资源简介

(共196张PPT)
第二章　函　数
教材考点·真题分布
目 录 CONTENTS
教材探究问题 · 研析
教材阅读文字 · 拓展
教材典型母题 · 必刷
01
02
03
04
教材常用结论 · 推导
教材探究问题·研析
01
1.(人教A版必修第一册P77)(1)设A是区间D上某些自变量的值组成的集合,而且 x1,x2∈A,当x1探究
提示:(1)不能.例如函数y＝x2,当x1,x2∈(0,＋∞),x1(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗
提示:函数f(x)＝x在(－∞,＋∞)上单调递增;函数f(x)＝x2在区间(－∞,0)上单调递减,在区间(0,＋∞)上单调递增.
2.(北师大版必修第一册P62)对于函数f(x)＝,(－∞,0)和(0,＋∞)都是它的单调区间,并且函数f(x)＝在这两个区间上都单调递减,那么能否说函数f(x)＝在整个定义域上是减函数
提示:不能说函数f(x)＝在整个定义域上是减函数.理由如下:
函数f(x)＝的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),在定义域区间取x1＝－1,x2＝1,满足x13.(人教A版必修第一册P85)(1)判断函数f(x)＝x3＋x的奇偶性.
(2)如图是函数f(x)＝x3＋x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗
(3)一般地,如果知道y＝f(x)为偶(奇)函数,那么我们可以怎样简化对它的研究
提示:(1)函数f(x)＝x3＋x的定义域为R,对 x∈R,f(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)由奇函数的图象关于原点对称,可画出y轴左边的图象,如图所示.
(3)我们可以根据它的对称性,先研究x>0时函数的性质,再对x<0时的函数进行对比讨论.
4.(人教A版必修第一册P117)选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗
提示:如图,选取底数a的若干值,发现指数函数y＝ax的图象按底数a的取值,可分为01两种类型.因此,指数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.
一般地,指数函数的图象和性质如表所示.
01
图象
定义域 R
值域 (0,＋∞)
性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1
减函数 增函数
5.(人教A版必修第一册P132)选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗
提示:如图,选取底数a的若干值,发现对数函数y＝logax的图象按底数a的取值,可分为01两种类型.因此,对数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.
一般地,对数函数的图象和性质如表所示.
01
图象
定义域 (0,＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x＝1时,y＝0
减函数 增函数
6.(人教A版必修第一册P132)我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如y＝log2x和y＝lox,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象
提示:利用换底公式,可以得到y＝lox＝－log2x.因为点(x,y)与点(x,－y)关于x轴对称,所以y＝log2x图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点P1(x,－y)都在y＝lox的图象上,反之亦然.由此可知,底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性,就可以利用y＝log2x的图象画出y＝lox的图象.
7.(人教A版必修第一册P135)互为反函数的两个函数图象间
的关系.
我们知道,指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝
logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象是否有关系 有什
么关系呢 下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!
(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y＝2x及其反函数y＝log2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗
提示:两个函数的图象关于直线y＝x对称.
(2)取y＝2x图象上的几个点,如P1,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y＝x的对称点的坐标是什么 它们在y＝log2x的图象上吗 为什么
提示: P1,P2,P3关于直线y＝x的对称点的坐标分别是,(1,0),(2,1),都在y＝log2x的图象上,因为它们都满足其解析式.
(3)如果点P0(x0,y0)在函数y＝2x的图象上,那么P0关于直线y＝x的对称点在函数
y＝log2x的图象上吗 为什么
提示: P0(x0,y0)关于直线y＝x的对称点P0'(y0,x0)在y＝log2x的图象上.理由如下:因为由P0(x0,y0)在y＝2x的图象上可得
y0＝,从而x0＝log2y0,故P0'(y0,x0)在y＝log2x的图象上.
(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论
提示: y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.
(5)上述结论对于指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)及其反函数y＝logax(a>0,且a≠1)也成立吗 为什么
提示: 成立,理由如下:设点P(x0,y0)在函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象上,则y0＝,又logay0＝loga＝x0,所以点P关于y＝x的对称点(y0,x0)在y＝logax的图象上,所以二者的图象关于直线y＝x对称.
教材常用结论·推导
02
1.几个重要函数的奇偶性
(1)(人教A版必修第一册P161T11,湘教版必修第一册P126T19拓展)f(x)＝loga[(m＋nx)·(m－nx)](a>0,且a≠1,mn≠0)为偶函数;g(x)＝loga(a>0,且a≠1,mn≠0)为奇函数.
证明　由题意得x∈,
∵f(－x)＝loga(m2－n2x2)＝f(x),∴f(x)为偶函数.
∵g(－x)＋g(x)＝loga＋loga＝loga1＝0,
∴g(－x)＝－g(x),即g(x)为奇函数.
(2)(湘教版必修第一册P84T4拓展)g(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数,h(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数.
证明　因为g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x),
所以g(x)为偶函数.
因为h(－x)＝f(－x)－f(x)＝－h(x),
所以h(x)为奇函数.
(3)(人教B版必修第二册P53T6,北师大版必修第一册P94T8拓展)f1(x)＝为奇函数,f2(x)＝为奇函数,g1(x)＝为奇函数,g2(x)＝为奇函数,其中a>0,且a≠1.
证明　f1(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f1(－x)＝＝－f1(x),故f1(x)为奇函数;
同理可证f2(x)为奇函数;
g1(x)＝＝f2(x),
故g1(x)为奇函数;同理可证g2(x)为奇函数.
(4)(人教B版必修第二册P54T2拓展)f(x)＝loga(＋bx)(a>0,且a≠1)为奇函数,g(x)＝loga(－bx)(a>0,且a≠1)为奇函数.
证明　由题易得x∈R,f(－x)＋f(x)
＝loga(－bx)＋loga(＋bx)
＝loga(1＋b2x2－b2x2)
＝loga1＝0,
故f(x)为奇函数,
同理可证g(x)也为奇函数.
(5)(人教B版必修第二册P53T9拓展)f(x)＝loga(amx＋1)－x(a>0,且a≠1)为偶函数.
证明　∵f(x)＝loga(amx＋1)－loga
＝loga＝loga(),x∈R,
∴f(－x)＝loga()＝f(x),
∴f(x)为偶函数.
【应用示例】 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间
[－2.8,2.8]的图象大致为(　　)
B
解析　由题知x∈[－2.8,2.8],关于原点对称,f(－x)＝－(－x)2＋
(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x),
所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,C;
f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋>0,排除D.故选B.
(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在单调递增
B.是奇函数,且在单调递减
C.是偶函数,且在单调递增
D.是奇函数,且在单调递减
D
解析　f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x),
∴f(x)为奇函数,故排除A,C.
又当x∈时,
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln ,
∵y＝1＋上单调递减,由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减.故选D.
(3)函数f(x)＝ln(ex＋1)－(　　)
A.是偶函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增
B.是偶函数,且在区间(0,＋∞)上单调递减
C.是奇函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增
D.既不是奇函数,也不是偶函数
A
解析　∵f(x)的定义域为R,f(－x)＝ln(e－x＋1)＋＝ln(ex＋1)－x＋＝ln(ex＋1)－＝f(x),
∴f(x)为偶函数;
当x>0时,f'(x)＝>0,∴f(x)在区间(0,＋∞)上单调递增.
(4)已知函数f(x)＝ln(＋ax)是定义在R上的奇函数,则实数a的值是(　　)
A.1 B.±1
C.2 D.±2
B
解析　f(－x)＝ln(－ax),由函数f(x)＝ln(＋ax)是定义在R上的奇函数,
则有f(x)＋f(－x)＝ln(＋ax)＋ln(－ax)＝ln(x2＋1－a2x2)＝0,
即x2＋1－a2x2＝1,即a＝±1.
(5)(2025·北京卷)关于定义域为R的函数f(x),给出下列四个结论:
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立;
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立;
③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个;
④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
其中正确结论的序号是　　　　.
②③
解析　对于①,若存在R上的增函数f(x),满足f(x)＋f(2x)＝－x,
则f(1)＋f(2×1)＝－1, f＋f＝－,
所以f(2)－f＝－<0,
即f(2)f矛盾,故①错误;
对于②,取得f(x)＝－x,该函数为R上的减函数且f(x)＋f(2x)＝－x,
故该函数符合,故②正确;
对于③,取f(x)＝cos x＋mx,m∈R,
此时f(x)＋f(－x)＝cos x,由m∈R可得f(x)有无穷多个,故③正确;
对于④,若存在f(x),使得f(x)－f(－x)＝cos x,
则f(0)－f(－0)＝cos 0,即0＝cos 0,与cos 0＝1,矛盾,④错误.
2.(人教A版必修第一册P101T8,人教B版必修第二册P14习题4－1CT2、P30习题4－2CT2拓展)函数的凹凸性:
(1)若f(x)＝ax(a>0,且a≠1),则≥f,即f(x)为下凸函数.
证明　∵－f＝
＝≥0,
∴≥f,当且仅当x1＝x2时取“＝”,即f(x)为下凸函数.
(2)若g(x)＝logax(a>0,且a≠1),则当a>1时,≤g,即g(x)为上凸函数;当0证明　∵＝loga,g＝loga,
又≥(当且仅当x1＝x2时取“＝”),
∴当a>1时,loga≥loga,
即g≥,
即g(x)为上凸函数.
当0即g≤,
即g(x)为下凸函数.
【应用示例】 若任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f>[f(x1)＋f(x2)]成立,则称f(x)是[a,b]上的凸函数,下列函数中,是凸函数的为(　　)
A.y＝x,x∈[0,2] B.y＝x2,x∈[0,2]
C.y＝x2－x,x∈[－2,1] D.y＝2－x2,x∈[0,2]
D
解析　依题意, x1,x2∈[0,2],且x1≠x2,
对于A,令g(x)＝x,
则g[g(x1)＋g(x2)]＝x1－x2＝0,A不是;
对于B,令h(x)＝x2,
则h[h(x1)＋h(x2)]＝＝－<0,B不是;
对于D,令φ(x)＝2－x2,则φ[φ(x1)＋φ(x2)]＝－>0,D是;
对于C, x1,x2∈[－2,1],且x1≠x2,令u(x)＝x2－x,
则u[u(x1)＋u(x2)]
＝
＝－<0,C不是.
3.(人教A版必修第一册P101T9拓展)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(1)已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递减,那么它在[－b,－a]上也单调递减.
(2)已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递增,那么它在[－b,－a]上也单调递增.
(3)已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递减,那么 它在[－b,－a]上单调递增.
(4)已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递增,那么它在[－b,－a]上单调递减.
证明　(1)任取－b≤x1≤x2≤－a,则a≤－x2≤－x1≤b,
因为f(x)在[a,b]上单调递减,
所以f(－x2)>f(－x1),
又因为f(x)为奇函数,所以－f(x2)>－f(x1),
即f(x2)所以f(x)在[－b,－a]上单调递减,同理可证(2).
(3)任取－b≤x1因为g(x)在[a,b]上单调递减,
所以g(－x2)>g(－x1),
又因为g(x)为偶函数,所以g(x2)>g(x1),
所以g(x)在[－b,－a]上单调递增.
同理可证(4).
【应用示例】 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)－x,若f(a－1)≤f(2a＋1)成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞,－2] B.(－∞,－2]∪[0,＋∞)
C. D.(－∞,－2]∪
B
解析　因为f(x)＝log4＝log4(2x＋2－x),x∈R,
所以f(－x)＝f(x),即f(x)为偶函数.
对函数y＝2x＋2－x,x∈(0,＋∞),
则y'＝2xln 2＋2－x(－ln 2)＝(2x－2－x)ln 2,
因为x∈(0,＋∞),
所以2x>1,0<2－x<1,
所以2x－2－x>0,
故y'>0在(0,＋∞)上恒成立.
所以函数y＝2x＋2－x在(0,＋∞)上单调递增,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增.
所以f(a－1)≤f(2a＋1) |a－1|≤|2a＋1|,
所以a2－2a＋1≤4a2＋4a＋1 3a2＋6a≥0,
解得a≥0或a≤－2.
4.(人教A版必修第一册P127T2(2),苏教版必修第一册P165T14拓展)已知f(x)＝|logax|,若f(x1)＝f(x2),且x1≠x1,则x1x2＝1.
证明　不妨设a>1,x1∵f(x1)＝f(x2),
∴|logax1|＝|logax2|,
即－logax1＝logax2,loga(x1x2)＝0＝loga1,
∴x1x2＝1.
【应用示例】 (多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且满足x1A.0B.2x1＋x2∈[2,3)
C.x1＋x2＋x3＋x4∈
D.x1x2x3x4∈(3e2,4e2)
ACD
解析　作出函数y＝f(x)的图象,再作出直线y＝a,如图,由－ln x1＝ln x2得x1x2＝1,由对称性得x3＋x4＝4e,且12x1＋x2＝＋x2≥2,当且仅当x2＝时等
号成立,当x2＝1时,x1＝1,所以2x1＋x2＝3,x2＝
e时,x1＝,所以2x1＋x2＝＋e>3,因此由对勾函
数性质可得2x1＋x2∈,B错误;
同理由对勾函数性质得x1＋x2＝x2＋∈,因此x1＋x2＋x3＋x4∈,C正确;
因为x3∈(e,2e),则x1x2x3x4＝x3(4e－x3)＝－(x3－2e)2＋4e2∈(3e2,4e2),D正确.
故选ACD.
5.几个常见对称性的结论
(1)(人教B版必修第一册P113例5拓展)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 f(a＋x)＝f(b－x).
证明　先证充分性
设点A(x0,y0)是函数y＝f(x)图象上任意一点,点A关于直线x＝的对称点A'(a＋b－x0,y0)也在y＝f(x)图象上,y0＝f(a＋b－x0)＝f(x0),把x0换成x0＋a得f(b－x0)＝f(a＋x0).
再证必要性
设点A(x0,y0)是y＝f(x)图象上任意一点,则y0＝f(x0).
因为f(a＋x)＝f(b－x),
所以f(a＋x0)＝f(b－x0),
把x0换成x0－a,得f(x0)＝f(b＋a－x0)＝y0,
即点A'(b＋a－x0,y0)也在y＝f(x)图象上,而点A与点A'关于直线x＝对称,所以得证.
特别地,函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a＋x)＝f(a－x).
(2)(人教A版必修第一册P87T13拓展)函数y＝f(x)的图象关于点P对称 f(a＋x)＋f(m－x)＝2b.
证明　先证充分性
设点A(x0,y0)是函数y＝f(x)图象上任意一点,因为点A(x0,y0)关于P的对称点A'(a＋m－x0,2b－y0)也在y＝f(x)的图象上,
所以y0＝f(x0),2b－y0＝f(a＋m－x0),
即f(x0)＋f(a＋m－x0)＝2b,
把x0换成x0＋a,
得f(a＋x0)＋f(m－x0)＝2b.
再证必要性
设点A(x0,y0)是y＝f(x)图象上任意一点,
则y0＝f(x0),因为f(a＋x)＋f(m－x)＝2b,
所以f(a＋x0)＋f(m－x0)＝2b,
把x0换成x0－a,得f(x0)＋f(a＋m－x0)＝2b,
即f(a＋m－x0)＝2b－y0,
所以点A'(a＋m－x0,2b－y0)也在y＝f(x)的图象上,而点A与点A'关于点P对称,所以得证.
特别地,函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(x)＋f(2a－x)＝2b.
(3)点对称、轴对称的几个推论
①已知函数f(x)图象关于直线x＝a和直线x＝b对称,则函数f(x)的周期为2|b－a|(b≠a).
②已知函数f(x)图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为2|b－a|(b≠a).
③已知函数f(x)图象关于点(a,0)对称且关于直线x＝b对称,则函数f(x)的周期为4|b－a|(b≠a).
④f(x)为可导函数,f(x)图象关于直线x＝a对称 f'(x)图象关于点(a,0)对称.
⑤f(x)为可导函数,f(x)图象关于点(a,f(a))对称 f'(x)图象关于直线x＝a对称.
证明　①因为函数f(x)图象关于直线x＝a和直线x＝b对称,
所以
所以
所以f(x＋2b－2a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为2|b－a|的周期函数.
②因为函数f(x)图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,
所以
所以
所以f(x＋2b－2a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为2|b－a|的周期函数.
③因为函数f(x)图象关于点(a,0)中心对称且关于直线x＝b对称,
所以
所以
所以f(x)＋f(2b－2a＋x)＝0,
所以f(x)＋f(2b－2a＋x)＝f(2b－2a＋x)＋f(4b－4a＋x)＝0,
所以f(x＋4b－4a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为4|b－a|的周期函数.
④充分性
f(2a－x)＝f(x) －f'(2a－x)＝f'(x) f'(x)＋f'(2a－x)＝0 f'(x)图象关于(a,0)对称.
必要性
f'(x)图象关于(a,0)对称 f'(x)＋f'(2a－x)＝0,
令F(x)＝f(x)－f(2a－x),
F'(x)＝f'(x)＋f'(2a－x)＝0,
F(x)＝c(c为常数),
F(a)＝f(a)－f(a)＝0,
∴c＝0,
∴F(x)＝0 f(x)＝f(2a－x) f(x)图象关于x＝a对称.
⑤充分性
f(2a－x)＋f(x)＝2f(a),－f'(2a－x)＋f'(x)＝0,
即f'(x)＝f'(2a－x) f'(x)图象关于x＝a对称.
必要性
f'(x)图象关于x＝a对称 f'(x)＝f'(2a－x),
令F(x)＝f(2a－x)＋f(x)－2f(a),
F'(x)＝f'(x)－f'(2a－x)＝0,
F(x)＝c(c为常数),
F(a)＝2f(a)－2f(a)＝0,∴c＝0,
∴f(2a－x)＋f(x)＝2f(a),∴f(x)图象关于(a,f(a))对称.
【应用示例】 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋2)为偶函数,f(2x＋1)为奇函数,则(　　)
A.f＝0 B.f(－1)＝0
C.f(2)＝0 D.f(4)＝0
B
解析　因为函数f(x＋2)为偶函数,则f(2＋x)＝f(2－x),可得f(x＋3)＝f(1－x).
因为函数f(2x＋1)为奇函数,
则f(1－2x)＝－f(2x＋1),
所以f(1－x)＝－f(x＋1),
所以f(x＋3)＝－f(x＋1),
即f(x＋1)＝－f(x－1),
所以f(x＋3)＝f(x－1),
即f(x)＝f(x＋4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数.
因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数,
则F(0)＝f(1)＝0,故f(－1)＝－f(1)＝0.
(2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)＋g(2－x)＝5,g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称,g(2)＝4,则f(k)＝(　　)
A.－21 B.－22
C.－23 D.－24
D
解析　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称,
可得g(2＋x)＝g(2－x).
在f(x)＋g(2－x)＝5中,用－x替换x,
可得f(－x)＋g(2＋x)＝5,
可得f(－x)＝f(x).
在g(x)－f(x－4)＝7中,用2－x替换x,得g(2－x)＝f(－x－2)＋7,
代入f(x)＋g(2－x)＝5中,
得f(x)＋f(－x－2)＝－2,
可得f(x)＋f(x＋2)＝－2,
所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2,
所以f(x＋4)＝f(x),
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5,
又g(2)＝4,所以可得f(0)＝1,
又f(x)＋f(x＋2)＝－2,
所以f(0)＋f(2)＝－2,f(－1)＋f(1)＝－2,
得f(2)＝－3,f(1)＝f(－1)＝－1,
又f(3)＝f(－1)＝－1,f(4)＝f(0)＝1,
所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
(3)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)＝f'(x).若f,g(2＋x)均为偶函数,则(　　)
A.f(0)＝0 B.g＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
BC
解析　法一　(转化法)因为f,g(2＋x)均为偶函数,
所以f＝f,
即f＝f,g(2＋x)＝g(2－x),
所以f(3－x)＝f(x),g(4－x)＝g(x),
则f(－1)＝f(4),故C正确;
函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x＝,x＝2对称,
又g(x)＝f'(x),且函数f(x)可导,
所以g()＝0,g(3－x)＝－g(x),
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x),
所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x),
所以g＝g＝0,g(－1)＝g(1)＝－g(2),故B正确,D错误;
若函数f(x)满足题设条件,
则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件,
所以无法确定f(0)的函数值,故A错误.
法二　(特例法)因为f,g(2＋x)均为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称,函数g(x)的图象关于直线x＝2对称.取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R),则f(0)＝1,排除A;
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx,则f'(x)＝πcos πx,
即g(x)＝πcos πx,
所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π,g(2)＝πcos 2π＝π,
所以g(－1)≠g(2),排除D.故选BC.
(4)(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形.
证明　f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3
＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a
＝－f(x)＋2a,
即f(x)＋f(2－x)＝2a,
故曲线y＝f(x)关于点(1,a)中心对称.
教材阅读文字·拓展
03
1.通过阅读《阅读与思考——函数概念的发展历程》(人教A版必修第一册P75)和《数学文化——函数概念的形成与发展》(湘教版必修第一册P87),可从中提炼出如下结论:
(1)狄利克雷函数D(x)＝具有如下性质:
①定义域:R;值域:{0,1}.
②奇偶性:偶函数.
③周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期.
④无法画出函数的图象,但其图象客观存在.
(2)高斯函数:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]＝3,[－2.1]＝－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y＝[x]称为高斯函数,又称取整函数.
具有如下性质:
①定义域:R,值域:Z.
②不具有单调性、奇偶性和周期性,其图象为:
【应用示例】 (1)狄利克雷(1805~1859)是德国数学家,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解决数论的创始人之一.1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数D(x)＝下列叙述中错误的是(　　)
A.D(x)是偶函数 B.D(x＋)＝D(x)
C.D(D(x))＝1 D.D(x)是周期函数
B
解析　由题意,函数D(x)＝
对于A中,当x为有理数时,则－x也为有理数,满足D(－x)＝D(x)＝1;
当x为无理数时,则－x为无理数时,满足D(－x)＝D(x)＝0,
所以函数D(x)为偶函数,所以A正确;
对于B中,例如:当x＝1时,则1＋也为无理数,满足D(1)＝1,D(1＋)＝0;
可得D(1)≠D(1＋),所以B不正确;
对于C中,当x为有理数时,可得D(x)＝1,
则D(D(x))＝1,
当x为无理数时,可得D(x)＝0,
则D(D(x))＝1,
所以D(D(x))＝1,所以C正确;
对于D中,当x为有理数时,则x＋1也为有理数,满足D(x)＝D(x＋1)＝1;
当x为无理数时,则x＋1也为无理数,满足D(x)＝D(x＋1)＝0,
所以D(x＋1)＝D(x)成立,
所以D正确.故选B.
(2)(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数.例如:[－2.1]＝－3,[3.1]＝3.已知函数f(x)＝,则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
BC
解析　f(x)＝＝1＋,
∵2x>0,∴1＋2x>1,∴0<<1,
则0<<2,
∴1<1＋<3,即1当1当2≤f(x)<3时,[f(x)]＝2.
综上,函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}.
故选BC.
2.通过阅读《探究与发现——探究函数y＝x＋的图象与性质》(人教A版必修第一册P92),可提炼出如下结论:
(1)对勾函数的定义
形如f(x)＝ax＋(a>0,b>0)的函数,其图象如图所示,是关于原点对称的对勾,故函数称为对勾函数.
(2)对勾函数的基本性质
①定义域:x∈(－∞,0)∪(0,＋∞).
②奇偶性:奇函数.
③单调性:当x∈时,函数f(x)单调递增;当x∈时,函数f(x)单调递减;当x∈时,函数f(x)单调递减;当x∈时,函数f(x)单调递增.
④极值:极大值f＝－2;极小值f＝2.
⑤最值:函数在定义域上无最值,在区间(－∞,0)上,f(x)有最大值f＝
－2;在区间(0,＋∞)上,f(x)有最小值f＝2.
⑥零点积问题
已知f(x)＝ax＋(a,b>0),若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2),则x1·x2为定值.
证明　不妨设f(x1)＝f(x2)＝m,则x1,x2是方程ax＋＝m,即ax2－mx＋b＝0的两实根,故x1·x2＝.
引申:已知f(x)＝ax－(a,b>0),若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2),则x1·x2＝－.
证明　不妨设f(x1)＝f(x2)＝m,则x1,x2是方程ax－＝m,即ax2－mx－b＝0的两实根,故x1·x2＝－.
【应用示例】 (1)已知函数f(x)＝－4x－8－,x∈[0,1],g(x)＝x2－4mx－2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)＝g(x2)成立,则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C.[1,2] D.
D
解析　f(x)＝－4x－8－＝－4(x－2)－－16,x∈[0,1],
∵x∈[0,1],∴x－2∈[－2,－1],
设t＝x－2,则t∈[－2,－1],
则函数f(x)等价为y＝－4t－－16,
由对勾函数的单调性可得,
t∈时,y＝－4t－－16单调递减,t∈时,y＝－4t－－16单调递增,
当t＝－时,函数取得最小值,
ymin＝－4×－16＝6＋6－16＝－4,
当t＝－2时,y＝8－－16＝－,
当t＝－1时,y＝4＋9－16＝－3,
设函数f(x)的值域为M,则函数f(x)的值域M＝[－4,－3];
由g(x)＝x2－4mx－2m(m≥1),
∴g(x)在[0,1]上是减函数,
则最大值为g(0)＝－2m,
最小值g(1)＝1－4m－2m＝1－6m(m≥1),
设g(x)的值域为N,则N＝[1－6m,－2m].
若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],
使得f(x1)＝g(x2)成立,则等价为M N,
即解得1≤m≤,
所以实数m的取值范围是.
(2)已知a>b>0,a＋＝b＋,则的最小值为　　　　.
4
解析　令f(x)＝x＋,f(a)＝f(b)＝m,
则a,b是x＋＝m,
即x2－mx＋1＝0的两实根,故ab＝1,
所以≥2＝4,
当且仅当且ab＝1,
即a＝,b＝时,等号成立.
3.通过阅读 《信息技术应用——探究指数函数的性质》(人教A版必修第一册P120),可提炼出如下结论:
(1)当x>0时,a的值越大,y＝ax的值越大(底大图高);当x<0时,a的值越大,y＝ax的值越小(底大图低).
(2)幂函数y＝xα的图象,对于一个x的值,当x>1时,α越大,y＝xα越大(指大图高);当0【应用示例】 设幂函数y＝,y＝,y＝,指数函数y＝,y＝,y＝,y＝,对数函数y＝lox,y＝lox,y＝lox,y＝lox在同一坐标系中的图象如图所示,则它们之间的大小关系错误的是(　　)
C
A.c1<0B.0C.0D.0解析　对于A,要判断的是幂函数y＝xα的图象,根据y＝、y＝、y＝的图象可以判断c1<0对于B,要判断的是指数函数y＝ax的图象,作出x＝1,看交点,交点越高,底数越大,所以0对于C,D,要判断的是对数函数y＝logax的图象,作出y＝1,看交点,交点越往右,底数越大,所以0教材典型母题·必刷
04
母题1 (人教A版必修第一册P66例3)下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数
(1)y＝()2;
(2)u＝;
解　(1)y＝()2＝x(x∈{x|x≥0}),
它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数.
(2)u＝＝v(v∈R),它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同,
所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数.
(3)y＝;
(4)m＝.
解　(3)y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R,
但是当x<0时,它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同,所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数.
(4)m＝＝n(n∈{n|n≠0}),它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同,但定义域不相同,
所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数.
母题2 (人教A版必修第一册P68例5)画出函数y＝|x|的图象.
解　由绝对值的概念,我们有y＝
所以函数y＝|x|的图象如图所示.
母题3 (人教A版必修第一册P69T2)画出函数y＝|x－2|的图象.
解　由绝对值的概念,我们有
y＝
所以函数y＝|x－2|的图象如图所示.
母题4 (人教A版必修第一册P68例6)给定函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,x∈R,
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象;
解　在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象(图1).
(2) x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)＝max{f(x),g(x)}.
例如,当x＝2时,M(2)＝max{f(2),g(2)}＝max{3,9}＝9.
请分别用图象法和解析法表示函数M(x).
解　由图1中函数取值的情况,结合函数M(x)的定义,可得函数M(x)的图象(图2).
由(x＋1)2＝x＋1,得x(x＋1)＝0,
解得x＝－1,或x＝0.
结合图2,得出函数M(x)的解析式为
M(x)＝
母题5 (人教A版必修第一册P69T3)给定函数f(x)＝－x＋1,g(x)＝(x－1)2,x∈R,
(1)画出函数f(x),g(x)的图象;
解　在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象(图1).
(2) x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)＝min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
解　由图1中函数取值的情况,结合函数m(x)的定义,可得函数m(x)的图象(图2).
由(x－1)2＝－x＋1,得x(x－1)＝0,
解得x＝0,或x＝1.
结合图2,得出函数m(x)的解析式为
m(x)＝
(2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)＝min{|x|－2,x2－ax＋3a－5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.
[10,＋∞)
解析　设g(x)＝|x|－2,h(x)＝x2－ax＋3a－5,
∵g(x)有2个零点,f(x)至少有3个零点,
∴h(x)必有零点.
对于h(x)＝x2－ax＋3a－5.
(1)当Δ＝0时,a＝2或10.
①当a＝2时,h(x)＝x2－2x＋1,如图1.
此时,f(x)＝|x|－2,有2个零点,不符合题意.
②当a＝10时,h(x)＝x2－10x＋25,如图2.
此时,f(x)有3个零点,符合题意.
(2)当Δ>0时,a<2或a>10.
设h(x)的两个零点为x1,x2,且x1①当a<2时,要使f(x)至少有3个零点,h(x)的两个零点x1,x2需满足x1∴ ∴不等式组无解.
②当a>10时,要使f(x)至少有3个零点,需h(x)的两个零点x1,x2满足2≤x1∴解得a>4,∴a>10.
综上,a的取值范围为[10,＋∞).
母题6 (人教A版必修第一册P72习题3.1T1)求下列函数的定义域:
(1)f(x)＝;(2)f(x)＝;
(3)f(x)＝;(4)f(x)＝.
解　(1){x|x≠4};(2)R;(3){x|x≠1,且x≠2};(4){x|x≤4,且x≠1}.
(2022·北京卷)函数f(x)＝的定义域是　　 　　.
(－∞,0)∪(0,1]
解析　因为f(x)＝,
所以
即x∈(－∞,0)∪(0,1].
母题7 (湘教版必修第一册P78T16)设函数sign(x)的定义为sign(x)＝
(1)画出该函数的图象;
(2)探索利用函数sign(x)把分段函数写成一个解析表达式的方法.
解　(1)由题意,函数sign(x)＝
可得函数sign(x)的图象,如图所示.
(2)若分段函数的表达式为f(x)＝
则可改写为f(x)＝h(x)sign(x).
母题8 (人教A版必修第一册P84例6)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)＝x4;
(2)f(x)＝x5;
解　(1)函数f(x)＝x4的定义域为R.
因为 x∈R,都有－x∈R,且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x),
所以函数f(x)＝x4为偶函数.
(2)函数f(x)＝x5的定义域为R.
因为 x∈R,都有－x∈R,且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x),
所以函数f(x)＝x5为奇函数.
(3)f(x)＝x＋;
(4)f(x)＝.
解　(3)函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}.
因为 x∈{x|x≠0},都有－x∈{x|x≠0},且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x),
所以函数f(x)＝x＋为奇函数.
(4)函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}.
因为 x∈{x|x≠0},都有－x∈{x|x≠0},且f(－x)＝＝f(x),
所以函数f(x)＝为偶函数.
母题9 (人教B版必修第一册P117T8)已知函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数,求实数a的值.
解　∵函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2＝x2＋(a－2)x＋3是偶函数,
∴f(－x)＝f(x).
整理得(2a－4)x＝0,
由x的任意性得2a－4＝0,解得a＝2.
(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数,则a＝　　　　.
解析　f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cos x.
法一　因为f(x)为偶函数,
所以f(－x)＝f(x),
即(－x－1)2－ax＋cos(－x)＝(x－1)2＋ax＋cos x,得a＝2.
2
法二　因为f(x)为偶函数,定义域为R,
所以f＝f,
即a＝a,得a＝2.
此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x,
所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cos x＝f(x),
又定义域为R,故f(x)为偶函数,所以a＝2.
母题10 (人教A版必修第一册P85练习T1)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.
解　∵f(x)是偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称.
∵g(x)是奇函数,
∴g(x)的图象关于原点对称.
图象如图所示.
(1)(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)＝
B.f(x)＝
C.f(x)＝
D.f(x)＝
D
解析　由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(x)为偶函数,易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数,排除A,B.
由题图可知当x>1时,f(x)>0,易得当x>1时,f(x)＝<0,f(x)＝>0,排除C,故选D.
(2)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为(　　)
A
解析　法一(特值法)
取x＝1,则y＝cos 1＝cos 1>0;
取x＝－1,则y＝cos(－1)＝－cos 1<0.结合选项知选A.
法二　令y＝f(x),
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x),
所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数,
排除B,D;
取x＝1,则y＝cos 1＝cos 1>0,排除C,故选A.
母题11 (人教A版必修第一册P86T7)已知函数f(x)＝x2－2x,g(x)＝x2－2x(x∈[2,4]),
(1)求f(x),g(x)的单调区间;
解　f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1,函数图象的对称轴为直线x＝1,
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞,1],单调递增区间为(1,＋∞).
∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1,x∈[2,4],
∴g(x)的单调递增区间为[2,4].
(2)求f(x),g(x)的最小值.
解　f(x)min＝f(1)＝－1,
g(x)min＝g(2)＝0.
(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b).若f(x)≥0,则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.1
C
解析　由f(x)≥0及y＝x＋a,y＝ln(x＋b)单调递增,
可得x＋a与ln(x＋b)同正、同负或同为零,
所以当ln(x＋b)＝0时,x＋a＝0,
即所以b＝a＋1,
则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2≥,故选C.
母题12 (1)(人教A版必修第一册P86习题3.2T11)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)＝x(1＋x).画出函数f(x)的图象,并求出函数的解析式.
解　设x<0,则－x>0,
因为x≥0时,
f(x)＝x(1＋x),
所以f(－x)＝－x(1－x),
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(－x)＝－f(x),
所以－f(x)＝－x(1－x),
所以f(x)＝x(1－x)(x<0),
所以f(x)＝
(2)(人教A版必修第一册P203练习T4)设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数,且当x∈[0,2]时,f(x)＝(x－1)2.求f(3),f的值.
解　由题意可知,f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝(1－1)2＝0;f＝f＝f.
(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)＝5－2x,则f＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
A
解析　法一　当x∈[－1,0]时,－x＋2∈[2,3],
所以当x∈[－1,0]时,f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x,
所以f＝1－＝－.故选A.
法二　f＝f＝f＝5－2×＝－.
母题13 (北师大版必修第一册P73C组T2)若函数f(x)的定义域是R,且对任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立,试判断f(x)的奇偶性.
解　令x＝y＝0,
则f(0)＝f(0)＋f(0),则f(0)＝0,
令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0,
所以f(－x)＝－f(x),
故f(x)为奇函数.
(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y),则(　 　)
A.f(0)＝0
B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数
D.x＝0为f(x)的极小值点
解析　取x＝y＝0,则f(0)＝0＋0＝0,故A正确;
取x＝y＝1,则f(1)＝f(1)＋f(1),
所以f(1)＝0,故B正确;
ABC
取x＝y＝－1,则f(1)＝f(－1)＋f(－1),
所以f(－1)＝0;
取y＝－1,则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1),
所以f(－x)＝f(x),
所以函数f(x)为偶函数,故C正确;
由于f(0)＝0,且函数f(x)为偶函数,
所以函数f(x)的图象关于y轴对称,
所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,故D不正确.综上,选ABC.
母题14 (人教A版必修第一册P100T3)设f(x)＝,求证:
(1)f(－x)＝f(x);
证明　∵f(x)＝,
∴f(－x)＝＝f(x),
∴f(－x)＝f(x).
(2)f＝－f(x)(x≠0).
证明　∵f＝－
＝－f(x),
∴f＝－f(x).
(2019·全国卷Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ln x－.讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点.
解　f(x)的定义域为(0,1)∪(1,＋∞).因为f'(x)＝>0,
所以f(x)在(0,1),(1,＋∞)上单调递增.
因为f(e)＝1－<0,f(e2)＝2－>0,所以f(x)在(1,＋∞)有唯一零点x1(e又0<<1,f＝－ln x1＋＝－f(x1)＝0,
故f(x)在(0,1)有唯一零点.
综上,f(x)有且仅有两个零点.
母题15 (人教A版必修第一册P100T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性,求实数k的取值范围.
解　∵f(x)＝4x2－kx－8在上单调递减,在上单调递增,
∴≥20,或≤5,
解得k∈(－∞,40]∪[160,＋∞).
(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,0] B.[－1,0]
C.[－1,1] D.[0,＋∞)
B
解析　因为函数f(x)在R上单调递增,
且当x<0时,f(x)＝－x2－2ax－a,
所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞,0)上单调递增,
所以－a≥0,即a≤0;
当x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1),
所以函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增.
若函数f(x)在R上单调递增,
则－a≤f(0)＝1,即a≥－1.
综上,实数a的取值范围是[－1,0].故选B.
母题16 (人教A版必修第一册P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数):
(1)(2)(－6)÷(－3);(2)()8;
解　(1)(2)(－6)÷(－3)
＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0
＝4a.
(2)()8＝()8()8＝m2n－3
＝.
(3)()÷.
解　()÷＝()÷
＝÷÷
＝
＝－a
＝－a.
(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2,则4－a＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　法一　因为alog34＝2,
所以log34a＝2,
所以4a＝32＝9,
所以4－a＝.故选B.
B
法二　因为alog34＝2,
所以a＝＝2log43＝log432＝log49,
所以4－a＝＝9－1＝.
故选B.
母题17 (北师大版必修第一册P69B组T1)下列函数中,哪些满足性质T1:f(x＋y)＝f(x)＋f(y),T2:f(x·y)＝f(x)·f(y) 为什么
(1)f(x)＝;
解　函数的定义域为[0,＋∞),
由于f(x＋y)＝≠,
f(x·y)＝·＝f(x)·f(y),
则不满足T1,满足T2.
(2)f(x)＝x3;
解　函数的定义域为R,
由于f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3＋y3,
f(xy)＝(xy)3＝x3·y3＝f(x)f(y),
则不满足T1,满足T2.
(3)f(x)＝2x;
解　函数的定义域为R,
由于f(x＋y)＝2(x＋y)＝2x＋2y＝f(x)＋f(y),
f(xy)＝2xy≠f(x)f(y),
则满足T1,不满足T2.
(4)f(x)＝1;
解　函数的定义域为R,
由于f(x＋y)＝1≠f(x)＋f(y)＝2,
f(xy)＝f(x)f(y)＝1,
则不满足T1,满足T2.
(5)f(x)＝.
解　函数的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),
由于f(x＋y)＝≠f(x)＋f(y),
f(xy)＝＝f(x)f(y),
则不满足T1,满足T2.
(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y),f(1)＝1,则f(k)＝(　　)
A.－3 B.－2
C.0 D.1
A
解析　因为f(1)＝1,
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中,
令y＝1,
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1),
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x), ①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②
由①②相加,得f(x＋2)＋f(x－1)＝0,
故f(x＋3)＋f(x)＝0,
所以f(x＋3)＝－f(x),
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中,
令y＝0,得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0),
所以f(0)＝2.
令x＝1,y＝1,得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1),
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x),
得f(3)＝－f(0)＝－2,f(4)＝－f(1)＝－1,
f(5)＝－f(2)＝1,f(6)＝－f(3)＝2,
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0,
根据函数的周期性知,f(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0＋1－1－2－1＝－3,故选A.
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2);②当x∈(0,＋∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.
f(x)＝x4(答案不唯一,f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
解析　取f(x)＝x4,则f(x1x2)＝＝f(x1)f(x2),满足①;
f'(x)＝4x3,x>0时有f'(x)>0,满足②;
f'(x)＝4x3的定义域为R,
又f'(－x)＝－4x3＝－f'(x),
故f'(x)是奇函数,满足③.
母题18 (人教A版必修第一册P119T8)按复利计算利息的一
种储蓄,本金为a(单位:元),每期利率为r,本利和为y(单位:
元),存期数为x.
(1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式;
(2)如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.
解　(1)因为本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期数为x,所以存期数为1时,y＝a＋ar＝a(1＋r),
存期数为2时,y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2,
存期数为3时,y＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r＝a(1＋r)3,
…
所以存期数为x时,y＝a(1＋r)x.
(2)若存入本金为a＝1 000元时,r＝2.25%,存期数为5,
则y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元).
母题19 (人教B版必修第二册P53T9)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数,求a的值.
解　∵函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax,x∈R是偶函数,
∴f(－x)＝f(x),
∴ln(e－x＋1)＋ax＝ln(ex＋1)－ax,
∴2ax＝ln(ex＋1)－ln(e－x＋1)
＝ln＝ln ex＝x,
∴(2a－1)x＝0对x∈R恒成立,
解得a＝.
母题20 (人教A版必修第一册P120T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点,且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并画出图象;
解　因为函数y＝a＋b的图象过原点,
所以a＋b＝0,即a＋b＝0,即－a＝b,
函数y＝a－a＝a.
又0<≤1,－1<－1≤0,
且y＝a＋b无限接近直线y＝2,但又不与该直线相交,
所以a<0,且0≤a<－a,
所以－a＝2, y＝－2＋2,
其图象如图所示.
解　显然函数的定义域为R,令y＝f(x),
则f(－x)＝－2＋2＝－2＋2＝f(x),
即f(x)是偶函数.
当x>0时,y＝－2＋2＝－2＋2单调递增,
当x<0时,y＝－2＋2＝－2＋2单调递减,
即y＝－2＋2在(－∞,0)上为减函数,在(0,＋∞)上为增函数.
(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
(1)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1,g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时,曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝(　　)
A.－1 B.
C.1 D.2
D
解析　由题意知f(x)＝g(x),则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax,
即cos x＝a(x2＋1)－1.
令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.
易知h(x)为偶函数,由题意知h(x)在(－1,1)上有唯一零点,
所以h(0)＝0,即cos 0－a(0＋1)＋1＝0,得a＝2,故选D.
(2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数,则a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
D
解析　法一　f(x)的定义域为{x|x≠0},
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)＝f(－x),即,
即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x,
即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x,
所以a－1＝±1,解得a＝0(舍去)或a＝2.
法二　f(x)＝,f(x)是偶函数,又y＝x是奇函数,
所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数,
故a－1＝1,即a＝2.
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数,则a＝　　　　.
1
解析　法一　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R,且是偶函数,
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立,
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立,
所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立,所以a＝1.
法二　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R,且是偶函数,
所以f(－1)＝f(1),
所以－＝2a－,解得a＝1,
经检验,f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数,所以a＝1.
法三　由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R,且是偶函数.
设g(x)＝x3,h(x)＝a·2x－2－x,
因为g(x)＝x3为奇函数,
所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数,
所以h(0)＝a·20－2－0＝0,解得a＝1,
经检验,f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数,所以a＝1.
母题21 (人教A版必修第一册P127T5)已知lg 2＝a,lg 3＝b,求下列各式的值:
(1)lg 6;(2)log34;(3)log212;(4)lg .
解　(1)lg 6＝lg(2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b.
(2)log34＝.
(3)log212＝
＝.
(4)lg ＝lg 3－lg 2＝b－a.
母题22 (人教A版必修第一册P127T6)求满足下列条件的各式的值:
(1)若xlog34＝1,求4x＋4－x的值;
(2)若f(x)＝3x,求f(log32)的值.
解　(1)若xlog34＝1,
则x＝＝log43,
所以4x＋4－x＝＝3＋＝3＋.
(2)因为f(x)＝3x,
所以f(log32)＝＝2.
(1)(2021·天津卷)若2a＝5b＝10,则＝(　　)
A.－1 B.lg 7
C.1 D.log710
C
解析　∵2a＝5b＝10,
∴a＝log210,b＝log510,
∴＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且,则a＝　　　　.
64
解析　根据题意有＝－,
即3loga2－＝－,
设t＝loga2(a>1),则t>0,
故3t－＝－,得t＝(t＝－1舍去),
所以loga2＝,所以＝2,所以a＝64.
母题23 (人教A版必修第一册P127T9)我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365;而把(1－1%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.利用计算工具计算并回答下列问题:
(1)一年后“进步”的是“落后”的多少倍
解　≈1 480.7.
∴一年后“进步”的大约是“落后”的1 480.7倍.
(2)大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1 000倍
解　由＝10得＝10,∴x＝lo10＝≈115,
∴大约经过115天“进步”的是“落后”的10倍.
由＝100得＝100,x＝≈230,
∴大约经过230天“进步”的是“落后”的100倍.
由＝1 000得＝1 000,解得x＝≈345,
∴大约经过345天“进步”的是“落后”的1 000倍.
母题24 (湘教版必修第一册P125T11)比较a,b,c的大小.
(1)已知1解　因为1则0＝log21即log2x∈(0,1),
b＝log2x2＝2log2x>(log2x)2＝a,
c＝log2(log2x)综上所述,b>a>c.
(2)已知a＝log36,b＝log510,c＝log714.
解　a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32
＝1＋,
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52＝1＋,
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72＝1＋,
lg 2>lg 1＝0,lg 7>lg 5>lg 3,
则a>b>c.
母题25 (人教A版必修第一册P133例3)比较下列各题中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;
解　(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值.
因为底数2>1,对数函数y＝log2x是增函数,且3.4<8.5,
所以log23.4(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值.
因为底数0.3<1,对数函数y＝log0.3x是减函数,且1.8<2.7,所以log0.31.8>log0.32.7.
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).
解　loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值.
对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是大于0小于1,因此需要对底数a进行讨论.
当a>1时,因为函数y＝logax是增函数,
且5.1<5.9,
所以loga5.1当0所以loga5.1>loga5.9.
(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52,b＝log83,c＝,则下列判断正确的是(　　)
A.cC.a解析　a＝log52＝log82C
母题26 (人教A版必修第一册P134例4)溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH计量的,pH的计算公式为pH＝－lg[H＋],其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升,计算纯净水的pH.
解　(1)根据对数的运算性质,有
pH＝－lg [H＋]＝lg [H＋]－1＝lg.
在(0,＋∞)上,随着[H＋]的增大,减小,相应地,lg 也减小,即pH减小,
所以随着[H＋]的增大,pH减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.
(2)当[H＋]＝10－7时,pH＝－lg 10－7＝7,
所以纯净水的pH是7.
母题27 (人教A版必修第一册P141T10)声强级LI:(单位:dB)由公式LI＝10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为10－12 W/m2,求人听觉的声强级范围;
(2)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2,求其声强级.
解　(1)∵LI＝10lg,
∴令I＝1得,LI＝10lg(1012)＝120,
令I＝10－12得,LI＝10lg 1＝0,
∴人听觉的声强级范围为:[0,120].
(2)∵LI＝10lg,令I＝10－6得,LI＝10lg(106)＝60,
∴其声强级为60.
(1)(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　)
A.2 B.4
C.20 D.40
B
解析　由题意可知klog21.024×109－klog2106＝klog2＝10k＝20,
解得k＝2,
所以2log24.096×109－2log21.024×109＝2log24＝4,
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.
(2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp＝20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
ACD
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　 　)
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
解析　因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],
所以≥,所以p1≥p2,故A正确;
假设p2>10p3,则p01>10p01,
所以1>10,
所以>20,不可能成立,故B不正确;
由Lp＝20×lg,得p＝p01.
因为＝40,
所以p3＝p01＝100p0,故C正确;
因为＝1≥1,
所以p1≤100p2,故D正确.
综上,选ACD.
母题28 (人教A版必修第一册P140T4)函数y＝log2x,y＝log5x,
y＝lg x的图象如图所示.
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么;
(2)以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出y＝lox,y＝lox,y＝lox的图象;
(3)从(2)的图中你发现了什么
解　(1)当底数大于1时,在x＝1的右侧,底数越大,函数图象越靠近x轴,所以①对应函数y＝lg x,②对应函数y＝log5x,③对应函数y＝log2x.
(2)
(3)从(2)的图中发现y＝log2x,y＝log5x,y＝lg x的图象分别与y＝lox,y＝lox,y＝lox的图象关于x轴对称.
母题29 (人教A版必修第一册P141T13)比较下列各题中三个值的大小:
(1)log0.26,log0.36;log0.46;
解　log0.26＝,log0.36＝,log0.46＝.
∵log60.2∴>>,
∴log0.26>log0.36>log0.46.
(2)log23,log34;log45.
解　由log23－log34＝
＝>>＝0,
即有log23－log34>0,
即log23>log34,
同理可得log34>log45,
则log23>log34>log45.
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
B
解析　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m,
所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5,
令m＝2,
则x＝1,y＝3－1＝,z＝5－3＝,
此时x>y>z,A有可能;
令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C有可能;
令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,
此时y>z>x,D有可能.故选B.
(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y,则(　　)
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
A
解析　设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增,
所以f(x)在R上单调递增.
原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y,
即f(x)0,
所以A正确,B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定,所以C,D不正确.
(3)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,则(　　)
A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.aB
解析　由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x,则f(x)在(0,＋∞)上单调递增.
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b),
∴2a＋log2a<22b＋log2(2b),
即f(a)∴a<2b.故选B.
母题30 (湘教版必修第一册P126T18)已知函数f(x)＝loga (a>0且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
解　由>0,可得－4f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x),
故f(x)为奇函数.
(2)判断函数f(x)的单调性.
解　令t(x)＝＝－1＋,
任取－4则t(x1)－t(x2)＝＝>0,
所以t(x1)>t(x2).
当a>1时,f(x1)>f(x2),
即f(x)在(－4,4)上单调递减,
当0即f(x)在(－4,4)上单调递增.
(1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a＝(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
B
解析　法一　设g(x)＝ln,
易知g(x)的定义域为∪,
且g(－x)＝ln＝ln ＝－ln＝－g(x),
所以g(x)为奇函数.
若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,
则y＝x＋a也应为奇函数,
所以a＝0,故选B.
法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,
f(－1)＝(a－1)ln 3,f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3,
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3,
解得a＝0(经检验,此时f(x)为偶函数),故选B.
(2)(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数,则a＝　　　,b＝　　　.
－
ln 2
解析　f(x)＝ln＋b＝ln＋ln eb＝ln.
∵f(x)为奇函数,
∴f(－x)＋f(x)＝ln＝0,
∴＝|1－x2|.
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时,
［(a＋1)2e2b－1］＋(1－a2e2b)x2＝0对任意的x恒成立,
则
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时,
［(a＋1)2e2b＋1］－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立,
则无解.
综上,a＝－,b＝ln 2.
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a,＋∞)单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－1] B.(－∞,2]
C.[2,＋∞) D.[5,＋∞)
D
解析　由x2－4x－5>0,得x<－1或x>5.
令t＝x2－4x－5,则函数t＝x2－4x－5在(－∞,－1)单调递减,在(5,＋∞)单调递增,函数y＝lg t为增函数,
故要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a,＋∞)单调递增,则有(a,＋∞) (5,＋∞),
即a≥5.故选D.
母题31 (人教A版必修第一册P155习题4.5T2)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064
函数y＝f(x)在哪几个区间内一定有零点 为什么
解　∵函数f(x)的图象是连续不断的,
又f(2)>0,f(3)<0.
∴由f(2)·f(3)<0可知,函数f(x)在区间(2,3)内有零点,
∵f(4)>0,f(3)·f(4)<0,
∴函数f(x)在区间(3,4)内有零点.
∵f(4)·f(5)<0,
∴函数f(x)在区间(4,5)内有零点.
故函数y＝f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点.
(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A.(0,0.3) B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1) D.(1,2)
解析　易知f(x)单调递减,
又f(0)＝1>0,
f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0,
f(0.5)＝0.30.5－<0,
所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5),
故选B.
B
母题32 (人教A版必修第一册P156T13)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围”,某同学给出了如下解答:
由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)<0,解得－所以实数a的取值范围是.
上述解答正确吗 若不正确,请说明理由,并给出正确的解答.
解　不正确.因为该同学只考虑了函数在(－1,1)内存在零点,而没有考虑只有一个零点,正确解法如下:
(1)当a＝0时,f(x)＝4x－1＝0,
得x＝∈(－1,1),故a＝0满足;
(2)当a≠0时,
①f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)<0,
得－②由Δ＝42＋4×24a＝0,得a＝－,
此时由f(x)＝－4x2＋4x－1＝0,得x1＝x2＝∈(－1,1),满足题意;
③若f(－1)＝0,则a＝,f(x)＝5x2＋4x－1,可得x1＝,x2＝－1,满足题意;
若f(1)＝0,则a＝－＝－,f(x)＝－3x2＋4x－1,可得x1＝,x2＝1,满足题意,
综上,满足题意的实数a的取值范围是∪.
母题33 (人教A版必修第一册P160T4)已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k(k<0)的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围.
解　画出f(x)的图象与直线y＝k,如图.
由图象可知,
当k<－4时,f(x)＝k有1个解;
当k＝－4或－3当－4母题34 (人教A版必修第一册P160T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x,g(x)＝log2x＋x,h(x)＝x3＋x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(　　)
A.a>b>c　 B.b>c>a　 C.c>a>b　 D.b>a>c
解析　由f(x)＝2x＋x＝0可得2x＝－x;
由g(x)＝log2x＋x＝0可得log2x＝－x;
由h(x)＝x3＋x＝0可得x3＝－x.
在同一平面直角坐标系中画出y＝2x、y＝log2x、
y＝x3、y＝－x的图象如图所示:
由图象可知,a<0,b>0,c＝0,则b>c>a.
B
(1)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(－1,1) 　　　　B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)
C.(0,1) 　　　　D.(－∞,0)∪(1,＋∞)
D
解析　不等式f(x)>0,即2x>x＋1,
由于函数y＝2x和直线y＝x＋1的图象都经过点(0,1)和(1,2),如图所示,由图可知,不等式f(x)>0的解集是(－∞,0)∪(1,＋∞).
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
[2,3)
解析　法一　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,
即cos ωx＝1在区间[0,2π]有且仅有3个根,
因为ω>0,x∈[0,2π],
所以ωx∈[0,2ωπ],
则由余弦函数的图象可知,4π≤2ωπ<6π,
解得2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).
法二　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx＝1在区间[0,2π]有且仅有3个根,
根据函数y＝cos x在[0,2π]上的图象可知cos x＝1在区间[0,2π]有2个根,
所以若cos ωx＝1在区间[0,2π]有且仅有3个根,
则函数y＝cos ωx在[0,2π]内至少包含2个周期,但小于3个周期,
即
又ω>0,所以2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).
母题35 (人教A版必修第一册P160T6)设f(x)＝,g(x)＝,求证:
(1)[g(x)]2－[f(x)]2＝1;
(2)f(2x)＝2f(x)g(x);
证明　(1)因为[g(x)]2－[f(x)]2＝
＝＝1,
所以[g(x)]2－[f(x)]2＝1.
(2)因为2f(x)·g(x)＝2··＝f(2x),
所以f(2x)＝2f(x)·g(x).
(3)g(2x)＝[g(x)]2＋[f(x)]2.
证明　因为[g(x)]2＋[f(x)]2
＝
＝
＝＝g(2x),
所以g(2x)＝[g(x)]2＋[f(x)]2.
母题36 (人教A版必修第一册P161T12)对于函数f(x)＝a－(a∈R).
(1)探索函数f(x)的单调性;
解　法一(直接判断法)　因为函数y＝2x＋1在R上是增函数,又2x＋1>0,
所以y1＝在R上是减函数,
所以y2＝－在R上是增函数,
所以函数f(x)＝a－在R上是增函数.
法二(定义法)　f(x)＝a－(a∈R)的定义域为R,
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)－f(x2)＝,
因为x1又＋1>0,＋1>0,
所以f(x1)－f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在R上是增函数.
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数
解　法一(定义法)　因为f(x)＝a－(a∈R)的定义域为R,
要使f(x)为奇函数,则f(－x)＝－f(x)在R上恒成立,
即a－＝－a＋,
所以2a＝＝2,所以a＝1,
所以存在实数a＝1,使函数f(x)为奇函数.
法二(特殊值法)　由于f(x)是奇函数,x∈R,
故f(0)＝a－＝0,解得a＝1,
则f(x)＝1－,经验证f(x)是奇函数.
故存在实数a＝1,使函数f(x)为奇函数.
(1)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝.记a＝f,b＝f,c＝f,则(　　)
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
A
解析　函数f(x)＝是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的函数,
y＝eu为R上的增函数,u＝－(x－1)2在(－∞,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,
所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(－∞,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减.
易知f(x)的图象关于直线x＝1对称,
所以c＝f＝f,
又<2－<<1,
所以f所以b>c>a,故选A.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－2] B.[－2,0)
C.(0,2] D.[2,＋∞)
D
解析　法一　由题意得y＝x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,所以x＝≥1,
解得a≥2,故选D.
法二　取a＝3,则y＝x(x－3)＝在(0,1)上单调递减,
所以f(x)＝2x(x－3)在(0,1)上单调递减,
所以a＝3符合题意,排除A,B,C,故选D.
母题37 (湘教版必修第一册P154T26)设min{m,n}表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)＝x2＋8x＋14,g(x)＝min(x>0),若 x1∈[－5,a](a≥－4), x2∈(0,＋∞),使得f(x1)＝g(x2)成立,求a的最大值.
解　由＝log2(4x),解得x＝1,
当0当x>1时,∴g(x)＝min(x>0)＝
∴当0当x>1时,g(x)值域为(0,2),
∴g(x)的值域为(－∞,2].
∵f(x)＝x2＋8x＋14＝(x＋4)2－2,其对称轴为x＝－4,
∴f(x)在[－5,－4]上单调递减,在(－4,a]上单调递增.
∵f(－5)＝－1,f(a)＝a2＋8a＋14,
∴当－4≤a≤－3时,函数f(x)的值域为 [－2,－1];
当a>－3时,函数f(x)的值域为 [－2,a2＋8a＋14].
∵ x1∈[－5,a](a≥－4), x2∈(0,＋∞),使得f(x1)＝g(x2)成立,
∴a2＋8a＋14≤2,
解得－6≤a≤－2,∴－3综上所述a的范围为[－4,－2],
∴a的最大值为－2.第二章　函　数
探究1 (人教A版必修第一册P77)(1)设A是区间D上某些自变量的值组成的集合,而且 x1,x2∈A,当x1提示:(1)不能.例如函数y＝x2,当x1,x2∈(0,＋∞),x1(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗
提示: (2)函数f(x)＝x在(－∞,＋∞)上单调递增;函数f(x)＝x2在区间(－∞,0)上单调递减,在区间(0,＋∞)上单调递增.
探究2 (北师大版必修第一册P62)对于函数f(x)＝,(－∞,0)和(0,＋∞)都是它的单调区间,并且函数f(x)＝在这两个区间上都单调递减,那么能否说函数f(x)＝在整个定义域上是减函数
提示:不能说函数f(x)＝在整个定义域上是减函数.理由如下:
函数f(x)＝的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),在定义域区间取x1＝－1,x2＝1,满足x1探究3 (人教A版必修第一册P85)(1)判断函数f(x)＝x3＋x的奇偶性.
(2)如图是函数f(x)＝x3＋x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗
(3)一般地,如果知道y＝f(x)为偶(奇)函数,那么我们可以怎样简化对它的研究
提示:(1)函数f(x)＝x3＋x的定义域为R,对 x∈R,f(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)由奇函数的图象关于原点对称,可画出y轴左边的图象,如图所示.
(3)我们可以根据它的对称性,先研究x>0时函数的性质,再对x<0时的函数进行对比讨论.
探究4 (人教A版必修第一册P117)选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗
提示:如图,选取底数a的若干值,发现指数函数y＝ax的图象按底数a的取值,可分为01两种类型.因此,指数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.
一般地,指数函数的图象和性质如表所示.
01
图象
定义域 R
值域 (0,＋∞)
性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1
减函数 增函数
探究5 (人教A版必修第一册P132)选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗
提示:如图,选取底数a的若干值,发现对数函数y＝logax的图象按底数a的取值,可分为01两种类型.因此,对数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.
一般地,对数函数的图象和性质如表所示.
01
图象
定义域 (0,＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x＝1时,y＝0
减函数 增函数
探究6 (人教A版必修第一册P132)我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如y＝log2x和y＝lox,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象
提示:利用换底公式,可以得到y＝lox＝－log2x.因为点(x,y)与点(x,－y)关于x轴对称,所以y＝log2x图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点P1(x,－y)都在y＝lox的图象上,反之亦然.由此可知,底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性,就可以利用y＝log2x的图象画出y＝lox的图象.
探究7 (人教A版必修第一册P135)互为反函数的两个函数图象间的关系.
我们知道,指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象是否有关系 有什么关系呢 下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!
(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y＝2x及其反函数y＝log2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗
(2)取y＝2x图象上的几个点,如P1,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y＝x的对称点的坐标是什么 它们在y＝log2x的图象上吗 为什么
(3)如果点P0(x0,y0)在函数y＝2x的图象上,那么P0关于直线y＝x的对称点在函数y＝log2x的图象上吗 为什么
(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论
(5)上述结论对于指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)及其反函数y＝logax(a>0,且a≠1)也成立吗 为什么
提示:(1)两个函数的图象关于直线y＝x对称.
(2)P1,P2,P3关于直线y＝x的对称点的坐标分别是,(1,0),(2,1),都在y＝log2x的图象上,因为它们都满足其解析式.
(3)P0(x0,y0)关于直线y＝x的对称点P0'(y0,x0)在y＝log2x的图象上.理由如下:因为由P0(x0,y0)在y＝2x的图象上可得
y0＝,从而x0＝log2y0,故P0'(y0,x0)在y＝log2x的图象上.
(4)y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.
(5)成立,理由如下:设点P(x0,y0)在函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象上,则y0＝,又logay0＝loga＝x0,所以点P关于y＝x的对称点(y0,x0)在y＝logax的图象上,所以二者的图象关于直线y＝x对称.
1.几个重要函数的奇偶性
(1)(人教A版必修第一册P161T11,湘教版必修第一册P126T19拓展)f(x)＝loga[(m＋nx)·(m－nx)](a>0,且a≠1,mn≠0)为偶函数;g(x)＝loga(a>0,且a≠1,mn≠0)为奇函数.
证明　由题意得x∈,
∵f(－x)＝loga(m2－n2x2)＝f(x),
∴f(x)为偶函数.
∵g(－x)＋g(x)＝loga＋loga＝loga1＝0,
∴g(－x)＝－g(x),即g(x)为奇函数.
(2)(湘教版必修第一册P84T4拓展)g(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数,h(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数.
证明　因为g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x),
所以g(x)为偶函数.
因为h(－x)＝f(－x)－f(x)＝－h(x),
所以h(x)为奇函数.
(3)(人教B版必修第二册P53T6,北师大版必修第一册P94T8拓展)f1(x)＝为奇函数,f2(x)＝为奇函数,g1(x)＝为奇函数,g2(x)＝为奇函数,其中a>0,且a≠1.
证明　f1(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f1(－x)＝＝－f1(x),故f1(x)为奇函数;
同理可证f2(x)为奇函数;
g1(x)＝
＝f2(x),
故g1(x)为奇函数;
同理可证g2(x)为奇函数.
(4)(人教B版必修第二册P54T2拓展)f(x)＝loga(＋bx)(a>0,且a≠1)为奇函数,g(x)＝loga(－bx)(a>0,且a≠1)为奇函数.
证明　由题易得x∈R,
f(－x)＋f(x)＝loga(－bx)＋loga(＋bx)
＝loga(1＋b2x2－b2x2)
＝loga1＝0,
故f(x)为奇函数,
同理可证g(x)也为奇函数.
(5)(人教B版必修第二册P53T9拓展)f(x)＝loga(amx＋1)－x(a>0,且a≠1)为偶函数.
证明　∵f(x)＝loga(amx＋1)－loga
＝loga＝loga(),x∈R,
∴f(－x)＝loga()＝f(x),
∴f(x)为偶函数.
【应用示例】 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　)
(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在单调递增
B.是奇函数,且在单调递减
C.是偶函数,且在单调递增
D.是奇函数,且在单调递减
(3)函数f(x)＝ln(ex＋1)－(　　)
A.是偶函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增
B.是偶函数,且在区间(0,＋∞)上单调递减
C.是奇函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增
D.既不是奇函数,也不是偶函数
(4)已知函数f(x)＝ln(＋ax)是定义在R上的奇函数,则实数a的值是(　　)
A.1 B.±1
C.2 D.±2
(5)(2025·北京卷)关于定义域为R的函数f(x),给出下列四个结论:
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立;
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立;
③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个;
④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
其中正确结论的序号是　　　　.
答案　(1)B　(2)D　(3)A　(4)B　(5)②③
解析　(1)由题知x∈[－2.8,2.8],关于原点对称,f(－x)＝－(－x)2＋
(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x),
所以函数f(x)为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,C;
f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋>0,排除D.故选B.
(2)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x),
∴f(x)为奇函数,故排除A,C.
又当x∈时,
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)
＝ln ＝ln ＝ln ,
∵y＝1＋上单调递减,由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减.故选D.
(3)∵f(x)的定义域为R,f(－x)＝ln(e－x＋1)＋＝ln(ex＋1)－x＋＝ln(ex＋1)－＝f(x),
∴f(x)为偶函数;
当x>0时,f'(x)＝>0,
∴f(x)在区间(0,＋∞)上单调递增.
(4)f(－x)＝ln(－ax),由函数f(x)＝ln(＋ax)是定义在R上的奇函数,
则有f(x)＋f(－x)＝ln(＋ax)＋ln(－ax)＝ln(x2＋1－a2x2)＝0,
即x2＋1－a2x2＝1,即a＝±1.
(5)对于①,若存在R上的增函数f(x),满足f(x)＋f(2x)＝－x,
则f(1)＋f(2×1)＝－1, f＋f＝－,
所以f(2)－f＝－<0,
即f(2)f矛盾,故①错误;
对于②,取得f(x)＝－x,该函数为R上的减函数且f(x)＋f(2x)＝－x,
故该函数符合,故②正确;
对于③,取f(x)＝cos x＋mx,m∈R,
此时f(x)＋f(－x)＝cos x,由m∈R可得f(x)有无穷多个,故③正确;
对于④,若存在f(x),使得f(x)－f(－x)＝cos x,
则f(0)－f(－0)＝cos 0,即0＝cos 0,与cos 0＝1,矛盾,④错误.
2.(人教A版必修第一册P101T8,人教B版必修第二册P14习题4－1CT2、P30习题4－2CT2拓展)函数的凹凸性:
(1)若f(x)＝ax(a>0,且a≠1),则≥f,
即f(x)为下凸函数.
(2)若g(x)＝logax(a>0,且a≠1),则当a>1时,≤g,即g(x)为上凸函数;当0证明　(1)∵－f
＝
＝≥0,
∴≥f,
当且仅当x1＝x2时取“＝”,即f(x)为下凸函数.
(2)∵＝loga,
g＝loga,
又≥(当且仅当x1＝x2时取“＝”),
∴当a>1时,loga≥loga,
即g≥,
即g(x)为上凸函数.
当0即g≤,
即g(x)为下凸函数.
【应用示例】 若任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f>[f(x1)＋f(x2)]成立,则称f(x)是[a,b]上的凸函数,下列函数中,是凸函数的为(　　)
A.y＝x,x∈[0,2] B.y＝x2,x∈[0,2]
C.y＝x2－x,x∈[－2,1] D.y＝2－x2,x∈[0,2]
答案　D
解析　依题意, x1,x2∈[0,2],且x1≠x2,
对于A,令g(x)＝x,
则g[g(x1)＋g(x2)]＝x1－x2＝0,A不是;
对于B,令h(x)＝x2,
则h[h(x1)＋h(x2)]＝＝－<0,B不是;
对于D,令φ(x)＝2－x2,则φ[φ(x1)＋φ(x2)]＝－>0,D是;
对于C, x1,x2∈[－2,1],且x1≠x2,令u(x)＝x2－x,
则u[u(x1)＋u(x2)]
＝
＝－<0,C不是.
3.(人教A版必修第一册P101T9拓展)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(1)已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递减,那么它在[－b,－a]上也单调递减.
(2)已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递增,那么它在[－b,－a]上也单调递增.
(3)已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递减,那么 它在[－b,－a]上单调递增.
(4)已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递增,那么它在[－b,－a]上单调递减.
证明　(1)任取－b≤x1≤x2≤－a,则a≤－x2≤－x1≤b,
因为f(x)在[a,b]上单调递减,
所以f(－x2)>f(－x1),
又因为f(x)为奇函数,所以－f(x2)>－f(x1),
即f(x2)所以f(x)在[－b,－a]上单调递减,同理可证(2).
(3)任取－b≤x1因为g(x)在[a,b]上单调递减,
所以g(－x2)>g(－x1),
又因为g(x)为偶函数,所以g(x2)>g(x1),
所以g(x)在[－b,－a]上单调递增.
同理可证(4).
【应用示例】 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)－x,若f(a－1)≤f(2a＋1)成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞,－2]
B.(－∞,－2]∪[0,＋∞)
C.
D.(－∞,－2]∪
答案　B
解析　因为f(x)＝log4＝log4(2x＋2－x),x∈R,
所以f(－x)＝f(x),即f(x)为偶函数.
对函数y＝2x＋2－x,x∈(0,＋∞),
则y'＝2xln 2＋2－x(－ln 2)＝(2x－2－x)ln 2,
因为x∈(0,＋∞),
所以2x>1,0<2－x<1,
所以2x－2－x>0,
故y'>0在(0,＋∞)上恒成立.
所以函数y＝2x＋2－x在(0,＋∞)上单调递增,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增.
所以f(a－1)≤f(2a＋1) |a－1|≤|2a＋1|,
所以a2－2a＋1≤4a2＋4a＋1 3a2＋6a≥0,
解得a≥0或a≤－2.
4.(人教A版必修第一册P127T2(2),苏教版必修第一册P165T14拓展)已知f(x)＝|logax|,若f(x1)＝f(x2),且x1≠x1,则x1x2＝1.
证明　不妨设a>1,x1∵f(x1)＝f(x2),
∴|logax1|＝|logax2|,
即－logax1＝logax2,loga(x1x2)＝0＝loga1,
∴x1x2＝1.
【应用示例】 (多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且满足x1A.0B.2x1＋x2∈[2,3)
C.x1＋x2＋x3＋x4∈
D.x1x2x3x4∈(3e2,4e2)
答案　ACD
解析　作出函数y＝f(x)的图象,再作出直线y＝a,如图,由－ln x1＝ln x2得x1x2＝1,由对称性得x3＋x4＝4e,且12x1＋x2＝＋x2≥2,当且仅当x2＝时等号成立,当x2＝1时,x1＝1,所以2x1＋x2＝3,x2＝e时,x1＝,所以2x1＋x2＝＋e>3,因此由对勾函数性质可得2x1＋x2∈,B错误;
同理由对勾函数性质得x1＋x2＝x2＋∈,因此x1＋x2＋x3＋x4∈,C正确;
因为x3∈(e,2e),则x1x2x3x4＝x3(4e－x3)＝－(x3－2e)2＋4e2∈(3e2,4e2),D正确.
故选ACD.
5.几个常见对称性的结论
(1)(人教B版必修第一册P113例5拓展)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 f(a＋x)＝f(b－x).
证明　先证充分性
设点A(x0,y0)是函数y＝f(x)图象上任意一点,点A关于直线x＝的对称点A'(a＋b－x0,y0)也在y＝f(x)图象上,y0＝f(a＋b－x0)＝f(x0),把x0换成x0＋a得f(b－x0)＝f(a＋x0).
再证必要性
设点A(x0,y0)是y＝f(x)图象上任意一点,则y0＝f(x0).
因为f(a＋x)＝f(b－x),
所以f(a＋x0)＝f(b－x0),
把x0换成x0－a,得f(x0)＝f(b＋a－x0)＝y0,
即点A'(b＋a－x0,y0)也在y＝f(x)图象上,而点A与点A'关于直线x＝对称,所以得证.
特别地,函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a＋x)＝f(a－x).
(2)(人教A版必修第一册P87T13拓展)函数y＝f(x)的图象关于点P对称 f(a＋x)＋f(m－x)＝2b.
证明　先证充分性
设点A(x0,y0)是函数y＝f(x)图象上任意一点,因为点A(x0,y0)关于P的对称点A'(a＋m－x0,2b－y0)也在y＝f(x)的图象上,
所以y0＝f(x0),2b－y0＝f(a＋m－x0),
即f(x0)＋f(a＋m－x0)＝2b,
把x0换成x0＋a,
得f(a＋x0)＋f(m－x0)＝2b.
再证必要性
设点A(x0,y0)是y＝f(x)图象上任意一点,
则y0＝f(x0),
因为f(a＋x)＋f(m－x)＝2b,
所以f(a＋x0)＋f(m－x0)＝2b,
把x0换成x0－a,
得f(x0)＋f(a＋m－x0)＝2b,
即f(a＋m－x0)＝2b－y0,
所以点A'(a＋m－x0,2b－y0)也在y＝f(x)的图象上,而点A与点A'关于点P对称,
所以得证.
特别地,函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(x)＋f(2a－x)＝2b.
(3)点对称、轴对称的几个推论
①已知函数f(x)图象关于直线x＝a和直线x＝b对称,则函数f(x)的周期为2|b－a|(b≠a).
②已知函数f(x)图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为2|b－a|(b≠a).
③已知函数f(x)图象关于点(a,0)对称且关于直线x＝b对称,则函数f(x)的周期为4|b－a|(b≠a).
④f(x)为可导函数,f(x)图象关于直线x＝a对称 f'(x)图象关于点(a,0)对称.
⑤f(x)为可导函数,f(x)图象关于点(a,f(a))对称 f'(x)图象关于直线x＝a对称.
证明　①因为函数f(x)图象关于直线x＝a和直线x＝b对称,
所以
所以
所以f(x＋2b－2a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为2|b－a|的周期函数.
②因为函数f(x)图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,
所以
所以
所以f(x＋2b－2a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为2|b－a|的周期函数.
③因为函数f(x)图象关于点(a,0)中心对称且关于直线x＝b对称,
所以
所以
所以f(x)＋f(2b－2a＋x)＝0,
所以f(x)＋f(2b－2a＋x)＝f(2b－2a＋x)＋f(4b－4a＋x)＝0,
所以f(x＋4b－4a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为4|b－a|的周期函数.
④充分性
f(2a－x)＝f(x) －f'(2a－x)＝f'(x) f'(x)＋f'(2a－x)＝0 f'(x)图象关于(a,0)对称.
必要性
f'(x)图象关于(a,0)对称 f'(x)＋f'(2a－x)＝0,
令F(x)＝f(x)－f(2a－x),
F'(x)＝f'(x)＋f'(2a－x)＝0,
F(x)＝c(c为常数),
F(a)＝f(a)－f(a)＝0,
∴c＝0,
∴F(x)＝0 f(x)＝f(2a－x) f(x)图象关于x＝a对称.
⑤充分性
f(2a－x)＋f(x)＝2f(a),
－f'(2a－x)＋f'(x)＝0,
即f'(x)＝f'(2a－x) f'(x)图象关于x＝a对称.
必要性
f'(x)图象关于x＝a对称 f'(x)＝f'(2a－x),
令F(x)＝f(2a－x)＋f(x)－2f(a),
F'(x)＝f'(x)－f'(2a－x)＝0,
F(x)＝c(c为常数),
F(a)＝2f(a)－2f(a)＝0,∴c＝0,
∴f(2a－x)＋f(x)＝2f(a),
∴f(x)图象关于(a,f(a))对称.
【应用示例】 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋2)为偶函数,f(2x＋1)为奇函数,则(　　)
A.f＝0 B.f(－1)＝0
C.f(2)＝0 D.f(4)＝0
(2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)＋g(2－x)＝5,g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称,g(2)＝4,则f(k)＝(　　)
A.－21 B.－22
C.－23 D.－24
(3)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)＝f'(x).若f,g(2＋x)均为偶函数,则(　　)
A.f(0)＝0 B.g＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
答案　(1)B　(2)D　(3)BC
解析　(1)因为函数f(x＋2)为偶函数,则f(2＋x)＝f(2－x),可得f(x＋3)＝f(1－x).
因为函数f(2x＋1)为奇函数,
则f(1－2x)＝－f(2x＋1),
所以f(1－x)＝－f(x＋1),
所以f(x＋3)＝－f(x＋1),
即f(x＋1)＝－f(x－1),
所以f(x＋3)＝f(x－1),
即f(x)＝f(x＋4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数.
因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数,
则F(0)＝f(1)＝0,故f(－1)＝－f(1)＝0.
(2)由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称,
可得g(2＋x)＝g(2－x).
在f(x)＋g(2－x)＝5中,用－x替换x,
可得f(－x)＋g(2＋x)＝5,
可得f(－x)＝f(x).
在g(x)－f(x－4)＝7中,用2－x替换x,得g(2－x)＝f(－x－2)＋7,
代入f(x)＋g(2－x)＝5中,
得f(x)＋f(－x－2)＝－2,
可得f(x)＋f(x＋2)＝－2,
所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2,
所以f(x＋4)＝f(x),
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5,
又g(2)＝4,所以可得f(0)＝1,
又f(x)＋f(x＋2)＝－2,
所以f(0)＋f(2)＝－2,
f(－1)＋f(1)＝－2,
得f(2)＝－3,f(1)＝f(－1)＝－1,
又f(3)＝f(－1)＝－1,f(4)＝f(0)＝1,
所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
(3)法一　(转化法)因为f,g(2＋x)均为偶函数,
所以f＝f,
即f＝f,
g(2＋x)＝g(2－x),
所以f(3－x)＝f(x),g(4－x)＝g(x),
则f(－1)＝f(4),故C正确;
函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x＝,x＝2对称,
又g(x)＝f'(x),且函数f(x)可导,
所以g()＝0,g(3－x)＝－g(x),
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x),
所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x),
所以g＝g＝0,
g(－1)＝g(1)＝－g(2),故B正确,D错误;
若函数f(x)满足题设条件,
则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件,
所以无法确定f(0)的函数值,故A错误.
法二　(特例法)因为f,g(2＋x)均为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称,函数g(x)的图象关于直线x＝2对称.取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R),则f(0)＝1,排除A;
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx,则f'(x)＝πcos πx,即g(x)＝πcos πx,
所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π,g(2)＝πcos 2π＝π,所以g(－1)≠g(2),排除D.故选BC.
(4)(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形.
证明　f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3
＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a
＝－f(x)＋2a,
即f(x)＋f(2－x)＝2a,
故曲线y＝f(x)关于点(1,a)中心对称.
1.通过阅读《阅读与思考——函数概念的发展历程》(人教A版必修第一册P75)和《数学文化——函数概念的形成与发展》(湘教版必修第一册P87),可从中提炼出如下结论:
(1)狄利克雷函数D(x)＝具有如下性质:
①定义域:R;值域:{0,1}.
②奇偶性:偶函数.
③周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期.
④无法画出函数的图象,但其图象客观存在.
(2)高斯函数:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]＝3,[－2.1]＝－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y＝[x]称为高斯函数,又称取整函数.
具有如下性质:
①定义域:R,值域:Z.
②不具有单调性、奇偶性和周期性,其图象为:
【应用示例】 (1)狄利克雷(1805~1859)是德国数学家,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解决数论的创始人之一.1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数D(x)＝下列叙述中错误的是(　　)
A.D(x)是偶函数 B.D(x＋)＝D(x)
C.D(D(x))＝1 D.D(x)是周期函数
(2)(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数.例如:[－2.1]＝－3,[3.1]＝3.已知函数f(x)＝,则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　(1)B　(2)BC
解析　(1)由题意,函数D(x)＝
对于A中,当x为有理数时,则－x也为有理数,满足D(－x)＝D(x)＝1;
当x为无理数时,则－x为无理数时,满足D(－x)＝D(x)＝0,
所以函数D(x)为偶函数,所以A正确;
对于B中,例如:当x＝1时,则1＋也为无理数,满足D(1)＝1,D(1＋)＝0;
可得D(1)≠D(1＋),所以B不正确;
对于C中,当x为有理数时,可得D(x)＝1,
则D(D(x))＝1,
当x为无理数时,可得D(x)＝0,
则D(D(x))＝1,
所以D(D(x))＝1,所以C正确;
对于D中,当x为有理数时,则x＋1也为有理数,满足D(x)＝D(x＋1)＝1;
当x为无理数时,则x＋1也为无理数,满足D(x)＝D(x＋1)＝0,
所以D(x＋1)＝D(x)成立,
所以D正确.故选B.
(2)f(x)＝＝1＋,
∵2x>0,∴1＋2x>1,∴0<<1,
则0<<2,
∴1<1＋<3,即1当1当2≤f(x)<3时,[f(x)]＝2.
综上,函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}.
故选BC.
2.通过阅读《探究与发现——探究函数y＝x＋的图象与性质》(人教A版必修第一册P92),可提炼出如下结论:
(1)对勾函数的定义
形如f(x)＝ax＋(a>0,b>0)的函数,其图象如图所示,是关于原点对称的对勾,故函数称为对勾函数.
(2)对勾函数的基本性质
①定义域:x∈(－∞,0)∪(0,＋∞).
②奇偶性:奇函数.
③单调性:当x∈时,函数f(x)单调递增;当x∈时,函数f(x)单调递减;当x∈时,函数f(x)单调递减;当x∈时,函数f(x)单调递增.
④极值:极大值f＝－2;极小值f＝2.
⑤最值:函数在定义域上无最值,在区间(－∞,0)上,f(x)有最大值f＝－2;在区间(0,＋∞)上,f(x)有最小值f＝2.
⑥零点积问题
已知f(x)＝ax＋(a,b>0),若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2),则x1·x2为定值.
证明　不妨设f(x1)＝f(x2)＝m,则x1,x2是方程ax＋＝m,即ax2－mx＋b＝0的两实根,故x1·x2＝.
引申:已知f(x)＝ax－(a,b>0),若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2),则x1·x2＝－.
证明　不妨设f(x1)＝f(x2)＝m,则x1,x2是方程ax－＝m,即ax2－mx－b＝0的两实根,故x1·x2＝－.
【应用示例】 (1)已知函数f(x)＝－4x－8－,x∈[0,1],g(x)＝x2－4mx－2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)＝g(x2)成立,则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C.[1,2] D.
(2)已知a>b>0,a＋＝b＋,则的最小值为　　　　.
答案　(1)D　(2)4
解析　(1)f(x)＝－4x－8－＝－4(x－2)－－16,x∈[0,1],
∵x∈[0,1],∴x－2∈[－2,－1],
设t＝x－2,则t∈[－2,－1],
则函数f(x)等价为y＝－4t－－16,
由对勾函数的单调性可得,
t∈时,y＝－4t－－16单调递减,
t∈时,y＝－4t－－16单调递增,
当t＝－时,函数取得最小值,
ymin＝－4×－16＝6＋6－16＝－4,
当t＝－2时,y＝8－－16＝－,
当t＝－1时,y＝4＋9－16＝－3,
设函数f(x)的值域为M,则函数f(x)的值域M＝[－4,－3];
由g(x)＝x2－4mx－2m(m≥1),
∴g(x)在[0,1]上是减函数,
则最大值为g(0)＝－2m,
最小值g(1)＝1－4m－2m＝1－6m(m≥1),
设g(x)的值域为N,
则N＝[1－6m,－2m].
若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],
使得f(x1)＝g(x2)成立,则等价为M N,
即解得1≤m≤,
所以实数m的取值范围是.
(2)令f(x)＝x＋,f(a)＝f(b)＝m,则a,b是x＋＝m,即x2－mx＋1＝0的两实根,故ab＝1,所以≥2＝4,当且仅当且ab＝1,即a＝,b＝时,等号成立.
3.通过阅读 《信息技术应用——探究指数函数的性质》(人教A版必修第一册P120),可提炼出如下结论:
(1)当x>0时,a的值越大,y＝ax的值越大(底大图高);当x<0时,a的值越大,y＝ax的值越小(底大图低).
(2)幂函数y＝xα的图象,对于一个x的值,当x>1时,α越大,y＝xα越大(指大图高);当0【应用示例】 设幂函数y＝,y＝,y＝,指数函数y＝,y＝,y＝,y＝,对数函数y＝lox,y＝lox,y＝lox,y＝lox在同一坐标系中的图象如图所示,则它们之间的大小关系错误的是(　　)
A.c1<0B.0C.0D.0答案　C
解析　对于A,要判断的是幂函数y＝xα的图象,根据y＝、y＝、y＝的图象可以判断c1<0对于B,要判断的是指数函数y＝ax的图象,作出x＝1,看交点,交点越高,底数越大,所以0对于C,D,要判断的是对数函数y＝logax的图象,作出y＝1,看交点,交点越往右,底数越大,所以0母题1 (人教A版必修第一册P66例3)下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数
(1)y＝()2;(2)u＝;
(3)y＝;(4)m＝.
解　(1)y＝()2＝x(x∈{x|x≥0}),
它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数.
(2)u＝＝v(v∈R),它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同,
所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数.
(3)y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R,
但是当x<0时,它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同,所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数.
(4)m＝＝n(n∈{n|n≠0}),它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同,但定义域不相同,
所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数.
母题2 (人教A版必修第一册P68例5)画出函数y＝|x|的图象.
解　由绝对值的概念,我们有y＝
所以函数y＝|x|的图象如图所示.
母题3 (人教A版必修第一册P69T2)画出函数y＝|x－2|的图象.
解　由绝对值的概念,我们有
y＝
所以函数y＝|x－2|的图象如图所示.
母题4 (人教A版必修第一册P68例6)给定函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,x∈R,
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象;
(2) x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)＝max{f(x),g(x)}.
例如,当x＝2时,M(2)＝max{f(2),g(2)}＝max{3,9}＝9.
请分别用图象法和解析法表示函数M(x).
解　(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象(图1).
(2)由图1中函数取值的情况,结合函数M(x)的定义,可得函数M(x)的图象(图2).
由(x＋1)2＝x＋1,得x(x＋1)＝0,
解得x＝－1,或x＝0.
结合图2,得出函数M(x)的解析式为
M(x)＝
母题5 (人教A版必修第一册P69T3)给定函数f(x)＝－x＋1,g(x)＝(x－1)2,x∈R,
(1)画出函数f(x),g(x)的图象;
(2) x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)＝min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
解　(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象(图1).
(2)由图1中函数取值的情况,结合函数m(x)的定义,可得函数m(x)的图象(图2).
由(x－1)2＝－x＋1,得x(x－1)＝0,
解得x＝0,或x＝1.
结合图2,得出函数m(x)的解析式为
m(x)＝
(2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)＝min{|x|－2,x2－ax＋3a－5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.
答案　[10,＋∞)
解析　设g(x)＝|x|－2,h(x)＝x2－ax＋3a－5,
∵g(x)有2个零点,f(x)至少有3个零点,
∴h(x)必有零点.
对于h(x)＝x2－ax＋3a－5.
(1)当Δ＝0时,a＝2或10.
①当a＝2时,h(x)＝x2－2x＋1,如图1.
此时,f(x)＝|x|－2,有2个零点,不符合题意.
②当a＝10时,h(x)＝x2－10x＋25,如图2.
此时,f(x)有3个零点,符合题意.
(2)当Δ>0时,a<2或a>10.
设h(x)的两个零点为x1,x2,且x1①当a<2时,要使f(x)至少有3个零点,h(x)的两个零点x1,x2需满足x1∴∴不等式组无解.
②当a>10时,要使f(x)至少有3个零点,需h(x)的两个零点x1,x2满足2≤x1∴解得a>4,∴a>10.
综上,a的取值范围为[10,＋∞).
母题6 (人教A版必修第一册P72习题3.1T1)求下列函数的定义域:
(1)f(x)＝;(2)f(x)＝;
(3)f(x)＝;(4)f(x)＝.
解　(1){x|x≠4};(2)R;(3){x|x≠1,且x≠2};(4){x|x≤4,且x≠1}.
(2022·北京卷)函数f(x)＝的定义域是　　　　.
答案　(－∞,0)∪(0,1]
解析　因为f(x)＝,
所以
即x∈(－∞,0)∪(0,1].
母题7 (湘教版必修第一册P78T16)设函数sign(x)的定义为sign(x)＝
(1)画出该函数的图象;
(2)探索利用函数sign(x)把分段函数写成一个解析表达式的方法.
解　(1)由题意,函数sign(x)＝
可得函数sign(x)的图象,如图所示.
(2)若分段函数的表达式为f(x)＝
则可改写为f(x)＝h(x)sign(x).
母题8 (人教A版必修第一册P84例6)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)＝x4;(2)f(x)＝x5;
(3)f(x)＝x＋;(4)f(x)＝.
解　(1)函数f(x)＝x4的定义域为R.
因为 x∈R,都有－x∈R,且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x),
所以函数f(x)＝x4为偶函数.
(2)函数f(x)＝x5的定义域为R.
因为 x∈R,都有－x∈R,且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x),
所以函数f(x)＝x5为奇函数.
(3)函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}.
因为 x∈{x|x≠0},都有－x∈{x|x≠0},且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x),
所以函数f(x)＝x＋为奇函数.
(4)函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}.
因为 x∈{x|x≠0},都有－x∈{x|x≠0},且f(－x)＝＝f(x),
所以函数f(x)＝为偶函数.
母题9 (人教B版必修第一册P117T8)已知函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数,求实数a的值.
解　∵函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2＝x2＋(a－2)x＋3是偶函数,
∴f(－x)＝f(x).
整理得(2a－4)x＝0,
由x的任意性得2a－4＝0,解得a＝2.
(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数,则a＝　　　　.
答案　2
解析　f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cos x.
法一　因为f(x)为偶函数,
所以f(－x)＝f(x),
即(－x－1)2－ax＋cos(－x)＝(x－1)2＋ax＋cos x,得a＝2.
法二　因为f(x)为偶函数,定义域为R,
所以f＝f,
即a＝a,得a＝2.
此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x,
所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cos x＝f(x),
又定义域为R,故f(x)为偶函数,所以a＝2.
母题10 (人教A版必修第一册P85练习T1)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.
解　∵f(x)是偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称.
∵g(x)是奇函数,
∴g(x)的图象关于原点对称.
图象如图所示.
(1)(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)＝
B.f(x)＝
C.f(x)＝
D.f(x)＝
(2)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为(　　)
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(x)为偶函数,易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数,排除A,B.
由题图可知当x>1时,f(x)>0,易得当x>1时,f(x)＝<0,f(x)＝>0,排除C,故选D.
(2)法一(特值法)
取x＝1,则y＝cos 1＝cos 1>0;
取x＝－1,则y＝cos(－1)
＝－cos 1<0.结合选项知选A.
法二　令y＝f(x),
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x),
所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数,
排除B,D;
取x＝1,则y＝cos 1＝cos 1>0,排除C,故选A.
母题11 (人教A版必修第一册P86T7)已知函数f(x)＝x2－2x,g(x)＝x2－2x(x∈[2,4]),
(1)求f(x),g(x)的单调区间;
(2)求f(x),g(x)的最小值.
解　(1)f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1,函数图象的对称轴为直线x＝1,
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞,1],单调递增区间为(1,＋∞).
∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1,x∈[2,4],
∴g(x)的单调递增区间为[2,4].
(2)f(x)min＝f(1)＝－1,
g(x)min＝g(2)＝0.
(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b).若f(x)≥0,则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.1
答案　C
解析　由f(x)≥0及y＝x＋a,y＝ln(x＋b)单调递增,
可得x＋a与ln(x＋b)同正、同负或同为零,
所以当ln(x＋b)＝0时,x＋a＝0,
即所以b＝a＋1,
则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2≥,故选C.
母题12 (1)(人教A版必修第一册P86习题3.2T11)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)＝x(1＋x).画出函数f(x)的图象,并求出函数的解析式.
解　设x<0,则－x>0,
因为x≥0时,
f(x)＝x(1＋x),
所以f(－x)＝－x(1－x),
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(－x)＝－f(x),
所以－f(x)＝－x(1－x),
所以f(x)＝x(1－x)(x<0),
所以f(x)＝
(2)(人教A版必修第一册P203练习T4)设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数,且当x∈[0,2]时,f(x)＝(x－1)2.求f(3),f的值.
解　由题意可知,f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝(1－1)2＝0;f＝f＝f.
(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)＝5－2x,则f＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　A
解析　法一　当x∈[－1,0]时,－x＋2∈[2,3],
所以当x∈[－1,0]时,f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x,
所以f＝1－＝－.故选A.
法二　f＝f＝f
＝5－2×＝－.
母题13 (北师大版必修第一册P73C组T2)若函数f(x)的定义域是R,且对任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立,试判断f(x)的奇偶性.
解　令x＝y＝0,
则f(0)＝f(0)＋f(0),则f(0)＝0,
令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0,
所以f(－x)＝－f(x),
故f(x)为奇函数.
(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y),则(　　)
A.f(0)＝0
B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数
D.x＝0为f(x)的极小值点
答案　ABC
解析　取x＝y＝0,则f(0)＝0＋0＝0,故A正确;
取x＝y＝1,则f(1)＝f(1)＋f(1),
所以f(1)＝0,故B正确;
取x＝y＝－1,则f(1)＝f(－1)＋f(－1),
所以f(－1)＝0;
取y＝－1,则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1),
所以f(－x)＝f(x),
所以函数f(x)为偶函数,故C正确;
由于f(0)＝0,且函数f(x)为偶函数,
所以函数f(x)的图象关于y轴对称,
所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,故D不正确.综上,选ABC.
母题14 (人教A版必修第一册P100T3)设f(x)＝,求证:
(1)f(－x)＝f(x);(2)f＝－f(x)(x≠0).
证明　(1)∵f(x)＝,
∴f(－x)＝＝f(x),
∴f(－x)＝f(x).
(2)∵f＝－
＝－f(x),
∴f＝－f(x).
(2019·全国卷Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ln x－.讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点.
解　f(x)的定义域为(0,1)∪(1,＋∞).因为f'(x)＝>0,
所以f(x)在(0,1),(1,＋∞)上单调递增.
因为f(e)＝1－<0,f(e2)＝2－>0,所以f(x)在(1,＋∞)有唯一零点x1(e又0<<1,f＝－ln x1＋＝－f(x1)＝0,
故f(x)在(0,1)有唯一零点.
综上,f(x)有且仅有两个零点.
母题15 (人教A版必修第一册P100T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性,求实数k的取值范围.
解　∵f(x)＝4x2－kx－8在上单调递减,在上单调递增,
∴≥20,或≤5,
解得k∈(－∞,40]∪[160,＋∞).
(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,0] B.[－1,0]
C.[－1,1] D.[0,＋∞)
答案　B
解析　因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)＝－x2－2ax－a,
所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞,0)上单调递增,所以－a≥0,即a≤0;
当x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1),
所以函数f(x)在[0,＋∞)上单调递增.
若函数f(x)在R上单调递增,
则－a≤f(0)＝1,即a≥－1.
综上,实数a的取值范围是[－1,0].故选B.
母题16 (人教A版必修第一册P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数):
(1)(2)(－6)÷(－3);
(2)()8;
(3)()÷.
解　(1)(2)(－6)÷(－3)
＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0
＝4a.
(2)()8＝()8()8＝m2n－3
＝.
(3)()÷＝()÷
＝÷÷
＝
＝－a
＝－a.
(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2,则4－a＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　法一　因为alog34＝2,
所以log34a＝2,
所以4a＝32＝9,
所以4－a＝.故选B.
法二　因为alog34＝2,所以a＝＝2log43＝log432＝log49,所以4－a＝＝9－1＝.故选B.
母题17 (北师大版必修第一册P69B组T1)下列函数中,哪些满足性质T1:f(x＋y)＝f(x)＋f(y),T2:f(x·y)＝f(x)·f(y) 为什么
(1)f(x)＝;(2)f(x)＝x3;(3)f(x)＝2x;
(4)f(x)＝1;(5)f(x)＝.
解　(1)函数的定义域为[0,＋∞),
由于f(x＋y)＝≠,
f(x·y)＝·＝f(x)·f(y),
则不满足T1,满足T2.
(2)函数的定义域为R,
由于f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3＋y3,
f(xy)＝(xy)3＝x3·y3＝f(x)f(y),
则不满足T1,满足T2.
(3)函数的定义域为R,
由于f(x＋y)＝2(x＋y)＝2x＋2y＝f(x)＋f(y),
f(xy)＝2xy≠f(x)f(y),
则满足T1,不满足T2.
(4)函数的定义域为R,
由于f(x＋y)＝1≠f(x)＋f(y)＝2,
f(xy)＝f(x)f(y)＝1,
则不满足T1,满足T2.
(5)函数的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),
由于f(x＋y)＝≠f(x)＋f(y),
f(xy)＝＝f(x)f(y),
则不满足T1,满足T2.
(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y),f(1)＝1,则f(k)＝(　　)
A.－3 B.－2
C.0 D.1
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2);②当x∈(0,＋∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.
答案　(1)A　(2)f(x)＝x4(答案不唯一,f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
解析　(1)因为f(1)＝1,
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中,
令y＝1,
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1),
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x), ①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②
由①②相加,得f(x＋2)＋f(x－1)＝0,
故f(x＋3)＋f(x)＝0,
所以f(x＋3)＝－f(x),
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中,
令y＝0,得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0),
所以f(0)＝2.
令x＝1,y＝1,得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1),
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x),
得f(3)＝－f(0)＝－2,f(4)＝－f(1)＝－1,
f(5)＝－f(2)＝1,f(6)＝－f(3)＝2,
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0,
根据函数的周期性知,f(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0＋1－1－2－1＝－3,故选A.
(2)取f(x)＝x4,则f(x1x2)＝＝f(x1)f(x2),满足①;
f'(x)＝4x3,x>0时有f'(x)>0,满足②;
f'(x)＝4x3的定义域为R,
又f'(－x)＝－4x3＝－f'(x),
故f'(x)是奇函数,满足③.
母题18 (人教A版必修第一册P119T8)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a(单位:元),每期利率为r,本利和为y(单位:元),存期数为x.
(1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式;
(2)如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.
解　(1)因为本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期数为x,所以存期数为1时,y＝a＋ar＝a(1＋r),
存期数为2时,y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2,
存期数为3时,y＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r＝a(1＋r)3,
…
所以存期数为x时,y＝a(1＋r)x.
(2)若存入本金为a＝1 000元时,r＝2.25%,存期数为5,
则y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元).
母题19 (人教B版必修第二册P53T9)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数,求a的值.
解　∵函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax,x∈R是偶函数,
∴f(－x)＝f(x),
∴ln(e－x＋1)＋ax＝ln(ex＋1)－ax,
∴2ax＝ln(ex＋1)－ln(e－x＋1)
＝ln＝ln ex＝x,
∴(2a－1)x＝0对x∈R恒成立,
解得a＝.
母题20 (人教A版必修第一册P120T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点,且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并画出图象;
(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
解　(1)因为函数y＝a＋b的图象过原点,
所以a＋b＝0,即a＋b＝0,即－a＝b,
函数y＝a－a＝a.
又0<≤1,－1<－1≤0,
且y＝a＋b无限接近直线y＝2,但又不与该直线相交,
所以a<0,且0≤a<－a,
所以－a＝2, y＝－2＋2,
其图象如图所示.
(2)显然函数的定义域为R,令y＝f(x),
则f(－x)＝－2＋2
＝－2＋2＝f(x),
即f(x)是偶函数.
当x>0时,y＝－2＋2
＝－2＋2单调递增,
当x<0时,y＝－2＋2
＝－2＋2单调递减,
即y＝－2＋2在(－∞,0)上为减函数,在(0,＋∞)上为增函数.
(1)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1,g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时,曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝(　　)
A.－1 B.
C.1 D.2
(2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数,则a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数,则a＝　　　　.
答案　(1)D　(2)D　(3)1
解析　(1)由题意知f(x)＝g(x),则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax,
即cos x＝a(x2＋1)－1.
令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.
易知h(x)为偶函数,由题意知h(x)在(－1,1)上有唯一零点,
所以h(0)＝0,即cos 0－a(0＋1)＋1＝0,
得a＝2,故选D.
(2)法一　f(x)的定义域为{x|x≠0},
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)＝f(－x),即,
即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x,
即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x,
所以a－1＝±1,解得a＝0(舍去)或a＝2.
法二　f(x)＝,f(x)是偶函数,又y＝x是奇函数,
所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数,
故a－1＝1,即a＝2.
(3)法一　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R,且是偶函数,
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立,
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立,
所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立,所以a＝1.
法二　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R,且是偶函数,
所以f(－1)＝f(1),
所以－＝2a－,解得a＝1,
经检验,f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数,所以a＝1.
法三　由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R,且是偶函数.
设g(x)＝x3,h(x)＝a·2x－2－x,
因为g(x)＝x3为奇函数,
所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数,
所以h(0)＝a·20－2－0＝0,解得a＝1,
经检验,f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数,所以a＝1.
母题21 (人教A版必修第一册P127T5)已知lg 2＝a,lg 3＝b,求下列各式的值:
(1)lg 6;(2)log34;(3)log212;(4)lg .
解　(1)lg 6＝lg(2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b.
(2)log34＝.
(3)log212＝
＝.
(4)lg ＝lg 3－lg 2＝b－a.
母题22 (人教A版必修第一册P127T6)求满足下列条件的各式的值:
(1)若xlog34＝1,求4x＋4－x的值;
(2)若f(x)＝3x,求f(log32)的值.
解　(1)若xlog34＝1,
则x＝＝log43,
所以4x＋4－x＝＝3＋
＝3＋.
(2)因为f(x)＝3x,
所以f(log32)＝＝2.
(1)(2021·天津卷)若2a＝5b＝10,则＝(　　)
A.－1 B.lg 7
C.1 D.log710
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－,则a＝　　　　.
答案　(1)C　(2)64
解析　(1)∵2a＝5b＝10,∴a＝log210,b＝log510,
∴＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)根据题意有＝－,
即3loga2－＝－,
设t＝loga2(a>1),则t>0,
故3t－＝－,得t＝(t＝－1舍去),
所以loga2＝,所以＝2,所以a＝64.
母题23 (人教A版必修第一册P127T9)我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365;而把(1－1%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.利用计算工具计算并回答下列问题:
(1)一年后“进步”的是“落后”的多少倍
(2)大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1 000倍
解　(1)≈1 480.7.
∴一年后“进步”的大约是“落后”的1 480.7倍.
(2)由＝10得＝10,
∴x＝lo10＝≈115,
∴大约经过115天“进步”的是“落后”的10倍.
由＝100得＝100,
x＝≈230,
∴大约经过230天“进步”的是“落后”的100倍.
由＝1 000得＝1 000,
解得x＝≈345,
∴大约经过345天“进步”的是“落后”的1 000倍.
母题24 (湘教版必修第一册P125T11)比较a,b,c的大小.
(1)已知1(2)已知a＝log36,b＝log510,c＝log714.
解　(1)因为1则0＝log21即log2x∈(0,1),
b＝log2x2＝2log2x>(log2x)2＝a,
c＝log2(log2x)综上所述,b>a>c.
(2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32
＝1＋,
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52＝1＋,
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72＝1＋,
lg 2>lg 1＝0,lg 7>lg 5>lg 3,
则a>b>c.
母题25 (人教A版必修第一册P133例3)比较下列各题中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).
解　(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值.
因为底数2>1,对数函数y＝log2x是增函数,且3.4<8.5,
所以log23.4(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值.
因为底数0.3<1,对数函数y＝log0.3x是减函数,且1.8<2.7,所以log0.31.8>log0.32.7.
(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值.
对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是大于0小于1,因此需要对底数a进行讨论.
当a>1时,因为函数y＝logax是增函数,
且5.1<5.9,
所以loga5.1当0所以loga5.1>loga5.9.
(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52,b＝log83,c＝,则下列判断正确的是(　　)
A.cC.a答案　C
解析　a＝log52＝log82母题26 (人教A版必修第一册P134例4)溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH计量的,pH的计算公式为pH＝－lg[H＋],其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升,计算纯净水的pH.
解　(1)根据对数的运算性质,有
pH＝－lg [H＋]＝lg [H＋]－1＝lg.
在(0,＋∞)上,随着[H＋]的增大,减小,相应地,lg 也减小,即pH减小,
所以随着[H＋]的增大,pH减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.
(2)当[H＋]＝10－7时,pH＝－lg 10－7＝7,
所以纯净水的pH是7.
母题27 (人教A版必修第一册P141T10)声强级LI:(单位:dB)由公式LI＝10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为10－12 W/m2,求人听觉的声强级范围;
(2)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2,求其声强级.
解　(1)∵LI＝10lg,
∴令I＝1得,LI＝10lg(1012)＝120,
令I＝10－12得,LI＝10lg 1＝0,
∴人听觉的声强级范围为:[0,120].
(2)∵LI＝10lg,
令I＝10－6得,LI＝10lg(106)＝60,
∴其声强级为60.
(1)(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　)
A.2 B.4
C.20 D.40
(2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp＝20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
答案　(1)B　(2)ACD
解析　(1)由题意可知klog21.024×109－klog2106＝klog2＝10k＝20,
解得k＝2,
所以2log24.096×109－2log21.024×109＝2log24＝4,
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.
(2)因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],
所以≥,所以p1≥p2,故A正确;
假设p2>10p3,则p01>10p01,
所以1>10,
所以>20,不可能成立,故B不正确;
由Lp＝20×lg,得p＝p01.
因为＝40,
所以p3＝p01＝100p0,故C正确;
因为＝1≥1,
所以p1≤100p2,故D正确.
综上,选ACD.
母题28 (人教A版必修第一册P140T4)函数y＝log2x,y＝log5x,y＝lg x的图象如图所示.
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么;
(2)以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出y＝lox,y＝lox,y＝lox的图象;
(3)从(2)的图中你发现了什么
解　(1)当底数大于1时,在x＝1的右侧,底数越大,函数图象越靠近x轴,所以①对应函数y＝lg x,②对应函数y＝log5x,③对应函数y＝log2x.
(2)
(3)从(2)的图中发现y＝log2x,y＝log5x,y＝lg x的图象分别与y＝lox,y＝lox,y＝lox的图象关于x轴对称.
母题29 (人教A版必修第一册P141T13)比较下列各题中三个值的大小:
(1)log0.26,log0.36;log0.46;(2)log23,log34;log45.
解　(1)log0.26＝,log0.36＝,log0.46＝.
∵log60.2∴>>,
∴log0.26>log0.36>log0.46.
(2)由log23－log34＝
＝>
>＝0,
即有log23－log34>0,
即log23>log34,
同理可得log34>log45,
则log23>log34>log45.
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y,则(　　)
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
(3)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,则(　　)
A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.a答案　(1)B　(2)A　(3)B
解析　(1)设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m,
所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5,
令m＝2,
则x＝1,y＝3－1＝,z＝5－3＝,
此时x>y>z,A有可能;
令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C有可能;
令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,
此时y>z>x,D有可能.故选B.
(2)设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增,
所以f(x)在R上单调递增.
原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y,
即f(x)0,
所以A正确,B不正确.
因为|x－y|与1的大小不能确定,所以C,D不正确.
(3)由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x,则f(x)在(0,＋∞)上单调递增.
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1
＝22b＋log2(2b),
∴2a＋log2a<22b＋log2(2b),
即f(a)∴a<2b.故选B.
母题30 (湘教版必修第一册P126T18)已知函数f(x)＝loga (a>0且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性.
解　(1)由>0,可得－4f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x),
故f(x)为奇函数.
(2)令t(x)＝＝－1＋,
任取－4则t(x1)－t(x2)＝
＝>0,
所以t(x1)>t(x2).
当a>1时,f(x1)>f(x2),
即f(x)在(－4,4)上单调递减,
当0即f(x)在(－4,4)上单调递增.
(1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a＝(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
(2)(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数,则a＝　　　,b＝　　　.
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a,＋∞)单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－1] B.(－∞,2]
C.[2,＋∞) D.[5,＋∞)
答案　(1)B　(2)－　ln 2　(3)D
解析　(1)法一　设g(x)＝ln,
易知g(x)的定义域为
∪,
且g(－x)＝ln＝ln
＝－ln＝－g(x),
所以g(x)为奇函数.
若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,
则y＝x＋a也应为奇函数,
所以a＝0,故选B.
法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,
f(－1)＝(a－1)ln 3,
f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3,
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3,解得a＝0(经检验,此时f(x)为偶函数),故选B.
(2)f(x)＝ln＋b＝ln＋ln eb＝ln.
∵f(x)为奇函数,
∴f(－x)＋f(x)＝ln＝0,
∴＝|1－x2|.
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时,
(a＋1)2e2b－1]＋(1－a2e2b)x2＝0对任意的x恒成立,
则
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时,
(a＋1)2e2b＋1]－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立,
则无解.
综上,a＝－,b＝ln 2.
(3)由x2－4x－5>0,得x<－1或x>5.
令t＝x2－4x－5,则函数t＝x2－4x－5在(－∞,－1)单调递减,在(5,＋∞)单调递增,函数y＝lg t为增函数,
故要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a,＋∞)单调递增,则有(a,＋∞) (5,＋∞),
即a≥5.故选D.
母题31 (人教A版必修第一册P155习题4.5T2)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064
函数y＝f(x)在哪几个区间内一定有零点 为什么
解　∵函数f(x)的图象是连续不断的,又f(2)>0,f(3)<0.
∴由f(2)·f(3)<0可知,函数f(x)在区间(2,3)内有零点,
∵f(4)>0,f(3)·f(4)<0,
∴函数f(x)在区间(3,4)内有零点.
∵f(4)·f(5)<0,
∴函数f(x)在区间(4,5)内有零点.
故函数y＝f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点.
(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A.(0,0.3) B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1) D.(1,2)
答案　B
解析　易知f(x)单调递减,
又f(0)＝1>0,
f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0,
f(0.5)＝0.30.5－<0,
所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5),
故选B.
母题32 (人教A版必修第一册P156T13)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围”,某同学给出了如下解答:
由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)<0,
解得－所以实数a的取值范围是.
上述解答正确吗 若不正确,请说明理由,并给出正确的解答.
解　不正确.因为该同学只考虑了函数在(－1,1)内存在零点,而没有考虑只有一个零点,正确解法如下:
(1)当a＝0时,f(x)＝4x－1＝0,
得x＝∈(－1,1),故a＝0满足;
(2)当a≠0时,
①f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)<0,
得－②由Δ＝42＋4×24a＝0,得a＝－,
此时由f(x)＝－4x2＋4x－1＝0,得x1＝x2＝∈(－1,1),满足题意;
③若f(－1)＝0,则a＝,f(x)＝5x2＋4x－1,可得x1＝,x2＝－1,满足题意;
若f(1)＝0,则a＝－＝－,f(x)＝－3x2＋4x－1,可得x1＝,x2＝1,满足题意,
综上,满足题意的实数a的取值范围是
∪.
母题33 (人教A版必修第一册P160T4)已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k(k<0)的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围.
解　画出f(x)的图象与直线y＝k,如图.
由图象可知,
当k<－4时,f(x)＝k有1个解;
当k＝－4或－3当－4母题34 (人教A版必修第一册P160T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x,g(x)＝log2x＋x,h(x)＝x3＋x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(　　)
A.a>b>c　 B.b>c>a　 C.c>a>b　 D.b>a>c
答案　B
解析　由f(x)＝2x＋x＝0可得2x＝－x;
由g(x)＝log2x＋x＝0可得log2x＝－x;
由h(x)＝x3＋x＝0可得x3＝－x.
在同一平面直角坐标系中画出y＝2x、y＝log2x、y＝x3、y＝－x的图象如下:
由图象可知,a<0,b>0,c＝0,则b>c>a.
(1)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(－1,1) 　　　　B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)
C.(0,1) 　　　　D.(－∞,0)∪(1,＋∞)
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
答案　(1)D　(2)[2,3)
解析　(1)不等式f(x)>0,即2x>x＋1,
由于函数y＝2x和直线y＝x＋1的图象都经过点(0,1)和(1,2),如图所示,由图可知,不等式f(x)>0的解集是(－∞,0)∪(1,＋∞).
(2)法一　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,
即cos ωx＝1在区间[0,2π]有且仅有3个根,
因为ω>0,x∈[0,2π],
所以ωx∈[0,2ωπ],
则由余弦函数的图象可知,4π≤2ωπ<6π,
解得2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).
法二　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx＝1在区间[0,2π]有且仅有3个根,
根据函数y＝cos x在[0,2π]上的图象可知cos x＝1在区间[0,2π]有2个根,
所以若cos ωx＝1在区间[0,2π]有且仅有3个根,
则函数y＝cos ωx在[0,2π]内至少包含2个周期,但小于3个周期,即
又ω>0,所以2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).
母题35 (人教A版必修第一册P160T6)设f(x)＝,g(x)＝,求证:
(1)[g(x)]2－[f(x)]2＝1;
(2)f(2x)＝2f(x)g(x);
(3)g(2x)＝[g(x)]2＋[f(x)]2.
证明　(1)因为[g(x)]2－[f(x)]2＝
＝＝1,
所以[g(x)]2－[f(x)]2＝1.
(2)因为2f(x)·g(x)＝2··＝f(2x),
所以f(2x)＝2f(x)·g(x).
(3)因为[g(x)]2＋[f(x)]2
＝
＝
＝＝g(2x),
所以g(2x)＝[g(x)]2＋[f(x)]2.
母题36 (人教A版必修第一册P161T12)对于函数f(x)＝a－(a∈R).
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数
解　(1)法一(直接判断法)　因为函数y＝2x＋1在R上是增函数,又2x＋1>0,
所以y1＝在R上是减函数,
所以y2＝－在R上是增函数,
所以函数f(x)＝a－在R上是增函数.
法二(定义法)　f(x)＝a－(a∈R)的定义域为R,
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)－f(x2)＝,
因为x1又＋1>0,＋1>0,
所以f(x1)－f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在R上是增函数.
(2)法一(定义法)　因为f(x)＝a－(a∈R)的定义域为R,
要使f(x)为奇函数,则f(－x)＝－f(x)在R上恒成立,
即a－＝－a＋,
所以2a＝＝2,所以a＝1,
所以存在实数a＝1,使函数f(x)为奇函数.
法二(特殊值法)　由于f(x)是奇函数,x∈R,
故f(0)＝a－＝0,解得a＝1,
则f(x)＝1－,经验证f(x)是奇函数.
故存在实数a＝1,使函数f(x)为奇函数.
(1)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝.记a＝f,b＝f,c＝f,则(　　)
A.b>c>a　 B.b>a>c　 C.c>b>a　 D.c>a>b
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－2] B.[－2,0)
C.(0,2] D.[2,＋∞)
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)函数f(x)＝是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的函数,
y＝eu为R上的增函数,u＝－(x－1)2在(－∞,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,
所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(－∞,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减.
易知f(x)的图象关于直线x＝1对称,
所以c＝f＝f,
又<2－<<1,
所以f所以b>c>a,故选A.
(2)法一　由题意得y＝x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,所以x＝≥1,
解得a≥2,故选D.
法二　取a＝3,则y＝x(x－3)＝在(0,1)上单调递减,
所以f(x)＝2x(x－3)在(0,1)上单调递减,
所以a＝3符合题意,排除A,B,C,故选D.
母题37 (湘教版必修第一册P154T26)设min{m,n}表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)＝x2＋8x＋14,g(x)＝min(x>0),若 x1∈[－5,a](a≥－4), x2∈(0,＋∞),使得f(x1)＝g(x2)成立,求a的最大值.
解　由＝log2(4x),
解得x＝1,
当0当x>1时,∴g(x)＝min(x>0)
＝
∴当0当x>1时,g(x)值域为(0,2),
∴g(x)的值域为(－∞,2].
∵f(x)＝x2＋8x＋14＝(x＋4)2－2,其对称轴为x＝－4,
∴f(x)在[－5,－4]上单调递减,在(－4,a]上单调递增.
∵f(－5)＝－1,f(a)＝a2＋8a＋14,
∴当－4≤a≤－3时,函数f(x)的值域为 [－2,－1];
当a>－3时,函数f(x)的值域为 [－2,a2＋8a＋14].
∵ x1∈[－5,a](a≥－4), x2∈(0,＋∞),使得f(x1)＝g(x2)成立,
∴a2＋8a＋14≤2,
解得－6≤a≤－2,∴－3综上所述a的范围为[－4,－2],
∴a的最大值为－2.第二章　函　数
探究1 (人教A版必修第一册P77)(1)设A是区间D上某些自变量的值组成的集合,而且 x1,x2∈A,当x1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 (北师大版必修第一册P62)对于函数f(x)＝,(－∞,0)和(0,＋∞)都是它的单调区间,并且函数f(x)＝在这两个区间上都单调递减,那么能否说函数f(x)＝在整个定义域上是减函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 (人教A版必修第一册P85)(1)判断函数f(x)＝x3＋x的奇偶性.
(2)如图是函数f(x)＝x3＋x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗
(3)一般地,如果知道y＝f(x)为偶(奇)函数,那么我们可以怎样简化对它的研究
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 (人教A版必修第一册P117)选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 (人教A版必修第一册P132)选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究6 (人教A版必修第一册P132)我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如y＝log2x和y＝lox,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究7 (人教A版必修第一册P135)互为反函数的两个函数图象间的关系.
我们知道,指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象是否有关系 有什么关系呢 下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!
(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y＝2x及其反函数y＝log2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗
(2)取y＝2x图象上的几个点,如P1,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y＝x的对称点的坐标是什么 它们在y＝log2x的图象上吗 为什么
(3)如果点P0(x0,y0)在函数y＝2x的图象上,那么P0关于直线y＝x的对称点在函数y＝log2x的图象上吗 为什么
(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论
(5)上述结论对于指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)及其反函数y＝logax(a>0,且a≠1)也成立吗 为什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.几个重要函数的奇偶性
(1)(人教A版必修第一册P161T11,湘教版必修第一册P126T19拓展)f(x)＝loga[(m＋nx)·(m－nx)](a>0,且a≠1,mn≠0)为偶函数;g(x)＝loga(a>0,且a≠1,mn≠0)为奇函数.
证明　由题意得x∈,
∵f(－x)＝loga(m2－n2x2)＝f(x),
∴f(x)为偶函数.
∵g(－x)＋g(x)＝loga＋loga＝loga1＝0,
∴g(－x)＝－g(x),即g(x)为奇函数.
(2)(湘教版必修第一册P84T4拓展)g(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数,h(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数.
证明　因为g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x),
所以g(x)为偶函数.
因为h(－x)＝f(－x)－f(x)＝－h(x),
所以h(x)为奇函数.
(3)(人教B版必修第二册P53T6,北师大版必修第一册P94T8拓展)f1(x)＝为奇函数,f2(x)＝为奇函数,g1(x)＝为奇函数,g2(x)＝为奇函数,其中a>0,且a≠1.
证明　f1(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f1(－x)＝＝－f1(x),故f1(x)为奇函数;
同理可证f2(x)为奇函数;
g1(x)＝
＝f2(x),
故g1(x)为奇函数;
同理可证g2(x)为奇函数.
(4)(人教B版必修第二册P54T2拓展)f(x)＝loga(＋bx)(a>0,且a≠1)为奇函数,g(x)＝loga(－bx)(a>0,且a≠1)为奇函数.
证明　由题易得x∈R,f(－x)＋f(x)
＝loga(－bx)＋loga(＋bx)
＝loga(1＋b2x2－b2x2)
＝loga1＝0,
故f(x)为奇函数,
同理可证g(x)也为奇函数.
(5)(人教B版必修第二册P53T9拓展)f(x)＝loga(amx＋1)－x(a>0,且a≠1)为偶函数.
证明　∵f(x)＝loga(amx＋1)－loga
＝loga＝loga(),x∈R,
∴f(－x)＝loga()＝f(x),
∴f(x)为偶函数.
【应用示例】 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　)
(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在单调递增
B.是奇函数,且在单调递减
C.是偶函数,且在单调递增
D.是奇函数,且在单调递减
(3)函数f(x)＝ln(ex＋1)－(　　)
A.是偶函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增
B.是偶函数,且在区间(0,＋∞)上单调递减
C.是奇函数,且在区间(0,＋∞)上单调递增
D.既不是奇函数,也不是偶函数
(4)已知函数f(x)＝ln(＋ax)是定义在R上的奇函数,则实数a的值是(　　)
A.1 B.±1
C.2 D.±2
(5)(2025·北京卷)关于定义域为R的函数f(x),给出下列四个结论:
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立;
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立;
③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个;
④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
其中正确结论的序号是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A版必修第一册P101T8,人教B版必修第二册P14习题4－1CT2、P30习题4－2CT2拓展)函数的凹凸性:
(1)若f(x)＝ax(a>0,且a≠1),则≥f,
即f(x)为下凸函数.
(2)若g(x)＝logax(a>0,且a≠1),则当a>1时,≤g,即g(x)为上凸函数;当0证明　(1)∵－f
＝
＝≥0,
∴≥f,
当且仅当x1＝x2时取“＝”,即f(x)为下凸函数.
(2)∵＝loga,
g＝loga,
又≥(当且仅当x1＝x2时取“＝”),
∴当a>1时,loga≥loga,
即g≥,
即g(x)为上凸函数.
当0即g≤,
即g(x)为下凸函数.
【应用示例】 若任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f>[f(x1)＋f(x2)]成立,则称f(x)是[a,b]上的凸函数,下列函数中,是凸函数的为(　　)
A.y＝x,x∈[0,2] B.y＝x2,x∈[0,2]
C.y＝x2－x,x∈[－2,1] D.y＝2－x2,x∈[0,2]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.(人教A版必修第一册P101T9拓展)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(1)已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递减,那么它在[－b,－a]上也单调递减.
(2)已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递增,那么它在[－b,－a]上也单调递增.
(3)已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递减,那么 它在[－b,－a]上单调递增.
(4)已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递增,那么它在[－b,－a]上单调递减.
证明　(1)任取－b≤x1≤x2≤－a,则a≤－x2≤－x1≤b,
因为f(x)在[a,b]上单调递减,
所以f(－x2)>f(－x1),
又因为f(x)为奇函数,所以－f(x2)>－f(x1),
即f(x2)所以f(x)在[－b,－a]上单调递减,同理可证(2).
(3)任取－b≤x1因为g(x)在[a,b]上单调递减,
所以g(－x2)>g(－x1),
又因为g(x)为偶函数,所以g(x2)>g(x1),
所以g(x)在[－b,－a]上单调递增.
同理可证(4).
【应用示例】 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)－x,若f(a－1)≤f(2a＋1)成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞,－2]
B.(－∞,－2]∪[0,＋∞)
C.
D.(－∞,－2]∪
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(人教A版必修第一册P127T2(2),苏教版必修第一册P165T14拓展)已知f(x)＝|logax|,若f(x1)＝f(x2),且x1≠x1,则x1x2＝1.
证明　不妨设a>1,x1∵f(x1)＝f(x2),
∴|logax1|＝|logax2|,
即－logax1＝logax2,loga(x1x2)＝0＝loga1,
∴x1x2＝1.
【应用示例】 (多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且满足x1A.0B.2x1＋x2∈[2,3)
C.x1＋x2＋x3＋x4∈
D.x1x2x3x4∈(3e2,4e2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.几个常见对称性的结论
(1)(人教B版必修第一册P113例5拓展)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 f(a＋x)＝f(b－x).
证明　先证充分性
设点A(x0,y0)是函数y＝f(x)图象上任意一点,点A关于直线x＝的对称点A'(a＋b－x0,y0)也在y＝f(x)图象上,y0＝f(a＋b－x0)＝f(x0),把x0换成x0＋a得f(b－x0)＝f(a＋x0).
再证必要性
设点A(x0,y0)是y＝f(x)图象上任意一点,则y0＝f(x0).
因为f(a＋x)＝f(b－x),
所以f(a＋x0)＝f(b－x0),
把x0换成x0－a,得f(x0)＝f(b＋a－x0)＝y0,
即点A'(b＋a－x0,y0)也在y＝f(x)图象上,而点A与点A'关于直线x＝对称,所以得证.
特别地,函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a＋x)＝f(a－x).
(2)(人教A版必修第一册P87T13拓展)函数y＝f(x)的图象关于点P对称 f(a＋x)＋f(m－x)＝2b.
证明　先证充分性
设点A(x0,y0)是函数y＝f(x)图象上任意一点,因为点A(x0,y0)关于P的对称点A'(a＋m－x0,2b－y0)也在y＝f(x)的图象上,
所以y0＝f(x0),2b－y0＝f(a＋m－x0),
即f(x0)＋f(a＋m－x0)＝2b,
把x0换成x0＋a,
得f(a＋x0)＋f(m－x0)＝2b.
再证必要性
设点A(x0,y0)是y＝f(x)图象上任意一点,
则y0＝f(x0),
因为f(a＋x)＋f(m－x)＝2b,
所以f(a＋x0)＋f(m－x0)＝2b,
把x0换成x0－a,
得f(x0)＋f(a＋m－x0)＝2b,
即f(a＋m－x0)＝2b－y0,
所以点A'(a＋m－x0,2b－y0)也在y＝f(x)的图象上,而点A与点A'关于点P对称,
所以得证.
特别地,函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(x)＋f(2a－x)＝2b.
(3)点对称、轴对称的几个推论
①已知函数f(x)图象关于直线x＝a和直线x＝b对称,则函数f(x)的周期为2|b－a|(b≠a).
②已知函数f(x)图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为2|b－a|(b≠a).
③已知函数f(x)图象关于点(a,0)对称且关于直线x＝b对称,则函数f(x)的周期为4|b－a|(b≠a).
④f(x)为可导函数,f(x)图象关于直线x＝a对称 f'(x)图象关于点(a,0)对称.
⑤f(x)为可导函数,f(x)图象关于点(a,f(a))对称 f'(x)图象关于直线x＝a对称.
证明　①因为函数f(x)图象关于直线x＝a和直线x＝b对称,
所以
所以
所以f(x＋2b－2a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为2|b－a|的周期函数.
②因为函数f(x)图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,
所以
所以
所以f(x＋2b－2a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为2|b－a|的周期函数.
③因为函数f(x)图象关于点(a,0)中心对称且关于直线x＝b对称,
所以
所以
所以f(x)＋f(2b－2a＋x)＝0,
所以f(x)＋f(2b－2a＋x)＝f(2b－2a＋x)＋f(4b－4a＋x)＝0,
所以f(x＋4b－4a)＝f(x),
所以函数f(x)是周期为4|b－a|的周期函数.
④充分性
f(2a－x)＝f(x) －f'(2a－x)＝f'(x) f'(x)＋f'(2a－x)＝0 f'(x)图象关于(a,0)对称.
必要性
f'(x)图象关于(a,0)对称 f'(x)＋f'(2a－x)＝0,
令F(x)＝f(x)－f(2a－x),
F'(x)＝f'(x)＋f'(2a－x)＝0,
F(x)＝c(c为常数),
F(a)＝f(a)－f(a)＝0,
∴c＝0,
∴F(x)＝0 f(x)＝f(2a－x) f(x)图象关于x＝a对称.
⑤充分性
f(2a－x)＋f(x)＝2f(a),
－f'(2a－x)＋f'(x)＝0,
即f'(x)＝f'(2a－x) f'(x)图象关于x＝a对称.
必要性
f'(x)图象关于x＝a对称 f'(x)＝f'(2a－x),
令F(x)＝f(2a－x)＋f(x)－2f(a),
F'(x)＝f'(x)－f'(2a－x)＝0,
F(x)＝c(c为常数),
F(a)＝2f(a)－2f(a)＝0,∴c＝0,
∴f(2a－x)＋f(x)＝2f(a),
∴f(x)图象关于(a,f(a))对称.
【应用示例】 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋2)为偶函数,f(2x＋1)为奇函数,则(　　)
A.f＝0 B.f(－1)＝0
C.f(2)＝0 D.f(4)＝0
(2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)＋g(2－x)＝5,g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称,g(2)＝4,则f(k)＝(　　)
A.－21 B.－22
C.－23 D.－24
(3)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)＝f'(x).若f,g(2＋x)均为偶函数,则(　　)
A.f(0)＝0 B.g＝0
C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
(4)(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.通过阅读《阅读与思考——函数概念的发展历程》(人教A版必修第一册P75)和《数学文化——函数概念的形成与发展》(湘教版必修第一册P87),可从中提炼出如下结论:
(1)狄利克雷函数D(x)＝具有如下性质:
①定义域:R;值域:{0,1}.
②奇偶性:偶函数.
③周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期.
④无法画出函数的图象,但其图象客观存在.
(2)高斯函数:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]＝3,[－2.1]＝－3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y＝[x]称为高斯函数,又称取整函数.
具有如下性质:
①定义域:R,值域:Z.
②不具有单调性、奇偶性和周期性,其图象为:
【应用示例】 (1)狄利克雷(1805~1859)是德国数学家,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解决数论的创始人之一.1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数D(x)＝下列叙述中错误的是(　　)
A.D(x)是偶函数 B.D(x＋)＝D(x)
C.D(D(x))＝1 D.D(x)是周期函数
(2)(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数.例如:[－2.1]＝－3,[3.1]＝3.已知函数f(x)＝,则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.通过阅读《探究与发现——探究函数y＝x＋的图象与性质》(人教A版必修第一册P92),可提炼出如下结论:
(1)对勾函数的定义
形如f(x)＝ax＋(a>0,b>0)的函数,其图象如图所示,是关于原点对称的对勾,故函数称为对勾函数.
(2)对勾函数的基本性质
①定义域:x∈(－∞,0)∪(0,＋∞).
②奇偶性:奇函数.
③单调性:当x∈时,函数f(x)单调递增;当x∈时,函数f(x)单调递减;当x∈时,函数f(x)单调递减;当x∈时,函数f(x)单调递增.
④极值:极大值f＝－2;极小值f＝2.
⑤最值:函数在定义域上无最值,在区间(－∞,0)上,f(x)有最大值f＝－2;在区间(0,＋∞)上,f(x)有最小值f＝2.
⑥零点积问题
已知f(x)＝ax＋(a,b>0),若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2),则x1·x2为定值.
证明　不妨设f(x1)＝f(x2)＝m,则x1,x2是方程ax＋＝m,即ax2－mx＋b＝0的两实根,故x1·x2＝.
引申:已知f(x)＝ax－(a,b>0),若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2),则x1·x2＝－.
证明　不妨设f(x1)＝f(x2)＝m,则x1,x2是方程ax－＝m,即ax2－mx－b＝0的两实根,故x1·x2＝－.
【应用示例】 (1)已知函数f(x)＝－4x－8－,x∈[0,1],g(x)＝x2－4mx－2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)＝g(x2)成立,则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C.[1,2] D.
(2)已知a>b>0,a＋＝b＋,则的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.通过阅读 《信息技术应用——探究指数函数的性质》(人教A版必修第一册P120),可提炼出如下结论:
(1)当x>0时,a的值越大,y＝ax的值越大(底大图高);当x<0时,a的值越大,y＝ax的值越小(底大图低).
(2)幂函数y＝xα的图象,对于一个x的值,当x>1时,α越大,y＝xα越大(指大图高);当0【应用示例】 设幂函数y＝,y＝,y＝,指数函数y＝,y＝,y＝,y＝,对数函数y＝lox,y＝lox,y＝lox,y＝lox在同一坐标系中的图象如图所示,则它们之间的大小关系错误的是(　　)
A.c1<0B.0C.0D.0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题1 (人教A版必修第一册P66例3)下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数
(1)y＝()2;(2)u＝;
(3)y＝;(4)m＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题2 (人教A版必修第一册P68例5)画出函数y＝|x|的图象.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题3 (人教A版必修第一册P69T2)画出函数y＝|x－2|的图象.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题4 (人教A版必修第一册P68例6)给定函数f(x)＝x＋1,g(x)＝(x＋1)2,x∈R,
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象;
(2) x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)＝max{f(x),g(x)}.
例如,当x＝2时,M(2)＝max{f(2),g(2)}＝max{3,9}＝9.
请分别用图象法和解析法表示函数M(x).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题5 (人教A版必修第一册P69T3)给定函数f(x)＝－x＋1,g(x)＝(x－1)2,x∈R,
(1)画出函数f(x),g(x)的图象;
(2) x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)＝min{f(x),g(x)},请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·天津卷)设a∈R,对任意实数x,记f(x)＝min{|x|－2,x2－ax＋3a－5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.
母题6 (人教A版必修第一册P72习题3.1T1)求下列函数的定义域:
(1)f(x)＝;(2)f(x)＝;
(3)f(x)＝;(4)f(x)＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·北京卷)函数f(x)＝的定义域是　　　　.
母题7 (湘教版必修第一册P78T16)设函数sign(x)的定义为sign(x)＝
(1)画出该函数的图象;
(2)探索利用函数sign(x)把分段函数写成一个解析表达式的方法.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题8 (人教A版必修第一册P84例6)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)＝x4;(2)f(x)＝x5;
(3)f(x)＝x＋;(4)f(x)＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题9 (人教B版必修第一册P117T8)已知函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数,求实数a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数,则a＝　　　　.
母题10 (人教A版必修第一册P85练习T1)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)＝
B.f(x)＝
C.f(x)＝
D.f(x)＝
(2)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为(　　)
母题11 (人教A版必修第一册P86T7)已知函数f(x)＝x2－2x,g(x)＝x2－2x(x∈[2,4]),
(1)求f(x),g(x)的单调区间;
(2)求f(x),g(x)的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b).若f(x)≥0,则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.1
母题12 (1)(人教A版必修第一册P86习题3.2T11)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)＝x(1＋x).画出函数f(x)的图象,并求出函数的解析式.
(2)(人教A版必修第一册P203练习T4)设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数,且当x∈[0,2]时,f(x)＝(x－1)2.求f(3),f的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)＝5－2x,则f＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
母题13 (北师大版必修第一册P73C组T2)若函数f(x)的定义域是R,且对任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立,试判断f(x)的奇偶性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y),则(　　)
A.f(0)＝0
B.f(1)＝0
C.f(x)是偶函数
D.x＝0为f(x)的极小值点
母题14 (人教A版必修第一册P100T3)设f(x)＝,求证:
(1)f(－x)＝f(x);(2)f＝－f(x)(x≠0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2019·全国卷Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ln x－.讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题15 (人教A版必修第一册P100T4)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性,求实数k的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,0] B.[－1,0]
C.[－1,1] D.[0,＋∞)
母题16 (人教A版必修第一册P107例4)计算下列各式(式中字母均是正数):
(1)(2)(－6)÷(－3);
(2)()8;
(3)()÷.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2,则4－a＝(　　)
A. B.
C. D.
母题17 (北师大版必修第一册P69B组T1)下列函数中,哪些满足性质T1:f(x＋y)＝f(x)＋f(y),T2:f(x·y)＝f(x)·f(y) 为什么
(1)f(x)＝;(2)f(x)＝x3;(3)f(x)＝2x;
(4)f(x)＝1;(5)f(x)＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y),f(1)＝1,则f(k)＝(　　)
A.－3 B.－2
C.0 D.1
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2);②当x∈(0,＋∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.
母题18 (人教A版必修第一册P119T8)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a(单位:元),每期利率为r,本利和为y(单位:元),存期数为x.
(1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式;
(2)如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题19 (人教B版必修第二册P53T9)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数,求a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题20 (人教A版必修第一册P120T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点,且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并画出图象;
(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1,g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时,曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝(　　)
A.－1 B.
C.1 D.2
(2)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数,则a＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数,则a＝　　　　.
母题21 (人教A版必修第一册P127T5)已知lg 2＝a,lg 3＝b,求下列各式的值:
(1)lg 6;(2)log34;(3)log212;(4)lg .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题22 (人教A版必修第一册P127T6)求满足下列条件的各式的值:
(1)若xlog34＝1,求4x＋4－x的值;
(2)若f(x)＝3x,求f(log32)的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2021·天津卷)若2a＝5b＝10,则＝(　　)
A.－1 B.lg 7
C.1 D.log710
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－,则a＝　　　　.
母题23 (人教A版必修第一册P127T9)我们可以把(1＋1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365;而把(1－1%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.利用计算工具计算并回答下列问题:
(1)一年后“进步”的是“落后”的多少倍
(2)大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1 000倍
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题24 (湘教版必修第一册P125T11)比较a,b,c的大小.
(1)已知1(2)已知a＝log36,b＝log510,c＝log714.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题25 (人教A版必修第一册P133例3)比较下列各题中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52,b＝log83,c＝,则下列判断正确的是(　　)
A.cC.a母题26 (人教A版必修第一册P134例4)溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH计量的,pH的计算公式为pH＝－lg[H＋],其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升,计算纯净水的pH.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题27 (人教A版必修第一册P141T10)声强级LI:(单位:dB)由公式LI＝10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为10－12 W/m2,求人听觉的声强级范围;
(2)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2,求其声强级.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　)
A.2 B.4
C.20 D.40
(2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp＝20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
母题28 (人教A版必修第一册P140T4)函数y＝log2x,y＝log5x,y＝lg x的图象如图所示.
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么;
(2)以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出y＝lox,y＝lox,y＝lox的图象;
(3)从(2)的图中你发现了什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题29 (人教A版必修第一册P141T13)比较下列各题中三个值的大小:
(1)log0.26,log0.36;log0.46;(2)log23,log34;log45.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y,则(　　)
A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
(3)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,则(　　)
A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.a母题30 (湘教版必修第一册P126T18)已知函数f(x)＝loga (a>0且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a＝(　　)
A.－1 B.0
C. D.1
(2)(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数,则a＝　　　,b＝　　　.
(3)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a,＋∞)单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－1] B.(－∞,2]
C.[2,＋∞) D.[5,＋∞)
母题31 (人教A版必修第一册P155习题4.5T2)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064
函数y＝f(x)在哪几个区间内一定有零点 为什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A.(0,0.3) B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1) D.(1,2)
母题32 (人教A版必修第一册P156T13)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点,求实数a的取值范围”,某同学给出了如下解答:
由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)<0,
解得－所以实数a的取值范围是.
上述解答正确吗 若不正确,请说明理由,并给出正确的解答.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题33 (人教A版必修第一册P160T4)已知函数f(x)＝求使方程f(x)＝k(k<0)的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题34 (人教A版必修第一册P160T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x,g(x)＝log2x＋x,h(x)＝x3＋x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(　　)
A.a>b>c　 B.b>c>a　 C.c>a>b　 D.b>a>c
(1)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(－1,1) 　　　　B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)
C.(0,1) 　　　　D.(－∞,0)∪(1,＋∞)
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
母题35 (人教A版必修第一册P160T6)设f(x)＝,g(x)＝,求证:
(1)[g(x)]2－[f(x)]2＝1;
(2)f(2x)＝2f(x)g(x);
(3)g(2x)＝[g(x)]2＋[f(x)]2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题36 (人教A版必修第一册P161T12)对于函数f(x)＝a－(a∈R).
(1)探索函数f(x)的单调性;
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝.记a＝f,b＝f,c＝f,则(　　)
A.b>c>a　B.b>a>c　C.c>b>a　D.c>a>b
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(－∞,－2] B.[－2,0)
C.(0,2] D.[2,＋∞)
母题37 (湘教版必修第一册P154T26)设min{m,n}表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)＝x2＋8x＋14,g(x)＝min(x>0),若 x1∈[－5,a](a≥－4), x2∈(0,＋∞),使得f(x1)＝g(x2)成立,求a的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

展开更多......

收起↑