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第八章　平面解析几何
教材考点·真题分布
目 录 CONTENTS
教材探究问题 · 研析
教材阅读文字 · 拓展
教材典型母题 · 必刷
01
02
03
04
教材常用结论 · 推导
教材探究问题·研析
01
1.(人教A版选择性必修第一册P52)在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O,P的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线l经过P1(－1,1),P2(,0),α与P1,P2的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α与P1,P2的坐标有怎样的关系
探究
提示:(1)如图(1),向量＝(,1),且直线OP的倾斜角为α.由正切函数的定义,有tan α＝.
图(1) 　　　　　　图(2)
(2)如图(2),＝(－1－,1－0)＝(－1－,1).平移向量,则点P的坐标为(－1－,1),且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义,有tan α＝＝1－.
图(3)　　　　　　图(4)
(3)一般地,如图(3)(4),当向量的方向向上时,＝(x2－x1,y2－y1).平移向量,则点P的坐标为(x2－x1,y2－y1),且直线OP的倾斜角也是α,由正切函数的定义,有tan α＝.
2.(人教A版选择性必修第一册P65)在方程Ax＋By＋C＝0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线:①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
提示:对于方程Ax＋By＋C＝0,
①当A＝0,BC≠0时,方程为y＝－,表示的直线平行于x轴.
②当B＝0,AC≠0时,方程为x＝－,表示的直线平行于y轴.
③当A＝C＝0,B≠0时,方程为y＝0,表示x轴.
④当B＝C＝0,A≠0时,方程为x＝0,表示y轴.
3.(人教A版选择性必修第一册P74)如图,已知点P(x0,y0),直线l:Ax＋By＋C＝0,如何求点P到直线l的距离
提示:点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.因此,求出垂足Q的坐标,利用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到点P到直线l的距离.
设A≠0,B≠0.由PQ⊥l,以及直线l的斜率为－,可得l的垂线PQ的斜率为,因此,垂线PQ的方程为y－y0＝(x－x0),
即Bx－Ay＝Bx0－Ay0.
得直线l与PQ的交点坐标,
即垂足Q的坐标为.
于是|PQ|＝
＝.
因此,点P(x0,y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
可以验证,当A＝0,或B＝0时,上述公式仍然成立.
解方程组 ①
4.(人教A版选择性必修第一册P75)我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离
提示:如图,点P到直线l的距离,就是向量的模.
设M(x,y)是直线l上的任意一点,n是与直线l的方向向量垂直
的单位向量,则在n上的投影向量,
且||＝|·n|.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l:Ax＋By＋C＝0上的任意两点,
则＝(x2－x1,y2－y1)是直线l的方向向量.
把Ax1＋By1＋C＝0,Ax2＋By2＋C＝0两式相减,得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.
由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2－x1,y2－y1)垂直.
向量(A,B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.
我们取n＝(A,B),
从而·n＝(x－x0,y－y0)·(A,B)
＝[A(x－x0)＋B(y－y0)]
＝(Ax＋By－Ax0－By0).
因为点M(x,y)在直线l上,
所以Ax＋By＋C＝0.
所以Ax＋By＝－C.
代入上式,
得·n＝(－Ax0－By0－C).
因此|PQ|＝||＝|·n|
＝.
5.(人教A版选择性必修第一册P86)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆
提示:配方得.
(1)当D2＋E2－4F>0时,可看出方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以为圆心,为半径的圆.
(2)当D2＋E2－4F＝0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有实数解x＝－,y＝
－,它表示一个点.
(3)当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有实数解,它不表示任何图形.
6.(人教A版选择性必修第一册P105)取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(绳长大于F1F2长,如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线 在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
提示:把细绳的两端拉开一段距离,笔尖移动的过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离和等于常数,由椭圆的定义可知,上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆.
7.(人教A版选择性必修第一册P121)如图,点A,B的坐标分别是(－5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,与它们的斜率之积是－比较,你有什么发现
提示:设M(x,y),
则AM的斜率k1＝.
BM的斜率k2＝,
∴k1k2＝·(y≠0),
整理得4x2－9y2＝100(y≠0),
即＝1(y≠0).
当它们的斜率之积－<0时,轨迹为焦点在x轴上椭圆(y≠0);当斜率之积>0时,轨迹为焦点在x轴的双曲线(y≠0).
推广:点A,B坐标分别为(－5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是k时,
①当k<0(k≠－1)时,M的轨迹为焦点在x轴或y轴的椭圆(不含与x轴的交点或y≠0).
②当k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点).
8.(人教A版选择性必修第一册P123)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征
提示:双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
9.(人教A版选择性必修第一册P128)为什么y＝±x是双曲线＝1的渐近线
提示:如图,在第一象限内,双曲线＝1(a>0,b>0)的方程可写为
y＝(x>a).
设M(x,y)是其图象上的点,N(x,Y)是直线y＝x上的点,
且与M(x,y)有相同的横坐标,则Y＝x.
因为y＝x所以|MN|＝Y－y＝(x－)＝·＝.
设|MQ|是点M到直线y＝x的距离,
则|MQ|<|MN|.
当x逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x无限增大时,|MN|无限接近于0,|MQ|也无限接近于0.
也就是说,双曲线在第一象限向右上方延伸时,是从射线ON(O为原点)的下方逐渐接近于射线ON,但与射线ON永远不相交,
根据双曲线的对称性,在其他象限内,也有类似的结论.
10.(人教A版选择性必修第一册P133)为什么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛
物线
提示:对y＝ax2＋bx＋c的右边配方,得y＝a.
由函数图象平移的性质可以知道,沿向量m＝平移函数y＝a的图象(如图),除了位置外,函数图象不发生任何变化.
平移后的图象对应的函数解析式为y＝ax2,即x2＝y,这个方程表示的曲线是顶点为原点,焦点为的抛物线.
教材常用结论·推导
02
1.(人教B版选择性必修第一册P74习题2－1CT2拓展)曼哈顿距离
(1)定义:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为平面上两点,则定义|x2－x1|＋|y2－y1|为“直角距离”、“折线距离”或“曼哈顿距离”,记作d(P,Q)＝|x2－x1|＋|y2－y1|.
(2)性质:①已知直线AB,AC平行于坐标轴,且|AB|＝|AC|＝m,则线段BC上任意一点D(含端点)与点A的曼哈顿距离为定值.(线段BC称为A的“等曼哈顿距离线段”,简称“等曼线”.)
②动点P(x1,y1)到定点Q(x2,y2)的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形.(该正方形的对角线平行于坐标轴.)
③等曼线所在直线的斜率为－1或1.
证明　①如图所示,过D作DE⊥AB,垂足为E,
d(A,D)＝|AE|＋|DE|＝|AE|＋|BE|＝|AB|＝m.
②③证明(略).
【应用示例】 设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知点P为抛物线C:x2＝2py(p>0)上一动点,点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p＝　　　　;若斜率为的直线l过点Q,点M是直线l上一动点,则d(P,M)的最小值为　　　　.
2
解析　令P,
则d(P,Q)＝|m－3|＋≥－m＋3＝(m－p)2＋3－,
∴3－＝2,解得p＝2,
即当p＝2时,d(P,Q)取得最小值;
由题知直线l的点斜式方程为y＝x－,
与抛物线方程联立得x2－6x＋18＝0,
Δ＝(－6)2－4×18＝－36<0,
∴直线l与C无交点.
如图,过点P作PN∥x轴,交直线l于点N,过点M作ME⊥PN,垂足为E,则d(P,M)＝|PE|＋|EM|≥|PE|＋|EN|＝|PN|,
当点M,N重合时取等号.
设P,则N,
∴|PN|＝－n＋3＝(n－3)2＋≥,
∴d(P,M)min＝.
2.(人教A版选择性必修第一册P89T9,湘教版选择性必修第一册P104例2拓展)阿波罗尼斯圆:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点M的轨迹是圆.
证明　以直线AB为x轴建立平面直角坐标系,并设A(a,0),B(b,0)(a≠b),M(x,y).
因为＝λ≠1,所以＝λ,
所以(x－a)2＋y2＝λ2(x－b)2＋λ2y2,
所以(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋(2λ2b－2a)x＋(a2－λ2b2)＝0,
所以x2＋y2＋＝0,
所以＋y2＝,
所以点M的轨迹是圆.
【应用示例】 已知O是坐标原点,A(3,0),动点P(x,y)满足|PO|＝2|PA|,则的最大值为(　　)
A. B.
C.1 D.
D
解析　由|PO|＝2|PA|,
可得＝2,
整理可得x2＋y2－8x＋12＝0,
即(x－4)2＋y2＝4,
故点P的轨迹为圆心为(4,0),半径r＝2的圆.＝(x,y)与＝(1,)的夹角的余弦值的2倍,
要使得取得最大值,有与圆(x－4)2＋y2＝4相切,切点在第一象限,此时∠POx＝,∠DOx＝,
可得的最大值为2cos∠DOP＝2·cos .
证明　如图,CA∥x轴,PP1⊥AC,P1为垂足,∠PCA＝θ,
则x＝xC＋|CP1|＝a＋rcos θ,
y＝yC＋|PP1|＝b＋rsin θ,
3.(人教A版选择性必修第一册P89T10拓展)圆的参数方程:若点P(x,y)是圆C:(x－a)2＋
(y－b)2＝r2(r>0)上的任一点,则点P的坐标(x,y)可写成(θ为参数).
即(θ为参数).
【应用示例】 过点P(a,b)作圆x2＋y2＝1的切线PA,A为切点,|PA|＝1,则a＋2b的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　根据题意,设圆x2＋y2＝1的圆心为O,
则|PO|2＝|PA|2＋|OA|2＝1＋1＝2,
∴a2＋b2＝2.
令a＝cos θ,b＝sin θ,θ∈[0,2π),
则a＋2b＝cos θ＋2sin θ＝sin(θ＋φ),
其中tan φ＝,
所以a＋2b的最大值为.
D
4.(人教B版选择性必修第一册P116T1、P113例2,北师大版选择性必修第一册P39T5,湘教版选择性必修第一册P97例4,苏教版选择性必修第一册P72问题与探究拓展)圆的极点、极线:
(1)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)上的一点,则在P处的切线方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
证明　由圆C的方程知圆心C,
则,
如图,任取l上一点Q(x,y),
则＝(x－x0,y－y0),
则由相切可知·＝0,
所以(x－x0)＋(y－y0)＝0,
即x0x＋(x－x0)－＋y0y＋(y－y0)－＝0, ①
由P在C上可知＋Dx0＋Ey0＋F＝0, ②
由①②消去可得
x0x＋(x－x0)＋y0y＋(y－y0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0,
即x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
(2)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外的一点,过点P作圆C的切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
证明　法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),
则圆C在A点处的切线方程为
x1x＋y1y＋D＋E＋F＝0上,
又P(x0,y0)在此切线上,
故x1x0＋y1y0＋D＋E＋F＝0,
又圆C在B点处的切线方程为x2x＋y2y＋D＋E＋F＝0,
又P(x0, y0)在此切线上,
故x2x0＋y2y0＋D＋E＋F＝0,
可见,A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0,
而此方程为直线方程,所以直线AB的方程为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
法二　设A(x1,y1),B(x2,y2),显然A,B,P,C四点共圆,以PC为直径,如图.
设此圆上任一点Q(x,y),
则＝(x－x0,y－y0),
,
由相切可知:·＝0,
则(x－x0)＋(y－y0)＝0,
即x2＋D－x0x＋y2＋E－y0y＝0.
与圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0作差得Dx＋Ey＋F－D＋x0x－E＋y0y＝0,
此即直线AB的方程,整理为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
(3)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)内一点,过P作圆的弦AB,再作A,B两点处的圆的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
证明　设Q(a,b),则由探究(2)结果可知Q的切点弦AB所在直线的方程为ax＋by＋D＋E＋F＝0,
又P(x0,y0)在弦AB上,
所以ax0＋by0＋D＋E＋F＝0,
将a,b分别换为x,y,可得Q的轨迹方程为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0,
可见,Q点轨迹是一条直线,这条直线上任意一点的切点弦恒过定点P.
【应用示例】 已知圆O:x2＋y2＝4,直线l:x＝4,P为直线l上的动点,过P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点　　　　.
(1,0)
解析　设P(4,m),A(x1,y1),B(x2,y2),
则两切线方程分别为
x1x＋y1y＝4,x2x＋y2y＝4.
因为两条切线均过点P,
所以有4x1＋my1＝4,4x2＋my2＝4,
从而直线AB方程为4x＋my＝4,
所以直线AB恒过定点(1,0).
5.(1)(人教B版选择性必修第一册P143习题2－5BT2拓展)椭圆焦点三角形面积公式:已知椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上异于左、右顶点的一点,∠F1PF2＝θ,则焦点三角形的面积＝b2tan .
证明　在△PF1F2中,由余弦定理得:
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
所以|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
即|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ).
由椭圆的定义可知:
|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c,
所以4c2＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ),
即2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ)＝4a2－4c2＝4b2,
化简得|PF1|·|PF2|＝,
所以|PF1|·|PF2|·sin θ＝×·sin θ＝b2·
＝b2·＝b2tan .
(2)(人教B版选择性必修第一册P157T5拓展)双曲线焦点三角形面积公式:已知双曲线C:＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上异于左右顶点的一点,∠F1PF2＝θ,则焦点三角形的面积.
证明　在△PF1F2中,由余弦定理得:
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
所以|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
即|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ).
由双曲线的定义可知:
||PF1|－|PF2||＝2a,|F1F2|＝2c,
所以4c2＝4a2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ),
即2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2＝4b2,
化简得|PF1|·|PF2|＝,
所以|PF1|·|PF2|·sin θ
＝×·sin θ＝b2·＝b2·.
【应用示例】 (1)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:＝1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2＝,则|OP|＝(　　)
A. B.
C. D.
B
解析　依题意a＝3,b＝,c＝.
如图,不妨令F1(－,0),F2(,0).
设|PF1|＝m,|PF2|＝n,在△F1PF2中,
cos∠F1PF2＝, ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6. ②
由①②,解得mn＝.
法一　设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中,∠F1OP＋∠F2OP＝π,
由余弦定理得＝－,
得x2＝,
所以|OP|＝.
法二　因为(),
所以||2＝(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2)
＝,
所以|PO|＝.
法三　设∠F1PF2＝θ,cos θ＝,
解得tan ,
＝b2tan＝6×＝3
＝|F1F2|·|yP|＝×2·|yP|,
解得|yP|＝,|xP|＝,
因此|OP|＝.
(2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:＋y2＝1的两个焦点,点P在C上,若·＝0,则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
B
解析　法一　因为·＝0,
所以PF1⊥PF2,
则|PF1|·|PF2|＝b2tan,
得|PF1|·|PF2|＝1×tan,
所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.
法二　因为·＝0,
所以PF1⊥PF2,
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2,
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20,
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20,
所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.
6.(湘教版选择性必修第一册P172T13拓展)(1)已知F1,F2为椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上任意一点,则当点P为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2最大.
证明　如图,由已知|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c,
所以|PF1||PF2|≤＝a2
(当|PF1|＝|PF2|时取等号).
由余弦定理得:
cos∠F1PF2＝
＝
＝－1＝－1≥－1,
所以当|PF1|＝|PF2|时,cos∠F1PF2的值最小.
因为∠F1PF2∈(0,π),所以此时∠F1PF2最大,即点P为椭圆短轴的端点时∠F1PF2最大.
(2)已知A,B为椭圆＝1(a>b>0)长轴上的两个顶点,Q为椭圆上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
证明　如图,当∠AQB最大时,∠AQB一定是钝角.
过Q作QP⊥x轴,P为垂足.
设|PQ|＝n,|PB|＝m,|PA|＝2a－m,
则tan∠AQP＝,tan∠BQP＝,
所以tan∠AQB＝. ①
又因为Q(a－m,n),所以＝1,
化简得m2－2am＝－,
代入①式得tan∠AQB＝.
因为1－<0,∠AQB∈,
所以当n＝b时,tan∠AQB取得最大值,此时∠AQB最大,即当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
【应用示例】 椭圆＝1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点Q,使∠F1QF2＝120°,则椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
D
解析　设椭圆的上顶点为B,连接BF1,BF2,
则|BF1|＝|BF2|＝a,|OF2|＝c,
椭圆上存在点Q,使得∠F1QF2＝120°,
则需∠F1BF2≥120°,
则∠OBF2≥60°,显然∠OBF2<90°,
所以sin∠OBF2≥sin 60°,
所以≥sin 60°＝,
所以e＝≥,
又e<1,所以≤e<1,
即椭圆离心率e的取值范围为.
7.(人教A版选择性必修第一册P113例6,人教B版选择性必修第一册P141T5拓展)椭圆的第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e(0相关结论:
(1)焦半径的坐标形式
①若点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,则|PF1|＝a＋ex0,|PF2|＝a－ex0.
②点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的下、上焦点,则|PF1|＝a＋ey0,|PF2|＝a－ey0.
证明　①由椭圆第二定义,＝e,
即＝e,解得|PF1|＝a＋ex0,
同理|PF2|＝a－ex0.
②证明略.
(2)焦半径的角度形式
①点P是椭圆上任一点,F为其一个焦点,∠PFO＝α,则|PF|＝.
②F是椭圆的一个焦点,过点F的直线与椭圆交于P,Q两点,∠PFO＝α,则|PQ|＝.
证明　①如图,令|PF|＝m,则|PF1|＝2a－m,
则cos α＝,
解得|PF|＝m＝.
②因为∠PFO＝α,|PF|＝,
所以∠QFO＝π－α,
|QF|＝,
所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝.
(3)椭圆的焦比定理
F是椭圆的一个焦点,过点F的直线与椭圆交于P,Q两点,∠PFO＝α,若|PF|＝λ|QF|,则ecos α＝.
证明　因为|PF|＝,|QF|＝,|PF|＝λ|QF|,
所以＝λ,
a＋ccos α＝λ(a－ccos α),
1＋ecos α＝λ(1－ecos α),
解得ecos α＝.
【应用示例】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|＝6,则△ADE的周长是　　　　.
13
解析　法一　如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以,
所以a＝2c,所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|,
所以△AF1F2为等边三角形,
又DE⊥AF2,
所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,
所以|AD|＝|DF2|,|AE|＝|EF2|,且∠EF1F2＝30°,
所以直线DE的方程为y＝(x＋c),
代入椭圆C的方程＝1,得13x2＋8cx－32c2＝0.
设D(x1,y1),E(x2,y2),
则x1＋x2＝－,x1x2＝－,
所以|DE|＝
＝＝＝6,
解得c＝,所以a＝2c＝,
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
法二　由法一知c＝a,b＝a,∠EF1F2＝30°,
|DE|＝＝6,
解得a＝,
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
8.(人教A版选择性必修第一册P125例5、P126例6、P127T10拓展)双曲线第二定义:平面内的动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比为常数e(e>1),则动点M的轨迹是双曲线.其中定点F是双曲线的焦点,直线l是双曲线的焦点F对应的准线,常数e是双曲线的离心率.
相关结论:
(1)焦半径的坐标形式
①点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)左支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|＝－a－ex0,|PF2|＝a－ex0.
②点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)右支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|＝ex0＋a,|PF2|＝ex0－a.
③点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)上支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|＝ey0＋a,|PF2|＝ey0－a.
④点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)下支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|＝－ey0－a,|PF2|＝－ey0＋a.
证明　①由双曲线第二定义,＝e,
即＝e,
解得|PF1|＝－ex0－a,
同理|PF2|＝－ex0＋a.
②③④证明略.
(2)焦半径的角度形式
①点P是双曲线上任一点,F为其一个焦点,∠PFO＝α,则
|PF|＝
②F是双曲线的一个焦点,过点F的直线与双曲线交于P,Q两点,∠PFO＝α,则
|PQ|＝
证明　①当P,F在某一坐标轴同侧时(如图1),
令|PF|＝m,则|PF2|＝2a＋m,
则cos α＝,
解得|PF|＝m＝.
当P,F在某一坐标轴异侧时(如图2),
令|PF|＝m,则|PF2|＝m－2a,
则cos α＝,
解得|PF|＝m＝.
②当P,Q在双曲线的同一支上时(如图3),|PF|＝,|QF|＝,
则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝.
当P,Q在双曲线的两支上时(如图4),|PF|＝,|QF|＝,
则|PQ|＝|QF|－|PF|＝.
(3)双曲线的焦比定理
F是双曲线的一个焦点,过F的直线与双曲线交于P,Q两点,∠PFO＝α,若|PF|＝λ|QF|,
证明　当P,F在某一坐标轴同侧,P,Q同支时(如图1),
|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,即＝λ·,得ecos α＝.
则ecos α＝
当P,F在某一坐标轴两侧,P,Q异支时(如图2),
|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,即＝λ,
得ecos α＝.
当P,F在某一坐标轴同侧,P,Q异支时(如图3),
|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,即＝λ,得ecos α＝.
【应用示例】 已知双曲线E:＝1(a>0,b>0)的左焦点为F1(－c,0),直线y＝(x＋c)与双曲线E交于A,B两点,若＝3,则双曲线E的离心率　　　.
4
解析　法一　可知直线y＝(x＋c)过左焦点F1(－c,0),斜率k＝,且直线与双曲线E相交,
可知>,
则e＝>2.
联立方程
消去x可得(b2－3a2)y2－2b2cy＋3b4＝0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1＋y2＝,y1y2＝.
由＝3可知y2＝3y1,
与y1＋y2＝联立可得
y2＝3y1＝,
代入y1y2＝可得3,
则c2＝16a2,
所以双曲线E的离心率e＝＝4.
法二　由题意可知:直线y＝(x＋c)的斜率k＝,
则直线F1A的倾斜角θ＝,
可得|F1A|＝,
|F1B|＝.
因为＝3,
可知||＝3||,
即,整理可得c＝4a,
所以双曲线E的离心率e＝＝4.
9.(人教A版选择性必修第一册P108例3,人教B版选择性必修第一册P143习题2－5CT2,北师大版选择性必修第一册P58T3拓展)椭圆的第三定义
(1)已知点A(x0,y0),B(－x0,－y0)是关于原点对称的两个点,如图,且当点P(x,y)不与点A(x0,y0),B(－x0,－y0),C(x0,－y0),D(－x0,y0)重合时,有kPA·kPB＝e2－1,0证明　①当点P(x,y)不与点A,B,C,D重合时:因为点A(x0,y0),B(－x0,－y0),P(x,y),
所以kPA·kPB＝·＝e2－1(x≠±x0),
所以＝e2－1,
所以y2－＝(e2－1)(x2－).
因为0所以(1－e2)x2＋y2＝(1－e2),
所以＝1(x≠±x0).
②当点P(x,y)分别与A,B,C,D重合时:
＝1成立.
所以点P(x,y)的轨迹方程为
＝1,是一个椭圆,且a2＝,
b2＝(1－e2),
c2＝a2－b2＝·e2,
＝e2.
综上所述,P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A(x0,y0),B(－x0,－y0)的椭圆.
(2)相关结论:①A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任一点,若直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB＝e2－1＝－.
(ⅱ)－(ⅰ)得,
kPA·kPB＝·＝e2－1.
证明　设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(－x1,－y1),
②A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任一点,若直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB＝.
③A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB的中点,若kAB,kOP存在,则kAB·kOP＝e2－1＝－.
由(ⅱ)－(ⅰ)得:,kAB·kOP＝·
＝＝e2－1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,
④A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB的中点,若kAB,kOP存在,则kAB·kOP＝.
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C:＝1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
A
解析　法一　设P(m,n)(n≠0),
则Q(－m,n),易知A(－a,0),
所以kAP·kAQ＝·(*).
因为点P在椭圆C上,所以＝1,
得n2＝(a2－m2),
代入(*)式,得,
所以e＝.故选A.
法二　设P关于x轴的对称点为P1,
则P1和Q关于原点对称,
则·kAQ＝－kAP·kAQ
＝e2－1＝－,
所以e＝.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＝1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|＝|NB|,|MN|＝2,则l的方程为
　　　　　　　　　　.
x+y-2=0
解析　法一　设直线l的方程为＝1(m>0,n>0),
分别令y＝0,x＝0,得点M(m,0),N(0,n).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,
所以
因为kAB＝kMN,
所以＝－.
＝0,
由题意知x1＋x2≠0,x1≠x2,所以·＝－,
即·＝－,
整理得m2＝2n2. ①
将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,得相减得
又|MN|＝2,
所以由勾股定理,得m2＋n2＝12, ②
由①②并结合m>0,n>0,得
所以直线l的方程为＝1,
即x＋y－2＝0.
法二　设直线l的方程为＝1(m>0,n>0),分别令y＝0,x＝0,得点M(m,0),N(0,n).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q,
则kAB＝＝－,kOQ＝.
由椭圆中点弦的性质知,
kAB·kOQ＝－＝－,
即·＝－,以下同法一.
10.(人教A版选择性必修第一册P126T1,P128T14拓展)双曲线的第三定义
(1)已知点A(x0,y0),B(－x0,－y0)是关于原点对称的两个点,如图,且当点P(x,y)不与点A(x0,y0),B(－x0,－y0),C(x0,－y0),D(－x0,y0)重合时,有kPA·kPB＝e2－1,e>1,则点P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A(x0,y0),B(－x0,－y0)的双曲线.
证明　①当P(x,y)不与点A,B,C,D重合时,kPA·kPB＝·＝e2－1(x≠±x0),
所以＝e2－1,
所以y2－＝(e2－1)(x2－).
因为e>1,所以(e2－1)x2－y2＝(e2－1),
所以＝1(x≠±x0).
②当点P分别与A,B,C,D重合时,上面方程也成立.
所以点P的轨迹方程为＝1,是双曲线,
且a2＝,b2＝(e2－1),
c2＝a2＋b2＝·e2,
＝e2.
综上所述,P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A,B的双曲线.
(2)相关结论:
①A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任一点,若直线PA,PB的斜率存在,则kPA·kPB＝e2－1＝.
(ⅱ)－(ⅰ)得,
kPA·kPB＝·＝e2－1.
证明　设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(－x1,－y1),
②A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任一点,若直线PA,PB的斜率存在,则kPA·kPB＝.
③A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB中点,若kAB,kOP均存在,则kAB·kOP＝e2－1＝.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,
(ⅱ)－(ⅰ)得,
kAB·kOP＝·＝e2－1.
④A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB中点,若kAB,kOP均存在,则kAB·kOP＝.
【应用示例】 (2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2－＝1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　)
A.(1,1) B.(－1,2)
C.(1,3) D.(－1,－4)
D
解析　法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,
即(x1－x2)(x1＋x2)＝,化简得＝9,
得两式作差,得,
即·＝kAB·＝9,
因此kAB＝9·.
由双曲线方程
可得渐近方程为y＝±3x,如图.
对于A,因为kAB＝9×＝9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;
对于B,因为kAB＝9×＝－<－3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;
对于C,kAB＝9×＝3,此时直线AB与渐近线y＝3x平行,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;
对于D,因为kAB＝9×<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,满足题意.
法二　选项中的点均位于双曲线两支之间,故A,B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称,设线AB的中点坐标为(x0,y0),
则|kAB|＝9||<3,即|y0|>3|x0|,结合选项可知选D.
11.(人教A版选择性必修第一册P127T8,湘教版选择性必修第一册P139T14拓展)共焦点的椭圆与双曲线的离心率关系式
若椭圆C1:＝1(a1>b1>0)和双曲线C2:＝1(a2>0,b2>0)共焦点,P为公共点,且∠F1PF2＝θ,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则有＝1.
证明　如图,设|PF1|＝m,|PF2|＝n,结合椭圆和双曲线的定义,
解得m＝a1＋a2,n＝a1－a2,
则
结合余弦定理,
cos θ＝＝,
即()－2,
所以cos2sin2cos2sin2－2,
即sin2cos2,
所以＝1.
【应用示例】 (多选)已知椭圆＝1(a1>b1>0)的离心率为e1,双曲线＝1(a2>0,b2>0)的离心率为e2,两曲线有公共焦点F1,F2,P是椭圆与双曲线的一个公共点,∠F1PF2＝60°,以下结论正确的是(　 　)
A.
B.＝1
C.＝3
D.若e2∈[,2],则e1∈
BCD
解析　根据题意,设F1(－c,0),F2(c,0),对于A中,因为椭圆与双曲线有公共焦点,
所以,
即,所以A错误;
对于B中,不妨设点P在第一象限,由椭圆和双曲线的定义,可得
所以|PF1|＝a1＋a2,|PF2|＝a1－a2,
又由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°,
可得
可得4c2＝2＋2－()＝＋3,
所以＝1,
(或由共焦点椭圆与双曲线离心率关系式＝1,
得＝1,即＝1.)
所以B正确;
对于C中,由B知－c2＝3c2－3,
可得＝3,所以C正确;
对于D中,因为e2∈[,2],
所以∈,
由＝1可得∈,
所以e1∈,所以D正确.
12.(北师大版选择性必修第一册P68习题2－2A组T3,人教B版选择性必修第一册P179T20拓展)双曲线的两个距离结论
(1)双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b.
证明　不妨以＝1(a>0,b>0)为例,
直线l:bx－ay＝0为其一条渐近线,焦点F2(c,0)到l的距离为＝b.
(2)双曲线上任一点到两渐近线的距离之积为定值.
证明　不妨以＝1(a>0,b>0)为例.设P(x0,y0),点P在双曲线上,
所以＝1,
即b2－a2＝a2b2,
l1:by－ax＝0,l2:by＋ax＝0,
点P到l1和l2的距离之积为
·.
【应用示例】 (2020·北京卷)已知双曲线C:＝1,则C的右焦点的坐标为　　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　　.
(3,0)
解析　在双曲线C中,a＝,b＝,
则c＝＝3,
则双曲线C的右焦点坐标为(3,0),
双曲线C的渐近线方程为y＝±x,
即x±y＝0,
所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为.
13.抛物线焦点弦相关结论如图,AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F,准线l:x＝－,准线与x轴交点为P,作AC⊥l,BD⊥l且M,N分别为线段AB,CD的中点,R为MN与抛物线的交点,则有以下性质:
(1)(人教A版选择性必修第一册P135例4拓展)|AB|＝x1＋x2＋p.
证明　根据抛物线定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,
可得|AF|＝x1＋,|BF|＝x2＋,
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
(2)(人教B版选择性必修第一册P173T9拓展)x1x2＝,y1y2＝－p2.
证明　设直线AB的方程为x＝my＋,与
y2＝2px联立,得y2－2pmy－p2＝0,
故y1y2＝－p2,
x1x2＝·.
(3)(人教A版选择性必修第一册P138习题3.3T5,人教B版选择性必修第一册P173习题2－8BT1,P178T18拓展)如图所示:①|AF|＝,|BF|＝,
②|AB|＝,
③,
④若|AF|＝λ|BF|,则cos θ＝.(其中θ为直线AB的倾斜角)
证明　①设准线l交x轴于P点,过点A作AM⊥x轴于M,作AC⊥l于C.
设d为点A到准线l的距离,于是|AF|＝|AC|.
又|PF|＝p,|MF|＝|AF|·|cos θ|,
所以|AC|＝|PF|＋|FM|＝p＋|AF|cos θ,
|AF|＝p＋|AF|cos θ,
故|AF|＝.
同理|BF|＝.
②|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
③.
④|AF|＝λ|BF|,即＝λ,
λ(1－cos θ)＝1＋cos θ,cos θ＝.
(4)(湘教版选择性必修第一册P147T3拓展)如图所示:
S△AOB＝S△COD＝.
证明　设直线AB的方程为x＝my＋,与
y2＝2px联立得y2－2pmy－p2＝0,
故y1＋y2＝2pm,y1y2＝－p2,|y1－y2|＝
＝＝2p,
故S△AOB＝S△COD＝·|OF|·|y1－y2|
＝.
(5)(人教B版选择性必修第一册P167T7拓展)如图所示:三个垂直CF⊥FD,NF⊥AB,AN⊥BN.
证明　设A(x1,y1),
B(x2,y2),C,
D,
得＝(－p,y1),＝(－p,y2),
·＝p2＋y1y2,
根据上条结论y1y2＝－p2,
得·＝0,故CF⊥FD.
由N,
得,
＝(x1－x2,y1－y2),
·＝－p(x1－x2)＋,
因为＝2px1,＝2px2,
代入·＝－p(x1－x2)＋＝0,
故NF⊥AB.
由N,
得,
,
·＝x1x2＋(x1＋x2)＋.
因为＝2px1,＝2px2,x1x2＝,
y1y2＝－p2,
代入上式化简得·＝0,故AN⊥BN.
(6)(人教A版选择性必修第一册P146T16,人教B版选择性必修第一册P174T9,P167习题2－7BT3拓展)①以AB为直径的圆与准线相切;
②以AF为直径的圆与y轴相切.
证明　①|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|,
因此以AB为直径的圆与准线相切.
②取AF的中点E,过点E作EE1⊥y轴,垂足为E1,AC交y轴与点C1(图略),
则|AF|＝|AC|＝|AC1|＋|C1C|＝|AC1|＋|OF|＝2|EE1|,
因此以AF为直径的圆与y轴相切.
【应用示例】 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2,则|AF|＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
C
解析　根据直线y＝－2x＋2得F(1,0),
所以C的准线方程为x＝－1,C的方程为y2＝4x,
所以B(－1,4),所以A(4,4),
所以|AF|＝|AB|＝5.
(2)(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知抛物线C:y2＝6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x＝－的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　 　)
A.|AD|＝|AF| B.|AE|＝|AB|
C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18
ACD
解析　直线l为抛物线的准线,由抛物线的定义,可知|AD|＝|AF|,A正确;
由通径最短,可得|AB|≥2p＝6,所以C正确;
法一　易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x＝my＋,
A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1＋y2＝6m,y1y2＝－9,x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3,|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6,
当m＝0时,E,|AB|＝2p＝6,
|AE|＝＝3,
此时|AE|≠|AB|,所以B不正确;
此时|AE|＝|BE|＝3,|AE|·|BE|＝18.
由得y2－6my－9＝0,
当m≠0时,直线EF的方程为
x＝－y＋, E,|EF|＝,
S△AEB＝|AE|·|BE|sin∠AEB
＝|AB|·|EF|＝(6＋6m2)·＝9(1＋m2>9,
所以|AE|·|BE|>>18.
综上,|AE|·|BE|≥18,D正确.故选ACD.
法二　如图,设∠AFx＝θ,
则|AE|＝＝,
|AB|＝|AF|＋|BF|＝,B错误;
|AE|·|BE|＝
＝≥18,D正确.故选ACD.
(3)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y＝－(x－1)过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
A.p＝2 B.|MN|＝
C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形
AC
解析　对于A,因为直线y＝－(x－1)经过抛物线C的焦点,
且直线与x轴的交点为(1,0),
所以抛物线C的焦点坐标为(1,0),
所以＝1,即p＝2,所以A选项正确;
对于B,
法一　不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1所以M,N(3,－2),
所以由两点间距离公式可得|MN|＝,
故B选项错误;
联立方程得解得
法二　不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1联立方程得
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0,
解得x1＝,x2＝3.
由抛物线的定义得,
|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝,故B选项错误;
法三　设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立方程得
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0,则Δ＝64>0,x1＋x2＝,x1x2＝1,
所以由弦长公式得|MN|＝×,故B选项错误;
法四　易知直线y＝－(x－1)的倾斜角为,
所以|MN|＝,故B选项错误;
对于C,
法一　由以上分析易知,l的方程为x＝－1,以MN为直径的圆的圆心坐标为,半径r＝|MN|＝＋1,所以以MN为直径的圆与l相切,故C选项正确;
法二　由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,易知C选项正确;
对于D,由B中法一知M,N(3,－2),
所以由两点间距离公式可得|OM|＝,|ON|＝,
又|MN|＝,故D选项错误.
综上,选AC.
(4)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|＝|AM|,则(　 　)
A.直线AB的斜率为2 B.|OB|＝|OF|
C.|AB|>4|OF| D.∠OAM＋∠OBM<180°
ACD
解析　对于A,由题意,得F.因为|AF|＝|AM|,且M(p,0),
所以xA＝p,将其代入抛物线方程y2＝2px,得yA＝p,
所以A,
所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝＝2,故A正确;
对于B,由选项A的分析,知直线AB的方程为y＝2,代入y2＝2px,得12x2－13px＋3p2＝0,解得x＝p或x＝p,所以xB＝p,所以yB＝－p,所以|OB|＝p≠|OF|,故B不正确;
对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分析,
得|AB|＝xA＋xB＋p＝p＋p＝p>2p,即|AB|>4|OF|,故C正确;
对于D,易知|OA|＝p,|AM|＝p,|OB|＝p,|BM|＝p,
则cos ∠OAM＝>0,
cos ∠OBM＝>0,
所以∠OAM<90°,∠OBM<90°,所以∠OAM＋∠OBM<180°,故D正确.
综上所述,选ACD.
(5)(2025·北京卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p＝　　　　.
6
解析　因为抛物线的顶点到焦点的距离为,
故＝3,故p＝6.
(6)(2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上,则A到C的准线的距离为　　　　.
解析　将点A的坐标代入抛物线方程,得5＝2p,于是y2＝5x,
则抛物线的准线方程为x＝－,
所以A到准线的距离为1－(－)＝.
14.(湘教版选择性必修第一册P173T17拓展)椭圆的极点极线:
(1)椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为
y＝kx＋m,
代入椭圆方程化简整理得
(a2k2＋b2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0,
由Δ＝0得a2k2－m2＋b2＝0,
x0＝,y0＝,
k＝－·.
从而切线方程为y＝－x＋,
化简整理得＝1.
当斜率不存在时,切线方程为x＝±a,满足上式.
综上,椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
法二　对椭圆方程求导得＝0,y'＝－·,
所以k＝－·,所以切线方程为y－y0＝－(x－x0),
即b2x0x＋a2y0y＝a2＋b2＝a2b2,＝1.
(2)椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
(3)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)外一点,过点P作椭圆的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2).PA:＝1,PB:＝1,
点P在直线PA和PB上,
则＝1,＝1,
所以直线AB的方程为＝1.
(4)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)外一点,过点P作椭圆的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
(5)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)内一点,过点P作椭圆的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为＝1,
点P在弦AB上,所以＝1.
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为＝1.
可见,Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切点弦恒过定点P.
(6)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)内一点,过点P作椭圆的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
15.双曲线的极点极线
(1)双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为y＝kx＋m,
代入双曲线方程化简整理得
(a2k2－b2)x2＋2ka2mx＋a2m2＋a2b2＝0,
由Δ＝0得,a2k2－m2－b2＝0,
x0＝,y0＝,
k＝－·,
从而切线方程为y＝·x－,
化简整理得＝1.
当斜率不存在时,切线方程为x＝±a,满足上式.
综上,双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
法二　对双曲线方程求导得＝0,
y'＝·,所以k＝·,
所以切线方程为y－y0＝(x－x0),
即b2x0x－a2y0y＝b2－a2＝a2b2,
所以过双曲线＝1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为＝1.
(2)双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
(3)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)外一点,过点P作双曲线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),
则PA:＝1,
PB:＝1,
点P在直线PA和PB上,
则＝1,＝1,
所以直线AB的方程为＝1.
(4)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)外一点,过点P作双曲线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
(5)点P是双曲线＝1(a>0,b>0)内一点,过点P作双曲线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为＝1,点P在弦AB上,
所以＝1,
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为＝1.
可见,Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切点弦恒过点P.
(6)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)内一点,过点P作双曲线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
16.抛物线的极点极线
(1)抛物线y2＝2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为y＝kx＋m,
代入抛物线方程化简整理得
k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0,
x0＝,y0＝·k＋m＝,k＝,
从而切线方程为
y－y0＝(x－x0),
y0y－＝px－px0,
y0y＝px＋px0,
即y0y＝p(x＋x0).
当斜率不存在时,切线方程为x＝0,满足上式.
综上,抛物线y2＝2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
法二　对抛物线方程求导得
2y·y'＝2p,y'＝,
所以k＝,
所以切线方程为y－y0＝(x－x0),
即y0y－＝px－px0,
即y0y＝p(x＋x0).
(2)抛物线y2＝－2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝－p(x＋x0).
(3)抛物线x2＝2py(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为x0x＝p(y＋y0).
(4)抛物线x2＝－2py(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为x0x＝－p(y＋y0).
(5)点M(x0,y0)是抛物线y2＝2px(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),
MA:y1y＝p(x＋x1),
MB:y2y＝p(x＋x2),
点M在直线MA和MB上,
则y1y0＝p(x0＋x1),
y2y0＝p(x0＋x2),
所以AB的直线方程为y0y＝p(x0＋x).
(6)点M(x0,y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为y0y＝－p(x＋x0).
(7)点M(x0,y0)是抛物线x2＝2py(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＝p(y＋y0).
(8)点M(x0,y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＝－p(y＋y0).
(9)点M(x0,y0)是抛物线y2＝2px(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为ny＝p(x＋m),
点M在弦AB上,
所以ny0＝p(x0＋m),
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为y0y＝p(x0＋x).
可见Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切线弦恒过点M.
(10)点M(x0,y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为y0y＝－p(x＋x0).
(11)点M(x0,y0)是抛物线x2＝2py(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为x0x＝p(y＋y0).
(12)点M(x0,y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为x0x＝－p(y＋y0).
【应用示例】 (1)(2025·北京卷)已知椭圆E:＝1(a>b>0)的离心率为,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4,
①求椭圆E方程;
②设O为原点,M(x0,y0)(x0≠0)为椭圆E上一点,直线x0x＋2y0y－4＝0与直线y＝2,y＝－2分别交于A,B两点.设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2,猜想与的数量关系并求证.
解　①由椭圆定义可知2a＝4,
所以a＝2,
又e＝,所以c＝,b2＝a2－c2＝2,
故椭圆E方程为＝1.
②,证明如下:
联立消去x得,
＋2y2＝4,
整理得(2＋4)y2－16y0y＋16－4＝0, ①
又＝1,所以2＋4＝8,16－4＝8,
故①式可化简为8y2－16y0y＋8＝0,
即(y－y0)2＝0,所以y＝y0,
所以直线x0x＋2y0y－4＝0与椭圆相切,M为切点.
法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),易知,
当x1＝x2时,由对称性可知.
当x1≠x2时,设x2易知＝,
所以＝
＝,
＝＝
＝,
故.
法二　不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知,当x1＝x2时,
由对称性可知,.
当x1≠x2时,设x2则kOA＝,
kOB＝＝－,kOM＝,
又＝1,所以＋2＝4,
所以tan∠AOM＝
＝＝－＝－,
tan∠BOM＝
＝＝,
则tan∠AOM＝tan∠BOM,即∠AOM＝∠BOM,
所以.
(2)(2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
①求p;
②若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
解　①由题意知M(0,－4),F,圆M的半径r＝1,
所以|MF|－r＝4,
即＋4－1＝4,解得p＝2.
②法一　由①知,抛物线方程为x2＝4y,
由题意可知直线AB的斜率存在,
设A,B,直线AB的方程为y＝kx＋b,
则Δ＝16k2＋16b>0　(※),
x1＋x2＝4k,x1x2＝－4b,
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝4·.
联立消去y,得x2－4kx－4b＝0,
因为x2＝4y,即y＝,所以y'＝,
则抛物线在点A处的切线斜率为,在点A处的切线方程为y－(x－x1),
即y＝x－.
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x－,
因为点P在圆M上,
所以4k2＋(4－b)2＝1, (*)
且－1≤2k≤1,－5≤－b≤－3,即－≤k≤,3≤b≤5,满足(※).
设点P到直线AB的距离为d,
则d＝,
所以S△PAB＝|AB|·d＝4.
由(*)得,k2＝,
令t＝k2＋b,则t＝,
且3≤b≤5.
因为t＝在[3,5]上单调递增,所以当b＝5时,t取得最大值,tmax＝5,此时k＝0,
所以△PAB面积的最大值为20.
法二　AB是点P的极线,
设P(x0,y0),
则AB的方程为x0x＝2(y＋y0),
与抛物线联立,可得x2－2x0x＋4y0＝0,
所以S＝|AB|·d＝(－4y0
＝[1－(y0＋4)2－4y0
＝(－－12y0－15,
y0∈[－5,－3].
令t＝－－12y0－15,
当y0＝－5时,t取最大值,最大值为20,
所以当y0＝－5时,S取得最大值为20.
17.(湘教版选择性必修第一册P172T15,P173T19拓展)圆锥曲线中的蝴蝶定理
(1)定理1:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则|MP|＝|MQ|.
证明　如图,以M为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0,
设A(0,t),B(0,－t),
则t和－t是方程Cy2＋Ey＋F＝0的两个根,
t＋(－t)＝,得E＝0.
若CD,EF有一条斜率不存在,
则P,Q与A,B重合,结论成立.
若CD,EF斜率都存在,
设C(x1,k1x1),D(x2,k1x2),E(x3,k2x3),F(x4,k2x4),P(0,m),Q(0,n),
CE:y－k1x1＝(x－x1),
则m＝(－x1)＋k1x1
＝,
同理,n＝,
所以m＋n＝,
＝,
将y＝k1x代入圆锥曲线方程得
(A＋Bk1＋C)x2＋Dx＋F＝0,
x1＋x2＝,
x1x2＝,
同理x3＋x4＝,
x3x4＝,
所以m＋n＝
＝0,
所以|MP|＝|MQ|.
(2)定理2:A,B是椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆的弦PQ过定点M(t,0),直线PQ的斜率k不为零,则.
证明　如图,过M作x轴的垂线,交AP,BQ分别为H,G,由定理1得|HM|＝|MG|,
.
(3)定理3:在抛物线y2＝2px(p>0)中,过Q(t,0)的直线AC,BD与抛物线分别交于点A,C,B,D,直线AB,CD分别与x轴交于M (m,0),N(n,0),则mn＝t2,.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
则kAB＝,
所以AB:y－y1＝(x－x1),
即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2,
又直线AB过点M,故y1y2＝－2pm,
同理y3y4＝－2pn,y1y3＝－2pt,y2y4＝－2pt,
y1y3·y2y4＝－2pt·(－2pt)＝y1y2·y3y4
＝－2pm·(－2pn),
即m·n＝t2.
＝＝.
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|＝3.
①求C的方程;
②设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α－β取得最大值时,求直线AB的方程.
解　①当MD⊥x轴时,有|MF|＝＋p＝3,得p＝2,
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
②法一　根据①知F(1,0),D(2,0).
当MN⊥x轴时,易得α＝β＝,
此时α－β＝0.
当MN的斜率存在时,设M(x1,y1),
N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
则直线MN的方程为
y－y1＝(x－x1),
即y－y1＝(x－x1),
即y－y1＝(x－x1),
即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1),
所以直线MN的方程为
y(y1＋y2)－y1y2＝4x,tan α＝.
同理可得,直线AM的方程为
y(y3＋y1)－y3y1＝4x,
直线BN的方程为
y(y4＋y2)－y4y2＝4x,
直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.
因为F(1,0)在MN上,所以y1y2＝－4.
因为D(2,0)在AM,BN上,
所以y3y1＝－8,y4y2＝－8,
所以y3＝－,y4＝－.
所以y3＋y4＝－＝－
＝－＝2(y1＋y2),
y3y4＝＝－16,
所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x,
所以tan β＝,
所以tan(α－β)＝
＝＝2×.
当y2＋y1<0时,tan(α－β)<0,
所以不符合题意.
当y2＋y1>0时,(y2＋y1)＋≥4,
tan(α－β)≤2×,
当且仅当y2＋y1＝,
即y2＋y1＝2时取等号,
此时α－β取得最大值,直线AB的方程为x－y－4＝0.
综上,当α－β取得最大值时,直线AB的方程为x－y－4＝0.
法二　欲使α－β取得最大值,则直线AB的斜率必存在且为正.
由抛物线中的蝴蝶定理(定理3)知＝2,即kMN＝2kAB,
tan(α－β)＝＝≤,
当且仅当kAB＝时,不等式取等号.
设AB与x轴交于点E,由蝴蝶定理(定理3)＝xE·xF,得xE＝4,
从而此时AB的直线方程为y＝(x－4),
即x－y－4＝0.
(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:＋y2＝1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·＝8.P为直线x＝6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
①求E的方程;
②证明:直线CD过定点.
解　 ①由题设得A(－a,0),B(a,0),G(0,1).
则＝(a,1),＝(a,－1).
由·＝8,得a2－1＝8,
解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
②证明　法一　设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).
若t≠0,设直线CD的方程为x＝my＋n,由题意可知－3易知直线PA的方程为y＝(x＋3),
所以y1＝(x1＋3).
易知直线PB的方程为y＝(x－3),
所以y2＝(x2－3).
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3). (ⅰ)
由于＝1,
故＝－, (ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3),
结合x＝my＋n,
得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0. (ⅲ)
将x＝my＋n代入＋y2＝1,
得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－,y1y2＝.
代入(ⅲ)式
得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.
解得n＝－3(舍去)或n＝.
故直线CD的方程为x＝my＋,
即直线CD过定点.
若t＝0,则直线CD的方程为y＝0,过点.
综上,直线CD过定点.
法二　根据对称性,直线CD所过定点一定是它与x轴的交点T,如图所示,
过T作垂直于x轴的弦C'D'分别交AP,PD于点M,N,
显然|TC'|＝|TD'|,
由蝴蝶定理知|TM|＝|TN|,
根据相似且等量代换后可知,
解得xT＝,故直线CD过定点.
18.(人教A版选择性必修第一册P138T6,人教B版选择性必修第一册P178T12拓展)手电筒模型:在圆锥曲线上任取一个定点,向曲线上任意两个非该定点的动点引出直线,若引出直线的斜率之和或者之积为定值,则两动点的连线过定点或者斜率为定值.形式上,定点像一个点光源,向两个动点射出光线,犹如“手电筒”,故而得名.
(1)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两斜率互为相反数的直线交双曲线于P,Q两点,则kPQ＝－·＝－kA切.
证明　PQ:y＝mx＋n,
AP(AQ):y－y0＝k(x－x0),
得(b2－a2k2)x2－2ka2(y0－kx0)x－a2(y0－kx0)2－a2b2＝0,
x0＋xp＝,
xp＝,
联立xp＝,
联立
即,
(ma2x0＋a2y0＋a2n)k2－(2b2x0＋2ma2y0)k＋b2y0－b2n＋mb2x0＝0,kAP＋kAQ＝0,
得2b2x0＋2ma2y0＝0,
即m＝kPQ＝＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(2)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),其它条件不变,则kPQ＝·＝－kA切.
证明　联立
得(b2＋a2k2)x2＋2ka2(y0－kx0)x＋a2(y0－kx0)2－a2b2＝0,
xp＝,
即(a2n＋mx0a2＋a2y0)k2＋2(b2x0－a2y0m)k－(y0－n)b2－mb2x0＝0,
由kAP＋kAQ＝0,得b2x0－a2y0m＝0,
即m＝kPQ＝＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(3)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则kPQ＝－＝－kA切.
证明　联立
得k2x2＋[2k(y0－kx0)－2p]x＋(y0－kx0)2＝0,
xp＝,
即(y0＋n＋mx0)k2－2(my0＋p)k＋2pm＝0,
由kAP＋kAQ＝0,
得my0＋p＝0,即m＝kPQ＝－＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(4)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,且kAP＋kAQ＝λ(λ≠0),则直线PQ过定点.
证明　由(1)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为
y＝＋m,
故直线PQ过定点.
(5)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),其它条件不变,则直线PQ过定点.
证明　由(2)知＝λ,
即n＝m,
y＝mx＋n可变为
y＋＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
(6)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则直线PQ过定点.
证明　由(3)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为y＋y0－＝m,
故直线PQ过定点.
(7)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由(1)知＝λ,
即n＝m＋,
y＝mx＋n可变为
y－＝m,
故直线PQ过定点.
(8)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),过点A作两直线交椭圆于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由(2)知＝λ,
即n＝·m＋y0,
y＝mx＋n可变为
y－y0＝m,
故直线PQ过定点.
(9)把双曲线换成抛物线y2＝2px0(p>0),过点A作两直线交抛物线于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ(λ≠0),则直线PQ过定点.
证明　由(3)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为y＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
(10)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,α,β为直线AP,AQ的倾斜角,且tan(α＋β)＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由tan(α＋β)＝λ得kAP＋kAQ＋λkAP·kAQ＝λ,
结合(1)可得,
n＝m＋,
y＝mx＋n可变为y－
＝m,
故直线PQ过定点.
(11)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),
其它条件不变,则直线PQ过定点 (－,－).
证明　结合(2)可得,
n＝m－,
y＝mx＋n可变为y＋
＝m,
故直线PQ过定点.
(12)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则直线PQ过定点(x0－2p－,－y0).
证明　结合(3)可得,
n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为
y－＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
【应用示例】 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:＝1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
①求l的斜率;
解　法一　①将点A的坐标代入双曲线方程得＝1,
化简得a4－4a2＋4＝0,得a2＝2,
故双曲线C的方程为－y2＝1.
由题易知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y＝kx＋m,
P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立直线l与双曲线C的方程,消y整理得
(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0,
故x1＋x2＝－,x1x2＝.
kAP＋kAQ＝
＝＝0,
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0,
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0,
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0,
又直线l不过点A,即m＋2k－1≠0,
故k＝－1.所以l的斜率为－1.
法二　易得双曲线C的方程为－y2＝1,
PQ:y＝mx＋n,AP:y－1＝k(x－2),
得(1－2k2)x2－4k(1－2k)x－2(1－2k)2－2＝0,
xP＝,
2(2m＋n＋1)k2－4(1＋m)k＋1－n＋2m＝0,
由kAP＋kBP＝0,得m＝－1.
所以l的斜率为－1.
②若tan ∠PAQ＝2,求△PAQ的面积.
解　不妨设直线PA的倾斜角为θ,由题意知∠PAQ＝π－2θ,
所以tan ∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2,
解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去).
由得x1＝,
所以|AP|＝|x1－2|＝,
同理得x2＝,
所以|AQ|＝|x2－2|＝.
因为tan ∠PAQ＝2,
所以sin ∠PAQ＝,
故S△PAQ＝|AP||AQ|sin ∠PAQ
＝×××
＝.
(2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).
①求C的方程;
解　由题设得＝1,
,
解得a2＝6,b2＝3.
所以C的方程为＝1.
②点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
证明　法一　设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直,
设直线MN的方程为y＝kx＋m,
代入＝1,
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－,x1x2＝.(*)
由AM⊥AN,得·＝0,
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0,
整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将(*)代入上式,可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0,
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2,1)不在直线MN上,
所以2k＋m－1≠0,
所以2k＋3m＋1＝0,k≠1.
所以直线MN的方程为y＝k(k≠1).
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,－y1).
由·＝0,
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又＝1,所以3－8x1＋4＝0.
解得x1＝2(舍去),或x1＝.
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点,即Q.
若D与P不重合,
则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|＝|AP|＝.
若D与P重合,则|DQ|＝|AP|.
综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.
法二　若直线MN与x轴不垂直.
设MN:y＝mx＋n,
AM:y－1＝k(x－2),
得xm＝,
得(1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(1－2k)2－6＝0,
2＋xm＝,xm＝,
即2(n＋2m＋1)k2＋4(1－m)k－1＋n－2m＝0,
kAM·kAN＝＝－1,
n＝－m－,
y＝mx＋n变为y＋＝m,
故直线MN过点P,
其它同法一.
教材阅读文字·拓展
03
1.通过阅读《阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用》(人教A版选择性必修第一册P140)、《拓展阅读——圆锥曲线的光学性质》(人教B版选择性必修第一册P172)、《阅读教材二——圆锥曲线的光学性质》(北师大版选择性必修第一册P86)和《数学实验——用计算机探究圆锥曲线的光学性质》(湘教版选择性必修第一册P166)、《阅读题——圆锥曲线的光学性质》(苏教版选择性必修第一册P126T17),可从中提炼出如下结论:
(1)从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.
证明　如图,设椭圆＝1(a>b>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P的切线l,法线PM⊥l交x轴于点M,
l:＝1,
PM:y－y0＝(x－x0), M,|PF1|＝a＋ex0,|PF2|＝a－ex0,
所以,
所以PM为∠F1PF2的角平分线.故结论成立.
(2)从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.
证明　如图,设双曲线＝1(a>0,b>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P的切线l交x轴于点N,法线PM⊥l交x轴于点M,PF1的反向延长线为PA,
l:＝1,N,
|PF1|＝ex0＋a,|PF2|＝ex0－a,
所以,
所以∠F1PN＝∠F2PN,
所以∠APM＝∠F2PM,即PM是∠F2PA的角平分线.故结论成立.
(3)从抛物线的焦点出发的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于对称轴.
证明　如图,设抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P处的切线l,法线PM⊥l交x轴于点M,PA为反射光线.
l:y0y＝p(x＋x0),
PM:y－y0＝－(x－x0),
M(p＋x0,0),|PF|＝x0＋,
|FM|＝p＋x0－＝x0＋,
所以|PF|＝|FM|,所以∠FMP＝∠FPM,
又因为∠FPM＝∠MPA,
所以∠FMP＝∠MPA,
所以PA∥x轴.故结论成立.
【应用示例】 已知双曲线C:＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,根据双曲线的光学性质可知,过双曲线C上任意一点P(x0,y0)的切线l:＝1(a>0,b>0)平分∠F1PF2.直线l1过F2交双曲线C的右支于A,B两点,设△AF1F2,△BF1F2,△ABF1的内心分别为I1,I2,I,若△II1I2与△F2I1I2的面积之比为,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
C
解析　令圆I1切AF1,AF2,F1F2分别为点P,Q,T,
则|AP|＝|AQ|,|F1P|＝|F1T|,
|F2Q|＝|F2T|,
|F1T|－|F2T|＝|F1P|－|F2Q|＝|AF1|－|AF2|＝2a.
令点T(x0,0),而F1(－c,0),F2(c,0),
因此x0－(－c)－(c－x0)＝2a,
解得x0＝a,
又I1T⊥F1F2,则点I1横坐标为a,
同理点I2横坐标为a,即直线I1I2的方程为x＝a.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
依题意,直线AI,BI的方程分别为:＝1,＝1,
联立消去y得:y2＝y1,
整理得x＝.
令直线AB的方程为x＝my＋c,
于是x＝,
即点I的横坐标为,
因此,
所以双曲线C的离心率e＝.
2.通过阅读《阅读材料——圆锥的截线》(北师大版选择性必修第一册P77)和《拓展阅读——倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆》(人教B版选择性必修第一册P134),可从中提炼出如下结论:
(1)在圆锥内放两个大小不同的球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,两个球分别与截面相切于点F1,F2,则截口曲线为椭圆.
证明　如图,在截口曲线上任取一点A,过点A作圆锥的母线,分别与两个球相切于点C,B,由球和圆的几何性质,可得|AF1|＝|AC|,|AF2|＝|AB|,所以|AF1|＋|AF2|＝|AB|＋|AC|＝|BC|>|F1F2|,由椭圆的定义可知,截口曲线是椭圆.
(2)平面α与圆柱相交,且平面α不与圆柱的轴垂直,则截口曲线为椭圆.
证明　取半径与圆柱底面半径相同的两个球,从平面α的两侧放入圆柱面内,并使得两个球都与平面α相切,切点分别为F1,F2.
设P为截口曲线C上任一点,过点P作圆柱的母线,分别与两个球相切于A,B,由球和圆的几何性质,|PF1|＝|PA|,|PF2|＝|PB|,
所以|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|>|F1F2|,
由椭圆的定义可知,截口曲线是椭圆.
(3)用一个平面去截圆锥,得到的曲线满足到定点的距离与到定直线的距离之比为常数.
证明　连接MF,因为M(P曲线上的点)为平面β内一点,F是平面β与球的切点,
所以MF是球的切线,
同理,MP也是切线,
|MF|＝|MP|(类比圆的切线长定理).
做MN⊥l于点N,MH⊥OP交延长线于H,则MH∥VD,
于是动点M到定点F的距离d＝|MF|＝|MP|,
动点M到定直线l的距离d1＝|MN|,则,
如图所示,圆锥中母线与轴VD的夹角为θ,△VOP与△MHP相似,∠PMH＝∠PVO＝θ,∴|MP|＝.
在Rt△MHN中,∠NMH是平面β与轴VD的夹角记为γ,
∴|MN|＝,
,
所以动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比为常数,
因此M的轨迹是圆锥曲线.
引申:当γ＝θ时,e＝＝1,截口曲线为抛物线;
当θ<γ<时,e＝∈(0,1),截口曲线为椭圆;
当γ<θ时,e＝>1,截口曲线为双曲线.
【应用示例】 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于　　　　.
解析　该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.
旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,
如图,设∠SAB＝α,则cos α＝,
|AC|＝6,|AB|＝8,
所以|BC|2＝62＋82－2×6×8×＝68,|BC|＝2,
即2a＝2,a＝,|SO|＝8,
|CD|＝4,O'为椭圆的中点,|O'E|＝2,D,O,E分别为C,S,O'在底面上的射影,
可得|DO|＝2,|OE|＝1,F为小圆的圆心,M为小圆与椭圆的交点,|OF|＝2,
可得|FM|＝3,MO'⊥CD,MO'⊥O'F,CD与O'F相交,CD,O'F 平面BCD,
则O'M⊥平面BCD,因为BC 平面BCD,故MO'⊥BC,MN是椭圆的短轴长为2＝4,b＝2,c＝＝3,
椭圆的离心率为e＝.
教材典型母题·必刷
04
母题1 (人教A版选择性必修第一册P79T10)已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0,边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求:
(1)顶点C的坐标;
解　设C(m,n),∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0,AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0,
(2)直线BC的方程.
∴kBC＝,
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4),化为6x－5y－9＝0.
母题2 (人教A版选择性必修第一册P84例3)已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,
－2)两点,且圆心C在直线l:x－y＋1＝0上,求此圆的标准方程.
解　法一　设圆心C的坐标为(a,b).
因为圆心C在直线l:x－y＋1＝0上,
所以a－b＋1＝0. ①
因为A,B是圆上两点,所以|CA|＝|CB|.
根据两点间距离公式,有,
即a－3b－3＝0. ②
由①②可得a＝－3,b＝－2,
所以圆心C的坐标是(－3,－2).
圆的半径r＝|AC|＝＝5.
所以所求圆的标准方程是
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
法二　如图,设线段AB的中点为D.
由A,B两点的坐标为(1,1),(2,-2),
可得点D的坐标为,
直线AB的斜率为kAB==-3.
因此,线段AB的垂直平分线l'的方程是
y＋,
即x－3y－3＝0.
由垂径定理可知,圆心C也在线段AB的垂直平分线上,
所以圆心C的坐标是(－3,－2).
圆的半径r＝|AC|＝＝5.
所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　.
(x-1)2+(y+1)2=5
解析　法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2,
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0),
则M(－,－),
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0,
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法三　设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,
则kAB＝＝－,
AB的中点坐标为(,),
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3(x－),即3x－y－4＝0.
所以M(1,－1),
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5,
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
联立得
母题3 (人教A版选择性必修第一册P87例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解　设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,
所以x＝,y＝.
于是有x0＝2x－4,y0＝2y－3. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,
所以点A的坐标满足圆的方程,
即(x0＋1)2＋＝4. ②
把①代入②,得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4,
整理,得＝1.
这就是点M的轨迹方程,它表示以
为圆心,半径为1的圆.
(2020·全国Ⅲ卷)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若·＝1,则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
解析　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设点A,B分别为(－a,0),(a,0)(a>0),点C为(x,y),则＝(x＋a,y),＝(x－a,y),所以·＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2－a2＝1,整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C的轨迹为圆.故选A.
A
母题4 (人教A版选择性必修第一册P98T3)求直线l:3x－y－6＝0被圆C:x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长.
解　将圆的方程x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程,得(x－1)2＋(y－2)2＝5,
∴圆心坐标为(1,2),半径为,
∴圆心到直线l的距离d＝＝,
弦AB的长|AB|＝2.
(1)(2025·天津卷)l1:x－y＋6＝0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C,D两点,|AB|＝3|CD|,则r＝　　　　.
2
解析　因为直线l1:x－y＋6＝0与x轴交于点A,与y轴交于点B,
所以A(－6,0),B(0,6),所以|AB|＝6.
因为|AB|＝3|CD|,所以|CD|＝2.
圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1,3),
圆心到直线l1的距离d＝,
所以r＝＝2.
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C:(x－1)2＋y2＝4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　　　　　　　　　　　　.
2(答案不唯一,可以是±,±2中任意一个)
解析　设直线x－my＋1＝0为直线l,
由条件知☉C的圆心为C(1,0),半径R＝2,
则圆心C到直线l的距离d＝,
|AB|＝2＝2＝.
由S△ABC＝,得××,
整理得2m2－5|m|＋2＝0,
解得m＝±2或m＝±,故答案可以为2.
母题5 (人教A版选择性必修第一册P102T10)求点P(－2,－1)到直线l:(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ为任意实数)的距离的最大值.
解　将(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0化为λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0,
因为λ为任意实数,
所以
即直线(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0恒过定点(1,1),
所以点P(－2,－1)到直线l的距离的最大值为.
(2020·全国Ⅲ卷)点(0,－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A.1 B.
C. D.2
解析　设点A(0,－1),直线l:y＝k(x＋1),得l恒过定点B(－1,0),当AB⊥l时,点A(0,－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大,最大值为.故选B.
B
母题6 (人教A版选择性必修第一册P99习题2.5T13)已知圆x2＋y2＝4,直线l:y＝x＋b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1
解　由圆C的方程:x2＋y2＝4,可得圆C的圆心为原点O(0,0),半径为2.
若圆C上恰有3个点到直线l的距离等于1,则O到直线l:y＝x＋b的距离d等于1.
直线l的一般方程为x－y＋b＝0,
∴d＝＝1,
解得b＝±.
(2025·新高考Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,3)
C.(3,＋∞) D.(0,＋∞)
B
解析　易得圆心(0,－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2.
若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个,
则d－1母题7 (人教A版选择性必修第一册P103T20)已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2＝25,直线l:(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求证:直线l恒过定点;
证明　直线l的方程可化为
(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0,
联立
故恒过定点(3,1).
(2)直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短 并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.
解　当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长.
设P(3,1),C(1,2),当直线l⊥CP时直线被圆截得的弦长最短,
此时直线l的斜率为
k＝－,kCP＝－,
由k·kCP＝－1得m＝－,
此时l的方程为2x－y－5＝0,
圆心C(1,2)到直线2x－y－5＝0的距离为
d＝,
最短弦长＝2＝4,
故当l过圆心时弦长最长,
当l的方程为2x－y－5＝0时弦长最短,
弦长最短时m＝－,最短弦长为4.
(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.2
解析　根据题意有2b＝a＋c,即a－2b＋c＝0,
所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1,－2).
设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C,连接CM,
则AB⊥CM时,|AB|最小,
将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5,
则C(0,－2),所以|MC|＝1,
所以|AB|的最小值为2＝4.
C
母题8 (人教B版选择性必修第一册P113例1)已知直线y＝x＋b,圆x2＋y2＝2,分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围.
解　法一　联立直线的方程与圆的方程,
得方程组
从方程组中消去y,整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0, ①
这个方程的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当且仅当－20,方程①有两个不相等的实数解,此时直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;
当且仅当b＝2或b＝－2时,Δ＝0,方程①有两个相等的实数解,此时直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;
当且仅当b<－2或b>2时,Δ<0,方程①没有实数解,此时直线与圆没有公共点,直线与圆相离.
法二　因为圆的半径r＝,圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝.
当且仅当d当且仅当d＝r,即,b＝2或b＝－2时,直线与圆相切;
当且仅当d>r,即>,b<－2或b>2时,直线与圆相离.
(1)(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0,则x－y的最大值是(　　)
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.72
C
解析　将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆.
设z＝x－y,即x－y－z＝0,
由题意得≤3,
解得1－3≤z≤1＋3,
故z＝x－y的最大值为1＋3,故选C.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3),B(0,a),若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点,则a的取值范围是　　　　.
解析　法一　由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A'(－2,2a－3),
所以kA'B＝,所以直线A'B的方程为y＝x＋a,即(3－a)x－2y＋2a＝0.
由题意知直线A'B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点,
易知圆心为(－3,－2),半径为1,所以≤1,
整理得6a2－11a＋3≤0,解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.
法二　易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1,
由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为y＝x＋a,
即(a－3)x－2y＋2a＝0,
又对称圆的圆心为(3,－2),半径为1,
所以≤1,
整理得6a2－11a＋3≤0,解得≤a≤,
所以实数a的取值范围是.
法三　易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1,
由题意知该对称圆与直线AB有公共点.
设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2),即kx－y＋3＋2k＝0,
因为对称圆的圆心为(3,－2),半径为1,
所以≤1,解得－≤k≤－,
又k＝,所以－≤≤－,解得≤a≤,
所以实数a的取值范围是.
母题9 (人教B版选择性必修第一册P121习题2－3AT4)若P(x,y)是圆C:(x－3)2＋y2＝1上的任意一点,求P(x,y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
解　由圆C:(x－3)2＋y2＝1,
可得圆心C(3,0),半径r＝1,
∴圆心C(3,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2,
∴P(x,y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值分别为2＋1,2－1.
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　 )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|＝3 D.当∠PBA最大时,|PB|＝3
ACD
解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5),由题意知直线AB的方程为＝1,即x＋2y－4＝0,则圆心M到直线AB的距离d＝>4,所以直线AB与圆M相离,所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋,又4＋<5＋＝10,故A正确;
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4,又－4<－4＝1,故B不正确;
过点B作圆M的两条切线,切点分别为N,Q,
如图所示,连接MB,MN,MQ,则当∠PBA最小时,
点P与N重合,
|PB|＝＝3;
当∠PBA最大时,点P与Q重合,|PB|＝3,
故C,D都正确.综上,选ACD.
母题10 (苏教版选择性必修第一册P67T12)对于圆C:x2＋y2＝r2,直线l:ax＋by＝r2,分别根据下列条件,判断直线l与圆C的位置关系:
(1)点P(a,b)在圆C上;
(2)点P(a,b)在圆C外.
解　(1)当点P(a,b)在圆C上时,
a2＋b2＝r2.
因为圆心到直线l的距离d＝＝r,
故直线l与圆C相切.
(2)当点P(a,b)在圆C外时,a2＋b2>r2.
因为圆心到直线l的距离d＝故直线l与圆C相交.
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax＋by－r2＝0与圆C:x2＋y2＝r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　 　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
ABD
解析　圆心C(0,0)到直线l的距离d＝.若点A(a,b)在圆C上,则a2＋b2＝r2,所以d＝＝|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,则a2＋b2|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,则a2＋b2>r2,所以d＝<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2,所以d＝＝|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
母题11 (湘教版选择性必修第一册P99例6)证明圆C1:x2＋y2－4x－16＝0与圆C2:x2＋y2＋2y－4＝0内切,并求它们的公切线方程.
解　将圆C1的方程化成标准方程,
得(x－2)2＋y2＝20,
则圆心坐标为(2,0),半径r1＝＝2,
将圆C2的方程化成标准方程,
得x2＋(y＋1)2＝5,
则圆心坐标为(0,－1),半径r2＝.
两圆心之间的距离
d＝＝r1－r2,
因此两圆内切(如图).
为求公切线方程,需要求切点坐标,切点是两圆唯一的公共点,
其坐标即为方程组
由②－①,得4x＋2y＋12＝0,
即y＝－2x－6. ③
将③代入②,整理得x2＋4x＋4＝0.
解此方程,得唯一解x＝－2,
代入③,得y＝－2,
故切点坐标为(－2,－2).
切点(－2,－2)与圆C1的圆心(2,0)连线的方向向量为(2－(－2),0－(－2))＝(4,2),并且与切线方向垂直,
故向量(4,2)是切线的法向量,
因此可设切线的一般式方程为4x＋2y＋C＝0.
将切点(－2,－2)的坐标代入上述方程,
解得C＝12.
因此,所求切线方程为2x＋y＋6＝0.
(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .
x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一,只需写出上述三个方程中的一个即可)
解析　如图,因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0),半径r1＝1,圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4),半径r2＝4,
所以|OA|＝5,r1＋r2＝5,所以|OA|＝r1＋r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:
①易知公切线l1的方程为x＝－1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.
易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x,
由
由对称性可知公切线l2过点.
设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1),
则点O(0,0)到l2的距离为1,
所以1＝,解得k＝,
所以公切线l2的方程为y＋(x＋1),
即7x－24y－25＝0.
③还有一条公切线l3与直线l:y＝x垂直,设公切线l3的方程为y＝－x＋t,
易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,
所以1＝,
解得t＝或t＝－(舍去),
所以公切线l3的方程为y＝－x＋,
即3x＋4y－5＝0.
综上,所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
母题12 (人教A版选择性必修第一册P108例2)如图,在圆x2＋y2＝4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 (当点P经过圆与x轴的交点时,规定点M与点P重合.)
解　设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
则点D的坐标为(x0,0).
由点M是线段PD的中点,得x＝x0,y＝.
因为点P(x0,y0)在圆x2＋y2＝4上,
所以＝4. ①
把x0＝x,y0＝2y代入方程①,
得x2＋4y2＝4,
即＋y2＝1.
所以点M的轨迹是椭圆.
(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C:x2＋y2＝16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　)
A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)
C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)
解析　法一　设M(x0,y0),
则P(x0,2y0),
因为点P在曲线C上,
所以＋(2y0)2＝16(y0>0),
A
即＝1(y0>0),
所以线段PP'的中点M的轨迹方程为
＝1(y>0),故选A.
法二(数形结合法)
由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半,横坐标不变,即可得到点M的轨迹.曲线C为半圆,则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分),其中长半轴长为4,短半轴长为2,故选A.
母题13 (1)(人教A版选择性必修第一册P112练习T4)求适合下列条件的椭圆的标准方程:①经过P(－3,0),Q(0,－2)两点;②长轴长等于20,离心率等于.
解　①设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1,(m>0,n>0,m≠n),
解得m＝,n＝,
∴椭圆的标准方程为＝1.
把P(－3,0),Q(0,2)代入,得
②∵椭圆的长轴长等于20,离心率等于,
∴解得a＝10,c＝6,
∴b2＝100－36＝64,
∴椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)(人教A版选择性必修第一册P114T2)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求线段AB的长.
解　由椭圆的方程知F1(－1,0),
∴直线l的方程为y＝tan 60°(x＋1),
即y＝(x＋1).
与椭圆的方程联立,并消去y,得7x2＋12x＋4＝0.
由根与系数的关系,知xA＋xB＝－, xAxB＝,
∴|AB|＝＝.
(3)(人教A版选择性必修第一册P115T4(1))求经过P(－2,0),Q(0,)两点的椭圆的标准方程.
解　椭圆经过点P(－2,0),Q(0,),
可知椭圆的焦点在x轴上,
设椭圆方程为＝1(a>b>0),
∴a＝2,b＝,
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
解　由题意得2a＝4,解得a＝2.
由e＝,得c＝a＝,
又b2＝a2－c2,所以b＝.
所以C的方程为＝1.
(2)过点(0,－2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为,求|AB|.
解　由题意得l的斜率存在且不为0,设斜率为k,则直线l的方程为y＝kx－2,
由Δ＝16(2k2－1)>0,得k2>,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并化简得 (1＋2k2)x2－8kx＋4＝0,
设直线l与x轴交于点M,则M,
S△AOB＝|OM||y1－y2|
＝|(kx1－2)－(kx2－2)|＝|x1－x2|
＝＝,
解得k2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝×.
母题14 (人教A版选择性必修第一册P115T3)求下列各椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标,并画出图形:
(1)x2＋4y2＝16;
解　椭圆的标准方程为
＝1,
则a＝4,b＝2,c＝＝2,
所以长轴长2a＝8,短轴长2b＝4,离心率e＝,
焦点坐标为(2,0),(－2,0),顶点坐标为(4,0),(－4,0),(0,2),(0,－2),图形如图.
(2)9x2＋y2＝81.
解　椭圆的标准方程为＝1,
则a＝9,b＝3,
c＝＝6,
所以长轴长2a＝18,
短轴长2b＝6,
离心率e＝,
焦点坐标为(0,6),(0,－6),顶点坐标为(3,0),(－3,0),(0,9),(0,－9),图形如图.
(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:＋y2＝1(a>1),C2:＋y2＝1的离心率分别为e1,e2,若e2＝e1,则a＝(　　)
A. B.
C. D.
A
解析　由已知得e1＝,e2＝,
因为e2＝e1,所以×,
解得a＝,故选A.
母题15 (人教B版选择性必修第一册P143习题2－5CT3)已知点A(1,1),而且F1是椭圆＝1的左焦点,P是椭圆上任意一点,求|PF1|＋|PA|的最小值和最大值.
解　因为F1是椭圆＝1的左焦点,
则F1(－2,0),
设F2是椭圆＝1的右焦点,
则F2(2,0),
又因为P是椭圆上的任意一点,
所以|PF1|＋|PF2|＝6,
又因为A(1,1)在椭圆内部,
则|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|
＝6＋|PA|－|PF2|,
因为||PA|－|PF2||≤|AF2|,
即－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|,
又因为|AF2|＝,
即－≤|PA|－|PF2|≤,
所以6－≤|PF1|＋|PA|≤6＋,
当且仅当P,A,F2三点共线时等号成立,
即直线AF2与椭圆的两个交点,其中一个点使|PF1|＋|PA|取最大值,
另一个交点使|PF1|＋|PA|取最小值,
所以|PF1|＋|PA|的最大值为6＋,最小值为6－.
C
(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:＝1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12
C.9 D.6
解析　由椭圆C:＝1,得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6,
则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9,当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.故选C.
母题16 (北师大版选择性必修第一册P58A组T8)已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为,其左焦点F到直线l:y＝x－2的距离为2,求此椭圆方程.
解　∵椭圆＝1(a>b>0)的离心率为,∴,
又左焦点F到直线l:y＝x－2的距离为2,
∴＝2,
解得c＝2,可得a＝2,
则b＝＝2.
∴所求椭圆方程为＝1.
B
(2022·全国甲卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·＝－1,则C的方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＋y2＝1
解析　依题意得A1(－a,0),A2(a,0),B(0,b),
所以＝(－a,－b),＝(a,－b),
·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1,故c＝1,
又C的离心率e＝,
所以a＝3,a2＝9,b2＝a2－c2＝8,
所以C的方程为＝1,故选B.
母题17 (北师大版选择性必修第一册P90T2)经过椭圆C:＋y2＝1的中心作直线l,与椭圆C交于P,Q两点,设椭圆C的右焦点为F,已知∠PFQ＝,求△PFQ的面积.
解　设椭圆的左焦点为F1,
由椭圆的对称性可知|F1P|＝|FQ|,|F1Q|＝|PF|,
所以四边形F1PFQ为平行四边形,
所以S△PFQ＝,
因为∠PFQ＝,所以∠F1PF＝,
由椭圆定义可得|PF1|＋|PF|＝2,|F1F|＝2,
由余弦定理可得
4＝|PF1|2＋|PF|2－2|PF1||PF|cos ,
所以4＝(|PF1|＋|PF|)2－3|PF1||PF|,
即|PF1|·|PF|＝,
所以S△PFQ＝
＝×|PF1||PF|sin .
母题18 (人教B版选择性必修第一册P180T6)过椭圆＝1(a>b>0)的中心作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,求△PFQ的周长的最小值.
解　设椭圆的另一个焦点为F1,连接PF1,QF1.
由题知,PQ,F1F互相平分,
∴四边形PF1QF为平行四边形,
∴|QF|＝|PF1|,
由椭圆的定义知,|PF|＋|PF1|＝2a,∴|PF|＋|QF|＝2a,
∴△PFQ的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝2a＋|PQ|,
又当P,Q分别为椭圆的上下顶点时,|PQ|取最小值2b,
∴△PFQ的周长的最小值为2a＋2b.
母题19 (人教A版选择性必修第一册P103T18)求由曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积.
解　当x≥0,y≥0时,,
表示的图形占整个图形的,
而,
表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆,
∴S＝4＝2＋π,
故围成的图形的面积为2＋π.
母题20 (人教A版选择性必修第一册P127T10)设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x＝的距离的比是(a解　设M(x,y),
由已知,得,
所以,
两边平方,得(x－c)2＋y2＝,
化简得动点M的轨迹方程为
(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2),
当a它表示中心在原点,焦点在x轴上,实半轴长为a,虚半轴长为的双曲线.
ABD
A.a＝－2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
(多选) (2024·新高考Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于－2,到点F(2,0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4,则(　　 )
解析　因为坐标原点O在曲线C上,
所以2×|a|＝4,又a<0,所以a＝－2,所以A正确;
因为点(2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离之积为(2－2)(2＋2)＝4,
所以点(2,0)在曲线C上,所以B正确;
设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点,
则有·(x＋2)＝4,
所以y2＝－(x－2)2,
令f(x)＝－(x－2)2,
则f'(x)＝－－2(x－2),
因为f(2)＝1,且f'(2)<0,所以函数f(x)在x＝2附近单调递减,
即必定存在一小区间(2－ ,2＋ )使得f(x)单调递减,
所以在区间(2－ ,2)上均有f(x)>1,
所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1,所以C错误;
因为点(x0,y0)在C上,所以x0>－2且(x0＋2)＝4,
得－(x0－2)2≤,
所以y0≤|y0|≤,
所以D正确.
母题21 (人教A版选择性必修第一册P124例3)求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解　把双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程＝1.
由此可知,实半轴长a＝4,虚半轴长b＝3;c＝＝5,焦点坐标是(0,－5),(0,5);离心率e＝;渐近线方程为y＝±x.
D
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2
解析　依题意得b＝a,又c2＝a2＋b2,
所以c2＝a2＋(a)2＝8a2,即c＝2a,
故e＝2.故选D.
(2)(2025·北京卷)双曲线x2－4y2＝4的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
B
解析　由x2－4y2＝4,得－y2＝1,
所以a2＝4,b2＝1,c2＝a2＋b2＝5,
即a＝2,c＝,
所以e＝.
母题22 (人教A版选择性必修第一册P127练习T3)直线y＝x与双曲线＝1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积为－9,求离心率e.
解　双曲线＝1(a>0)的虚轴长为4,
联立直线y＝x与双曲线方程,
消去y可得x2＝1,
直线y＝x与双曲线交于A,B两点,A,B两点的横坐标之积为－9,
所以×9＝1,
解得a＝,所以c＝,
可得e＝.
母题23 (1)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1,那么点P与另一个焦点的距离等于　　　　.
17
解析　双曲线方程化为＝1,
∴a＝8,∴2a＝16.
∵P到一个焦点的距离为1,
设P到另一个焦点的距离为x,
∴|x－1|＝16,
解得x＝17或x＝－15(舍).
故答案为17.
(2)(人教A版选择性必修第一册P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解　由题意可知,p＝2,＝1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x＝－1.如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义,可知|AF|＝dA＝x1＋1,|BF|＝dB＝x2＋1,于第八章　平面解析几何
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版选择性必修第一册P52)在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O,P的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线l经过P1(－1,1),P2(,0),α与P1,P2的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α与P1,P2的坐标有怎样的关系
提示:(1)如图(1),向量＝(,1),且直线OP的倾斜角为α.由正切函数的定义,有tan α＝.
　　　　 图(1)　　　图(2)
(2)如图(2),＝(－1－,1－0)＝(－1－,1).平移向量,则点P的坐标为(－1－,1),且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义,有tan α＝＝1－.
　　　　 图(3)　　　图(4)
(3)一般地,如图(3)(4),当向量的方向向上时,＝(x2－x1,y2－y1).平移向量,则点P的坐标为(x2－x1,y2－y1),且直线OP的倾斜角也是α,由正切函数的定义,有tan α＝.
探究2 (人教A版选择性必修第一册P65)在方程Ax＋By＋C＝0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线:①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
提示:对于方程Ax＋By＋C＝0,
①当A＝0,BC≠0时,方程为y＝－,表示的直线平行于x轴.
②当B＝0,AC≠0时,方程为x＝－,表示的直线平行于y轴.
③当A＝C＝0,B≠0时,方程为y＝0,表示x轴.
④当B＝C＝0,A≠0时,方程为x＝0,表示y轴.
探究3 (人教A版选择性必修第一册P74)如图,已知点P(x0,y0),直线l:Ax＋By＋C＝0,如何求点P到直线l的距离
提示:点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.因此,求出垂足Q的坐标,利用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到点P到直线l的距离.
设A≠0,B≠0.由PQ⊥l,以及直线l的斜率为－,可得l的垂线PQ的斜率为,因此,垂线PQ的方程为y－y0＝(x－x0),
即Bx－Ay＝Bx0－Ay0.
解方程组 ①
得直线l与PQ的交点坐标,
即垂足Q的坐标为.
于是|PQ|＝
＝.
因此,点P(x0,y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
可以验证,当A＝0,或B＝0时,上述公式仍然成立.
探究4 (人教A版选择性必修第一册P75)我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离
提示:如图,点P到直线l的距离,就是向量的模.
设M(x,y)是直线l上的任意一点,n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,则在n上的投影向量,
且||＝|·n|.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l:Ax＋By＋C＝0上的任意两点,
则＝(x2－x1,y2－y1)是直线l的方向向量.
把Ax1＋By1＋C＝0,Ax2＋By2＋C＝0两式相减,得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.
由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2－x1,y2－y1)垂直.
向量(A,B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量.
我们取n＝(A,B),
从而·n＝(x－x0,y－y0)·(A,B)
＝[A(x－x0)＋B(y－y0)]
＝(Ax＋By－Ax0－By0).
因为点M(x,y)在直线l上,
所以Ax＋By＋C＝0.
所以Ax＋By＝－C.
代入上式,
得·n＝(－Ax0－By0－C).
因此|PQ|＝||＝|·n|
＝.
探究5 (人教A版选择性必修第一册P86)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆
提示:配方得.
(1)当D2＋E2－4F>0时,可看出方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以为圆心,为半径的圆.
(2)当D2＋E2－4F＝0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有实数解x＝－,y＝－,它表示一个点.
(3)当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有实数解,它不表示任何图形.
探究6 (人教A版选择性必修第一册P105)取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(绳长大于F1F2长,如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线 在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
提示:把细绳的两端拉开一段距离,笔尖移动的过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离和等于常数,由椭圆的定义可知,上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆.
探究7 (人教A版选择性必修第一册P121)如图,点A,B的坐标分别是(－5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,与它们的斜率之积是－比较,你有什么发现
提示:设M(x,y),
则AM的斜率k1＝.
BM的斜率k2＝,
∴k1k2＝·(y≠0),
整理得4x2－9y2＝100(y≠0),
即＝1(y≠0).
当它们的斜率之积－<0时,轨迹为焦点在x轴上椭圆(y≠0);当斜率之积>0时,轨迹为焦点在x轴的双曲线(y≠0).
推广:点A,B坐标分别为(－5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是k时,
①当k<0(k≠－1)时,M的轨迹为焦点在x轴或y轴的椭圆(不含与x轴的交点或y≠0).
②当k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点).
探究8 (人教A版选择性必修第一册P123)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征
提示:双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
探究9 (人教A版选择性必修第一册P128)为什么y＝±x是双曲线＝1的渐近线
提示:如图,在第一象限内,双曲线＝1(a>0,b>0)的方程可写为
y＝(x>a).
设M(x,y)是其图象上的点,N(x,Y)是直线y＝x上的点,且与M(x,y)有相同的横坐标,则Y＝x.
因为y＝x所以|MN|＝Y－y＝(x－)
＝·
＝.
设|MQ|是点M到直线y＝x的距离,
则|MQ|<|MN|.
当x逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x无限增大时,|MN|无限接近于0,|MQ|也无限接近于0.
也就是说,双曲线在第一象限向右上方延伸时,是从射线ON(O为原点)的下方逐渐接近于射线ON,但与射线ON永远不相交,
根据双曲线的对称性,在其他象限内,也有类似的结论.
探究10 (人教A版选择性必修第一册P133)为什么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线
提示:对y＝ax2＋bx＋c的右边配方,得y＝a.
由函数图象平移的性质可以知道,沿向量m＝平移函数y＝a的图象(如图),除了位置外,函数图象不发生任何变化.
平移后的图象对应的函数解析式为y＝ax2,即x2＝y,这个方程表示的曲线是顶点为原点,焦点为的抛物线.
1.(人教B版选择性必修第一册P74习题2－1CT2拓展)曼哈顿距离
(1)定义:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为平面上两点,则定义|x2－x1|＋|y2－y1|为“直角距离”、“折线距离”或“曼哈顿距离”,记作d(P,Q)＝|x2－x1|＋|y2－y1|.
(2)性质:①已知直线AB,AC平行于坐标轴,且|AB|＝|AC|＝m,则线段BC上任意一点D(含端点)与点A的曼哈顿距离为定值.(线段BC称为A的“等曼哈顿距离线段”,简称“等曼线”.)
②动点P(x1,y1)到定点Q(x2,y2)的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形.(该正方形的对角线平行于坐标轴.)
③等曼线所在直线的斜率为－1或1.
证明　①如图所示,过D作DE⊥AB,垂足为E,
d(A,D)＝|AE|＋|DE|＝|AE|＋|BE|＝|AB|＝m.
②③证明(略).
【应用示例】 设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知点P为抛物线C:x2＝2py(p>0)上一动点,点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p＝　　　　;若斜率为的直线l过点Q,点M是直线l上一动点,则d(P,M)的最小值为　　　　.
答案　2　
解析　令P,
则d(P,Q)＝|m－3|＋≥－m＋3＝(m－p)2＋3－,
∴3－＝2,解得p＝2,
即当p＝2时,d(P,Q)取得最小值;
由题知直线l的点斜式方程为y＝x－,
与抛物线方程联立得x2－6x＋18＝0,
Δ＝(－6)2－4×18＝－36<0,
∴直线l与C无交点.
如图,过点P作PN∥x轴,交直线l于点N,过点M作ME⊥PN,垂足为E,则d(P,M)＝|PE|＋|EM|≥|PE|＋|EN|＝|PN|,
当点M,N重合时取等号.
设P,则N,
∴|PN|＝－n＋3＝(n－3)2＋≥,
∴d(P,M)min＝.
2.(人教A版选择性必修第一册P89T9,湘教版选择性必修第一册P104例2拓展)阿波罗尼斯圆:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点M的轨迹是圆.
证明　以直线AB为x轴建立平面直角坐标系,并设A(a,0),B(b,0)(a≠b),M(x,y).
因为＝λ≠1,
所以＝λ,
所以(x－a)2＋y2＝λ2(x－b)2＋λ2y2,
所以(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋(2λ2b－2a)x＋(a2－λ2b2)＝0,
所以x2＋y2＋＝0,
所以＋y2＝,
所以点M的轨迹是圆.
【应用示例】 已知O是坐标原点,A(3,0),动点P(x,y)满足|PO|＝2|PA|,则的最大值为(　　)
A. B.
C.1 D.
答案　D
解析　由|PO|＝2|PA|,
可得＝2,
整理可得x2＋y2－8x＋12＝0,
即(x－4)2＋y2＝4,
故点P的轨迹为圆心为(4,0),半径r＝2的圆.＝(x,y)与＝(1,)的夹角的余弦值的2倍,
要使得取得最大值,有与圆(x－4)2＋y2＝4相切,切点在第一象限,此时∠POx＝,∠DOx＝,
可得的最大值为2cos∠DOP＝2·cos .
3.(人教A版选择性必修第一册P89T10拓展)圆的参数方程:若点P(x,y)是圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上的任一点,则点P的坐标(x,y)可写成(θ为参数).
证明　如图,CA∥x轴,PP1⊥AC,P1为垂足,∠PCA＝θ,
则x＝xC＋|CP1|＝a＋rcos θ,
y＝yC＋|PP1|＝b＋rsin θ,
即(θ为参数).
【应用示例】 过点P(a,b)作圆x2＋y2＝1的切线PA,A为切点,|PA|＝1,则a＋2b的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　根据题意,设圆x2＋y2＝1的圆心为O,
则|PO|2＝|PA|2＋|OA|2＝1＋1＝2,
∴a2＋b2＝2.
令a＝cos θ,b＝sin θ,θ∈[0,2π),
则a＋2b＝cos θ＋2sin θ＝sin(θ＋φ),
其中tan φ＝,
所以a＋2b的最大值为.
4.(人教B版选择性必修第一册P116T1、P113例2,北师大版选择性必修第一册P39T5,湘教版选择性必修第一册P97例4,苏教版选择性必修第一册P72问题与探究拓展)圆的极点、极线:
(1)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)上的一点,则在P处的切线方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
证明　由圆C的方程知圆心C,
则,
如图,任取l上一点Q(x,y),
则＝(x－x0,y－y0),
则由相切可知·＝0,
所以(x－x0)＋(y－y0)＝0,
即x0x＋(x－x0)－＋y0y＋(y－y0)－＝0, ①
由P在C上可知＋Dx0＋Ey0＋F＝0, ②
由①②消去可得
x0x＋(x－x0)＋y0y＋(y－y0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0,
即x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
(2)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外的一点,过点P作圆C的切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
证明　法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),
则圆C在A点处的切线方程为
x1x＋y1y＋D＋
E＋F＝0上,
又P(x0,y0)在此切线上,
故x1x0＋y1y0＋D＋E＋F＝0,
又圆C在B点处的切线方程为
x2x＋y2y＋D＋E＋F＝0,
又P(x0, y0)在此切线上,
故x2x0＋y2y0＋D＋E＋F＝0,
可见,A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0,
而此方程为直线方程,所以直线AB的方程为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
法二　设A(x1,y1),B(x2,y2),显然A,B,P,C四点共圆,以PC为直径,如图.
设此圆上任一点Q(x,y),
则＝(x－x0,y－y0),
,
由相切可知:·＝0,
则(x－x0)＋(y－y0)＝0,
即x2＋D－x0x＋y2＋E－y0y＝0.
与圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0作差得Dx＋Ey＋F－D＋x0x－E＋y0y＝0,
此即直线AB的方程,整理为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
(3)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)内一点,过P作圆的弦AB,再作A,B两点处的圆的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
证明　设Q(a,b),则由探究(2)结果可知Q的切点弦AB所在直线的方程为ax＋by＋D＋
E＋F＝0,
又P(x0,y0)在弦AB上,
所以ax0＋by0＋D＋E＋F＝0,
将a,b分别换为x,y,可得Q的轨迹方程为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0,
可见,Q点轨迹是一条直线,这条直线上任意一点的切点弦恒过定点P.
【应用示例】 已知圆O:x2＋y2＝4,直线l:x＝4,P为直线l上的动点,过P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点　　　　.
答案　(1,0)
解析　设P(4,m),A(x1,y1),B(x2,y2),
则两切线方程分别为
x1x＋y1y＝4,x2x＋y2y＝4.
因为两条切线均过点P,
所以有4x1＋my1＝4,4x2＋my2＝4,
从而直线AB方程为4x＋my＝4,
所以直线AB恒过定点(1,0).
5.(1)(人教B版选择性必修第一册P143习题2－5BT2拓展)椭圆焦点三角形面积公式:已知椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上异于左、右顶点的一点,∠F1PF2＝θ,则焦点三角形的面积＝b2tan .
证明　在△PF1F2中,由余弦定理得:
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
所以|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
即|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ).
由椭圆的定义可知:
|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c,
所以4c2＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ),
即2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ)
＝4a2－4c2＝4b2,
化简得|PF1|·|PF2|＝,
所以|PF1|·|PF2|·sin θ
＝×·sin θ＝b2·
＝b2·＝b2tan .
(2)(人教B版选择性必修第一册P157T5拓展)双曲线焦点三角形面积公式:已知双曲线C:＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上异于左右顶点的一点,∠F1PF2＝θ,则焦点三角形的面积.
证明　在△PF1F2中,由余弦定理得:
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
所以|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
即|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ).
由双曲线的定义可知:
||PF1|－|PF2||＝2a,|F1F2|＝2c,
所以4c2＝4a2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ),
即2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2＝4b2,
化简得|PF1|·|PF2|＝,
所以|PF1|·|PF2|·sin θ
＝×·sin θ＝b2·
＝b2·.
【应用示例】 (1)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:＝1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2＝,则|OP|＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:＋y2＝1的两个焦点,点P在C上,若·＝0,则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)依题意a＝3,b＝,c＝.
如图,不妨令F1(－,0),F2(,0).
设|PF1|＝m,|PF2|＝n,在△F1PF2中,cos∠F1PF2＝, ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6. ②
由①②,解得mn＝.
法一　设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中,∠F1OP＋∠F2OP＝π,
由余弦定理得＝－,
得x2＝,
所以|OP|＝.
法二　因为(),
所以||2＝(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2)
＝,
所以|PO|＝.
法三　设∠F1PF2＝θ,
cos θ＝,
解得tan ,
＝b2tan＝6×＝3
＝|F1F2|·|yP|＝×2·|yP|,
解得|yP|＝,|xP|＝,
因此|OP|＝.
(2)法一　因为·＝0,
所以PF1⊥PF2,
则|PF1|·|PF2|
＝b2tan,
得|PF1|·|PF2|＝1×tan,
所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.
法二　因为·＝0,
所以PF1⊥PF2,
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2,
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20,
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20,
所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.
6.(湘教版选择性必修第一册P172T13拓展)(1)已知F1,F2为椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上任意一点,则当点P为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2最大.
证明　如图,由已知|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c,
所以|PF1||PF2|≤＝a2
(当|PF1|＝|PF2|时取等号).
由余弦定理得:
cos∠F1PF2＝
＝
＝－1＝－1≥－1,
所以当|PF1|＝|PF2|时,cos∠F1PF2的值最小.
因为∠F1PF2∈(0,π),所以此时∠F1PF2最大,即点P为椭圆短轴的端点时∠F1PF2最大.
(2)已知A,B为椭圆＝1(a>b>0)长轴上的两个顶点,Q为椭圆上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
证明　如图,当∠AQB最大时,∠AQB一定是钝角.
过Q作QP⊥x轴,P为
垂足.
设|PQ|＝n,|PB|＝m,
|PA|＝2a－m,
则tan∠AQP＝,tan∠BQP＝,
所以tan∠AQB＝. ①
又因为Q(a－m,n),所以＝1,
化简得m2－2am＝－,
代入①式得tan∠AQB＝.
因为1－<0,∠AQB∈,
所以当n＝b时,tan∠AQB取得最大值,此时∠AQB最大,即当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
【应用示例】 椭圆＝1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点Q,使∠F1QF2＝120°,则椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设椭圆的上顶点为B,连接BF1,BF2,
则|BF1|＝|BF2|＝a,|OF2|＝c,
椭圆上存在点Q,使得∠F1QF2＝120°,
则需∠F1BF2≥120°,
则∠OBF2≥60°,显然∠OBF2<90°,
所以sin∠OBF2≥sin 60°,
所以≥sin 60°＝,
所以e＝≥,
又e<1,所以≤e<1,
即椭圆离心率e的取值范围为.
7.(人教A版选择性必修第一册P113例6,人教B版选择性必修第一册P141T5拓展)椭圆的第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e(0相关结论:
(1)焦半径的坐标形式
①若点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,则
|PF1|＝a＋ex0,|PF2|＝a－ex0.
②点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的下、上焦点,则|PF1|＝a＋ey0,|PF2|＝a－ey0.
证明　①由椭圆第二定义,＝e,
即＝e,解得|PF1|＝a＋ex0,
同理|PF2|＝a－ex0.
②证明略.
(2)焦半径的角度形式
①点P是椭圆上任一点,F为其一个焦点,∠PFO＝α,则|PF|＝.
②F是椭圆的一个焦点,过点F的直线与椭圆交于P,Q两点,∠PFO＝α,则|PQ|＝.
证明　①如图,令|PF|＝m,则|PF1|＝2a－m,
则cos α＝
,
解得|PF|＝m＝.
②因为∠PFO＝α,|PF|＝,
所以∠QFO＝π－α,
|QF|＝,
所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝.
(3)椭圆的焦比定理
F是椭圆的一个焦点,过点F的直线与椭圆交于P,Q两点,∠PFO＝α,若|PF|＝λ|QF|,则ecos α＝.
证明　因为|PF|＝,|QF|＝,
|PF|＝λ|QF|,
所以＝λ,
a＋ccos α＝λ(a－ccos α),
1＋ecos α＝λ(1－ecos α),
解得ecos α＝.
【应用示例】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|＝6,则△ADE的周长是　　　　.
答案　13
解析　法一　如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以,
所以a＝2c,所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|,
所以△AF1F2为等边三角形,
又DE⊥AF2,
所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,
所以|AD|＝|DF2|,|AE|＝|EF2|,且∠EF1F2＝30°,
所以直线DE的方程为y＝(x＋c),
代入椭圆C的方程＝1,得
13x2＋8cx－32c2＝0.
设D(x1,y1),E(x2,y2),
则x1＋x2＝－,x1x2＝－,
所以|DE|＝
＝
＝＝6,
解得c＝,所以a＝2c＝,
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
法二　由法一知c＝a,b＝a,∠EF1F2＝30°,
|DE|＝＝6,
解得a＝,
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.
8.(人教A版选择性必修第一册P125例5、P126例6、P127T10拓展)双曲线第二定义:平面内的动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比为常数e(e>1),则动点M的轨迹是双曲线.其中定点F是双曲线的焦点,直线l是双曲线的焦点F对应的准线,常数e是双曲线的离心率.
相关结论:
(1)焦半径的坐标形式
①点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)左支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|＝－a－ex0,|PF2|＝a－ex0.
②点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)右支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|＝ex0＋a,|PF2|＝ex0－a.
③点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)上支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|＝ey0＋a,|PF2|＝ey0－a.
④点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)下支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|＝－ey0－a,|PF2|＝－ey0＋a.
证明　①由双曲线第二定义,＝e,
即＝e,
解得|PF1|＝－ex0－a,
同理|PF2|＝－ex0＋a.
②③④证明略.
(2)焦半径的角度形式
①点P是双曲线上任一点,F为其一个焦点,∠PFO＝α,则
|PF|＝
②F是双曲线的一个焦点,过点F的直线与双曲线交于P,Q两点,∠PFO＝α,则
|PQ|＝
证明　①当P,F在某一坐标轴同侧时(如图1),
令|PF|＝m,则|PF2|＝2a＋m,
则cos α＝,
解得|PF|＝m＝.
当P,F在某一坐标轴异侧时(如图2),
令|PF|＝m,则|PF2|＝m－2a,
则cos α＝,
解得|PF|＝m＝.
②当P,Q在双曲线的同一支上时(如图3),|PF|＝,|QF|＝,
则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝.
当P,Q在双曲线的两支上时(如图4),|PF|＝,|QF|＝,
则|PQ|＝|QF|－|PF|＝.
(3)双曲线的焦比定理
F是双曲线的一个焦点,过F的直线与双曲线交于P,Q两点,∠PFO＝α,若|PF|＝λ|QF|,
则ecos α＝
证明　当P,F在某一坐标轴同侧,P,Q同支时(如图1),|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,即＝λ·,得ecos α＝.
当P,F在某一坐标轴两侧,P,Q异支时(如图2),|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,即＝λ,
得ecos α＝.
当P,F在某一坐标轴同侧,P,Q异支时(如图3),
|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,
即＝λ,
得ecos α＝.
【应用示例】 已知双曲线E:＝1(a>0,b>0)的左焦点为F1(－c,0),直线y＝(x＋c)与双曲线E交于A,B两点,若＝3,则双曲线E的离心率为　　　　.
答案　4
解析　法一　可知直线y＝(x＋c)过左焦点F1(－c,0),斜率k＝,且直线与双曲线E相交,
可知>,
则e＝>2.
联立方程
消去x可得(b2－3a2)y2－2b2cy＋3b4＝0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1＋y2＝,y1y2＝.
由＝3可知y2＝3y1,
与y1＋y2＝联立可得
y2＝3y1＝,
代入y1y2＝可得3,
则c2＝16a2,
所以双曲线E的离心率e＝＝4.
法二　由题意可知:直线y＝(x＋c)的斜率k＝,
则直线F1A的倾斜角θ＝,
可得|F1A|＝,
|F1B|＝.
因为＝3,
可知||＝3||,
即,整理可得c＝4a,
所以双曲线E的离心率e＝＝4.
9.(人教A版选择性必修第一册P108例3,人教B版选择性必修第一册P143习题2－5CT2,北师大版选择性必修第一册P58T3拓展)椭圆的第三定义
(1)已知点A(x0,y0),B(－x0,－y0)是关于原点对称的两个点,如图,且当点P(x,y)不与点A(x0,y0),B(－x0,－y0),C(x0,－y0),D(－x0,y0)重合时,有kPA·kPB＝e2－1,0证明　①当点P(x,y)不与点A,B,C,D重合时:因为点A(x0,y0),B(－x0,－y0),P(x,y),
所以kPA·kPB＝·＝e2－1(x≠±x0),
所以＝e2－1,
所以y2－＝(e2－1)(x2－).
因为0所以(1－e2)x2＋y2＝(1－e2),
所以＝1(x≠±x0).
②当点P(x,y)分别与A,B,C,D重合时:
＝1成立.
所以点P(x,y)的轨迹方程为
＝1,是一个椭圆,且a2＝,
b2＝(1－e2),
c2＝a2－b2＝·e2,
＝e2.
综上所述,P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A(x0,y0),B(－x0,－y0)的椭圆.
(2)相关结论:①A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任一点,若直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB＝e2－1＝－.
证明　设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(－x1,－y1),
(ⅱ)－(ⅰ)得＝－,
kPA·kPB＝·＝－＝e2－1.
②A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任一点,若直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB＝＝－.
③A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB的中点,若kAB,kOP存在,则kAB·kOP＝e2－1＝－.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,
由(ⅱ)－(ⅰ)得:＝－,
kAB·kOP＝·
＝＝－＝e2－1.
④A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB的中点,若kAB,kOP存在,则kAB·kOP＝＝－.
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C:＝1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＝1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|＝|NB|,|MN|＝2,则l的方程为　　　　.
答案　(1)A　(2)x＋y－2＝0
解析　(1)法一　设P(m,n)(n≠0),
则Q(－m,n),易知A(－a,0),
所以kAP·kAQ＝·(*).
因为点P在椭圆C上,
所以＝1,
得n2＝(a2－m2),
代入(*)式,得,
所以e＝.故选A.
法二　设P关于x轴的对称点为P1,
则P1和Q关于原点对称,
则·kAQ＝－kAP·kAQ
＝e2－1＝－,
所以e＝.
(2)法一　设直线l的方程为＝1(m>0,n>0),
分别令y＝0,x＝0,得点M(m,0),N(0,n).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,
所以
因为kAB＝kMN,
所以＝－.
将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,得相减得
＝0,
由题意知x1＋x2≠0,x1≠x2,
所以·＝－,
即·＝－,
整理得m2＝2n2. ①
又|MN|＝2,
所以由勾股定理,得m2＋n2＝12, ②
由①②并结合m>0,n>0,得
所以直线l的方程为＝1,
即x＋y－2＝0.
法二　设直线l的方程为＝1(m>0,n>0),分别令y＝0,x＝0,得点M(m,0),N(0,n).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q,
则kAB＝＝－,kOQ＝.
由椭圆中点弦的性质知,
kAB·kOQ＝－＝－,
即·＝－,以下同法一.
10.(人教A版选择性必修第一册P126T1,P128T14拓展)双曲线的第三定义
(1)已知点A(x0,y0),B(－x0,－y0)是关于原点对称的两个点,如图,且当点P(x,y)不与点A(x0,y0),B(－x0,－y0),C(x0,－y0),D(－x0,y0)重合时,有kPA·kPB＝e2－1,e>1,则点P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A(x0,y0),B(－x0,－y0)的双曲线.
证明　①当P(x,y)不与点A,B,C,D重合时,kPA·kPB＝·＝e2－1(x≠±x0),
所以＝e2－1,
所以y2－＝(e2－1)(x2－).
因为e>1,所以(e2－1)x2－y2＝(e2－1),
所以＝1(x≠±x0).
②当点P分别与A,B,C,D重合时,上面方程也成立.
所以点P的轨迹方程为
＝1,是双曲线,
且a2＝,b2＝(e2－1),
c2＝a2＋b2＝·e2,
＝e2.
综上所述,P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A,B的双曲线.
(2)相关结论:
①A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任一点,若直线PA,PB的斜率存在,则kPA·kPB＝e2－1＝.
证明　设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(－x1,－y1),
(ⅱ)－(ⅰ)得,
kPA·kPB＝·＝e2－1.
②A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任一点,若直线PA,PB的斜率存在,则kPA·kPB＝.
③A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB中点,若kAB,kOP均存在,则kAB·kOP＝e2－1＝.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,
(ⅱ)－(ⅰ)得,
kAB·kOP＝·＝e2－1.
④A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB中点,若kAB,kOP均存在,则kAB·kOP＝.
【应用示例】 (2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2－＝1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　)
A.(1,1) B.(－1,2)
C.(1,3) D.(－1,－4)
答案　D
解析　法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,
得两式作差,得,
即(x1－x2)(x1＋x2)＝,
化简得＝9,
即·＝kAB·＝9,
因此kAB＝9·.
由双曲线方程
可得渐近方程为y＝±3x,如图.
对于A,因为kAB＝9×＝9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;
对于B,因为kAB＝9×＝－<－3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;
对于C,kAB＝9×＝3,此时直线AB与渐近线y＝3x平行,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;
对于D,因为kAB＝9×<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,满足题意.
法二　选项中的点均位于双曲线两支之间,故A,B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称,设线AB的中点坐标为(x0,y0),
则|kAB|＝9||<3,即|y0|>3|x0|,结合选项可知选D.
11.(人教A版选择性必修第一册P127T8,湘教版选择性必修第一册P139T14拓展)共焦点的椭圆与双曲线的离心率关系式
若椭圆C1:＝1(a1>b1>0)和双曲线C2:＝1(a2>0,b2>0)共焦点,P为公共点,且∠F1PF2＝θ,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则有＝1.
证明　如图,设|PF1|＝m,|PF2|＝n,结合椭圆和双曲线的定义,
则
解得m＝a1＋a2,n＝a1－a2,
结合余弦定理,
cos θ＝
＝,
即()－2,
所以cos2sin2cos2sin2－2,
即sin2cos2,
所以＝1.
【应用示例】 (多选)已知椭圆＝1(a1>b1>0)的离心率为e1,双曲线＝1(a2>0,b2>0)的离心率为e2,两曲线有公共焦点F1,F2,P是椭圆与双曲线的一个公共点,∠F1PF2＝60°,以下结论正确的是(　　)
A.
B.＝1
C.＝3
D.若e2∈[,2],则e1∈
答案　BCD
解析　根据题意,设F1(－c,0),F2(c,0),对于A中,因为椭圆与双曲线有公共焦点,
可得
所以,
即,所以A错误;
对于B中,不妨设点P在第一象限,由椭圆和双曲线的定义,可得
所以|PF1|＝a1＋a2,|PF2|＝a1－a2,
又由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°,
可得4c2＝2＋2－()＝＋3,
所以＝1,
(或由共焦点椭圆与双曲线离心率关系式＝1,得＝1,即＝1.)
所以B正确;
对于C中,由B知－c2＝3c2－3,
可得＝3,所以C正确;
对于D中,因为e2∈[,2],
所以∈,
由＝1可得∈,
所以e1∈,所以D正确.
12.(北师大版选择性必修第一册P68习题2－2A组T3,人教B版选择性必修第一册P179T20拓展)双曲线的两个距离结论
(1)双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b.
证明　不妨以＝1(a>0,b>0)为例,
直线l:bx－ay＝0为其一条渐近线,焦点F2(c,0)到l的距离为＝b.
(2)双曲线上任一点到两渐近线的距离之积为定值.
证明　不妨以＝1(a>0,b>0)为例.设P(x0,y0),点P在双曲线上,
所以＝1,
即b2－a2＝a2b2,
l1:by－ax＝0,l2:by＋ax＝0,
点P到l1和l2的距离之积为
·.
【应用示例】 (2020·北京卷)已知双曲线C:＝1,则C的右焦点的坐标为　　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　　.
答案　(3,0)　
解析　在双曲线C中,a＝,b＝,
则c＝＝3,
则双曲线C的右焦点坐标为(3,0),
双曲线C的渐近线方程为y＝±x,
即x±y＝0,
所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为.
13.抛物线焦点弦相关结论如图,AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F,准线l:x＝－,准线与x轴交点为P,作AC⊥l,BD⊥l且M,N分别为线段AB,CD的中点,R为MN与抛物线的交点,则有以下性质:
(1)(人教A版选择性必修第一册P135例4拓展)|AB|＝x1＋x2＋p.
证明　根据抛物线定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,
可得|AF|＝x1＋,|BF|＝x2＋,
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
(2)(人教B版选择性必修第一册P173T9拓展)x1x2＝,y1y2＝－p2.
证明　设直线AB的方程为x＝my＋,与
y2＝2px联立,得y2－2pmy－p2＝0,
故y1y2＝－p2,
x1x2＝·.
(3)(人教A版选择性必修第一册P138习题3.3T5,人教B版选择性必修第一册P173习题2－8BT1,P178T18拓展)如图所示:①|AF|＝,|BF|＝,
②|AB|＝,
③,
④若|AF|＝λ|BF|,则cos θ＝.(其中θ为直线AB的倾斜角)
证明　①设准线l交x轴于P点,过点A作AM⊥x轴于M,作AC⊥l于C.
设d为点A到准线l的距离,于是|AF|＝|AC|.
又|PF|＝p,|MF|＝|AF|·|cos θ|,
所以|AC|＝|PF|＋|FM|＝p＋|AF|cos θ,
|AF|＝p＋|AF|cos θ,
故|AF|＝.
同理|BF|＝.
②|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
③.
④|AF|＝λ|BF|,即＝λ,
λ(1－cos θ)＝1＋cos θ,cos θ＝.
(4)(湘教版选择性必修第一册P147T3拓展)如图所示:S△AOB＝S△COD＝.
证明　设直线AB的方程为x＝my＋,与
y2＝2px联立得y2－2pmy－p2＝0,
故y1＋y2＝2pm,y1y2＝－p2,
|y1－y2|＝
＝＝2p,
故S△AOB＝S△COD＝·|OF|·|y1－y2|
＝.
(5)(人教B版选择性必修第一册P167T7拓展)如图所示:三个垂直CF⊥FD,NF⊥AB,AN⊥BN.
证明　设A(x1,y1),
B(x2,y2),C,
D,
得＝(－p,y1),＝(－p,y2),
·＝p2＋y1y2,
根据上条结论y1y2＝－p2,
得·＝0,故CF⊥FD.
由N,
得,
＝(x1－x2,y1－y2),
·＝－p(x1－x2)＋,
因为＝2px1,＝2px2,
代入·＝－p(x1－x2)＋＝0,
故NF⊥AB.
由N,
得,
,
·＝x1x2＋(x1＋x2)＋.
因为＝2px1,＝2px2,x1x2＝,
y1y2＝－p2,
代入上式化简得
·＝0,故AN⊥BN.
(6)(人教A版选择性必修第一册P146T16,人教B版选择性必修第一册P174T9,P167习题2－7BT3拓展)①以AB为直径的圆与准线相切;
②以AF为直径的圆与y轴相切.
证明　①|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|,
因此以AB为直径的圆与准线相切.
②取AF的中点E,过点E作EE1⊥y轴,垂足为E1,AC交y轴与点C1(图略),
则|AF|＝|AC|＝|AC1|＋|C1C|＝|AC1|＋|OF|＝2|EE1|,
因此以AF为直径的圆与y轴相切.
【应用示例】 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2,则|AF|＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知抛物线C:y2＝6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x＝－的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　)
A.|AD|＝|AF| B.|AE|＝|AB|
C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18
(3)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y＝－(x－1)过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
A.p＝2
B.|MN|＝
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
(4)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|＝|AM|,则(　　)
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|＝|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM＋∠OBM<180°
(5)(2025·北京卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p＝　　　　.
(6)(2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上,则A到C的准线的距离为　　　　.
答案　(1)C　(2)ACD　(3)AC　(4)ACD　(5)6　(6)
解析　(1)根据直线y＝－2x＋2得F(1,0),
所以C的准线方程为x＝－1,C的方程为y2＝4x,
所以B(－1,4),所以A(4,4),
所以|AF|＝|AB|＝5.
(2)直线l为抛物线的准线,由抛物线的定义,可知|AD|＝|AF|,A正确;
由通径最短,可得|AB|≥2p＝6,
所以C正确;
法一　易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x＝my＋,
A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2－6my－9＝0,
则y1＋y2＝6m,y1y2＝－9,x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3,|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6,
当m＝0时,E,|AB|＝2p＝6,
|AE|＝＝3,
此时|AE|≠|AB|,所以B不正确;
此时|AE|＝|BE|＝3,|AE|·|BE|＝18.
当m≠0时,直线EF的方程为
x＝－y＋, E,|EF|＝,
S△AEB＝|AE|·|BE|sin∠AEB
＝|AB|·|EF|＝(6＋6m2)·＝9(1＋m2>9,
所以|AE|·|BE|>>18.
综上,|AE|·|BE|≥18,D正确.故选ACD.
法二　如图,设∠AFx＝θ,
则|AE|＝＝,
|AB|＝|AF|＋|BF|＝,B错误;
|AE|·|BE|＝
＝≥18,D正确.故选ACD.
(3)对于A,因为直线y＝－(x－1)经过抛物线C的焦点,
且直线与x轴的交点为(1,0),
所以抛物线C的焦点坐标为(1,0),
所以＝1,即p＝2,所以A选项正确;
对于B,
法一　不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1联立方程得
解得
所以M,N(3,－2),
所以由两点间距离公式可得
|MN|＝,
故B选项错误;
法二　不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1联立方程得
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0,
解得x1＝,x2＝3.
由抛物线的定义得,
|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝,故B选项错误;
法三　设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立方程得
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0,则Δ＝64>0,x1＋x2＝,x1x2＝1,
所以由弦长公式得|MN|＝×,故B选项错误;
法四　易知直线y＝－(x－1)的倾斜角为,
所以|MN|＝,故B选项错误;
对于C,
法一　由以上分析易知,l的方程为x＝－1,以MN为直径的圆的圆心坐标为,半径r＝|MN|＝＋1,所以以MN为直径的圆与l相切,故C选项正确;
法二　由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,易知C选项正确;
对于D,由B中法一知M,N(3,－2),
所以由两点间距离公式可得|OM|＝,|ON|＝,
又|MN|＝,故D选项错误.
综上,选AC.
(4)对于A,由题意,得F.
因为|AF|＝|AM|,且M(p,0),
所以xA＝p,将其代入抛物线方程y2＝2px,得yA＝p,
所以A,
所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝＝2,故A正确;
对于B,由选项A的分析,知直线AB的方程为y＝2,代入y2＝2px,得12x2－13px＋3p2＝0,解得x＝p或x＝p,所以xB＝p,所以yB＝－p,所以|OB|＝p≠|OF|,故B不正确;
对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分析,
得|AB|＝xA＋xB＋p＝p＋p＝p>2p,即|AB|>4|OF|,故C正确;
对于D,易知|OA|＝p,|AM|＝p,|OB|＝p,|BM|＝p,
则cos ∠OAM＝>0,
cos ∠OBM＝>0,
所以∠OAM<90°,∠OBM<90°,
所以∠OAM＋∠OBM<180°,故D正确.
综上所述,选ACD.
(5)因为抛物线的顶点到焦点的距离为,
故＝3,故p＝6.
(6)将点A的坐标代入抛物线方程,得5＝2p,于是y2＝5x,
则抛物线的准线方程为x＝－,
所以A到准线的距离为1－(－)＝.
14.(湘教版选择性必修第一册P173T17拓展)椭圆的极点极线:
(1)椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为
y＝kx＋m,
代入椭圆方程化简整理得
(a2k2＋b2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0,
由Δ＝0得a2k2－m2＋b2＝0,
x0＝,y0＝,
k＝－＝－·.
从而切线方程为y＝－x＋,
化简整理得＝1.
当斜率不存在时,切线方程为x＝±a,满足上式.
综上,椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
法二　对椭圆方程求导得
＝0,y'＝－·,
所以k＝－·,
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0),
即b2x0x＋a2y0y＝a2＋b2＝a2b2,
＝1.
(2)椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
(3)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)外一点,过点P作椭圆的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2).
PA:＝1,PB:＝1,
点P在直线PA和PB上,则＝1,
＝1,
所以直线AB的方程为＝1.
(4)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)外一点,过点P作椭圆的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
(5)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)内一点,过点P作椭圆的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为＝1,
点P在弦AB上,所以＝1.
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为＝1.
可见,Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切点弦恒过定点P.
(6)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)内一点,过点P作椭圆的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
15.双曲线的极点极线
(1)双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为y＝kx＋m,
代入双曲线方程化简整理得
(a2k2－b2)x2＋2ka2mx＋a2m2＋a2b2＝0,
由Δ＝0得,a2k2－m2－b2＝0,
x0＝,y0＝,
k＝－·,
从而切线方程为y＝·x－,
化简整理得＝1.
当斜率不存在时,切线方程为x＝±a,满足上式.
综上,双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
法二　对双曲线方程求导得＝0,
y'＝·,所以k＝·,
所以切线方程为y－y0＝(x－x0),
即b2x0x－a2y0y＝b2－a2＝a2b2,
所以过双曲线＝1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为＝1.
(2)双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
(3)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)外一点,过点P作双曲线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),
则PA:＝1,
PB:＝1,
点P在直线PA和PB上,
则＝1,＝1,
所以直线AB的方程为＝1.
(4)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)外一点,过点P作双曲线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
(5)点P是双曲线＝1(a>0,b>0)内一点,过点P作双曲线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为＝1,
点P在弦AB上,
所以＝1,
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为
＝1.
可见,Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切点弦恒过点P.
(6)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)内一点,过点P作双曲线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
16.抛物线的极点极线
(1)抛物线y2＝2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为y＝kx＋m,
代入抛物线方程化简整理得
k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0,
x0＝,y0＝·k＋m＝,k＝,
从而切线方程为
y－y0＝(x－x0),
y0y－＝px－px0,
y0y＝px＋px0,
即y0y＝p(x＋x0).
当斜率不存在时,切线方程为x＝0,满足上式.
综上,抛物线y2＝2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
法二　对抛物线方程求导得
2y·y'＝2p,y'＝,
所以k＝,
所以切线方程为y－y0＝(x－x0),
即y0y－＝px－px0,
即y0y＝p(x＋x0).
(2)抛物线y2＝－2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝－p(x＋x0).
(3)抛物线x2＝2py(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为x0x＝p(y＋y0).
(4)抛物线x2＝－2py(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为x0x＝－p(y＋y0).
(5)点M(x0,y0)是抛物线y2＝2px(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),
MA:y1y＝p(x＋x1),
MB:y2y＝p(x＋x2),
点M在直线MA和MB上,
则y1y0＝p(x0＋x1),
y2y0＝p(x0＋x2),
所以AB的直线方程为y0y＝p(x0＋x).
(6)点M(x0,y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为y0y＝－p(x＋x0).
(7)点M(x0,y0)是抛物线x2＝2py(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＝p(y＋y0).
(8)点M(x0,y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＝－p(y＋y0).
(9)点M(x0,y0)是抛物线y2＝2px(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为ny＝p(x＋m),
点M在弦AB上,
所以ny0＝p(x0＋m),
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为y0y＝p(x0＋x).
可见Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切线弦恒过点M.
(10)点M(x0,y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为y0y＝－p(x＋x0).
(11)点M(x0,y0)是抛物线x2＝2py(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为x0x＝p(y＋y0).
(12)点M(x0,y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为x0x＝－p(y＋y0).
【应用示例】 (1)(2025·北京卷)已知椭圆E:＝1(a>b>0)的离心率为,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4,
①求椭圆E方程;
②设O为原点,M(x0,y0)(x0≠0)为椭圆E上一点,直线x0x＋2y0y－4＝0与直线y＝2,y＝－2分别交于A,B两点.设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2,猜想与的数量关系并求证.
解　①由椭圆定义可知2a＝4,
所以a＝2,
又e＝,所以c＝,b2＝a2－c2＝2,
故椭圆E方程为＝1.
②,证明如下:
联立消去x得,
＋2y2＝4,
整理得
(2＋4)y2－16y0y＋16－4＝0, ①
又＝1,
所以2＋4＝8,16－4＝8,
故①式可化简为8y2－16y0y＋8＝0,
即(y－y0)2＝0,所以y＝y0,
所以直线x0x＋2y0y－4＝0与椭圆相切,M为切点.
法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),易知,
当x1＝x2时,由对称性可知.
当x1≠x2时,设x2易知＝,
联立
解得
联立
解得
所以＝
＝,
＝＝
＝,
故.
法二　不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知,当x1＝x2时,
由对称性可知,.
当x1≠x2时,设x2联立
解得
联立
解得
则kOA＝,
kOB＝＝－,kOM＝,
又＝1,所以＋2＝4,
所以tan∠AOM＝
＝
＝－＝－,
tan∠BOM＝
＝
＝,
则tan∠AOM＝tan∠BOM,即∠AOM＝∠BOM,
所以.
(2)(2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
①求p;
②若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
解　①由题意知M(0,－4),F,圆M的半径r＝1,所以|MF|－r＝4,即＋4－1＝4,解得p＝2.
②法一　由①知,抛物线方程为x2＝4y,
由题意可知直线AB的斜率存在,
设A,B,直线AB的方程为y＝kx＋b,
联立消去y,得x2－4kx－4b＝0,
则Δ＝16k2＋16b>0　(※),
x1＋x2＝4k,x1x2＝－4b,
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝4·.
因为x2＝4y,即y＝,所以y'＝,
则抛物线在点A处的切线斜率为,在点A处的切线方程为y－(x－x1),
即y＝x－.
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x－,
联立得
则即P(2k,－b).
因为点P在圆M上,
所以4k2＋(4－b)2＝1, (*)
且－1≤2k≤1,－5≤－b≤－3,即－≤k≤,3≤b≤5,满足(※).
设点P到直线AB的距离为d,
则d＝,
所以S△PAB＝|AB|·d＝4.
由(*)得,k2＝,
令t＝k2＋b,则t＝,
且3≤b≤5.
因为t＝在[3,5]上单调递增,所以当b＝5时,t取得最大值,tmax＝5,此时k＝0,
所以△PAB面积的最大值为20.
法二　AB是点P的极线,
设P(x0,y0),
则AB的方程为x0x＝2(y＋y0),
与抛物线联立,可得x2－2x0x＋4y0＝0,
所以S＝|AB|·d＝(－4y0
＝[1－(y0＋4)2－4y0
＝(－－12y0－15,
y0∈[－5,－3].
令t＝－－12y0－15,
当y0＝－5时,t取最大值,最大值为20,
所以当y0＝－5时,S取得最大值为20.
17.(湘教版选择性必修第一册P172T15,P173T19拓展)圆锥曲线中的蝴蝶定理
(1)定理1:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则|MP|＝|MQ|.
证明　如图,以M为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0,
设A(0,t),B(0,－t),
则t和－t是方程Cy2＋Ey＋F＝0的两个根,
t＋(－t)＝,得E＝0.
若CD,EF有一条斜率不存在,
则P,Q与A,B重合,结论成立.
若CD,EF斜率都存在,
设C(x1,k1x1),D(x2,k1x2),E(x3,k2x3),F(x4,k2x4),P(0,m),Q(0,n),
CE:y－k1x1＝(x－x1),
则m＝(－x1)＋k1x1
＝,
同理,n＝,
所以m＋n＝,
＝,
将y＝k1x代入圆锥曲线方程得
(A＋Bk1＋C)x2＋Dx＋F＝0,
x1＋x2＝,
x1x2＝,
同理x3＋x4＝,
x3x4＝,
所以m＋n＝
＝0,
所以|MP|＝|MQ|.
(2)定理2:A,B是椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆的弦PQ过定点M(t,0),直线PQ的斜率k不为零,则.
证明　如图,过M作x轴的垂线,交AP,BQ分别为H,G,由定理1得|HM|＝|MG|,
.
(3)定理3:在抛物线y2＝2px(p>0)中,过Q(t,0)的直线AC,BD与抛物线分别交于点A,C,B,D,直线AB,CD分别与x轴交于M (m,0),N(n,0),则mn＝t2,.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
则kAB＝,
所以AB:y－y1＝(x－x1),
即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2,
又直线AB过点M,故y1y2＝－2pm,
同理y3y4＝－2pn,y1y3＝－2pt,y2y4＝－2pt,
y1y3·y2y4＝－2pt·(－2pt)＝y1y2·y3y4
＝－2pm·(－2pn),
即m·n＝t2.
＝
＝.
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|＝3.
①求C的方程;
②设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α－β取得最大值时,求直线AB的方程.
解　①当MD⊥x轴时,有|MF|＝＋p＝3,得p＝2,
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
②法一　根据①知F(1,0),D(2,0).
当MN⊥x轴时,易得α＝β＝,
此时α－β＝0.
当MN的斜率存在时,设M(x1,y1),
N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
则直线MN的方程为
y－y1＝(x－x1),
即y－y1＝(x－x1),
即y－y1＝(x－x1),
即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1),
所以直线MN的方程为
y(y1＋y2)－y1y2＝4x,tan α＝.
同理可得,直线AM的方程为
y(y3＋y1)－y3y1＝4x,
直线BN的方程为
y(y4＋y2)－y4y2＝4x,
直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.
因为F(1,0)在MN上,所以y1y2＝－4.
因为D(2,0)在AM,BN上,
所以y3y1＝－8,y4y2＝－8,
所以y3＝－,y4＝－.
所以y3＋y4＝－＝－
＝－＝2(y1＋y2),
y3y4＝＝－16,
所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x,
所以tan β＝,
所以tan(α－β)＝
＝＝2×.
当y2＋y1<0时,tan(α－β)<0,
所以不符合题意.
当y2＋y1>0时,(y2＋y1)＋≥4,
tan(α－β)≤2×,
当且仅当y2＋y1＝,
即y2＋y1＝2时取等号,
此时α－β取得最大值,直线AB的方程为x－y－4＝0.
综上,当α－β取得最大值时,直线AB的方程为x－y－4＝0.
法二　欲使α－β取得最大值,则直线AB的斜率必存在且为正.
由抛物线中的蝴蝶定理(定理3)知
＝2,即kMN＝2kAB,
tan(α－β)＝
＝≤,
当且仅当kAB＝时,不等式取等号.
设AB与x轴交于点E,由蝴蝶定理(定理3)＝xE·xF,得xE＝4,
从而此时AB的直线方程为y＝(x－4),
即x－y－4＝0.
(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:＋y2＝1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·＝8.P为直线x＝6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
①求E的方程;
②证明:直线CD过定点.
解　由题设得A(－a,0),B(a,0),G(0,1).
则＝(a,1),＝(a,－1).
由·＝8,得a2－1＝8,
解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
②
证明　法一　设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).
若t≠0,设直线CD的方程为x＝my＋n,由题意可知－3易知直线PA的方程为y＝(x＋3),
所以y1＝(x1＋3).
易知直线PB的方程为y＝(x－3),
所以y2＝(x2－3).
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3). (ⅰ)
由于＝1,
故＝－, (ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3),
结合x＝my＋n,
得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0. (ⅲ)
将x＝my＋n代入＋y2＝1,
得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－,y1y2＝.
代入(ⅲ)式
得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.
解得n＝－3(舍去)或n＝.
故直线CD的方程为x＝my＋,
即直线CD过定点.
若t＝0,则直线CD的方程为y＝0,过点.
综上,直线CD过定点.
法二　根据对称性,直线CD所过定点一定是它与x轴的交点T,如图所示,
过T作垂直于x轴的弦C'D'分别交AP,PD于点M,N,显然|TC'|＝|TD'|,
由蝴蝶定理知|TM|＝|TN|,
根据相似且等量代换后可知,
解得xT＝,故直线CD过定点.
18.(人教A版选择性必修第一册P138T6,人教B版选择性必修第一册P178T12拓展)手电筒模型:在圆锥曲线上任取一个定点,向曲线上任意两个非该定点的动点引出直线,若引出直线的斜率之和或者之积为定值,则两动点的连线过定点或者斜率为定值.形式上,定点像一个点光源,向两个动点射出光线,犹如“手电筒”,故而得名.
(1)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两斜率互为相反数的直线交双曲线于P,Q两点,则kPQ＝－·＝－kA切.
证明　PQ:y＝mx＋n,
AP(AQ):y－y0＝k(x－x0),
联立xp＝,
联立
得(b2－a2k2)x2－2ka2(y0－kx0)x－a2(y0－kx0)2－a2b2＝0,
x0＋xp＝,
xp＝,
即,
(ma2x0＋a2y0＋a2n)k2－(2b2x0＋2ma2y0)k＋b2y0－b2n＋mb2x0＝0,kAP＋kAQ＝0,
得2b2x0＋2ma2y0＝0,
即m＝kPQ＝＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(2)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),其它条件不变,则kPQ＝·＝－kA切.
证明　联立
得(b2＋a2k2)x2＋2ka2(y0－kx0)x＋a2(y0－kx0)2－a2b2＝0,
xp＝,
即(a2n＋mx0a2＋a2y0)k2＋2(b2x0－a2y0m)k－(y0－n)b2－mb2x0＝0,
由kAP＋kAQ＝0,得b2x0－a2y0m＝0,
即m＝kPQ＝＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(3)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则kPQ＝－＝－kA切.
证明　联立
得k2x2＋[2k(y0－kx0)－2p]x＋(y0－kx0)2＝0,
xp＝,
即(y0＋n＋mx0)k2－2(my0＋p)k＋2pm＝0,
由kAP＋kAQ＝0,
得my0＋p＝0,即m＝kPQ＝－＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(4)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,且kAP＋kAQ＝λ(λ≠0),则直线PQ过定点.
证明　由(1)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为
y＝＋m,
故直线PQ过定点.
(5)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),其它条件不变,则直线PQ过定点.
证明　由(2)知＝λ,
即n＝m,
y＝mx＋n可变为
y＋＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
(6)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则直线PQ过定点.
证明　由(3)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为y＋y0－＝m,
故直线PQ过定点.
(7)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由(1)知＝λ,
即n＝m＋,
y＝mx＋n可变为
y－＝m,
故直线PQ过定点.
(8)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),过点A作两直线交椭圆于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由(2)知＝λ,
即n＝·m＋y0,
y＝mx＋n可变为
y－y0＝m,
故直线PQ过定点.
(9)把双曲线换成抛物线y2＝2px0(p>0),过点A作两直线交抛物线于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ(λ≠0),则直线PQ过定点.
证明　由(3)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为y＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
(10)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,α,β为直线AP,AQ的倾斜角,且tan(α＋β)＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由tan(α＋β)＝λ得kAP＋kAQ＋λkAP·kAQ＝λ,
结合(1)可得,
n＝m＋,
y＝mx＋n可变为y－
＝m,
故直线PQ过定点.
(11)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),
其它条件不变,则直线PQ过定点 (－,－).
证明　结合(2)可得,
n＝m－,
y＝mx＋n可变为y＋
＝m,
故直线PQ过定点.
(12)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则直线PQ过定点(x0－2p－,－y0).
证明　结合(3)可得,
n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为
y－＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
【应用示例】 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:＝1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
①求l的斜率;
解　法一　①将点A的坐标代入双曲线方程得＝1,
化简得a4－4a2＋4＝0,得a2＝2,
故双曲线C的方程为－y2＝1.
由题易知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y＝kx＋m,
P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立直线l与双曲线C的方程,消y整理得
(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0,
故x1＋x2＝－,x1x2＝.
kAP＋kAQ＝
＝＝0,
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0,
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0,
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0,
又直线l不过点A,即m＋2k－1≠0,
故k＝－1.所以l的斜率为－1.
法二　易得双曲线C的方程为－y2＝1,
PQ:y＝mx＋n,AP:y－1＝k(x－2),
联立得xP＝,
联立
得(1－2k2)x2－4k(1－2k)x－2(1－2k)2－2＝0,
xP＝,
2(2m＋n＋1)k2－4(1＋m)k＋1－n＋2m＝0,
由kAP＋kBP＝0,得m＝－1.
所以l的斜率为－1.
②若tan ∠PAQ＝2,求△PAQ的面积.
解　不妨设直线PA的倾斜角为θ,
由题意知∠PAQ＝π－2θ,
所以tan ∠PAQ＝－tan 2θ＝
＝2,
解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去).
由得x1＝,
所以|AP|＝|x1－2|＝,
同理得x2＝,
所以|AQ|＝|x2－2|＝.
因为tan ∠PAQ＝2,
所以sin ∠PAQ＝,
故S△PAQ＝|AP||AQ|sin ∠PAQ
＝×××
＝.
(2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).
①求C的方程;
解　由题设得＝1,
,
解得a2＝6,b2＝3.
所以C的方程为＝1.
②点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
证明　法一　设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直,
设直线MN的方程为y＝kx＋m,
代入＝1,
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是
x1＋x2＝－,x1x2＝.(*)
由AM⊥AN,得·＝0,
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0,
整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将(*)代入上式,可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0,
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2,1)不在直线MN上,
所以2k＋m－1≠0,
所以2k＋3m＋1＝0,k≠1.
所以直线MN的方程为y＝k(k≠1).
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,－y1).
由·＝0,
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又＝1,所以3－8x1＋4＝0.
解得x1＝2(舍去),或x1＝.
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点,即Q.
若D与P不重合,
则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,
故|DQ|＝|AP|＝.
若D与P重合,则|DQ|＝|AP|.
综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.
法二　若直线MN与x轴不垂直.
设MN:y＝mx＋n,
AM:y－1＝k(x－2),
联立
得xm＝,
联立
得(1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(1－2k)2－6＝0,
2＋xm＝,
xm＝,
即2(n＋2m＋1)k2＋4(1－m)k－1＋n－2m＝0,
kAM·kAN＝＝－1,
n＝－m－,
y＝mx＋n变为y＋＝m,
故直线MN过点P,
其它同法一.
1.通过阅读《阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用》(人教A版选择性必修第一册P140)、《拓展阅读——圆锥曲线的光学性质》(人教B版选择性必修第一册P172)、《阅读教材二——圆锥曲线的光学性质》(北师大版选择性必修第一册P86)和《数学实验——用计算机探究圆锥曲线的光学性质》(湘教版选择性必修第一册P166)、《阅读题——圆锥曲线的光学性质》(苏教版选择性必修第一册P126T17),可从中提炼出如下结论:
(1)从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.
证明　如图,设椭圆＝1(a>b>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P的切线l,法线PM⊥l交x轴于点M,
l:＝1,
PM:y－y0＝(x－x0), M,|PF1|＝a＋ex0,|PF2|＝a－ex0,
所以,
所以PM为∠F1PF2的角平分线.故结论成立.
(2)从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.
证明　如图,设双曲线＝1(a>0,b>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P的切线l交x轴于点N,法线PM⊥l交x轴于点M,PF1的反向延长线为PA,
l:＝1,N,
|PF1|＝ex0＋a,|PF2|＝ex0－a,
所以,
所以∠F1PN＝∠F2PN,
所以∠APM＝∠F2PM,即PM是∠F2PA的角平分线.故结论成立.
(3)从抛物线的焦点出发的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于对称轴.
证明　如图,设抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P处的切线l,法线PM⊥l交x轴于点M,PA为反射光线.
l:y0y＝p(x＋x0),
PM:y－y0＝－(x－x0),
M(p＋x0,0),|PF|＝x0＋,
|FM|＝p＋x0－＝x0＋,
所以|PF|＝|FM|,所以∠FMP＝∠FPM,
又因为∠FPM＝∠MPA,
所以∠FMP＝∠MPA,
所以PA∥x轴.故结论成立.
【应用示例】 已知双曲线C:＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,根据双曲线的光学性质可知,过双曲线C上任意一点P(x0,y0)的切线l:＝1(a>0,b>0)平分∠F1PF2.直线l1过F2交双曲线C的右支于A,B两点,设△AF1F2,△BF1F2,△ABF1的内心分别为I1,I2,I,若△II1I2与△F2I1I2的面积之比为,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　令圆I1切AF1,AF2,F1F2分别为点P,Q,T,
则|AP|＝|AQ|,|F1P|＝|F1T|,
|F2Q|＝|F2T|,
|F1T|－|F2T|＝|F1P|－|F2Q|＝|AF1|－|AF2|＝2a.
令点T(x0,0),而F1(－c,0),F2(c,0),
因此x0－(－c)－(c－x0)＝2a,
解得x0＝a,
又I1T⊥F1F2,则点I1横坐标为a,
同理点I2横坐标为a,即直线I1I2的方程为x＝a.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
依题意,直线AI,BI的方程分别为:＝1,＝1,
联立消去y得:y2＝y1,
整理得x＝.
令直线AB的方程为x＝my＋c,
于是x＝,
即点I的横坐标为,
因此,
所以双曲线C的离心率e＝.
2.通过阅读《阅读材料——圆锥的截线》(北师大版选择性必修第一册P77)和《拓展阅读——倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆》(人教B版选择性必修第一册P134),可从中提炼出如下结论:
(1)在圆锥内放两个大小不同的球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,两个球分别与截面相切于点F1,F2,则截口曲线为椭圆.
证明　如图,在截口曲线上任取一点A,过点A作圆锥的母线,分别与两个球相切于点C,B,由球和圆的几何性质,可得|AF1|＝|AC|,|AF2|＝|AB|,所以|AF1|＋|AF2|＝|AB|＋|AC|＝|BC|>|F1F2|,由椭圆的定义可知,截口曲线是椭圆.
(2)平面α与圆柱相交,且平面α不与圆柱的轴垂直,则截口曲线为椭圆.
证明　取半径与圆柱底面半径相同的两个球,从平面α的两侧放入圆柱面内,并使得两个球都与平面α相切,切点分别为F1,F2.
设P为截口曲线C上任一点,过点P作圆柱的母线,分别与两个球相切于A,B,由球和圆的几何性质,|PF1|＝|PA|,|PF2|＝|PB|,
所以|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|>|F1F2|,
由椭圆的定义可知,截口曲线是椭圆.
(3)用一个平面去截圆锥,得到的曲线满足到定点的距离与到定直线的距离之比为常数.
证明　连接MF,因为M(P曲线上的点)为平面β内一点,F是平面β与球的切点,
所以MF是球的切线,
同理,MP也是切线,
|MF|＝|MP|(类比圆的切线长定理).
做MN⊥l于点N,MH⊥OP交延长线于H,则MH∥VD,
于是动点M到定点F的距离d＝|MF|＝|MP|,
动点M到定直线l的距离d1＝|MN|,
则,
如图所示,圆锥中母线与轴VD的夹角为θ,△VOP与△MHP相似,∠PMH＝∠PVO＝θ,
∴|MP|＝.
在Rt△MHN中,∠NMH是平面β与轴VD的夹角记为γ,
∴|MN|＝,
,
所以动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比为常数,
因此M的轨迹是圆锥曲线.
引申:当γ＝θ时,e＝＝1,截口曲线为抛物线;
当θ<γ<时,e＝∈(0,1),截口曲线为椭圆;
当γ<θ时,e＝>1,截口曲线为双曲线.
【应用示例】 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于　　　　.
答案　
解析　该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.
旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,
如图,设∠SAB＝α,则cos α＝,
|AC|＝6,|AB|＝8,
所以|BC|2＝62＋82－2×6×8×＝68,
|BC|＝2,
即2a＝2,a＝,|SO|＝8,
|CD|＝4,O'为椭圆的中点,|O'E|＝2,D,O,E分别为C,S,O'在底面上的射影,
可得|DO|＝2,|OE|＝1,F为小圆的圆心,M为小圆与椭圆的交点,|OF|＝2,
可得|FM|＝3,MO'⊥CD,MO'⊥O'F,CD与O'F相交,CD,O'F 平面BCD,
则O'M⊥平面BCD,因为BC 平面BCD,故MO'⊥BC,MN是椭圆的短轴长为2＝4,
b＝2,c＝＝3,
椭圆的离心率为e＝.
母题1 (人教A版选择性必修第一册P79T10)已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0,边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线BC的方程.
解　(1)设C(m,n),∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0,AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0,
∴∴C(4,3).
(2)设B(a,b),则
解得∴B(－1,－3),
∴kBC＝,
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4),化为6x－5y－9＝0.
母题2 (人教A版选择性必修第一册P84例3)已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,－2)两点,且圆心C在直线l:x－y＋1＝0上,求此圆的标准方程.
解　法一　设圆心C的坐标为(a,b).
因为圆心C在直线l:x－y＋1＝0上,
所以a－b＋1＝0. ①
因为A,B是圆上两点,所以|CA|＝|CB|.
根据两点间距离公式,有,
即a－3b－3＝0. ②
由①②可得a＝－3,b＝－2,
所以圆心C的坐标是(－3,－2).
圆的半径r＝|AC|＝＝5.
所以所求圆的标准方程是
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
法二　如图,设线段AB的中点为D.
由A,B两点的坐标为(1,1),(2,－2),
可得点D的坐标为,
直线AB的斜率为kAB＝＝－3.
因此,线段AB的垂直平分线l'的方程是
y＋,
即x－3y－3＝0.
由垂径定理可知,圆心C也在线段AB的垂直平分线上,
所以它的坐标是方程组的解,
解这个方程组,得
所以圆心C的坐标是(－3,－2).
圆的半径r＝|AC|＝＝5.
所以所求圆的标准方程是
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　.
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析　法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2,
则
解得
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0),
则M(－,－),
∴
解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0,
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法三　设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,
则kAB＝＝－,
AB的中点坐标为(,),
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3(x－),即3x－y－4＝0.
联立得
所以M(1,－1),
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5,
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
母题3 (人教A版选择性必修第一册P87例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解　设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,
所以x＝,y＝.
于是有x0＝2x－4,y0＝2y－3. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,
所以点A的坐标满足圆的方程,
即(x0＋1)2＋＝4. ②
把①代入②,得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4,
整理,得＝1.
这就是点M的轨迹方程,它表示以
为圆心,半径为1的圆.
(2020·全国Ⅲ卷)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若·＝1,则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
答案　A
解析　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设点A,B分别为(－a,0),(a,0)(a>0),点C为(x,y),则＝(x＋a,y),＝(x－a,y),所以·＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2－a2＝1,整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C的轨迹为圆.故选A.
母题4 (人教A版选择性必修第一册P98T3)求直线l:3x－y－6＝0被圆C:x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长.
解　将圆的方程x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程,得(x－1)2＋(y－2)2＝5,
∴圆心坐标为(1,2),半径为,
∴圆心到直线l的距离d＝＝,
弦AB的长|AB|＝2.
(1)(2025·天津卷)l1:x－y＋6＝0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C,D两点,|AB|＝3|CD|,则r＝　　　　.
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C:(x－1)2＋y2＝4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　.
答案　(1)2　(2)2(答案不唯一,可以是±,±2中任意一个)
解析　(1)因为直线l1:x－y＋6＝0与x轴交于点A,与y轴交于点B,
所以A(－6,0),B(0,6),所以|AB|＝6.
因为|AB|＝3|CD|,所以|CD|＝2.
圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1,3),
圆心到直线l1的距离d＝,
所以r＝＝2.
(2)设直线x－my＋1＝0为直线l,
由条件知☉C的圆心为C(1,0),半径R＝2,
则圆心C到直线l的距离d＝,
|AB|＝2＝2＝.
由S△ABC＝,得××,
整理得2m2－5|m|＋2＝0,
解得m＝±2或m＝±,故答案可以为2.
母题5 (人教A版选择性必修第一册P102T10)求点P(－2,－1)到直线l:(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ为任意实数)的距离的最大值.
解　将(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0化为λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0,
因为λ为任意实数,
所以
即直线(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0恒过定点(1,1),
所以点P(－2,－1)到直线l的距离的最大值为.
(2020·全国Ⅲ卷)点(0,－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A.1 B.
C. D.2
答案　B
解析　设点A(0,－1),直线l:y＝k(x＋1),得l恒过定点B(－1,0),当AB⊥l时,点A(0,－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大,最大值为.故选B.
母题6 (人教A版选择性必修第一册P99习题2.5T13)已知圆x2＋y2＝4,直线l:y＝x＋b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1
解　由圆C的方程:x2＋y2＝4,可得圆C的圆心为原点O(0,0),半径为2.
若圆C上恰有3个点到直线l的距离等于1,则O到直线l:y＝x＋b的距离d等于1.
直线l的一般方程为x－y＋b＝0,
∴d＝＝1,
解得b＝±.
(2025·新高考Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,3)
C.(3,＋∞) D.(0,＋∞)
答案　B
解析　易得圆心(0,－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2.
若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个,
则d－1母题7 (人教A版选择性必修第一册P103T20)已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2＝25,直线l:(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求证:直线l恒过定点;
证明　直线l的方程可化为
(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0,
联立
故恒过定点(3,1).
(2)直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短 并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.
解　当直线l过圆心C时,直线被圆截得的弦长最长.
设P(3,1),C(1,2),当直线l⊥CP时直线被圆截得的弦长最短,
此时直线l的斜率为
k＝－,kCP＝－,
由k·kCP＝－1得m＝－,
此时l的方程为2x－y－5＝0,
圆心C(1,2)到直线2x－y－5＝0的距离为
d＝,
最短弦长＝2＝4,
故当l过圆心时弦长最长,
当l的方程为2x－y－5＝0时弦长最短,
弦长最短时m＝－,最短弦长为4.
(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.2
答案　C
解析　根据题意有2b＝a＋c,即a－2b＋c＝0,
所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1,－2).
设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C,连接CM,
则AB⊥CM时,|AB|最小,
将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5,
则C(0,－2),所以|MC|＝1,
所以|AB|的最小值为2＝4.
母题8 (人教B版选择性必修第一册P113例1)已知直线y＝x＋b,圆x2＋y2＝2,分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围.
解　法一　联立直线的方程与圆的方程,
得方程组
从方程组中消去y,整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0, ①
这个方程的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当且仅当－20,方程①有两个不相等的实数解,此时直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;
当且仅当b＝2或b＝－2时,Δ＝0,方程①有两个相等的实数解,此时直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;
当且仅当b<－2或b>2时,Δ<0,方程①没有实数解,此时直线与圆没有公共点,直线与圆相离.
法二　因为圆的半径r＝,圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝.
当且仅当d当且仅当d＝r,即,b＝2或b＝－2时,直线与圆相切;
当且仅当d>r,即>,b<－2或b>2时,直线与圆相离.
(1)(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0,则x－y的最大值是(　　)
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.72
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3),B(0,a),若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点,则a的取值范围是　　　　.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆.
设z＝x－y,即x－y－z＝0,
由题意得≤3,
解得1－3≤z≤1＋3,
故z＝x－y的最大值为1＋3,故选C.
(2)法一　由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A'(－2,2a－3),
所以kA'B＝,所以直线A'B的方程为y＝x＋a,即(3－a)x－2y＋2a＝0.
由题意知直线A'B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点,
易知圆心为(－3,－2),半径为1,
所以≤1,
整理得6a2－11a＋3≤0,解得≤a≤,
所以实数a的取值范围是.
法二　易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1,
由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为y＝x＋a,
即(a－3)x－2y＋2a＝0,
又对称圆的圆心为(3,－2),半径为1,
所以≤1,
整理得6a2－11a＋3≤0,解得≤a≤,
所以实数a的取值范围是.
法三　易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1,
由题意知该对称圆与直线AB有公共点.
设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2),
即kx－y＋3＋2k＝0,
因为对称圆的圆心为(3,－2),半径为1,
所以≤1,
解得－≤k≤－,
又k＝,所以－≤≤－,
解得≤a≤,
所以实数a的取值范围是.
母题9 (人教B版选择性必修第一册P121习题2－3AT4)若P(x,y)是圆C:(x－3)2＋y2＝1上的任意一点,求P(x,y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
解　由圆C:(x－3)2＋y2＝1,
可得圆心C(3,0),半径r＝1,
∴圆心C(3,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2,
∴P(x,y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值分别为2＋1,2－1.
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|＝3
D.当∠PBA最大时,|PB|＝3
答案　ACD
解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5),由题意知直线AB的方程为＝1,即x＋2y－4＝0,则圆心M到直线AB的距离d＝>4,所以直线AB与圆M相离,所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋,又4＋<5＋＝10,故A正确;
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4,又－4<－4＝1,故B不正确;
过点B作圆M的两条切线,切点分别为N,Q,如图所示,连接MB,MN,MQ,则当∠PBA最小时,点P与N重合,|PB|＝＝3;当∠PBA最大时,点P与Q重合,|PB|＝3,故C,D都正确.综上,选ACD.
母题10 (苏教版选择性必修第一册P67T12)对于圆C:x2＋y2＝r2,直线l:ax＋by＝r2,分别根据下列条件,判断直线l与圆C的位置关系:
(1)点P(a,b)在圆C上;
(2)点P(a,b)在圆C外.
解　(1)当点P(a,b)在圆C上时,
a2＋b2＝r2.
因为圆心到直线l的距离d＝＝r,
故直线l与圆C相切.
(2)当点P(a,b)在圆C外时,a2＋b2>r2.
因为圆心到直线l的距离d＝故直线l与圆C相交.
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax＋by－r2＝0与圆C:x2＋y2＝r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案　ABD
解析　圆心C(0,0)到直线l的距离d＝.若点A(a,b)在圆C上,则a2＋b2＝r2,所以d＝＝|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,则a2＋b2|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,则a2＋b2>r2,所以d＝<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2,所以d＝＝|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
母题11 (湘教版选择性必修第一册P99例6)证明圆C1:x2＋y2－4x－16＝0与圆C2:x2＋y2＋2y－4＝0内切,并求它们的公切线方程.
解　将圆C1的方程化成标准方程,
得(x－2)2＋y2＝20,
则圆心坐标为(2,0),半径r1＝＝2,
将圆C2的方程化成标准方程,
得x2＋(y＋1)2＝5,
则圆心坐标为(0,－1),半径r2＝.
两圆心之间的距离
d＝＝r1－r2,
因此两圆内切(如图).
为求公切线方程,需要求切点坐标,切点是两圆唯一的公共点,
其坐标即为方程组
的解,
由②－①,得4x＋2y＋12＝0,
即y＝－2x－6. ③
将③代入②,整理得x2＋4x＋4＝0.
解此方程,得唯一解x＝－2,
代入③,得y＝－2,
故切点坐标为(－2,－2).
切点(－2,－2)与圆C1的圆心(2,0)连线的方向向量为(2－(－2),0－(－2))＝(4,2),并且与切线方向垂直,
故向量(4,2)是切线的法向量,
因此可设切线的一般式方程为4x＋2y＋C＝0.
将切点(－2,－2)的坐标代入上述方程,
解得C＝12.
因此,所求切线方程为2x＋y＋6＝0.
(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程　　　　.
答案　x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一,只需写出上述三个方程中的一个即可)
解析　如图,因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0),半径r1＝1,圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4),半径r2＝4,
所以|OA|＝5,r1＋r2＝5,所以|OA|＝r1＋r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:
①易知公切线l1的方程为x＝－1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.
易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x,
由
由对称性可知公切线l2过点.
设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1),
则点O(0,0)到l2的距离为1,
所以1＝,解得k＝,
所以公切线l2的方程为y＋(x＋1),
即7x－24y－25＝0.
③还有一条公切线l3与直线l:y＝x垂直,设公切线l3的方程为y＝－x＋t,
易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,
所以1＝,
解得t＝或t＝－(舍去),
所以公切线l3的方程为y＝－x＋,
即3x＋4y－5＝0.
综上,所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
母题12 (人教A版选择性必修第一册P108例2)如图,在圆x2＋y2＝4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 (当点P经过圆与x轴的交点时,规定点M与点P重合.)
解　设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
则点D的坐标为(x0,0).
由点M是线段PD的中点,得x＝x0,y＝.
因为点P(x0,y0)在圆x2＋y2＝4上,
所以＝4. ①
把x0＝x,y0＝2y代入方程①,
得x2＋4y2＝4,
即＋y2＝1.
所以点M的轨迹是椭圆.
(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C:x2＋y2＝16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　)
A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)
C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)
答案　A
解析　法一　设M(x0,y0),
则P(x0,2y0),
因为点P在曲线C上,
所以＋(2y0)2＝16(y0>0),
即＝1(y0>0),
所以线段PP'的中点M的轨迹方程为
＝1(y>0),故选A.
法二(数形结合法)
由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半,横坐标不变,即可得到点M的轨迹.曲线C为半圆,则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分),其中长半轴长为4,短半轴长为2,故选A.
母题13 (1)(人教A版选择性必修第一册P112练习T4)求适合下列条件的椭圆的标准方程:①经过P(－3,0),Q(0,－2)两点;②长轴长等于20,离心率等于.
解　①设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1,(m>0,n>0,m≠n),
把P(－3,0),Q(0,2)代入,得
解得m＝,n＝,
∴椭圆的标准方程为＝1.
②∵椭圆的长轴长等于20,离心率等于,
∴解得a＝10,c＝6,
∴b2＝100－36＝64,
∴椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)(人教A版选择性必修第一册P114T2)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求线段AB的长.
解　由椭圆的方程知F1(－1,0),
∴直线l的方程为y＝tan 60°(x＋1),
即y＝(x＋1).
与椭圆的方程联立,并消去y,
得7x2＋12x＋4＝0.
由根与系数的关系,知xA＋xB＝－, xAxB＝,
∴|AB|＝
＝.
(3)(人教A版选择性必修第一册P115T4(1))求经过P(－2,0),Q(0,)两点的椭圆的标准方程.
解　椭圆经过点P(－2,0),Q(0,),
可知椭圆的焦点在x轴上,
设椭圆方程为＝1(a>b>0),
∴a＝2,b＝,
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
解　由题意得2a＝4,解得a＝2.
由e＝,得c＝a＝,
又b2＝a2－c2,所以b＝.
所以C的方程为＝1.
(2)过点(0,－2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为,求|AB|.
解　由题意得l的斜率存在且不为0,设斜率为k,则直线l的方程为y＝kx－2,
联立消去y并化简得 (1＋2k2)x2－8kx＋4＝0,
由Δ＝16(2k2－1)>0,得k2>,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
设直线l与x轴交于点M,则M,
S△AOB＝|OM||y1－y2|
＝|(kx1－2)－(kx2－2)|
＝|x1－x2|
＝
＝,
解得k2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝×.
母题14 (人教A版选择性必修第一册P115T3)求下列各椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标,并画出图形:
(1)x2＋4y2＝16;
解　椭圆的标准方程为
＝1,
则a＝4,b＝2,c＝＝2,
所以长轴长2a＝8,短轴长2b＝4,离心率e＝,
焦点坐标为(2,0),(－2,0),顶点坐标为(4,0),(－4,0),(0,2),(0,－2),图形如图.
(2)9x2＋y2＝81.
解　椭圆的标准方程为＝1,
则a＝9,b＝3,
c＝＝6,
所以长轴长2a＝18,
短轴长2b＝6,
离心率e＝,
焦点坐标为(0,6),(0,－6),顶点坐标为(3,0),(－3,0),(0,9),(0,－9),图形如图.
(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:＋y2＝1(a>1),C2:＋y2＝1的离心率分别为e1,e2,若e2＝e1,则a＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知得e1＝,
e2＝,
因为e2＝e1,
所以×,
解得a＝,故选A.
母题15 (人教B版选择性必修第一册P143习题2－5CT3)已知点A(1,1),而且F1是椭圆＝1的左焦点,P是椭圆上任意一点,求|PF1|＋|PA|的最小值和最大值.
解　因为F1是椭圆＝1的左焦点,
则F1(－2,0),
设F2是椭圆＝1的右焦点,
则F2(2,0),
又因为P是椭圆上的任意一点,
所以|PF1|＋|PF2|＝6,
又因为A(1,1)在椭圆内部,
则|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|
＝6＋|PA|－|PF2|,
因为||PA|－|PF2||≤|AF2|,
即－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|,
又因为|AF2|＝,
即－≤|PA|－|PF2|≤,
所以6－≤|PF1|＋|PA|≤6＋,
当且仅当P,A,F2三点共线时等号成立,
即直线AF2与椭圆的两个交点,其中一个点使|PF1|＋|PA|取最大值,
另一个交点使|PF1|＋|PA|取最小值,
所以|PF1|＋|PA|的最大值为6＋,最小值为6－.
(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:＝1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12
C.9 D.6
答案　C
解析　由椭圆C:＝1,
得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6,
则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9,当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.故选C.
母题16 (北师大版选择性必修第一册P58A组T8)已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为,其左焦点F到直线l:y＝x－2的距离为2,求此椭圆方程.
解　∵椭圆＝1(a>b>0)的离心率为,∴,
又左焦点F到直线l:y＝x－2的距离为2,
∴＝2,
解得c＝2,可得a＝2,
则b＝＝2.
∴所求椭圆方程为＝1.
(2022·全国甲卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·＝－1,则C的方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＋y2＝1
答案　B
解析　依题意得A1(－a,0),A2(a,0),B(0,b),
所以＝(－a,－b),＝(a,－b),
·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1,故c＝1,
又C的离心率e＝,
所以a＝3,a2＝9,b2＝a2－c2＝8,
所以C的方程为＝1,故选B.
母题17 (北师大版选择性必修第一册P90T2)经过椭圆C:＋y2＝1的中心作直线l,与椭圆C交于P,Q两点,设椭圆C的右焦点为F,已知∠PFQ＝,求△PFQ的面积.
解　设椭圆的左焦点为F1,
由椭圆的对称性可知|F1P|＝|FQ|,|F1Q|＝|PF|,
所以四边形F1PFQ为平行四边形,
所以S△PFQ＝,
因为∠PFQ＝,所以∠F1PF＝,
由椭圆定义可得|PF1|＋|PF|＝2,|F1F|＝2,
由余弦定理可得
4＝|PF1|2＋|PF|2－2|PF1||PF|cos ,
所以4＝(|PF1|＋|PF|)2－3|PF1||PF|,
即|PF1|·|PF|＝,
所以S△PFQ＝
＝×|PF1||PF|sin .
母题18 (人教B版选择性必修第一册P180T6)过椭圆＝1(a>b>0)的中心作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,求△PFQ的周长的最小值.
解　设椭圆的另一个焦点为F1,连接PF1,QF1.
由题知,PQ,F1F互相平分,
∴四边形PF1QF为平行四边形,
∴|QF|＝|PF1|,
由椭圆的定义知,|PF|＋|PF1|＝2a,
∴|PF|＋|QF|＝2a,
∴△PFQ的周长为
|PF|＋|QF|＋|PQ|＝2a＋|PQ|,
又当P,Q分别为椭圆的上下顶点时,|PQ|取最小值2b,
∴△PFQ的周长的最小值为2a＋2b.
母题19 (人教A版选择性必修第一册P103T18)求由曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积.
解　当x≥0,y≥0时,,
表示的图形占整个图形的,
而,
表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆,
∴S＝4＝2＋π,
故围成的图形的面积为2＋π.
母题20 (人教A版选择性必修第一册P127T10)设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x＝的距离的比是(a解　设M(x,y),
由已知,得,
所以,
两边平方,得(x－c)2＋y2＝,
化简得动点M的轨迹方程为
(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2),
当a它表示中心在原点,焦点在x轴上,实半轴长为a,虚半轴长为的双曲线.
(多选) (2024·新高考Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于－2,到点F(2,0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4,则(　　)
A.a＝－2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
答案　ABD
解析　因为坐标原点O在曲线C上,
所以2×|a|＝4,又a<0,所以a＝－2,所以A正确;
因为点(2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离之积为(2－2)(2＋2)＝4,
所以点(2,0)在曲线C上,所以B正确;
设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点,
则有·(x＋2)＝4,
所以y2＝－(x－2)2,
令f(x)＝－(x－2)2,
则f'(x)＝－－2(x－2),
因为f(2)＝1,且f'(2)<0,所以函数f(x)在x＝2附近单调递减,
即必定存在一小区间(2－ ,2＋ )使得f(x)单调递减,
所以在区间(2－ ,2)上均有f(x)>1,
所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1,所以C错误;
因为点(x0,y0)在C上,所以x0>－2且(x0＋2)＝4,
得－(x0－2)2≤,
所以y0≤|y0|≤,
所以D正确.
母题21 (人教A版选择性必修第一册P124例3)求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解　把双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程＝1.
由此可知,实半轴长a＝4,虚半轴长b＝3;c＝＝5,焦点坐标是(0,－5),(0,5);离心率e＝;渐近线方程为y＝±x.
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2
(2)(2025·北京卷)双曲线x2－4y2＝4的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)依题意得b＝a,又c2＝a2＋b2,
所以c2＝a2＋(a)2＝8a2,即c＝2a,
故e＝2.故选D.
(2)由x2－4y2＝4,得－y2＝1,
所以a2＝4,b2＝1,c2＝a2＋b2＝5,
即a＝2,c＝,
所以e＝.
母题22 (人教A版选择性必修第一册P127练习T3)直线y＝x与双曲线＝1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积为－9,求离心率e.
解　双曲线＝1(a>0)的虚轴长为4,
联立直线y＝x与双曲线方程,
消去y可得x2＝1,
直线y＝x与双曲线交于A,B两点,A,B两点的横坐标之积为－9,
所以×9＝1,
解得a＝,
所以c＝,
可得e＝.
母题23 (1)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1,那么点P与另一个焦点的距离等于　　　　.
答案　17
解析　双曲线方程化为＝1,
∴a＝8,∴2a＝16.
∵P到一个焦点的距离为1,
设P到另一个焦点的距离为x,
∴|x第八章　平面解析几何
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版选择性必修第一册P52)在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O,P的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线l经过P1(－1,1),P2(,0),α与P1,P2的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α与P1,P2的坐标有怎样的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 (人教A版选择性必修第一册P65)在方程Ax＋By＋C＝0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线:①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 (人教A版选择性必修第一册P74)如图,已知点P(x0,y0),直线l:Ax＋By＋C＝0,如何求点P到直线l的距离
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 (人教A版选择性必修第一册P75)我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 (人教A版选择性必修第一册P86)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D,E,F满足什么条件时,这个方程表示圆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究6 (人教A版选择性必修第一册P105)取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(绳长大于F1F2长,如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线 在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究7 (人教A版选择性必修第一册P121)如图,点A,B的坐标分别是(－5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,与它们的斜率之积是－比较,你有什么发现
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究8 (人教A版选择性必修第一册P123)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究9 (人教A版选择性必修第一册P128)为什么y＝±x是双曲线＝1的渐近线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究10 (人教A版选择性必修第一册P133)为什么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(人教B版选择性必修第一册P74习题2－1CT2拓展)曼哈顿距离
(1)定义:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为平面上两点,则定义|x2－x1|＋|y2－y1|为“直角距离”、“折线距离”或“曼哈顿距离”,记作d(P,Q)＝|x2－x1|＋|y2－y1|.
(2)性质:①已知直线AB,AC平行于坐标轴,且|AB|＝|AC|＝m,则线段BC上任意一点D(含端点)与点A的曼哈顿距离为定值.(线段BC称为A的“等曼哈顿距离线段”,简称“等曼线”.)
②动点P(x1,y1)到定点Q(x2,y2)的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形.(该正方形的对角线平行于坐标轴.)
③等曼线所在直线的斜率为－1或1.
证明　①如图所示,过D作DE⊥AB,垂足为E,
d(A,D)＝|AE|＋|DE|＝|AE|＋|BE|＝|AB|＝m.
②③证明(略).
【应用示例】 设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知点P为抛物线C:x2＝2py(p>0)上一动点,点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p＝　　　　;若斜率为的直线l过点Q,点M是直线l上一动点,则d(P,M)的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A版选择性必修第一册P89T9,湘教版选择性必修第一册P104例2拓展)阿波罗尼斯圆:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点M的轨迹是圆.
证明　以直线AB为x轴建立平面直角坐标系,并设A(a,0),B(b,0)(a≠b),M(x,y).
因为＝λ≠1,
所以＝λ,
所以(x－a)2＋y2＝λ2(x－b)2＋λ2y2,
所以(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋(2λ2b－2a)x＋(a2－λ2b2)＝0,
所以x2＋y2＋＝0,
所以＋y2＝,
所以点M的轨迹是圆.
【应用示例】 已知O是坐标原点,A(3,0),动点P(x,y)满足|PO|＝2|PA|,则的最大值为(　　)
A. B.
C.1 D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.(人教A版选择性必修第一册P89T10拓展)圆的参数方程:若点P(x,y)是圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上的任一点,则点P的坐标(x,y)可写成(θ为参数).
证明　如图,CA∥x轴,PP1⊥AC,P1为垂足,∠PCA＝θ,
则x＝xC＋|CP1|＝a＋rcos θ,
y＝yC＋|PP1|＝b＋rsin θ,
即(θ为参数).
【应用示例】 过点P(a,b)作圆x2＋y2＝1的切线PA,A为切点,|PA|＝1,则a＋2b的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(人教B版选择性必修第一册P116T1、P113例2,北师大版选择性必修第一册P39T5,湘教版选择性必修第一册P97例4,苏教版选择性必修第一册P72问题与探究拓展)圆的极点、极线:
(1)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)上的一点,则在P处的切线方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
证明　由圆C的方程知圆心C,
则,
如图,任取l上一点Q(x,y),
则＝(x－x0,y－y0),
则由相切可知·＝0,
所以(x－x0)＋(y－y0)＝0,
即x0x＋(x－x0)－＋y0y＋(y－y0)－＝0, ①
由P在C上可知＋Dx0＋Ey0＋F＝0, ②
由①②消去可得
x0x＋(x－x0)＋y0y＋(y－y0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0,
即x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
(2)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外的一点,过点P作圆C的切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
证明　法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),
则圆C在A点处的切线方程为
x1x＋y1y＋D＋
E＋F＝0上,
又P(x0,y0)在此切线上,
故x1x0＋y1y0＋D＋E＋F＝0,
又圆C在B点处的切线方程为
x2x＋y2y＋D＋E＋F＝0,
又P(x0, y0)在此切线上,
故x2x0＋y2y0＋D＋E＋F＝0,
可见,A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0,
而此方程为直线方程,所以直线AB的方程为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
法二　设A(x1,y1),B(x2,y2),显然A,B,P,C四点共圆,以PC为直径,如图.
设此圆上任一点Q(x,y),
则＝(x－x0,y－y0),
,
由相切可知:·＝0,
则(x－x0)＋(y－y0)＝0,
即x2＋D－x0x＋y2＋E－y0y＝0.
与圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0作差得Dx＋Ey＋F－D＋x0x－E＋y0y＝0,
此即直线AB的方程,整理为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0.
(3)点P(x0,y0)是圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)内一点,过P作圆的弦AB,再作A,B两点处的圆的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
证明　设Q(a,b),则由探究(2)结果可知Q的切点弦AB所在直线的方程为ax＋by＋D＋
E＋F＝0,
又P(x0,y0)在弦AB上,
所以ax0＋by0＋D＋E＋F＝0,
将a,b分别换为x,y,可得Q的轨迹方程为
x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0,
可见,Q点轨迹是一条直线,这条直线上任意一点的切点弦恒过定点P.
【应用示例】 已知圆O:x2＋y2＝4,直线l:x＝4,P为直线l上的动点,过P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.(1)(人教B版选择性必修第一册P143习题2－5BT2拓展)椭圆焦点三角形面积公式:已知椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上异于左、右顶点的一点,∠F1PF2＝θ,则焦点三角形的面积＝b2tan .
证明　在△PF1F2中,由余弦定理得:
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
所以|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
即|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ).
由椭圆的定义可知:
|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c,
所以4c2＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ),
即2|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ)
＝4a2－4c2＝4b2,
化简得|PF1|·|PF2|＝,
所以|PF1|·|PF2|·sin θ
＝×·sin θ＝b2·
＝b2·＝b2tan .
(2)(人教B版选择性必修第一册P157T5拓展)双曲线焦点三角形面积公式:已知双曲线C:＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上异于左右顶点的一点,∠F1PF2＝θ,则焦点三角形的面积.
证明　在△PF1F2中,由余弦定理得:
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
所以|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos θ,
即|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ).
由双曲线的定义可知:
||PF1|－|PF2||＝2a,|F1F2|＝2c,
所以4c2＝4a2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ),
即2|PF1|·|PF2|·(1－cos θ)＝4c2－4a2＝4b2,
化简得|PF1|·|PF2|＝,
所以|PF1|·|PF2|·sin θ
＝×·sin θ＝b2·
＝b2·.
【应用示例】 (1)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:＝1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2＝,则|OP|＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:＋y2＝1的两个焦点,点P在C上,若·＝0,则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.(湘教版选择性必修第一册P172T13拓展)(1)已知F1,F2为椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上任意一点,则当点P为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2最大.
证明　如图,由已知|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c,
所以|PF1||PF2|≤＝a2
(当|PF1|＝|PF2|时取等号).
由余弦定理得:
cos∠F1PF2＝
＝
＝－1＝－1≥－1,
所以当|PF1|＝|PF2|时,cos∠F1PF2的值最小.
因为∠F1PF2∈(0,π),所以此时∠F1PF2最大,即点P为椭圆短轴的端点时∠F1PF2最大.
(2)已知A,B为椭圆＝1(a>b>0)长轴上的两个顶点,Q为椭圆上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
证明　如图,当∠AQB最大时,∠AQB一定是钝角.
过Q作QP⊥x轴,P为
垂足.
设|PQ|＝n,|PB|＝m,
|PA|＝2a－m,
则tan∠AQP＝,tan∠BQP＝,
所以tan∠AQB＝. ①
又因为Q(a－m,n),所以＝1,
化简得m2－2am＝－,
代入①式得tan∠AQB＝.
因为1－<0,∠AQB∈,
所以当n＝b时,tan∠AQB取得最大值,此时∠AQB最大,即当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
【应用示例】 椭圆＝1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点Q,使∠F1QF2＝120°,则椭圆离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.(人教A版选择性必修第一册P113例6,人教B版选择性必修第一册P141T5拓展)椭圆的第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e(0相关结论:
(1)焦半径的坐标形式
①若点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,则
|PF1|＝a＋ex0,|PF2|＝a－ex0.
②点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的下、上焦点,则|PF1|＝a＋ey0,|PF2|＝a－ey0.
证明　①由椭圆第二定义,＝e,
即＝e,解得|PF1|＝a＋ex0,
同理|PF2|＝a－ex0.
②证明略.
(2)焦半径的角度形式
①点P是椭圆上任一点,F为其一个焦点,∠PFO＝α,则|PF|＝.
②F是椭圆的一个焦点,过点F的直线与椭圆交于P,Q两点,∠PFO＝α,则|PQ|＝.
证明　①如图,令|PF|＝m,则|PF1|＝2a－m,
则cos α＝
,
解得|PF|＝m＝.
②因为∠PFO＝α,|PF|＝,
所以∠QFO＝π－α,
|QF|＝,
所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝.
(3)椭圆的焦比定理
F是椭圆的一个焦点,过点F的直线与椭圆交于P,Q两点,∠PFO＝α,若|PF|＝λ|QF|,则ecos α＝.
证明　因为|PF|＝,|QF|＝,
|PF|＝λ|QF|,
所以＝λ,
a＋ccos α＝λ(a－ccos α),
1＋ecos α＝λ(1－ecos α),
解得ecos α＝.
【应用示例】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|＝6,则△ADE的周长是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.(人教A版选择性必修第一册P125例5、P126例6、P127T10拓展)双曲线第二定义:平面内的动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比为常数e(e>1),则动点M的轨迹是双曲线.其中定点F是双曲线的焦点,直线l是双曲线的焦点F对应的准线,常数e是双曲线的离心率.
相关结论:
(1)焦半径的坐标形式
①点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)左支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|＝－a－ex0,|PF2|＝a－ex0.
②点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)右支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|＝ex0＋a,|PF2|＝ex0－a.
③点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)上支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|＝ey0＋a,|PF2|＝ey0－a.
④点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)下支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|＝－ey0－a,|PF2|＝－ey0＋a.
证明　①由双曲线第二定义,＝e,
即＝e,
解得|PF1|＝－ex0－a,
同理|PF2|＝－ex0＋a.
②③④证明略.
(2)焦半径的角度形式
①点P是双曲线上任一点,F为其一个焦点,∠PFO＝α,则
|PF|＝
②F是双曲线的一个焦点,过点F的直线与双曲线交于P,Q两点,∠PFO＝α,则
|PQ|＝
证明　①当P,F在某一坐标轴同侧时(如图1),
令|PF|＝m,则|PF2|＝2a＋m,
则cos α＝,
解得|PF|＝m＝.
当P,F在某一坐标轴异侧时(如图2),
令|PF|＝m,则|PF2|＝m－2a,
则cos α＝,
解得|PF|＝m＝.
②当P,Q在双曲线的同一支上时(如图3),|PF|＝,|QF|＝,
则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝.
当P,Q在双曲线的两支上时(如图4),|PF|＝,|QF|＝,
则|PQ|＝|QF|－|PF|＝.
(3)双曲线的焦比定理
F是双曲线的一个焦点,过F的直线与双曲线交于P,Q两点,∠PFO＝α,若|PF|＝λ|QF|,
则ecos α＝
证明　当P,F在某一坐标轴同侧,P,Q同支时(如图1),|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,即＝λ·,得ecos α＝.
当P,F在某一坐标轴两侧,P,Q异支时(如图2),|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,即＝λ,
得ecos α＝.
当P,F在某一坐标轴同侧,P,Q异支时(如图3),
|PF|＝,|QF|＝,
由|PF|＝λ|QF|,
即＝λ,
得ecos α＝.
【应用示例】 已知双曲线E:＝1(a>0,b>0)的左焦点为F1(－c,0),直线y＝(x＋c)与双曲线E交于A,B两点,若＝3,则双曲线E的离心率为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.(人教A版选择性必修第一册P108例3,人教B版选择性必修第一册P143习题2－5CT2,北师大版选择性必修第一册P58T3拓展)椭圆的第三定义
(1)已知点A(x0,y0),B(－x0,－y0)是关于原点对称的两个点,如图,且当点P(x,y)不与点A(x0,y0),B(－x0,－y0),C(x0,－y0),D(－x0,y0)重合时,有kPA·kPB＝e2－1,0证明　①当点P(x,y)不与点A,B,C,D重合时:因为点A(x0,y0),B(－x0,－y0),P(x,y),
所以kPA·kPB＝·＝e2－1(x≠±x0),
所以＝e2－1,
所以y2－＝(e2－1)(x2－).
因为0所以(1－e2)x2＋y2＝(1－e2),
所以＝1(x≠±x0).
②当点P(x,y)分别与A,B,C,D重合时:
＝1成立.
所以点P(x,y)的轨迹方程为
＝1,是一个椭圆,且a2＝,
b2＝(1－e2),
c2＝a2－b2＝·e2,
＝e2.
综上所述,P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A(x0,y0),B(－x0,－y0)的椭圆.
(2)相关结论:①A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任一点,若直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB＝e2－1＝－.
证明　设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(－x1,－y1),
(ⅱ)－(ⅰ)得＝－,
kPA·kPB＝·＝－＝e2－1.
②A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任一点,若直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB＝＝－.
③A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB的中点,若kAB,kOP存在,则kAB·kOP＝e2－1＝
－.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,
由(ⅱ)－(ⅰ)得:＝－,
kAB·kOP＝·
＝＝－＝e2－1.
④A,B是椭圆＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB的中点,若kAB,kOP存在,则kAB·kOP＝＝－.
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C:＝1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＝1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|＝|NB|,|MN|＝2,则l的方程为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.(人教A版选择性必修第一册P126T1,P128T14拓展)双曲线的第三定义
(1)已知点A(x0,y0),B(－x0,－y0)是关于原点对称的两个点,如图,且当点P(x,y)不与点A(x0,y0),B(－x0,－y0),C(x0,－y0),D(－x0,y0)重合时,有kPA·kPB＝e2－1,e>1,则点P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A(x0,y0),B(－x0,－y0)的双曲线.
证明　①当P(x,y)不与点A,B,C,D重合时,kPA·kPB＝·＝e2－1(x≠±x0),
所以＝e2－1,
所以y2－＝(e2－1)(x2－).
因为e>1,所以(e2－1)x2－y2＝(e2－1),
所以＝1(x≠±x0).
②当点P分别与A,B,C,D重合时,上面方程也成立.
所以点P的轨迹方程为
＝1,是双曲线,
且a2＝,b2＝(e2－1),
c2＝a2＋b2＝·e2,
＝e2.
综上所述,P(x,y)的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,离心率为e,且过点A,B的双曲线.
(2)相关结论:
①A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任一点,若直线PA,PB的斜率存在,则kPA·kPB＝e2－1＝.
证明　设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(－x1,－y1),
(ⅱ)－(ⅰ)得,
kPA·kPB＝·＝e2－1.
②A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任一点,若直线PA,PB的斜率存在,则kPA·kPB＝.
③A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB中点,若kAB,kOP均存在,则kAB·kOP＝e2－1＝.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,
(ⅱ)－(ⅰ)得,
kAB·kOP＝·＝e2－1.
④A,B是双曲线＝1(a>0,b>0)上两点,P是AB中点,若kAB,kOP均存在,则kAB·kOP＝.
【应用示例】 (2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2－＝1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　)
A.(1,1) B.(－1,2)
C.(1,3) D.(－1,－4)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.(人教A版选择性必修第一册P127T8,湘教版选择性必修第一册P139T14拓展)共焦点的椭圆与双曲线的离心率关系式
若椭圆C1:＝1(a1>b1>0)和双曲线C2:＝1(a2>0,b2>0)共焦点,P为公共点,且∠F1PF2＝θ,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则有＝1.
证明　如图,设|PF1|＝m,|PF2|＝n,结合椭圆和双曲线的定义,
则
解得m＝a1＋a2,n＝a1－a2,
结合余弦定理,
cos θ＝
＝,
即()－2,
所以cos2sin2cos2sin2－2,
即sin2cos2,
所以＝1.
【应用示例】 (多选)已知椭圆＝1(a1>b1>0)的离心率为e1,双曲线＝1(a2>0,b2>0)的离心率为e2,两曲线有公共焦点F1,F2,P是椭圆与双曲线的一个公共点,∠F1PF2＝60°,以下结论正确的是(　　)
A.
B.＝1
C.＝3
D.若e2∈[,2],则e1∈
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.(北师大版选择性必修第一册P68习题2－2A组T3,人教B版选择性必修第一册P179T20拓展)双曲线的两个距离结论
(1)双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b.
证明　不妨以＝1(a>0,b>0)为例,
直线l:bx－ay＝0为其一条渐近线,焦点F2(c,0)到l的距离为＝b.
(2)双曲线上任一点到两渐近线的距离之积为定值.
证明　不妨以＝1(a>0,b>0)为例.设P(x0,y0),点P在双曲线上,
所以＝1,
即b2－a2＝a2b2,
l1:by－ax＝0,l2:by＋ax＝0,
点P到l1和l2的距离之积为
·.
【应用示例】 (2020·北京卷)已知双曲线C:＝1,则C的右焦点的坐标为　　　　　;C的焦点到其渐近线的距离是　　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.抛物线焦点弦相关结论如图,AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F,准线l:x＝－,准线与x轴交点为P,作AC⊥l,BD⊥l且M,N分别为线段AB,CD的中点,R为MN与抛物线的交点,则有以下性质:
(1)(人教A版选择性必修第一册P135例4拓展)|AB|＝x1＋x2＋p.
证明　根据抛物线定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,
可得|AF|＝x1＋,|BF|＝x2＋,
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
(2)(人教B版选择性必修第一册P173T9拓展)x1x2＝,y1y2＝－p2.
证明　设直线AB的方程为x＝my＋,与
y2＝2px联立,得y2－2pmy－p2＝0,
故y1y2＝－p2,
x1x2＝·.
(3)(人教A版选择性必修第一册P138习题3.3T5,人教B版选择性必修第一册P173习题2－8BT1,P178T18拓展)如图所示:①|AF|＝,|BF|＝,
②|AB|＝,
③,
④若|AF|＝λ|BF|,则cos θ＝.(其中θ为直线AB的倾斜角)
证明　①设准线l交x轴于P点,过点A作AM⊥x轴于M,作AC⊥l于C.
设d为点A到准线l的距离,于是|AF|＝|AC|.
又|PF|＝p,|MF|＝|AF|·|cos θ|,
所以|AC|＝|PF|＋|FM|＝p＋|AF|cos θ,
|AF|＝p＋|AF|cos θ,
故|AF|＝.
同理|BF|＝.
②|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
③.
④|AF|＝λ|BF|,即＝λ,
λ(1－cos θ)＝1＋cos θ,cos θ＝.
(4)(湘教版选择性必修第一册P147T3拓展)如图所示:S△AOB＝S△COD＝.
证明　设直线AB的方程为x＝my＋,与
y2＝2px联立得y2－2pmy－p2＝0,
故y1＋y2＝2pm,y1y2＝－p2,
|y1－y2|＝
＝＝2p,
故S△AOB＝S△COD＝·|OF|·|y1－y2|
＝.
(5)(人教B版选择性必修第一册P167T7拓展)如图所示:三个垂直CF⊥FD,NF⊥AB,AN⊥BN.
证明　设A(x1,y1),
B(x2,y2),C,
D,
得＝(－p,y1),＝(－p,y2),
·＝p2＋y1y2,
根据上条结论y1y2＝－p2,
得·＝0,故CF⊥FD.
由N,
得,
＝(x1－x2,y1－y2),
·＝－p(x1－x2)＋,
因为＝2px1,＝2px2,
代入·＝－p(x1－x2)＋＝0,
故NF⊥AB.
由N,
得,
,
·＝x1x2＋(x1＋x2)＋.
因为＝2px1,＝2px2,x1x2＝,
y1y2＝－p2,
代入上式化简得
·＝0,故AN⊥BN.
(6)(人教A版选择性必修第一册P146T16,人教B版选择性必修第一册P174T9,P167习题2－7BT3拓展)①以AB为直径的圆与准线相切;
②以AF为直径的圆与y轴相切.
证明　①|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|,
因此以AB为直径的圆与准线相切.
②取AF的中点E,过点E作EE1⊥y轴,垂足为E1,AC交y轴与点C1(图略),
则|AF|＝|AC|＝|AC1|＋|C1C|＝|AC1|＋|OF|＝2|EE1|,
因此以AF为直径的圆与y轴相切.
【应用示例】 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2,则|AF|＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知抛物线C:y2＝6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x＝－的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　)
A.|AD|＝|AF| B.|AE|＝|AB|
C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18
(3)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y＝－(x－1)过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
A.p＝2
B.|MN|＝
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
(4)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|＝|AM|,则(　　)
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|＝|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM＋∠OBM<180°
(5)(2025·北京卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p＝　　　　.
(6)(2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2＝2px(p>0)上,则A到C的准线的距离为　　　　.
14.(湘教版选择性必修第一册P173T17拓展)椭圆的极点极线:
(1)椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为
y＝kx＋m,
代入椭圆方程化简整理得
(a2k2＋b2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0,
由Δ＝0得a2k2－m2＋b2＝0,
x0＝,y0＝,
k＝－＝－·.
从而切线方程为y＝－x＋,
化简整理得＝1.
当斜率不存在时,切线方程为x＝±a,满足上式.
综上,椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
法二　对椭圆方程求导得
＝0,y'＝－·,
所以k＝－·,
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0),
即b2x0x＋a2y0y＝a2＋b2＝a2b2,
＝1.
(2)椭圆＝1(a>b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
(3)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)外一点,过点P作椭圆的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2).
PA:＝1,PB:＝1,
点P在直线PA和PB上,则＝1,
＝1,
所以直线AB的方程为＝1.
(4)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)外一点,过点P作椭圆的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
(5)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)内一点,过点P作椭圆的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为＝1,
点P在弦AB上,所以＝1.
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为＝1.
可见,Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切点弦恒过定点P.
(6)点P(x0,y0)是椭圆＝1(a>b>0)内一点,过点P作椭圆的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
15.双曲线的极点极线
(1)双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为y＝kx＋m,
代入双曲线方程化简整理得
(a2k2－b2)x2＋2ka2mx＋a2m2＋a2b2＝0,
由Δ＝0得,a2k2－m2－b2＝0,
x0＝,y0＝,
k＝－·,
从而切线方程为y＝·x－,
化简整理得＝1.
当斜率不存在时,切线方程为x＝±a,满足上式.
综上,双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
法二　对双曲线方程求导得＝0,
y'＝·,所以k＝·,
所以切线方程为y－y0＝(x－x0),
即b2x0x－a2y0y＝b2－a2＝a2b2,
所以过双曲线＝1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为＝1.
(2)双曲线＝1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的切线方程为＝1.
(3)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)外一点,过点P作双曲线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),
则PA:＝1,
PB:＝1,
点P在直线PA和PB上,
则＝1,＝1,
所以直线AB的方程为＝1.
(4)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)外一点,过点P作双曲线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为＝1.
(5)点P是双曲线＝1(a>0,b>0)内一点,过点P作双曲线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为＝1,
点P在弦AB上,
所以＝1,
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为
＝1.
可见,Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切点弦恒过点P.
(6)点P(x0,y0)是双曲线＝1(a>0,b>0)内一点,过点P作双曲线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为＝1.
16.抛物线的极点极线
(1)抛物线y2＝2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　法一　当斜率存在时,设切线方程为y＝kx＋m,
代入抛物线方程化简整理得
k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0,
x0＝,y0＝·k＋m＝,k＝,
从而切线方程为
y－y0＝(x－x0),
y0y－＝px－px0,
y0y＝px＋px0,
即y0y＝p(x＋x0).
当斜率不存在时,切线方程为x＝0,满足上式.
综上,抛物线y2＝2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
法二　对抛物线方程求导得
2y·y'＝2p,y'＝,
所以k＝,
所以切线方程为y－y0＝(x－x0),
即y0y－＝px－px0,
即y0y＝p(x＋x0).
(2)抛物线y2＝－2px(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为y0y＝－p(x＋x0).
(3)抛物线x2＝2py(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为x0x＝p(y＋y0).
(4)抛物线x2＝－2py(p>0)上点M(x0,y0)处的切线方程为x0x＝－p(y＋y0).
(5)点M(x0,y0)是抛物线y2＝2px(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),
MA:y1y＝p(x＋x1),
MB:y2y＝p(x＋x2),
点M在直线MA和MB上,
则y1y0＝p(x0＋x1),
y2y0＝p(x0＋x2),
所以AB的直线方程为y0y＝p(x0＋x).
(6)点M(x0,y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为y0y＝－p(x＋x0).
(7)点M(x0,y0)是抛物线x2＝2py(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＝p(y＋y0).
(8)点M(x0,y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)外一点,过点M作抛物线的两切线,切点为A,B,则直线AB的方程为x0x＝－p(y＋y0).
(9)点M(x0,y0)是抛物线y2＝2px(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为y0y＝p(x＋x0).
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),
直线AB的方程为ny＝p(x＋m),
点M在弦AB上,
所以ny0＝p(x0＋m),
将m,n换成x,y,可得Q的轨迹方程为y0y＝p(x0＋x).
可见Q点的轨迹是一条直线,该直线任意一点的切线弦恒过点M.
(10)点M(x0,y0)是抛物线y2＝－2px(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为y0y＝－p(x＋x0).
(11)点M(x0,y0)是抛物线x2＝2py(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为x0x＝p(y＋y0).
(12)点M(x0,y0)是抛物线x2＝－2py(p>0)内一点,过点M作抛物线的弦AB,再作A,B两点处的切线,两切线交点为Q,则Q的轨迹方程为x0x＝－p(y＋y0).
【应用示例】 (1)(2025·北京卷)已知椭圆E:＝1(a>b>0)的离心率为,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4,
①求椭圆E方程;
②设O为原点,M(x0,y0)(x0≠0)为椭圆E上一点,直线x0x＋2y0y－4＝0与直线y＝2,y＝－2分别交于A,B两点.设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2,猜想与的数量关系并求证.
(2)(2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
①求p;
②若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
17.(湘教版选择性必修第一册P172T15,P173T19拓展)圆锥曲线中的蝴蝶定理
(1)定理1:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则|MP|＝|MQ|.
证明　如图,以M为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0,
设A(0,t),B(0,－t),
则t和－t是方程Cy2＋Ey＋F＝0的两个根,
t＋(－t)＝,得E＝0.
若CD,EF有一条斜率不存在,
则P,Q与A,B重合,结论成立.
若CD,EF斜率都存在,
设C(x1,k1x1),D(x2,k1x2),E(x3,k2x3),F(x4,k2x4),P(0,m),Q(0,n),
CE:y－k1x1＝(x－x1),
则m＝(－x1)＋k1x1
＝,
同理,n＝,
所以m＋n＝,
＝,
将y＝k1x代入圆锥曲线方程得
(A＋Bk1＋C)x2＋Dx＋F＝0,
x1＋x2＝,
x1x2＝,
同理x3＋x4＝,
x3x4＝,
所以m＋n＝
＝0,
所以|MP|＝|MQ|.
(2)定理2:A,B是椭圆C:＝1(a>b>0)的左、右顶点,椭圆的弦PQ过定点M(t,0),直线PQ的斜率k不为零,则.
证明　如图,过M作x轴的垂线,交AP,BQ分别为H,G,由定理1得|HM|＝|MG|,
.
(3)定理3:在抛物线y2＝2px(p>0)中,过Q(t,0)的直线AC,BD与抛物线分别交于点A,C,B,D,直线AB,CD分别与x轴交于M (m,0),N(n,0),则mn＝t2,.
证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
则kAB＝,
所以AB:y－y1＝(x－x1),
即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2,
又直线AB过点M,故y1y2＝－2pm,
同理y3y4＝－2pn,y1y3＝－2pt,y2y4＝－2pt,
y1y3·y2y4＝－2pt·(－2pt)＝y1y2·y3y4
＝－2pm·(－2pn),
即m·n＝t2.
＝
＝.
【应用示例】 (1)(2022·全国甲卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|＝3.
①求C的方程;
②设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α－β取得最大值时,求直线AB的方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:＋y2＝1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·＝8.P为直线x＝6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
①求E的方程;
②证明:直线CD过定点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
18.(人教A版选择性必修第一册P138T6,人教B版选择性必修第一册P178T12拓展)手电筒模型:在圆锥曲线上任取一个定点,向曲线上任意两个非该定点的动点引出直线,若引出直线的斜率之和或者之积为定值,则两动点的连线过定点或者斜率为定值.形式上,定点像一个点光源,向两个动点射出光线,犹如“手电筒”,故而得名.
(1)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两斜率互为相反数的直线交双曲线于P,Q两点,则kPQ＝－·＝－kA切.
证明　PQ:y＝mx＋n,
AP(AQ):y－y0＝k(x－x0),
联立xp＝,
联立
得(b2－a2k2)x2－2ka2(y0－kx0)x－a2(y0－kx0)2－a2b2＝0,
x0＋xp＝,
xp＝,
即,
(ma2x0＋a2y0＋a2n)k2－(2b2x0＋2ma2y0)k＋b2y0－b2n＋mb2x0＝0,kAP＋kAQ＝0,
得2b2x0＋2ma2y0＝0,
即m＝kPQ＝＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(2)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),其它条件不变,则kPQ＝·＝－kA切.
证明　联立
得(b2＋a2k2)x2＋2ka2(y0－kx0)x＋a2(y0－kx0)2－a2b2＝0,
xp＝,
即(a2n＋mx0a2＋a2y0)k2＋2(b2x0－a2y0m)k－(y0－n)b2－mb2x0＝0,
由kAP＋kAQ＝0,得b2x0－a2y0m＝0,
即m＝kPQ＝＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(3)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则kPQ＝－＝－kA切.
证明　联立
得k2x2＋[2k(y0－kx0)－2p]x＋(y0－kx0)2＝0,
xp＝,
即(y0＋n＋mx0)k2－2(my0＋p)k＋2pm＝0,
由kAP＋kAQ＝0,
得my0＋p＝0,即m＝kPQ＝－＝－kA切
(本章教材常用结论·推导14中已证kA切＝).
(4)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,且kAP＋kAQ＝λ(λ≠0),则直线PQ过定点.
证明　由(1)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为
y＝＋m,
故直线PQ过定点.
(5)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),其它条件不变,则直线PQ过定点.
证明　由(2)知＝λ,
即n＝m,
y＝mx＋n可变为
y＋＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
(6)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则直线PQ过定点.
证明　由(3)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为y＋y0－＝m,
故直线PQ过定点.
(7)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由(1)知＝λ,
即n＝m＋,
y＝mx＋n可变为
y－＝m,
故直线PQ过定点.
(8)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),过点A作两直线交椭圆于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由(2)知＝λ,
即n＝·m＋y0,
y＝mx＋n可变为
y－y0＝m,
故直线PQ过定点.
(9)把双曲线换成抛物线y2＝2px0(p>0),过点A作两直线交抛物线于P,Q两点,且kAP·kAQ＝λ(λ≠0),则直线PQ过定点.
证明　由(3)知＝λ,
即n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为y＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
(10)在双曲线＝1(a>0,b>0)上取一点A(x0,y0),过点A作两直线交双曲线于P,Q两点,α,β为直线AP,AQ的倾斜角,且tan(α＋β)＝λ,则直线PQ过定点.
证明　由tan(α＋β)＝λ得kAP＋kAQ＋λkAP·kAQ＝λ,
结合(1)可得,
n＝m＋,
y＝mx＋n可变为y－
＝m,
故直线PQ过定点.
(11)把双曲线换成椭圆＝1(a>b>0),
其它条件不变,则直线PQ过定点 (－,－).
证明　结合(2)可得,
n＝m－,
y＝mx＋n可变为y＋
＝m,
故直线PQ过定点.
(12)把双曲线换成抛物线y2＝2px(p>0),其它条件不变,则直线PQ过定点(x0－2p－,－y0).
证明　结合(3)可得,
n＝m－y0,
y＝mx＋n可变为
y－＋y0＝m,
故直线PQ过定点.
【应用示例】 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:＝1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
①求l的斜率;
②若tan ∠PAQ＝2,求△PAQ的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).
①求C的方程;
②点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.通过阅读《阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用》(人教A版选择性必修第一册P140)、《拓展阅读——圆锥曲线的光学性质》(人教B版选择性必修第一册P172)、《阅读教材二——圆锥曲线的光学性质》(北师大版选择性必修第一册P86)和《数学实验——用计算机探究圆锥曲线的光学性质》(湘教版选择性必修第一册P166)、《阅读题——圆锥曲线的光学性质》(苏教版选择性必修第一册P126T17),可从中提炼出如下结论:
(1)从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.
证明　如图,设椭圆＝1(a>b>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P的切线l,法线PM⊥l交x轴于点M,
l:＝1,
PM:y－y0＝(x－x0), M,|PF1|＝a＋ex0,|PF2|＝a－ex0,
所以,
所以PM为∠F1PF2的角平分线.故结论成立.
(2)从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.
证明　如图,设双曲线＝1(a>0,b>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P的切线l交x轴于点N,法线PM⊥l交x轴于点M,PF1的反向延长线为PA,
l:＝1,N,
|PF1|＝ex0＋a,|PF2|＝ex0－a,
所以,
所以∠F1PN＝∠F2PN,
所以∠APM＝∠F2PM,即PM是∠F2PA的角平分线.故结论成立.
(3)从抛物线的焦点出发的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于对称轴.
证明　如图,设抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0,y0),作在点P处的切线l,法线PM⊥l交x轴于点M,PA为反射光线.
l:y0y＝p(x＋x0),
PM:y－y0＝－(x－x0),
M(p＋x0,0),|PF|＝x0＋,
|FM|＝p＋x0－＝x0＋,
所以|PF|＝|FM|,所以∠FMP＝∠FPM,
又因为∠FPM＝∠MPA,
所以∠FMP＝∠MPA,
所以PA∥x轴.故结论成立.
【应用示例】 已知双曲线C:＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,根据双曲线的光学性质可知,过双曲线C上任意一点P(x0,y0)的切线l:＝1(a>0,b>0)平分∠F1PF2.直线l1过F2交双曲线C的右支于A,B两点,设△AF1F2,△BF1F2,△ABF1的内心分别为I1,I2,I,若△II1I2与△F2I1I2的面积之比为,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.通过阅读《阅读材料——圆锥的截线》(北师大版选择性必修第一册P77)和《拓展阅读——倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆》(人教B版选择性必修第一册P134),可从中提炼出如下结论:
(1)在圆锥内放两个大小不同的球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,两个球分别与截面相切于点F1,F2,则截口曲线为椭圆.
证明　如图,在截口曲线上任取一点A,过点A作圆锥的母线,分别与两个球相切于点C,B,由球和圆的几何性质,可得|AF1|＝|AC|,|AF2|＝|AB|,所以|AF1|＋|AF2|＝|AB|＋|AC|＝|BC|>|F1F2|,由椭圆的定义可知,截口曲线是椭圆.
(2)平面α与圆柱相交,且平面α不与圆柱的轴垂直,则截口曲线为椭圆.
证明　取半径与圆柱底面半径相同的两个球,从平面α的两侧放入圆柱面内,并使得两个球都与平面α相切,切点分别为F1,F2.
设P为截口曲线C上任一点,过点P作圆柱的母线,分别与两个球相切于A,B,由球和圆的几何性质,|PF1|＝|PA|,|PF2|＝|PB|,
所以|PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|>|F1F2|,
由椭圆的定义可知,截口曲线是椭圆.
(3)用一个平面去截圆锥,得到的曲线满足到定点的距离与到定直线的距离之比为常数.
证明　连接MF,因为M(P曲线上的点)为平面β内一点,F是平面β与球的切点,
所以MF是球的切线,
同理,MP也是切线,
|MF|＝|MP|(类比圆的切线长定理).
做MN⊥l于点N,MH⊥OP交延长线于H,则MH∥VD,
于是动点M到定点F的距离d＝|MF|＝|MP|,
动点M到定直线l的距离d1＝|MN|,
则,
如图所示,圆锥中母线与轴VD的夹角为θ,△VOP与△MHP相似,∠PMH＝∠PVO＝θ,
∴|MP|＝.
在Rt△MHN中,∠NMH是平面β与轴VD的夹角记为γ,
∴|MN|＝,
,
所以动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比为常数,
因此M的轨迹是圆锥曲线.
引申:当γ＝θ时,e＝＝1,截口曲线为抛物线;
当θ<γ<时,e＝∈(0,1),截口曲线为椭圆;
当γ<θ时,e＝>1,截口曲线为双曲线.
【应用示例】 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题1 (人教A版选择性必修第一册P79T10)已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0,边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线BC的方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题2 (人教A版选择性必修第一册P84例3)已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,－2)两点,且圆心C在直线l:x－y＋1＝0上,求此圆的标准方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　.
母题3 (人教A版选择性必修第一册P87例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2020·全国Ⅲ卷)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若·＝1,则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
母题4 (人教A版选择性必修第一册P98T3)求直线l:3x－y－6＝0被圆C:x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·天津卷)l1:x－y＋6＝0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C,D两点,|AB|＝3|CD|,则r＝　　　　.
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C:(x－1)2＋y2＝4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　.
母题5 (人教A版选择性必修第一册P102T10)求点P(－2,－1)到直线l:(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ为任意实数)的距离的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2020·全国Ⅲ卷)点(0,－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A.1 B.
C. D.2
母题6 (人教A版选择性必修第一册P99习题2.5T13)已知圆x2＋y2＝4,直线l:y＝x＋b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,3)
C.(3,＋∞) D.(0,＋∞)
母题7 (人教A版选择性必修第一册P103T20)已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2＝25,直线l:(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.
(1)求证:直线l恒过定点;
(2)直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短 并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.2
母题8 (人教B版选择性必修第一册P113例1)已知直线y＝x＋b,圆x2＋y2＝2,分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0,则x－y的最大值是(　　)
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.72
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3),B(0,a),若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点,则a的取值范围是　　　　.
母题9 (人教B版选择性必修第一册P121习题2－3AT4)若P(x,y)是圆C:(x－3)2＋y2＝1上的任意一点,求P(x,y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|＝3
D.当∠PBA最大时,|PB|＝3
母题10 (苏教版选择性必修第一册P67T12)对于圆C:x2＋y2＝r2,直线l:ax＋by＝r2,分别根据下列条件,判断直线l与圆C的位置关系:
(1)点P(a,b)在圆C上;
(2)点P(a,b)在圆C外.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax＋by－r2＝0与圆C:x2＋y2＝r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
母题11 (湘教版选择性必修第一册P99例6)证明圆C1:x2＋y2－4x－16＝0与圆C2:x2＋y2＋2y－4＝0内切,并求它们的公切线方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程　　　　.
母题12 (人教A版选择性必修第一册P108例2)如图,在圆x2＋y2＝4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 (当点P经过圆与x轴的交点时,规定点M与点P重合.)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C:x2＋y2＝16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　)
A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)
C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)
母题13 (1)(人教A版选择性必修第一册P112练习T4)求适合下列条件的椭圆的标准方程:①经过P(－3,0),Q(0,－2)两点;②长轴长等于20,离心率等于.
(2)(人教A版选择性必修第一册P114T2)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求线段AB的长.
(3)(人教A版选择性必修第一册P115T4(1))求经过P(－2,0),Q(0,)两点的椭圆的标准方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,－2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为,求|AB|.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题14 (人教A版选择性必修第一册P115T3)求下列各椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标,并画出图形:
(1)x2＋4y2＝16;(2)9x2＋y2＝81.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:＋y2＝1(a>1),C2:＋y2＝1的离心率分别为e1,e2,若e2＝e1,则a＝(　　)
A. B.
C. D.
母题15 (人教B版选择性必修第一册P143习题2－5CT3)已知点A(1,1),而且F1是椭圆＝1的左焦点,P是椭圆上任意一点,求|PF1|＋|PA|的最小值和最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:＝1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12
C.9 D.6
母题16 (北师大版选择性必修第一册P58A组T8)已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为,其左焦点F到直线l:y＝x－2的距离为2,求此椭圆方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·全国甲卷)已知椭圆C:＝1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·＝－1,则C的方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＋y2＝1
母题17 (北师大版选择性必修第一册P90T2)经过椭圆C:＋y2＝1的中心作直线l,与椭圆C交于P,Q两点,设椭圆C的右焦点为F,已知∠PFQ＝,求△PFQ的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题18 (人教B版选择性必修第一册P180T6)过椭圆＝1(a>b>0)的中心作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,求△PFQ的周长的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题19 (人教A版选择性必修第一册P103T18)求由曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题20 (人教A版选择性必修第一册P127T10)设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x＝的距离的比是(a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(多选) (2024·新高考Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于－2,到点F(2,0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4,则(　　)
A.a＝－2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
母题21 (人教A版选择性必修第一册P124例3)求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2
(2)(2025·北京卷)双曲线x2－4y2＝4的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
母题22 (人教A版选择性必修第一册P127练习T3)直线y＝x与双曲线＝1(a>0)相交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之积为－9,求离心率e.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题23 (1)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1,那么点P与另一个焦点的距离等于　　　　.
(2)(人教A版选择性必修第一册P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·天津卷)双曲线＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P,若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|,则双曲线的离心率e＝(　　)
A.2 B.5
C. D.
(2)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,－4),点(－6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.
母题24 (人教B版选择性必修第一册P154例2)已知双曲线C是顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,且△BA1A2是一个等边三角形,求双曲线C的离心率.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,⊥,＝－, 则C的离心率为　　　　.
母题25 (人教B版选择性必

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