以判定两个三角形是相似三角形,如:面积比等于某组边的平方比的两个三角形不一定相似,即:“q r” “ r q”,
“q r” “ q r”.
【应用示例】 给定两个命题p,q, p是q的必要不充分条件,则p是 q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解析　由q p且 p q可得p q且 q p,所以p是 q的充分不必要条件.
教材典型母题·必刷
04
母题1 (人教A版必修第一册P9练习T3)判断下列两个集合之间的关系:
(1)A＝{x|x<0},B＝{x|x<1};
(2)A＝{x|x＝3k,k∈N},B＝{x|x＝6z,z∈N};
(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数},B＝{x|x＝20m,m∈N＋}.
解　(1)A B;(2)B A;(3)A＝B.
母题2 (湘教版必修第一册P8练习T2)判断下列每对集合之间的关系:
(1)A＝{x|x＝2k,k∈N},B＝{y|y＝4m,m∈N};
(2)C＝{1,2,3,4},D＝{x|x是12的约数};
(3)E＝{x|x－3<2,x∈N＋},F＝{1,2,3,4,5}.
解　(1)B A;(2)C D;(3)E F.
(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1,n∈Z},T＝{t|t＝4n＋1,n∈Z},则S∩T＝(　　)
A. B.S
C.T D.Z
C
解析　法一　在集合T中,令n＝k(k∈Z),则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z),
而集合S中,s＝2n＋1(n∈Z),
所以必有T S,所以S∩T＝T,故选C.
法二　S＝{…,－3,－1,1,3,5,…},T＝{…,－3,1,5,…},观察可知,T S,
所以S∩T＝T,故选C.
母题3 (人教A版必修第一册P9习题1.2T4)在平面直角坐标系中,集合C＝{(x,y)|y＝x}表示直线y＝x,从这个角度看,集合D＝表示什么 集合C,D之间有什么关系
解　集合D表示直线2x－y＝1和直线x＋4y＝5的交点,
由即D＝{(1,1)},
显然(1,1)在直线y＝x上,即D C.
母题4 (人教A版必修第一册P9习题1.2T5)
(1)设a,b∈R,P＝{1,a},Q＝{－1,－b},若P＝Q,求a－b的值;
(2)已知集合A＝{x|0解　(1)由于P＝Q,所以a＝－1,且－b＝1,
故a－b＝0.
(2)如图所示,∵B A,∴a≥2.
母题5 (人教A版必修第一册P12练习T2)设A＝{x|x2－4x－5＝0},B＝{x|x2＝1},求A∪B,A∩B.
解　由题意,A＝{x|x2－4x－5＝0}＝{－1,5},B＝{x|x2＝1}＝{－1,1},
∴A∪B＝{－1,1,5},A∩B＝{－1}.
(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8},B＝{x|x3＝x},则A∩B＝(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
D
解析　由题可得B＝{－1,0,1},所以A∩B＝{0,1},故选D.
母题6 (人教A版必修第一册P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数},A＝{1,2,3},
B＝{3,4,5,6},求 UA, UB.
解　根据题意可知,U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},所以 UA＝{4,5,6,7,8}, UB＝{1,2,7,8}.
(2025·新高考Ⅰ卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数},集合A＝{1,3,5},则 UA中元素的个数为(　　)
A.0 B.3
C.5 D.8
C
解析　由题知,U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{1,3,5},
故 UA＝{2,4,6,7,8},
故 UA中有5个元素.故选C.
母题7 (人教A版必修第一册P14习题1.3T1)集合A＝{x|2≤x<4},B＝{x|3x－7≥8－2x},求A∪B,A∩B.
解　∵B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3},A＝{x|2≤x<4},
∴A∪B＝{x|x≥2},A∩B＝{x|3≤x<4}.
母题8 (人教B版必修第一册P21习题1－1BT5)已知A＝{x||x|<3},B＝{x∈N|x2<11},求A∩B.
解　∵A＝{x||x|<3}
＝{x|－3B＝{x∈N|x2<11}＝{0,1,2,3},
∴A∩B＝{0,1,2}.
(1)(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5},N＝{1,2,3},则M∩N＝(　　)
A.{1,2,3} B.{2,3}
C.{3} D.
D
解析　因为M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3},
所以M∩N＝ .
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A.{－1,0} B.{2,3}
C.{－3,－1,0} D.{－1,0,2}
A
解析　因为A＝{x|－5所以A∩B＝{－1,0},故选A.
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4},B＝{x||x－1|≤1},则A∩B＝(　　)
A.{－1,2} B.{1,2}
C.{1,4} D.{－1,4}
B
解析　由|x－1|≤1,得－1≤x－1≤1,
解得0≤x≤2,所以B＝{x|0≤x≤2},
所以A∩B＝{1,2},故选B.
(4)(2020·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|2A.{x|2C.{x|1≤x<4} D.{x|1C
解析　A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＝{x|1≤x<4}.故选C.
母题9 (人教A版必修第一册P14习题1.3T4)已知集合A＝{x|3≤x<7},B＝{x|2解　∵A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.
∵A∩B＝{x|3≤x<7},
∴ R(A∩B)＝{x|x<3或x≥7}.
∵A＝{x|3≤x<7},
∴ RA＝{x|x<3或x≥7},
( RA)∩B＝{x|2∵B＝{x|2∴ RB＝{x|x≤2或x≥10},
∴A∪( RB)＝{x|x≤2或3≤x<7或x≥10}.
母题10 (人教B版必修第一册P19例4)已知U＝{x∈N|x≤7},A＝{x∈U|x2≤7},
B＝{x∈U|0<2x≤7},求 UA, UB,( UA)∪( UB), U(A∩B).
解　不难看出U＝{0,1,2,3,4,5,6,7},A＝{0,1,2},B＝{1,2,3},
因此 UA＝{3,4,5,6,7}, UB＝{0,4,5,6,7},
( UA)∪( UB)＝{0,3,4,5,6,7},
U(A∩B)＝{0,3,4,5,6,7}.
(1)(2025·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,3},B＝{2,3,5},则 U(A∪B)＝(　　)
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}
C.{2,4} D.{4}
D
解析　由题可得A∪B＝{1,2,3,5},
所以 U(A∪B)＝{4},故选D.
(2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9},B＝{x|∈A},则 A(A∩B)＝(　　)
A.{1,4,9} B.{3,4,9}
C.{1,2,3} D.{2,3,5}
D
解析　B＝{1,4,9,16,25,81},A∩B＝{1,4,9},则 A(A∩B)＝{2,3,5}.故选D.
(3)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0,1,2,4,6,8},集合M＝{0,4,6},N＝{0,1,6},则M∪ UN＝(　　)
A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}
C.{1,2,4,6,8} D.U
A
解析　由题意知, UN＝{2,4,8},
所以M∪( UN)＝{0,2,4,6,8}.
(4)(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,3,6},B＝{2,3,4},则A∩( UB)＝(　　)
A.{3} B.{1,6}
C.{5,6} D.{1,3}
B
解析　由题设可得 UB＝{1,5,6},
故A∩( UB)＝{1,6}.
母题11 (人教A版必修第一册P35T9)已知集合A＝{1,3,a2},B＝{1,a＋2},是否存在实数a,使得A∪B＝A 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
解　若A∪B＝A,则B A,
∴a＋2＝3或a＋2＝a2,解得a＝－1或1或2.
∵a＝－1或1时,不满足集合元素的互异性,
∴a＝2,
∴存在实数a＝2,使得A∪B＝A.
母题12 (人教B版必修第一册P22习题1－1CT1)已知集合A＝{1,3,m},B＝{m2,1},且A∪B＝A,求m的值.
解　∵A∪B＝A,∴B A,
∴m2＝3或m2＝m,
∴m＝±或m＝0或m＝1,
当m＝1时,A＝{1,3,1},不符合元素的互异性,
∴m＝±或m＝0.
(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0,－a},B＝{1,a－2,2a－2},若A B,则a＝(　　)
A.2 B.1
C. D.－1
解析　依题意,有a－2＝0或2a－2＝0.
当a－2＝0时,解得a＝2,
此时A＝{0,－2},B＝{1,0,2},不满足A B;
当2a－2＝0时,解得a＝1,
此时A＝{0,－1},B＝{－1,0,1},满足A B.
所以a＝1,故选B.
B
母题13 (人教A版必修第一册P23习题1.4T6)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么有a2＋b2＝c2(勾股定理).反过来,如果a2＋b2＝c2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,a2＋b2＝c2是△ABC为直角三角形的充要条件.请利用边长a,b,c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
解　(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是a2＋b2>c2,
证明如下:必要性,在△ABC中,∠C是锐角,
故由余弦定理得cos C＝>0,
则a2＋b2－c2>0,即a2＋b2>c2.
充分性:由余弦定理可知cos C＝,
∵a2＋b2>c2,∴cos C>0,∴0又a≤b≤c,∴A,B∈,
即△ABC是锐角三角形.
(2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2＋b2同理可以证明.
(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
解析　若{an}为等差数列,设其公差为d,
则Sn＝na1＋d,
所以＝a1＋(n－1)·,
所以＝a1＋(n＋1－1)·,为常数,
所以为等差数列,即甲 乙;
若为等差数列,设其公差为t,则＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t,
所以Sn＝na1＋n(n－1)t,
所以当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t,
当n＝1时,a1＝S1也满足上式,所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*),
所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)·t]＝2t,为常数,
所以{an}为等差数列,即甲 乙.所以甲是乙的充要条件,故选C.
母题14 (人教A版必修第一册P34T5)已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假:
(1)“a>b”是“a2>b2”的充分条件;(　　)
(2)“a>b”是“a2>b2”的必要条件;(　　)
(3)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;(　　)
(4)“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.(　　)
×
×
×
√
解析　(1)当b(2)当a2>b2时,|a|>|b|,不一定有a>b,假命题;
(3)当c＝0时,由a>b无法推出ac2>bc2,假命题;
(4)当ac2>bc2时,c2>0,a>b,真命题.
(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1,x),b＝(x,2),则(　　)
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝－3是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
解析　a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3,
所以x＝－3是a⊥b的充分条件,x＝0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确;
a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±,故B,D错误.
C
母题15 (人教A版必修第一册P35T6)用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)任意实数的平方大于或等于0;
(2)对任意实数a,二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称;
(3)存在整数x,y,使得2x＋4y＝3;
(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.
解　(1) x∈R,x2≥0,真命题;
(2) a∈R,二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称,真命题;
(3) x∈Z,y∈Z,2x＋4y＝3,假命题,理由:2x＋4y＝2(x＋2y)为偶数;
(4) x∈R为无理数,x的立方是有理数,真命题,例如x＝,x3＝2.
(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x＋1|>1;命题q: x>0,x3＝x.则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
B
解析　因为 x∈R,|x＋1|≥0,
所以命题p为假命题,
所以 p为真命题.
因为x3＝x,所以x3－x＝0,
所以x(x2－1)＝0,即x(x＋1)(x－1)＝0,
解得x＝－1或x＝0或x＝1,
所以 x>0,使得x3＝x,
所以命题q为真命题,所以 q为假命题,
所以 p和q都是真命题,故选B.
母题16 (人教A版必修第一册P57T4)求下列不等式的解集:
(1)14－4x2≥x;
解　由14－4x2≥x得4x2＋x－14≤0,
∴(x＋2)(4x－7)≤0,
∴－2≤x≤,
∴不等式14－4x2≥x的解集为.
(2)x2－14x＋45≤0;
解　∵x2－14x＋45≤0,
∴(x－5)(x－9)≤0,
∴5≤x≤9,
∴不等式x2－14x＋45≤0的解集为{x|5≤x≤9}.
(3)x2＋6x＋10>0;
解　∵x2＋6x＋10>0,
∴(x＋3)2＋1>0,
∴x∈R,
∴不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.
(4)x(x＋2)>x(3－x)＋1.
解　由x(x＋2)>x(3－x)＋1得2x2－x－1>0,
∴(2x＋1)(x－1)>0,
∴x>1或x<－,
∴不等式x(x＋2)>x(3－x)＋1的解集为.
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|－2≤x≤1} B.{x|x≤－2}
C.{x|－2≤x<1} D.{x|x>1}
C
解析　因为≥2,所以≥0,
即≤0,所以
解得－2≤x<1,故选C.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2,－1,0,1,2},N＝{x|x2－x－6≥0},则M∩N＝(　　)
A.{－2,－1,0,1} B.{0,1,2}
C.{－2} D.{2}
C
解析　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2},
所以M∩N＝{－2},故选C.
母题17 (湘教版必修第一册P39例5)设a,b为正数,证明下列不等式:
(1)a＋≥2;
证明　因为a,均为正数,
由基本不等式,得a＋≥2＝2,
当且仅当a＝,即a＝1时等号成立,
所以原不等式成立.
(2)≥2.
证明　因为a,b为正数,所以,也为正数,
由基本不等式,得≥2＝2,
当且仅当,即a＝b时等号成立,
所以原不等式成立.
(1)(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则(　　)
A.a2＋b2>2ab B.≥
C.a＋b> D.≤
解析　对于A,当a＝b时,a2＋b2＝2ab,故A错误;
对于BD,取a＝,b＝,此时＝2＋4＝6<＝8＝,＝2＋4＝6>＝4,故BD错误;
对于C,由基本不等式可得a＋b≥2>,故C正确.
C
(2)(2025·上海卷)设a,b>0,a＋＝1,则b＋的最小值为　　　　.
解析　b＋＝ab＋＋2≥2＋2＝4,
当且仅当ab＝且a＋＝1,
即a＝,b＝2时取等号.
4
母题18 (人教A版必修第一册P58T5)若a,b>0,且ab＝a＋b＋3,求ab的取值范围.
解　∵a,b>0,∴a＋b≥2,
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3,
∴ab－2－3≥0,
∴(＋1)(－3)≥0.
∵＋1>0,∴－3≥0,∴ab≥9,
当且仅当a＝b,
即a＝b＝3时,ab取得最小值9,
故ab的取值范围是[9,＋∞).
(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2＋y2－xy＝1,则(　　)
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解析　因为ab≤≤(a,b∈R),
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3,
解得－2≤x＋y≤2,
当且仅当x＝y＝－1时,x＋y＝－2,
BC
当且仅当x＝y＝1时,x＋y＝2,所以A错误,B正确;
由x2＋y2－xy＝1可变形为 (x2＋y2)－1＝xy≤,
解得x2＋y2≤2,当且仅当x＝y＝±1时取等号,所以C正确;
因为x2＋y2－xy＝1变形为y2＝1,
设x－＝cos θ,y＝sin θ,所以x＝cos θ＋sin θ,y＝sin θ,
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝sin∈,
所以当x＝,y＝－时,x2＋y2＝,
但是x2＋y2≥1不成立,所以D错误.
母题19 (人教A版必修第一册P58T6)当k取什么值时,一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立
解　令y＝2kx2＋kx－,由题意得k≠0.
∵y<0恒成立,∴开口向下,抛物线与x轴无交点,
∴
解得－3故所求k的取值范围为(－3,0).
母题20 (人教A版必修第一册P58T10)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济 你能把所得结论作一些推广吗
解　若按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为p1元/kg,购n kg,第二次购物时的价格为p2元/kg,仍购n kg,
两次购物的平均价格为;
若按第二种策略购物,第一次花m元钱,能购 kg物品,第二次仍花m元钱,能购 kg物品,两次购物的平均价格为.
比较两次购物的平均价格:
≥0,
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而用第二种策略比较经济.
推广:一般地,如果是多次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.高考真题探源
2025年新高考Ⅰ卷 2025年新高考Ⅱ卷
题号 知识点 考教衔接 知识点 考教衔接
1 复数的乘法、复数的概念 人教A版必修第二册P70练习T1;P80练习T1 平均数 人教A版必修第二册P203例4
2 集合的补集、集合中元素个数 人教A版必修第一册P13例5;人教B版必修第一册P20练习A T4;北师大版必修第一册P10例7 复数的四则运算 人教A版必修第二册P79例5
3 双曲线的离心率 人教A版选择性必修第一册P124例3 集合的交运算 人教A版必修第一册P12练习T2
4 正切函数图象的对称性 人教A版必修第一册P214习题5.4 T19 分式不等式的解法 人教A版必修第一册P57T4
5 函数奇偶性、周期性的应用;分段函数 人教A版必修第一册P86习题3.2T11;P203练习T4;P214习题5.4T15 余弦定理 人教A版必修第二册P44练习T2
6 向量的加法、向量的模 人教A版必修第二册P9例2 直线与抛物线的位置关系 人教A版选择性必修第一册P135例4
7 直线与圆的位置关系、点线距 人教A版选择性必修第一册P99习题T13 等差数列的通项公式、前n项和公式 人教A版选择性必修第二册P21例7
8 对数运算、指对互化 人教A版必修第一册P140T4 三角恒等变换 人教A版必修第一册P218例3、P223T1
9 空间中线线、线面位置关系的判断 人教A版必修第二册P148练习T4;P159练习T4;P162习题8.6 T4 等比数列的通项公式、前n项和公式 人教A版选择性必修第二册P37T3
10 抛物线的定义、抛物线的几何性质 人教A版选择性必修第一册P138T5;P146T6 奇函数的性质、函数的极值 人教A版必修第一册P86习题3.2T11;选择性必修第二册P95例7
11 三角形面积公式、三角恒等变换、正弦定理 人教A版必修第二册P53T10、P54T18 双曲线的几何性质、圆的几何性质、余弦定理 湘教版选择性必修第一册P138习题3.2T8、P172复习题三T14
12 导数的几何意义 人教A版选择性必修第二册P82习题5.2 T11 平面向量的坐标运算、向量的垂直、模 人教A版必修第二册P60复习参考题6复习巩固T8
13 等比数列前n项和公式、性质 人教A版选择性必修第二册P37T5 函数的极值点 人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5复习巩固T9
14 离散型随机变量的分布列和数学期望、排列与组合 人教A版选择性必修三P66T1;北师大版选择性必修第一册P202习题-2A组T6 球与圆柱的位置关系 湘教版必修第二册P197习题4.5T5
15 古典概型、独立性检验 人教A版选择性必修第三册P132例4 三角恒等变换、三角函数的性质 人教A版必修第一册P255复习参考题5综合运用T21
16 等差数列的证明、错位相减法 人教A版选择性必修第二册P56T11 椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积 人教A版选择性必修第一册P112练习T4
17 面面垂直、外接球球心位置、线线角的余弦值 人教A版必修第二册P164习题8.6T21;选择性必修第一册P39例10 线面平行、二面角 人教A版必修第二册P164习题8.6T21;选择性必修第一册P39例10
18 椭圆的方程、动点的轨迹问题、两动点间距离的最值问题 人教A版选择性必修第一册P112练习T4 利用导数研究函数的单调性、极值点和零点 人教A版选择性必修第二册P95例7
19 三角函数的图象与性质 人教A版必修第一册P226T5 二项分布、全概率公式、不等式证明 人教A版选择性必修第三册P91T10
集合与逻辑、不等式
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版必修第一册P11、P12)下列关系式成立吗
(1)A∪A＝A;(2)A∪ ＝A;(3)A∩A＝A;(4)A∩ ＝ .
提示:都成立.其推广结论为:A B A∩B＝A A∪B＝B,以此为条件的试题很多,解题时注意集合A是否为空集.
探究2 (人教A版必修第一册P19)人教A版必修一P19例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗 如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗
提示:不唯一.常见的必要条件还有:
①四边形的两组对边分别相等;
②四边形的两组对边分别平行;
③四边形的一组对边平行且相等;
④四边形的两条对角线互相平分.
探究3 (人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗
提示:将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设每个直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a≠b),那么正方形的边长为,则4个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a2＋b2,由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和,即可得到不等式a2＋b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a＝b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a2＋b2＝2ab.
综上,对任意的a,b∈R,都有a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时等号成立.
探究4 (人教A版必修第一册P45)如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC＝a,BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
提示:如题图,可证△ACD∽△DCB,因而CD＝.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为≤.显然,当且仅当点C与圆心重合,即当a＝b时,上述不等式的等号成立.
1.(人教A版必修第一册P8例1,练习T1拓展)n元集合A＝{a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有2n－1个,非空子集有2n－1个,非空真子集有2n－2个.
证明　在此仅证明子集个数为2n个.在此子集中:
不含元素的集合,有个;
有1个元素的集合,有个;
有2个元素的集合,有个;
……
有k个元素的集合,有个;
……
有n个元素的集合,有个.
故集合A子集的个数为＋…＋＋…＋＝2n.
【应用示例】 已知集合A＝{－3,－2,－1,0,1,2,3},B＝{x|x＝3n,n∈Z},则A∩B的子集个数是(　　)
A.3 B.4
C.8 D.16
答案　C
解析　由题意得,A∩B＝{－3,0,3},则A∩B的子集有23＝8个.
2.(人教A版必修第一册P13练习T3拓展)德摩根定律:
① U(A∩B)＝( UA)∪( UB)(“交之补”等于“补之并”).
② U(A∪B)＝( UA)∩( UB)(“并之补”等于“补之交”)
证明　借助Venn图来证明:
①如图所示,
由图可得: U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
②如图所示,
由图可得: U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
【应用示例】 已知集合A＝{x|x>2},B＝{x|x<1},则( RA)∩( RB)＝(　　)
A. B.{x|1C.{x|1≤x≤2} D.R
答案　C
解析　由于A＝{x|x>2},B＝{x|x<1},
故A∪B＝{x|x<1或x>2},
所以( RA)∩( RB)＝ R(A∪B)＝{x|1≤x≤2}.
3.(人教A版必修第一册P43T10,苏教必修第一册P54T11拓展)糖水不等式:已知b>a>0,m>0,则>.
证明　因为b>a,
所以>0,
故>.
推论(对数型糖水不等式)若b>a>1,m>0,则有:
(1)logba(2)logab>log(a＋m)(b＋m).
证明　因为b>a>1,m>0,所以lg b>lg a>0,
由糖水不等式,得
logba＝<＝log(b＋m) ＝log(b＋m)即logbalogab＝>＝log(a＋m)>log(a＋m)(b＋m).
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,则(　　)
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a＝log53,b＝log85,c＝log138,则(　　)
A.aC.b答案　(1)A　(2)A
解析　(1)法一(糖水不等式)
由已知条件9m＝10,可得m＝log910＝>＝lg >lg 11,
即m>lg 11,
所以a>10lg 11－11＝0,即a>0.
又m＝<＝log8所以b<－9＝0,即b<0.
综上,a>0>b.选A.
法二(利用对数型糖水不等式)
因为9m＝10,所以m＝log910.
在上述推论中,取a＝9,b＝10,
可得m＝log910>log1011＝lg 11,
且m＝log910所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0,
b＝8m－9<－9＝0,
即a>0>b,选A.
(2)a＝log53＝<
＝log8a＝log53＝<
＝log13根据选项应用排除法,选A.
4.(人教A版必修第一册P46练习T1、T2、苏教必修第一册P75T16拓展)基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a＝b时,等号成立,其中,,和分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数.
证明　法一　
如图,AB是圆O的直径,OF⊥AB,CE⊥OD,AC＝a,BC＝b,
则DE＝
≤CD＝≤OD＝
≤CF＝
＝.
法二(苏教必修第一册P75T16)如图,ABDC为梯形,其中AB＝a,CD＝b,设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
因为GH是梯形ABDC的中位线,
所以GH＝(AB＋CD)＝(a＋b).
因为梯形ABLK与梯形KLDC相似,
所以,即KL＝.
因为△AEO∽△ACD,
所以, ①
同理, ②
由①＋②得＝1,
易得OE＝OF,
所以OE＝OF＝,
所以EF＝.
设梯形MNDC,ABNM,ABDC的面积分别为S1,S2,S,高分别为h1,h2,h,
则S1＝S2＝S,h1＋h2＝h,
(a＋b)h＝(a＋MN)h2＝(b＋MN)h1,
所以＝h2＋h1＝h,
所以MN＝.
由图可知,EF即<<<,
当a＝b,即ABDC为平行四边形时,等号成立.
【应用示例】 (多选)(2020·新高考Ⅱ卷)已知a>0,b>0,且a＋b＝1,则(　　)
A.a2＋b2≥ B.2a－b>
C.log2a＋log2b≥－2 D.≤
答案　ABD
解析　因为a>0,b>0,a＋b＝1,
所以a＋b≥2,当且仅当a＝b＝时,等号成立,即有ab≤.
对于A,由≥,
得a2＋b2≥,故A正确;
对于B,2a－b＝22a－1＝×22a,
因为a>0,所以22a>1,即2a－b>,故B正确;
对于C,log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2,故C错误;
对于D,在≤中,把a换成,b换成,
得≤,
所以≤,故D正确.
综上可知,正确的选项为ABD.
5.(人教B版必修第一册P75例6,北师大版必修第一册P30T5(2)拓展)权方和不等式
(1)一般形式:设ai,bi>0(i＝1,2,3,…,n),α∈N,则≥(*).
证明　令xi＝,yi＝,
则xi＝yi＝1,
(*)可变为≥1(**).
对(**)式证明如下:
左＝
≥
＝[(α＋1)xi－αyi]
＝(α＋1)xi－αyi＝α＋1－α＝1.
当且仅当xi＝yi,
即＝…＝时,等号成立.
(2)二维形式:已知x,y,a,b>0,则有≥,当且仅当时,等号成立.
【应用示例】 权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设正数a,b,x,y,满足≥,当且仅当时,等号成立.则函数f(x)＝的最小值为(　　)
A.16 B.25
C.36 D.49
答案　D
解析　因为a,b,x,y>0,
则≥,
当且仅当时等号成立,
又0于是得f(x)＝≥
＝49,
当且仅当,
即x＝时取“＝”,
所以函数f(x)＝的最小值为49.故选D.
6.(人教A版必修第二册P37T16拓展)柯西不等式
(1)一般形式:设ai,bi∈R,i＝1,2,…,n,则·≥(aibi)2,当且仅当ai＝0或bi＝kai(k为常数)时,等号成立.
证明　构造二次函数
f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(＋…＋)x2＋2(a1b1＋…＋anbn)x＋(＋…＋),
易知f(x)≥0恒成立,故Δ≤0,
即4(a1b1＋…＋anbn)2－4(＋…＋)(＋…＋)≤0,
即(aibi)2≤·.
当且仅当aix＋bi＝0,即ai＝0或bi＝kai(k为常数)时,等号成立.
(2)二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2,当且仅当ad＝bc时,等号成立.
【应用示例】 柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),由|a·b|≤|a||b|得到(x1x2＋y1y2)2≤()(),当且仅当x1y2＝x2y1时取等号.现已知a≥0,b≥0,a＋b＝5,则的最大值为(　　)
A.18 B.9
C.2 D.3
答案　D
解析　因为(x1x2＋y1y2)2≤()(),
令x1＝,y1＝1,x2＝,y2＝,
又a≥0,b≥0,a＋b＝5,
所以()2＝(·＋1·)2≤[()2＋12]·(a＋1＋b＋3)＝27,
当且仅当·＝1·,
即a＝5,b＝0时等号成立,
即≤3,故选D.
7.(人教A版选择性必修第一册P80T17拓展)
(1)加权均值不等式
①一般形式:设ai≥0,bi>0,且bi＝1,则·…≤aibi.当且仅当a1＝a2＝…＝an时,等号成立.
②二维形式:设a1,a2≥0,b1,b2>0,且b1＋b2＝1,则a1b1＋a2b2≥·(*),当且仅当a1＝a2时,等号成立.
证明　先证二维形式
(*)式 a1b1＋a2(1－b1)≥··a2,
不妨设a1≥a2,令t＝≥1,b1∈(0,1),
(*)式 －(t－1)b1≤1.
将t作为主元,令f(t)＝－(t－1)b1,
f'(t)＝b1－b1＝b1(－1)<0,
所以f(t)在[1,＋∞)递减,
所以f(t)≤f(1)＝1.
故a1b1＋a2b2≥·,
当且仅当a1＝a2时,等号成立.
再证一般形式(数学归纳法)
当n＝1时,b1＝1,有a1≤b1,结论成立.
假设当n＝k时,结论成立,
即·…≤a1b1＋…＋akbk,
b1＋b2＋…＋bk＝1,
当n＝k＋1时,b1＋b2＋…＋bk＋1＝1,
所以＋…＋＝1,
·…
＝·
≤·
＝·.
因为(1－bk＋1)＋bk＋1＝1,
所以由(*)式得
·≤·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1
＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1,
故对 n∈N*,结论均成立.
(2)赫尔德不等式
设xi,yi>0,i＝1,2,…,n,p,q>1,且＝1,
则(·(≥xiyi.
证明　设ai＝,bi＝,
则ai＝bi＝1,
由加权均值不等式知
ai＋bi≥·,
累加后有
·≤ai＋bi＝＝1,
即·≤1,
即·≤1,
即xiyi≤(·(.
(3)闵可夫斯基(Minkowski)不等式
设ai,bi>0(i＝1,2,…,n),且p≥1,则[(ai＋bi)p≤(＋(,当且仅当ai＝kbi(k为常数)时,等号成立.
证明　(ai＋bi)p＝ai(ai＋bi)p－1＋bi(ai＋bi)p－1,
对上式两边分别用赫尔德不等式,
(ai＋bi)p≤([(ai＋bi)(p－1)q＋
(·[(ai＋bi)(p－1)q
＝[(＋(]·[(ai＋bi)(p－1)q
其中＝1,故(p－1)q＝p,
从而(ai＋bi)p≤[(＋(]·[(ai＋bi)p,
即[(ai＋bi)p≤(＋(,
即[(ai＋bi)p≤(＋(,
当且仅当ai＝kbi(k为常数),等号成立.
特别地,Minkowski不等式的二维形式(即p＝2):
二元式:≥,
当且仅当时,等号成立.
n元式:＋…＋
≥,
当且仅当＝…＝时,等号成立.
【应用示例】 已知0的最小值为　　　　.
答案　2
解析　法一　∵0则|PO|＝,
|PA|＝,
|PB|＝,
|PC|＝,
∵|PO|＋|PB|≥|BO|＝,|PA|＋|PC|≥|AC|＝,
∴|PO|＋|PB|＋|PA|＋|PC|≥2,
当且仅当点P为矩形的对角线的交点,
即x＝1,y＝时,等号成立.
法二　由Minkowski不等式
＋
≥＝2,
当且仅当,
即x＝1,y＝时,等号成立.
1.通过阅读《阅读与思考——集合中元素的个数》(人教A版必修第一册P15)和《阅读材料——康托尔与集合论》(北师大版必修第一册P13),可以从中提炼出如下结论:
(1)把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.
(2)一般地,对任意两个有限集合A,B,有
card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
(3)对于有限集合A,B,C,有
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).
(4)有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如
A＝{1,2,3,4,…,n,…},
B＝{2,4,6,8,…,2n,…},
我们无法数出集合中元素的个数,但可通过构建正整数n和正偶数2n之间的一个函数关系,而且还是“一一对应”的函数关系,得到集合A和集合B元素个数一样多.
【应用示例】 (1)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56%
C.46% D.42%
答案　(1)C
解析　法一　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%,解得x＝46%.故选C.
法二　设该中学学生人数为n,喜欢足球的学生形成集合A,喜欢游泳的学生形成集合B,则card(A∪B)＝0.96n,card(A)＝0.6n,card(B)＝0.82n.
因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B),
所以card(A∩B)＝card(A)＋card(B)－card(A∪B)＝0.6n＋0.82n－0.96n＝0.46n,故选C.
(2)(人教A版必修第一册P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
解　法一　设参加游泳、田径和球类比赛的学生分别形成集合A,B,C.
由题意得card(A)＝15,card(B)＝8,card(C)＝14,card(A∩B)＝3,card(A∩B∩C)＝0,card(A∩C)＝3,card(A∪B∪C)＝28.
由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C),
得card(B∩C)＝15＋8＋14－3－3＋0－28＝3,
所以card(B∪C)＝card(B)＋card(C)－card(B∩C)＝8＋14－3＝19,
所以只参加游泳一项比赛的人数为
card(A∪B∪C)－card(B∪C)＝28－19＝9.
法二　如图所示.
设同时参加田径和球类比赛的有x人,则
28＝15＋8＋14－3－3－x,
解得x＝3,
即同时参加田径和球类比赛的有3人,而只参加游泳一项比赛的有15－3－3＝9人.
2.通过阅读《阅读与思考——几何命题与充分条件、必要条件》(人教A版必修第一册P24),可以从中提炼出如下结论:
(1)三角形相似的判定定理可以判定两个三角形是相似三角形;但利用三角形相似的判定定理不一定可以判定两个三角形不是相似三角形,如:和同一个三角形均不相似的两个三角形可能相似,即“p q” “ p q”.
(2)三角形相似的性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形,但三角形相似的性质定理不一定可以判定两个三角形是相似三角形,如:面积比等于某组边的平方比的两个三角形不一定相似,即:“q r” “ r q”,
“q r” “ q r”.
【应用示例】 给定两个命题p,q, p是q的必要不充分条件,则p是 q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由q p且 p q可得p q且 q p,所以p是 q的充分不必要条件.
母题1 (人教A版必修第一册P9练习T3)判断下列两个集合之间的关系:
(1)A＝{x|x<0},B＝{x|x<1};
(2)A＝{x|x＝3k,k∈N},B＝{x|x＝6z,z∈N};
(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数},B＝{x|x＝20m,m∈N＋}.
解　(1)A B;(2)B A;(3)A＝B.
母题2 (湘教版必修第一册P8练习T2)判断下列每对集合之间的关系:
(1)A＝{x|x＝2k,k∈N},B＝{y|y＝4m,m∈N};
(2)C＝{1,2,3,4},D＝{x|x是12的约数};
(3)E＝{x|x－3<2,x∈N＋},F＝{1,2,3,4,5}.
解　(1)B A;(2)C D;(3)E F.
(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1,n∈Z},T＝{t|t＝4n＋1,n∈Z},则S∩T＝(　　)
A. B.S
C.T D.Z
答案　C
解析　法一　在集合T中,令n＝k(k∈Z),则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z),
而集合S中,s＝2n＋1(n∈Z),
所以必有T S,所以S∩T＝T,故选C.
法二　S＝{…,－3,－1,1,3,5,…},T＝{…,－3,1,5,…},观察可知,T S,
所以S∩T＝T,故选C.
母题3 (人教A版必修第一册P9习题1.2T4)在平面直角坐标系中,集合C＝{(x,y)|y＝x}表示直线y＝x,从这个角度看,集合D＝表示什么 集合C,D之间有什么关系
解　集合D表示直线2x－y＝1和直线x＋4y＝5的交点,
由即D＝{(1,1)},
显然(1,1)在直线y＝x上,即D C.
母题4 (人教A版必修第一册P9习题1.2T5)
(1)设a,b∈R,P＝{1,a},Q＝{－1,－b},若P＝Q,求a－b的值;
(2)已知集合A＝{x|0解　(1)由于P＝Q,所以a＝－1,且－b＝1,
故a－b＝0.
(2)如图所示,∵B A,∴a≥2.
母题5 (人教A版必修第一册P12练习T2)设A＝{x|x2－4x－5＝0},B＝{x|x2＝1},求A∪B,A∩B.
解　由题意,A＝{x|x2－4x－5＝0}＝{－1,5},B＝{x|x2＝1}＝{－1,1},
∴A∪B＝{－1,1,5},A∩B＝{－1}.
(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8},B＝{x|x3＝x},则A∩B＝(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
答案　D
解析　由题可得B＝{－1,0,1},所以A∩B＝{0,1},故选D.
母题6 (人教A版必修第一册P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数},A＝{1,2,3},B＝{3,4,5,6},求 UA, UB.
解　根据题意可知,U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},所以 UA＝{4,5,6,7,8}, UB＝{1,2,7,8}.
(2025·新高考Ⅰ卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数},集合A＝{1,3,5},则 UA中元素的个数为(　　)
A.0 B.3
C.5 D.8
答案　C
解析　由题知,U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{1,3,5},
故 UA＝{2,4,6,7,8},
故 UA中有5个元素.故选C.
母题7 (人教A版必修第一册P14习题1.3T1)集合A＝{x|2≤x<4},B＝{x|3x－7≥8－2x},求A∪B,A∩B.
解　∵B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3},A＝{x|2≤x<4},
∴A∪B＝{x|x≥2},A∩B＝{x|3≤x<4}.
母题8 (人教B版必修第一册P21习题1－1BT5)已知A＝{x||x|<3},B＝{x∈N|x2<11},求A∩B.
解　∵A＝{x||x|<3}
＝{x|－3B＝{x∈N|x2<11}＝{0,1,2,3},
∴A∩B＝{0,1,2}.
(1)(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5},N＝{1,2,3},则M∩N＝(　　)
A.{1,2,3} B.{2,3}
C.{3} D.
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A.{－1,0} B.{2,3}
C.{－3,－1,0} D.{－1,0,2}
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4},B＝{x||x－1|≤1},则A∩B＝(　　)
A.{－1,2} B.{1,2}
C.{1,4} D.{－1,4}
(4)(2020·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|2A.{x|2C.{x|1≤x<4} D.{x|1答案　(1)D　(2)A　(3)B　(4)C
解析　(1)因为M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3},
所以M∩N＝ .
(2)因为A＝{x|－5所以A∩B＝{－1,0},故选A.
(3)由|x－1|≤1,得－1≤x－1≤1,
解得0≤x≤2,所以B＝{x|0≤x≤2},
所以A∩B＝{1,2},故选B.
(4)A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＝{x|1≤x<4}.故选C.
母题9 (人教A版必修第一册P14习题1.3T4)已知集合A＝{x|3≤x<7},B＝{x|2解　∵A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.
∵A∩B＝{x|3≤x<7},
∴ R(A∩B)＝{x|x<3或x≥7}.
∵A＝{x|3≤x<7},
∴ RA＝{x|x<3或x≥7},
( RA)∩B＝{x|2∵B＝{x|2∴ RB＝{x|x≤2或x≥10},
∴A∪( RB)＝{x|x≤2或3≤x<7或x≥10}.
母题10 (人教B版必修第一册P19例4)已知U＝{x∈N|x≤7},A＝{x∈U|x2≤7},B＝{x∈U|0<2x≤7},求 UA, UB,( UA)∪( UB), U(A∩B).
解　不难看出U＝{0,1,2,3,4,5,6,7},A＝{0,1,2},B＝{1,2,3},
因此 UA＝{3,4,5,6,7}, UB＝{0,4,5,6,7},
( UA)∪( UB)＝{0,3,4,5,6,7},
U(A∩B)＝{0,3,4,5,6,7}.
(1)(2025·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,3},B＝{2,3,5},则 U(A∪B)＝(　　)
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}
C.{2,4} D.{4}
(2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9},B＝{x|∈A},则 A(A∩B)＝(　　)
A.{1,4,9} B.{3,4,9}
C.{1,2,3} D.{2,3,5}
(3)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0,1,2,4,6,8},集合M＝{0,4,6},N＝{0,1,6},则M∪ UN＝(　　)
A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}
C.{1,2,4,6,8} D.U
(4)(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,3,6},B＝{2,3,4},则A∩( UB)＝(　　)
A.{3} B.{1,6}
C.{5,6} D.{1,3}
答案　(1)D　(2)D　(3)A　(4)B
解析　(1)由题可得A∪B＝{1,2,3,5},
所以 U(A∪B)＝{4},故选D.
(2)B＝{1,4,9,16,25,81},A∩B＝{1,4,9},则 A(A∩B)＝{2,3,5}.故选D.
(3)由题意知, UN＝{2,4,8},
所以M∪( UN)＝{0,2,4,6,8}.
(4)由题设可得 UB＝{1,5,6},
故A∩( UB)＝{1,6}.
母题11 (人教A版必修第一册P35T9)已知集合A＝{1,3,a2},B＝{1,a＋2},是否存在实数a,使得A∪B＝A 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
解　若A∪B＝A,则B A,
∴a＋2＝3或a＋2＝a2,解得a＝－1或1或2.
∵a＝－1或1时,不满足集合元素的互异性,
∴a＝2,
∴存在实数a＝2,使得A∪B＝A.
母题12 (人教B版必修第一册P22习题1－1CT1)已知集合A＝{1,3,m},B＝{m2,1},且A∪B＝A,求m的值.
解　∵A∪B＝A,∴B A,
∴m2＝3或m2＝m,
∴m＝±或m＝0或m＝1,
当m＝1时,A＝{1,3,1},不符合元素的互异性,
∴m＝±或m＝0.
(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0,－a},B＝{1,a－2,2a－2},若A B,则a＝(　　)
A.2 B.1
C. D.－1
答案　B
解析　依题意,有a－2＝0或2a－2＝0.
当a－2＝0时,解得a＝2,
此时A＝{0,－2},B＝{1,0,2},不满足A B;
当2a－2＝0时,解得a＝1,
此时A＝{0,－1},B＝{－1,0,1},满足A B.
所以a＝1,故选B.
母题13 (人教A版必修第一册P23习题1.4T6)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么有a2＋b2＝c2(勾股定理).反过来,如果a2＋b2＝c2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,a2＋b2＝c2是△ABC为直角三角形的充要条件.请利用边长a,b,c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
解　(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是a2＋b2>c2,
证明如下:必要性,在△ABC中,∠C是锐角,
故由余弦定理得cos C＝>0,
则a2＋b2－c2>0,即a2＋b2>c2.
充分性:由余弦定理可知cos C＝,
∵a2＋b2>c2,∴cos C>0,∴0又a≤b≤c,∴A,B∈,
即△ABC是锐角三角形.
(2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2＋b2同理可以证明.
(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　C
解析　若{an}为等差数列,设其公差为d,
则Sn＝na1＋d,
所以＝a1＋(n－1)·,
所以＝a1＋(n＋1－1)·,为常数,
所以为等差数列,即甲 乙;
若为等差数列,设其公差为t,
则＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t,
所以Sn＝na1＋n(n－1)t,
所以当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t,
当n＝1时,a1＝S1也满足上式,
所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*),
所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)·t]＝2t,为常数,
所以{an}为等差数列,即甲 乙.
所以甲是乙的充要条件,故选C.
母题14 (人教A版必修第一册P34T5)已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假:
(1)“a>b”是“a2>b2”的充分条件;(　　)
(2)“a>b”是“a2>b2”的必要条件;(　　)
(3)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;(　　)
(4)“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)当b(2)当a2>b2时,|a|>|b|,不一定有a>b,假命题;
(3)当c＝0时,由a>b无法推出ac2>bc2,假命题;
(4)当ac2>bc2时,c2>0,a>b,真命题.
(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1,x),b＝(x,2),则(　　)
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝－3是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
答案　C
解析　a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3,
所以x＝－3是a⊥b的充分条件,x＝0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确;
a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±,故B,D错误.
母题15 (人教A版必修第一册P35T6)用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)任意实数的平方大于或等于0;
(2)对任意实数a,二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称;
(3)存在整数x,y,使得2x＋4y＝3;
(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.
解　(1) x∈R,x2≥0,真命题;
(2) a∈R,二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称,真命题;
(3) x∈Z,y∈Z,2x＋4y＝3,假命题,理由:2x＋4y＝2(x＋2y)为偶数;
(4) x∈R为无理数,x的立方是有理数,真命题,例如x＝,x3＝2.
(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x＋1|>1;命题q: x>0,x3＝x.则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
答案　B
解析　因为 x∈R,|x＋1|≥0,
所以命题p为假命题,
所以 p为真命题.
因为x3＝x,所以x3－x＝0,
所以x(x2－1)＝0,即x(x＋1)(x－1)＝0,
解得x＝－1或x＝0或x＝1,
所以 x>0,使得x3＝x,
所以命题q为真命题,所以 q为假命题,
所以 p和q都是真命题,故选B.
母题16 (人教A版必修第一册P57T4)求下列不等式的解集:
(1)14－4x2≥x;
(2)x2－14x＋45≤0;
(3)x2＋6x＋10>0;
(4)x(x＋2)>x(3－x)＋1.
解　(1)由14－4x2≥x得4x2＋x－14≤0,
∴(x＋2)(4x－7)≤0,∴－2≤x≤,
∴不等式14－4x2≥x的解集为.
(2)∵x2－14x＋45≤0,
∴(x－5)(x－9)≤0,
∴5≤x≤9,
∴不等式x2－14x＋45≤0的解集为{x|5≤x≤9}.
(3)∵x2＋6x＋10>0,∴(x＋3)2＋1>0,
∴x∈R,
∴不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.
(4)由x(x＋2)>x(3－x)＋1得2x2－x－1>0,
∴(2x＋1)(x－1)>0,
∴x>1或x<－,
∴不等式x(x＋2)>x(3－x)＋1的解集为.
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|－2≤x≤1} B.{x|x≤－2}
C.{x|－2≤x<1} D.{x|x>1}
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2,－1,0,1,2},N＝{x|x2－x－6≥0},则M∩N＝(　　)
A.{－2,－1,0,1} B.{0,1,2}
C.{－2} D.{2}
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)因为≥2,所以≥0,
即≤0,所以
解得－2≤x<1,故选C.
(2)因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2},
所以M∩N＝{－2},故选C.
母题17 (湘教版必修第一册P39例5)设a,b为正数,证明下列不等式:
(1)a＋≥2;(2)≥2.
证明　(1)因为a,均为正数,
由基本不等式,得a＋≥2＝2,
当且仅当a＝,即a＝1时等号成立,
所以原不等式成立.
(2)因为a,b为正数,所以,也为正数,
由基本不等式,得≥2＝2,
当且仅当,即a＝b时等号成立,
所以原不等式成立.
(1)(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则(　　)
A.a2＋b2>2ab B.≥
C.a＋b> D.≤
(2)(2025·上海卷)设a,b>0,a＋＝1,则b＋的最小值为　　　　.
答案　(1)C　(2)4
解析　(1)对于A,当a＝b时,a2＋b2＝2ab,
故A错误;
对于BD,取a＝,b＝,此时＝2＋4＝6<＝8＝,＝2＋4＝6>＝4,故BD错误;
对于C,由基本不等式可得a＋b≥2>,故C正确.
(2)b＋＝ab＋＋2≥2＋2＝4,当且仅当ab＝且a＋＝1,即a＝,b＝2时取等号.
母题18 (人教A版必修第一册P58T5)若a,b>0,且ab＝a＋b＋3,求ab的取值范围.
解　∵a,b>0,∴a＋b≥2,
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3,
∴ab－2－3≥0,
∴(＋1)(－3)≥0.
∵＋1>0,∴－3≥0,∴ab≥9,
当且仅当a＝b,
即a＝b＝3时,ab取得最小值9,
故ab的取值范围是[9,＋∞).
(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2＋y2－xy＝1,则(　　)
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
答案　BC
解析　因为ab≤≤(a,b∈R),
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤3,
解得－2≤x＋y≤2,
当且仅当x＝y＝－1时,x＋y＝－2,
当且仅当x＝y＝1时,x＋y＝2,所以A错误,B正确;
由x2＋y2－xy＝1可变形为 (x2＋y2)－1＝xy≤,
解得x2＋y2≤2,当且仅当x＝y＝±1时取等号,所以C正确;
因为x2＋y2－xy＝1变形为y2＝1,
设x－＝cos θ,y＝sin θ,
所以x＝cos θ＋sin θ,y＝sin θ,
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝sin∈,
所以当x＝,y＝－时,x2＋y2＝,
但是x2＋y2≥1不成立,所以D错误.
母题19 (人教A版必修第一册P58T6)当k取什么值时,一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立
解　令y＝2kx2＋kx－,由题意得k≠0.
∵y<0恒成立,
∴开口向下,抛物线与x轴无交点,
∴
解得－3故所求k的取值范围为(－3,0).
母题20 (人教A版必修第一册P58T10)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济 你能把所得结论作一些推广吗
解　若按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为p1元/kg,购n kg,第二次购物时的价格为p2元/kg,仍购n kg,
两次购物的平均价格为;
若按第二种策略购物,第一次花m元钱,能购 kg物品,第二次仍花m元钱,能购 kg物品,两次购物的平均价格为.
比较两次购物的平均价格:
≥0,
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而用第二种策略比较经济.
推广:一般地,如果是多次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.高考真题探源
2025年新高考Ⅰ卷 2025年新高考Ⅱ卷
题号 知识点 考教衔接 知识点 考教衔接
1 复数的乘法、复数的概念 人教A版必修第二册P70练习T1;P80练习T1 平均数 人教A版必修第二册P203例4
2 集合的补集、集合中元素个数 人教A版必修第一册P13例5;人教B版必修第一册P20练习A T4;北师大版必修第一册P10例7 复数的四则运算 人教A版必修第二册P79例5
3 双曲线的离心率 人教A版选择性必修第一册P124例3 集合的交运算 人教A版必修第一册P12练习T2
4 正切函数图象的对称性 人教A版必修第一册P214习题5.4 T19 分式不等式的解法 人教A版必修第一册P57T4
5 函数奇偶性、周期性的应用;分段函数 人教A版必修第一册P86习题3.2T11;P203练习T4;P214习题5.4T15 余弦定理 人教A版必修第二册P44练习T2
6 向量的加法、向量的模 人教A版必修第二册P9例2 直线与抛物线的位置关系 人教A版选择性必修第一册P135例4
7 直线与圆的位置关系、点线距 人教A版选择性必修第一册P99习题T13 等差数列的通项公式、前n项和公式 人教A版选择性必修第二册P21例7
8 对数运算、指对互化 人教A版必修第一册P140T4 三角恒等变换 人教A版必修第一册P218例3、P223T1
9 空间中线线、线面位置关系的判断 人教A版必修第二册P148练习T4;P159练习T4;P162习题8.6 T4 等比数列的通项公式、前n项和公式 人教A版选择性必修第二册P37T3
10 抛物线的定义、抛物线的几何性质 人教A版选择性必修第一册P138T5;P146T6 奇函数的性质、函数的极值 人教A版必修第一册P86习题3.2T11;选择性必修第二册P95例7
11 三角形面积公式、三角恒等变换、正弦定理 人教A版必修第二册P53T10、P54T18 双曲线的几何性质、圆的几何性质、余弦定理 湘教版选择性必修第一册P138习题3.2T8、P172复习题三T14
12 导数的几何意义 人教A版选择性必修第二册P82习题5.2 T11 平面向量的坐标运算、向量的垂直、模 人教A版必修第二册P60复习参考题6复习巩固T8
13 等比数列前n项和公式、性质 人教A版选择性必修第二册P37T5 函数的极值点 人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5复习巩固T9
14 离散型随机变量的分布列和数学期望、排列与组合 人教A版选择性必修三P66T1;北师大版选择性必修第一册P202习题-2A组T6 球与圆柱的位置关系 湘教版必修第二册P197习题4.5T5
15 古典概型、独立性检验 人教A版选择性必修第三册P132例4 三角恒等变换、三角函数的性质 人教A版必修第一册P255复习参考题5综合运用T21
16 等差数列的证明、错位相减法 人教A版选择性必修第二册P56T11 椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积 人教A版选择性必修第一册P112练习T4
17 面面垂直、外接球球心位置、线线角的余弦值 人教A版必修第二册P164习题8.6T21;选择性必修第一册P39例10 线面平行、二面角 人教A版必修第二册P164习题8.6T21;选择性必修第一册P39例10
18 椭圆的方程、动点的轨迹问题、两动点间距离的最值问题 人教A版选择性必修第一册P112练习T4 利用导数研究函数的单调性、极值点和零点 人教A版选择性必修第二册P95例7
19 三角函数的图象与性质 人教A版必修第一册P226T5 二项分布、全概率公式、不等式证明 人教A版选择性必修第三册P91T10
集合与逻辑、不等式
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版必修第一册P11、P12)下列关系式成立吗
(1)A∪A＝A;(2)A∪ ＝A;(3)A∩A＝A;(4)A∩ ＝ .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 (人教A版必修第一册P19)人教A版必修一P19例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗 如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 (人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 (人教A版必修第一册P45)如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC＝a,BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(人教A版必修第一册P8例1,练习T1拓展)n元集合A＝{a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有2n－1个,非空子集有2n－1个,非空真子集有2n－2个.
证明　在此仅证明子集个数为2n个.在此子集中:
不含元素的集合,有个;
有1个元素的集合,有个;
有2个元素的集合,有个;
……
有k个元素的集合,有个;
……
有n个元素的集合,有个.
故集合A子集的个数为＋…＋＋…＋＝2n.
【应用示例】 已知集合A＝{－3,－2,－1,0,1,2,3},B＝{x|x＝3n,n∈Z},则A∩B的子集个数是(　　)
A.3 B.4
C.8 D.16
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A版必修第一册P13练习T3拓展)德摩根定律:
① U(A∩B)＝( UA)∪( UB)(“交之补”等于“补之并”).
② U(A∪B)＝( UA)∩( UB)(“并之补”等于“补之交”)
证明　借助Venn图来证明:
①如图所示,
由图可得: U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
②如图所示,
由图可得: U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
【应用示例】 已知集合A＝{x|x>2},B＝{x|x<1},则( RA)∩( RB)＝(　　)
A. B.{x|1C.{x|1≤x≤2} D.R
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.(人教A版必修第一册P43T10,苏教必修第一册P54T11拓展)糖水不等式:已知b>a>0,m>0,则>.
证明　因为b>a,
所以>0,
故>.
推论(对数型糖水不等式)若b>a>1,m>0,则有:
(1)logba(2)logab>log(a＋m)(b＋m).
证明　因为b>a>1,m>0,所以lg b>lg a>0,
由糖水不等式,得
logba＝<＝log(b＋m) ＝log(b＋m)即logbalogab＝>＝log(a＋m)>log(a＋m)(b＋m).
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,则(　　)
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a＝log53,b＝log85,c＝log138,则(　　)
A.aC.b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(人教A版必修第一册P46练习T1、T2、苏教必修第一册P75T16拓展)基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a＝b时,等号成立,其中,,和分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数.
证明　法一　
如图,AB是圆O的直径,OF⊥AB,CE⊥OD,AC＝a,BC＝b,
则DE＝
≤CD＝≤OD＝
≤CF＝
＝.
法二(苏教必修第一册P75T16)如图,ABDC为梯形,其中AB＝a,CD＝b,设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
因为GH是梯形ABDC的中位线,
所以GH＝(AB＋CD)＝(a＋b).
因为梯形ABLK与梯形KLDC相似,
所以,即KL＝.
因为△AEO∽△ACD,
所以, ①
同理, ②
由①＋②得＝1,
易得OE＝OF,
所以OE＝OF＝,
所以EF＝.
设梯形MNDC,ABNM,ABDC的面积分别为S1,S2,S,高分别为h1,h2,h,
则S1＝S2＝S,h1＋h2＝h,
(a＋b)h＝(a＋MN)h2＝(b＋MN)h1,
所以＝h2＋h1＝h,
所以MN＝.
由图可知,EF即<<<,
当a＝b,即ABDC为平行四边形时,等号成立.
【应用示例】 (多选)(2020·新高考Ⅱ卷)已知a>0,b>0,且a＋b＝1,则(　　)
A.a2＋b2≥ B.2a－b>
C.log2a＋log2b≥－2 D.≤
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.(人教B版必修第一册P75例6,北师大版必修第一册P30T5(2)拓展)权方和不等式
(1)一般形式:设ai,bi>0(i＝1,2,3,…,n),α∈N,则≥(*).
证明　令xi＝,yi＝,
则xi＝yi＝1,
(*)可变为≥1(**).
对(**)式证明如下:
左＝
≥
＝[(α＋1)xi－αyi]
＝(α＋1)xi－αyi＝α＋1－α＝1.
当且仅当xi＝yi,
即＝…＝时,等号成立.
(2)二维形式:已知x,y,a,b>0,则有≥,当且仅当时,等号成立.
【应用示例】 权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设正数a,b,x,y,满足≥,当且仅当时,等号成立.则函数f(x)＝的最小值为(　　)
A.16 B.25
C.36 D.49
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.(人教A版必修第二册P37T16拓展)柯西不等式
(1)一般形式:设ai,bi∈R,i＝1,2,…,n,则·≥(aibi)2,当且仅当ai＝0或bi＝kai(k为常数)时,等号成立.
证明　构造二次函数
f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(＋…＋)x2＋2(a1b1＋…＋anbn)x＋(＋…＋),
易知f(x)≥0恒成立,故Δ≤0,
即4(a1b1＋…＋anbn)2－4(＋…＋)(＋…＋)≤0,
即(aibi)2≤·.
当且仅当aix＋bi＝0,即ai＝0或bi＝kai(k为常数)时,等号成立.
(2)二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2,当且仅当ad＝bc时,等号成立.
【应用示例】 柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),由|a·b|≤|a||b|得到(x1x2＋y1y2)2≤()(),当且仅当x1y2＝x2y1时取等号.现已知a≥0,b≥0,a＋b＝5,则的最大值为(　　)
A.18 B.9
C.2 D.3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.(人教A版选择性必修第一册P80T17拓展)
(1)加权均值不等式
①一般形式:设ai≥0,bi>0,且bi＝1,则·…≤aibi.当且仅当a1＝a2＝…＝an时,等号成立.
②二维形式:设a1,a2≥0,b1,b2>0,且b1＋b2＝1,则a1b1＋a2b2≥·(*),当且仅当a1＝a2时,等号成立.
证明　先证二维形式
(*)式 a1b1＋a2(1－b1)≥··a2,
不妨设a1≥a2,令t＝≥1,b1∈(0,1),
(*)式 －(t－1)b1≤1.
将t作为主元,令f(t)＝－(t－1)b1,
f'(t)＝b1－b1＝b1(－1)<0,
所以f(t)在[1,＋∞)递减,
所以f(t)≤f(1)＝1.
故a1b1＋a2b2≥·,
当且仅当a1＝a2时,等号成立.
再证一般形式(数学归纳法)
当n＝1时,b1＝1,有a1≤b1,结论成立.
假设当n＝k时,结论成立,
即·…≤a1b1＋…＋akbk,
b1＋b2＋…＋bk＝1,
当n＝k＋1时,b1＋b2＋…＋bk＋1＝1,
所以＋…＋＝1,
·…
＝·
≤·
＝·.
因为(1－bk＋1)＋bk＋1＝1,
所以由(*)式得
·≤·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1
＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1,
故对 n∈N*,结论均成立.
(2)赫尔德不等式
设xi,yi>0,i＝1,2,…,n,p,q>1,且＝1,
则(·(≥xiyi.
证明　设ai＝,bi＝,
则ai＝bi＝1,
由加权均值不等式知
ai＋bi≥·,
累加后有
·≤ai＋bi＝＝1,
即·≤1,
即·≤1,
即xiyi≤(·(.
(3)闵可夫斯基(Minkowski)不等式
设ai,bi>0(i＝1,2,…,n),且p≥1,则[(ai＋bi)p≤(＋(,当且仅当ai＝kbi(k为常数)时,等号成立.
证明　(ai＋bi)p＝ai(ai＋bi)p－1＋bi(ai＋bi)p－1,
对上式两边分别用赫尔德不等式,
(ai＋bi)p≤([(ai＋bi)(p－1)q＋
(·[(ai＋bi)(p－1)q
＝[(＋(]·[(ai＋bi)(p－1)q
其中＝1,故(p－1)q＝p,
从而(ai＋bi)p≤[(＋(]·[(ai＋bi)p,
即[(ai＋bi)p≤(＋(,
即[(ai＋bi)p≤(＋(,
当且仅当ai＝kbi(k为常数),等号成立.
特别地,Minkowski不等式的二维形式(即p＝2):
二元式:≥,
当且仅当时,等号成立.
n元式:＋…＋
≥,
当且仅当＝…＝时,等号成立.
【应用示例】 已知0的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.通过阅读《阅读与思考——集合中元素的个数》(人教A版必修第一册P15)和《阅读材料——康托尔与集合论》(北师大版必修第一册P13),可以从中提炼出如下结论:
(1)把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.
(2)一般地,对任意两个有限集合A,B,有
card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
(3)对于有限集合A,B,C,有
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C).
(4)有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如
A＝{1,2,3,4,…,n,…},
B＝{2,4,6,8,…,2n,…},
我们无法数出集合中元素的个数,但可通过构建正整数n和正偶数2n之间的一个函数关系,而且还是“一一对应”的函数关系,得到集合A和集合B元素个数一样多.
【应用示例】 (1)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56%
C.46% D.42%
(2)(人教A版必修第一册P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.通过阅读《阅读与思考——几何命题与充分条件、必要条件》(人教A版必修第一册P24),可以从中提炼出如下结论:
(1)三角形相似的判定定理可以判定两个三角形是相似三角形;但利用三角形相似的判定定理不一定可以判定两个三角形不是相似三角形,如:和同一个三角形均不相似的两个三角形可能相似,即“p q” “ p q”.
(2)三角形相似的性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形,但三角形相似的性质定理不一定可以判定两个三角形是相似三角形,如:面积比等于某组边的平方比的两个三角形不一定相似,即:“q r” “ r q”,
“q r” “ q r”.
【应用示例】 给定两个命题p,q, p是q的必要不充分条件,则p是 q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题1 (人教A版必修第一册P9练习T3)判断下列两个集合之间的关系:
(1)A＝{x|x<0},B＝{x|x<1};
(2)A＝{x|x＝3k,k∈N},B＝{x|x＝6z,z∈N};
(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数},B＝{x|x＝20m,m∈N＋}.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题2 (湘教版必修第一册P8练习T2)判断下列每对集合之间的关系:
(1)A＝{x|x＝2k,k∈N},B＝{y|y＝4m,m∈N};
(2)C＝{1,2,3,4},D＝{x|x是12的约数};
(3)E＝{x|x－3<2,x∈N＋},F＝{1,2,3,4,5}.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1,n∈Z},T＝{t|t＝4n＋1,n∈Z},则S∩T＝(　　)
A. B.S
C.T D.Z
母题3 (人教A版必修第一册P9习题1.2T4)在平面直角坐标系中,集合C＝{(x,y)|y＝x}表示直线y＝x,从这个角度看,集合D＝表示什么 集合C,D之间有什么关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题4 (人教A版必修第一册P9习题1.2T5)
(1)设a,b∈R,P＝{1,a},Q＝{－1,－b},若P＝Q,求a－b的值;
(2)已知集合A＝{x|0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题5 (人教A版必修第一册P12练习T2)设A＝{x|x2－4x－5＝0},B＝{x|x2＝1},求A∪B,A∩B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8},B＝{x|x3＝x},则A∩B＝(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
母题6 (人教A版必修第一册P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数},A＝{1,2,3},B＝{3,4,5,6},求 UA, UB.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅰ卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数},集合A＝{1,3,5},则 UA中元素的个数为(　　)
A.0 B.3
C.5 D.8
母题7 (人教A版必修第一册P14习题1.3T1)集合A＝{x|2≤x<4},B＝{x|3x－7≥8－2x},求A∪B,A∩B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题8 (人教B版必修第一册P21习题1－1BT5)已知A＝{x||x|<3},B＝{x∈N|x2<11},求A∩B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5},N＝{1,2,3},则M∩N＝(　　)
A.{1,2,3} B.{2,3}
C.{3} D.
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A.{－1,0} B.{2,3}
C.{－3,－1,0} D.{－1,0,2}
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4},B＝{x||x－1|≤1},则A∩B＝(　　)
A.{－1,2} B.{1,2}
C.{1,4} D.{－1,4}
(4)(2020·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|2A.{x|2C.{x|1≤x<4} D.{x|1母题9 (人教A版必修第一册P14习题1.3T4)已知集合A＝{x|3≤x<7},B＝{x|2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题10 (人教B版必修第一册P19例4)已知U＝{x∈N|x≤7},A＝{x∈U|x2≤7},B＝{x∈U|0<2x≤7},求 UA, UB,( UA)∪( UB), U(A∩B).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,3},B＝{2,3,5},则 U(A∪B)＝(　　)
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}
C.{2,4} D.{4}
(2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9},B＝{x|∈A},则 A(A∩B)＝(　　)
A.{1,4,9} B.{3,4,9}
C.{1,2,3} D.{2,3,5}
(3)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0,1,2,4,6,8},集合M＝{0,4,6},N＝{0,1,6},则M∪ UN＝(　　)
A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}
C.{1,2,4,6,8} D.U
(4)(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,3,6},B＝{2,3,4},则A∩( UB)＝(　　)
A.{3} B.{1,6}
C.{5,6} D.{1,3}
母题11 (人教A版必修第一册P35T9)已知集合A＝{1,3,a2},B＝{1,a＋2},是否存在实数a,使得A∪B＝A 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题12 (人教B版必修第一册P22习题1－1CT1)已知集合A＝{1,3,m},B＝{m2,1},且A∪B＝A,求m的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0,－a},B＝{1,a－2,2a－2},若A B,则a＝(　　)
A.2 B.1
C. D.－1
母题13 (人教A版必修第一册P23习题1.4T6)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么有a2＋b2＝c2(勾股定理).反过来,如果a2＋b2＝c2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,a2＋b2＝c2是△ABC为直角三角形的充要条件.请利用边长a,b,c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
母题14 (人教A版必修第一册P34T5)已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假:
(1)“a>b”是“a2>b2”的充分条件;(　　)
(2)“a>b”是“a2>b2”的必要条件;(　　)
(3)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;(　　)
(4)“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.(　　)
(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1,x),b＝(x,2),则(　　)
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝－3是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
母题15 (人教A版必修第一册P35T6)用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)任意实数的平方大于或等于0;
(2)对任意实数a,二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称;
(3)存在整数x,y,使得2x＋4y＝3;
(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x＋1|>1;命题q: x>0,x3＝x.则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
母题16 (人教A版必修第一册P57T4)求下列不等式的解集:
(1)14－4x2≥x;
(2)x2－14x＋45≤0;
(3)x2＋6x＋10>0;
(4)x(x＋2)>x(3－x)＋1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|－2≤x≤1} B.{x|x≤－2}
C.{x|－2≤x<1} D.{x|x>1}
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2,－1,0,1,2},N＝{x|x2－x－6≥0},则M∩N＝(　　)
A.{－2,－1,0,1} B.{0,1,2}
C.{－2} D.{2}
母题17 (湘教版必修第一册P39例5)设a,b为正数,证明下列不等式:
(1)a＋≥2;(2)≥2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则(　　)
A.a2＋b2>2ab B.≥
C.a＋b> D.≤
(2)(2025·上海卷)设a,b>0,a＋＝1,则b＋的最小值为　　　　.
母题18 (人教A版必修第一册P58T5)若a,b>0,且ab＝a＋b＋3,求ab的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2＋y2－xy＝1,则(　　)
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
母题19 (人教A版必修第一册P58T6)当k取什么值时,一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题20 (人教A版必修第一册P58T10)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济 你能把所得结论作一些推广吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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