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(共93张PPT)
第九章　统计与成对数据的统计分析
教材考点·真题分布
目 录 CONTENTS
教材探究问题 · 研析
教材阅读文字 · 拓展
教材典型母题 · 必刷
01
02
03
04
教材常用结论 · 推导
教材探究问题·研析
01
1.(人教A版必修第二册P174)假设口袋中有红色和白色共有1 000个小球,除颜色外,小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗
提示:不放回地摸出50个球,以50个球中红球所占的比例估计袋中红球所占的比例.
探究
2.(人教A版必修第二册P206)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在图中的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系
提示:一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(图(1)),那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”(图(2)),那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”(图(3)),那么平均数小于中位数,也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.
3.(人教A版选择性必修第三册P94)在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如表所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果,它们构成了成对数据.
编号 1 2 3 4 5 6 7
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
编号 8 9 10 11 12 13 14
年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据以上数据,你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗
提示:为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系,类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征,我们用图形展示成对样本数据的变化特征.用横轴表示年龄,纵轴表示脂肪含量,则表中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成了如图所示的统计图.我们把这样的统计图叫做散点图.
可以发现,这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,表明随年龄值的增加,相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.这样,由成对样本数据的分布规律,我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系.如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势.
4.(人教B版选择性必修第二册P106)假设y与x具有相关关系,而且回归直线方程为x＋,完成下列任务:
(1)将代入回归直线方程,并求出x＝时的值;
(2)判断一次函数x＋的单调性由谁决定,指出函数的单调性与正相关、负相关之间的联系;
(3)通过计算说明,当x每增大一个单位时,将如何变化,并总结出这一结论的实际意义.
提示:(1)将x＋后,整理可得(x－),这说明回归直线一定过点(,).
(2)一次函数x＋的符号决定,函数递增的充要条件是>0,函数递减的充要条件是<0,即y与x正相关的充要条件是>0;y与x负相关的充要条件是<0.
(3)如果(x1,)和(x2,)都是回归直线上的点,
由②式减去①式可得(x2－x1),这就说明,若x2－x1＝1,则.
也就是说,当x增大一个单位时,个单位,这就是回归系数的实际意义.
则
教材常用结论·推导
02
1.(人教A版必修第二册P218T11拓展)分层随机抽样的平均数和方差公式:已知总体划分为3层,通过分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:l,,;m,,;n,,.记总的样本平均数为,样本方差为s2,证明:
(1);
证明　
＝.
(2)s2＝{l[＋()2]＋m[＋()2]＋n[＋()2]}.
证明　s2＝[(xi－)2＋(yj－)2＋(zk－)2]
＝[(xi－)2＋(yj－)2＋(zk－)2],
由(xi－)＝xi－l＝0,
可得2(xi－)()＝2()(xi－)＝0,
同理2(yj－)()＝0,2(zk－)()＝0,
因此s2＝[(xi－)2＋()2＋(yj－)2＋()2＋(zk－)2＋()2]
＝{l[＋()2]＋m[＋()2]＋n[＋()2]}.
【应用示例】 树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如表:
性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
男 30 100 16
女 20 90 19
在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为x1,x2,x3,…,xn,其平均数记为,方差记为;把第二层样本记为y1,y2,y3,…,ym,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为s2.
(1)证明:s2＝{n[＋()2]＋m[＋()2]};
证明　s2＝[(xi－)2＋(yi－)2]＝[(xi－)2＋(yi－)2]＝{[(xi－)2＋()2＋2(xi－)()]＋[(yi－)2＋()2＋2(yi－)()]}.
∵[2(xi－)()]＝2()(xi－)＝2()(x1＋x2＋x3＋…＋xn－n)＝0,
同理[2(yi－)()]＝0,
所以s2＝{n[＋()2]＋m[＋()2]}.
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
解　将该班参加考试学生成绩的平均数记为,方差记为s2,
则(30×100＋20×90)＝96,
所以s2＝{30[256＋(100－96)2]＋20[361＋(90－96)2]}＝322,
又≈18,所以s≈18.
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分,标准差约为18分.
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N(μ,σ2),以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A,B,C,D四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68,≈17,≈18,≈19.
解　由(2)知μ＝96,σ＝18,所以全年级学生的考试成绩X服从正态分布N(96,182),
所以P(96－18≤X≤96＋18)≈0.68,P(X≥96)＝0.5.P(78≤X≤96)＝P(96≤X≤
114)≈0.34,P(X≥114)＝P(X<78)≈0.16.
故可将X≥114定为A等级,96≤X<114定为B等级,78≤X<96定为C等级,X<78定为D等级.
2.(人教A版选择性必修第三册P108~P109讲解,P113T5拓展)经验回归方程:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归方程x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
证明　(1)设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),yi＝bxi＋a＋ei,i＝1,2,…,n.
令Q＝(yi－bxi－a)2,来刻画“整体接近程度”.
Q(a,b)＝(yi－bxi－a)2
＝[yi－bxi－(－b)＋(－b)－a]2
＝[(yi－)－b(xi－)＋(－b)－a]2
＝[(yi－)－b(xi－)]2＋2[(yi－)－b(xi－)]×[(－b)－a]＋n[(－b)－a]2,
注意到
[(yi－)－b(xi－)](－b－a)
＝(－b－a)[(yi－)－b(xi－)]
＝(－b－a)[(yi－)－b(xi－)]
＝(－b－a)[(n－n)－b(n－n)]＝0,
所以Q(a,b)＝[(yi－)－b(xi－)]2＋n(－b－a)2.
上式右边各项均为非负数,且前n项与a无关.
所以要使Q取到最小值,n(－b－a)2的值应为0,即a＝－b.
此时Q(a,b)＝[(yi－)－b(xi－)]2
＝b2(xi－)2－2b(xi－)(yi－)＋(yi－)2.
上式是关于b的二次函数,因此要使Q取得最小值,当且仅当b的取值为
.
综上,当a,b的取值为
(2)(xi－)(yi－)
＝(xiyi－xi－yi＋)
＝xiyi－xi－yi＋n
＝xiyi－·n·n＋n
＝xiyi－n.
(xi－)2
＝(－2xi＋)＝－2xi＋n
＝－2n＋n
＝－n,
故＝.
【应用示例】 (多选)已知变量x和变量y的一组成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n)的散点落在一条直线附近,xi,yi,相关系数为r,线性回归方程为x＋,则(　 　)
参考公式:r＝,.
A.当r越大时,成对样本数据的线性相关程度越强
B.当r>0时,>0
C.当xn＋1＝,yn＋1＝时,成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n,n＋1)的相关系数r'满足r'＝r
D.当xn＋1＝,yn＋1＝时,成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n,n＋1)的线性回归方程x＋满足
BCD
解析　对于A,当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强,故A错误;
对于B,当r>0时,成对样本数据正相关,相关系数r与符号相同,则>0,故B正确;
对于C,当xn＋1＝,yn＋1＝时,将这组数据添加后,,不变,故相关系数r的表达式中的分子和分母均不变,故C正确;
对于D,当xn＋1＝,yn＋1＝时,将这组数据添加后,,不变,故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变,所以,故D正确.
3.(人教A版选择性必修第三册P120习题8.2T1拓展)决定系数R2的有关结论:
(1)一元线性回归模型y＝x＋＋e,则E(e)＝0,D(e)＝(yi－)2.
证明　因为yi＝xi＋＋ei,所以yi＝xi＋nei,
即＋E(e),
又,所以E(e)＝0.
即随机误差e的样本均值为0.
D(e)＝(yi－)2,其中xi＋,
(yi－)2称为残差平方和.
(2)(yi－)2＝(yi－)2＋()2.
证明　(yi－)2
＝[(yi－)＋()]2
＝[(yi－)2＋()2＋2(yi－)()]
＝(yi－)2＋()2＋2(yi－)().
注意到(yi－)()
＝(yi－xi－)(xi＋)＝{[yi－xi－()](xi－)}
＝[(yi－)－(xi－)](xi－)＝[(xi－)(yi－)－(xi－)2]＝
＝0,
所以(yi－)2＝(yi－)2＋()2.
(3)R2＝r2.
证明　R2＝1－＝＝
＝＝＝r2.
【应用示例】 (多选)如表是某地从2020年至2024年能源消费总量近似值y(单位:千万吨标准煤)的数据表:
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5
能源消费总量近似值y (单位:千万吨标准煤) 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8
以x为解释变量,y为响应变量,若以＝b1x＋a1为回归方程,则决定系数≈0.929 8,若以＝b2x2＋a2x＋c2为回归方程,则≈0.996 5,则下面结论中正确的有(　　 )
ABD
A.变量x和变量y的样本相关系数为正数
B.＝b2x2＋a2x＋c2比＝b1x＋a1的拟合效果好
C.由回归方程可准确预测2025年的能源消费总量
D.＝3b1＋a1
解析　对于A选项,随着变量x的增加,变量y也在增加,故变量y和变量x成正相关,即样本相关系数为正数,正确;
对于B选项,因为>,故＝b2x2＋a2x＋c2比＝b1x＋a1的拟合效果好,正确;
对于C选项,回归方程可预测2025年的能源消费总量,不可准确预测,错误;
对于D选项,由回归方程必过样本中心点,可知＝3b1＋a1,正确.
4.(人教A版选择性必修第三册P129讲解拓展)独立性检验中统计量χ2公式:
χ2＝.
证明　
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
事件{X＝0}的概率可估计为P(X＝0)＝,
事件{Y＝0}的概率可估计为P(Y＝0)＝,
事件{X＝0,Y＝0}的概率可估计为P(X＝0,Y＝0)＝,
零假设H0:事件{X＝0}与{Y＝0}独立,
则P(X＝0,Y＝0)＝P(X＝0)P(Y＝0)＝·,
a是事件{X＝0,Y＝0}成立的频数的观测值,根据频率稳定于概率的原理,np(X＝0,Y＝0)＝n·是相应频数的期望值(或预期值),观测值和期望值之差的绝对值应该很小.
＝,
同理,,
,
,
即|ad－bc|越小,事件{X＝0}与{Y＝0}独立性可能越大,将上述每个差值平方后,除以各自的期望值,再相加,用统计量是χ2来表示,
χ2＝＝·
＝·
＝(ad－bc)2·
＝(ad－bc)2·
＝.
【应用示例】 (2025·新高考Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表:
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
(1)记超声波检查结果不正常者中患有该疾病的概率为p,求p的估计值;
解　由题表可知,检查结果不正常者有200人,检查结果不正常者中患有该疾病的有180人,
所以由样本估计总体得p＝＝0.9.
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附:χ2＝,
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
解　零假设H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关.
χ2＝＝765.625>10.828,
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.
教材阅读文字·拓展
03
通过阅读《拓展阅读——相关系数与向量夹角的余弦》(人教B版选择性必修第二册P111),可从中提炼出如下结论:
相关系数r可表示为两个向量夹角的余弦.
证明　对于n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
设点A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn),
取点M(,),
其中,
,
令a＝(x1－,x2－,…,xn－),
b＝(y1－,y2－,…,yn－),
则cos＝＝＝r.
拓展:当|r|＝1时,即＝0或π,
此时,a与b共线,存在非零实数λ,使得b＝λa,
即
故,,…,共线,即点A1,A2,…,An,M这n＋1个点共线.
【应用示例】 (1)(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i 根部横截面积xi 材积量yi
1 0.04 0.25
2 0.06 0.40
3 0.04 0.22
4 0.08 0.54
5 0.08 0.51
6 0.05 0.34
7 0.05 0.36
8 0.07 0.46
9 0.07 0.42
10 0.06 0.40
总和 0.6 3.9
并计算得＝0.038,＝1.615 8,xiyi＝0.247 4.
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
解　样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
＝0.06(m2),
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
＝0.39(m3),
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2,平均一棵的材积量为0.39 m3.
②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
解　r＝＝
＝≈≈0.97.
③现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r＝,≈1.377.
解　设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3,
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,
可得,解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
(2)(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi＝60,yi＝1 200,(xi－)2＝80,(yi－)2＝9 000,(xi－)(yi－)＝800.
①求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
解　由已知得样本平均数yi＝60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000.
②求样本(xi,yi)(i＝1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
解　样本(xi,yi)(i＝1,2,…,20)的相关系数
r＝
＝≈0.94.
③根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数r＝,≈1.414.
解　分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.
理由如下:由②知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关性.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
教材典型母题·必刷
04
母题1 (人教A版必修第二册P203例4)利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
解　根据9.2.1节中100户居民用户月均用水量的数据,由样本平均数的定义,可得＝8.79,即100户居民的月均用水量的平均数为8.79 t.将样本数据从小到大排序,得第50个数和第51个数均为6.8,由中位数的定义,可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8 t.因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本,所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79 t,其中位数约为6.8 t.
(2025·新高考Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为(　　)
A.8 B.9
C.12 D.18
解析　由题意(2＋8＋14＋16＋20)＝12,故选C.
C
母题2 (人教A版必修第二册P204例3)如表是100户居民用户的月均用水量数据(单位:t),估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
解　由表可知,月均用水量在13.2 t以下的居民用户所占比例为
23%＋32%＋13%＋9%＝77%.
在16.2 t以下的居民用户所占的比例为77%＋9%＝86%.
因此,80%分位数一定位于[13.2,16.2)内,
由13.2＋3×＝14.2,
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
类似地,由22.2＋3×＝22.95,
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
解　由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%,
所以95设X为患病者的该指标,
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%,
解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标,
则q(c)＝P(Y>c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]上的最小值.
解　当95≤c≤100时,
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19,
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01,
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82;
当100p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19,
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21,
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
综上所述,
由一次函数的单调性知,函数f(c)在[95,100]上单调递减,在(100,105]上单调递增,
作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略),可得f(c)在区间[95,105]上的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
f(c)＝
母题3 (人教A版必修第二册P215T2)数据x1,x2,…,xn的方差为,数据y1,y2,…,yn的方差为,a,b为常数.证明:
(1)如果y1＝x1＋b,y2＝x2＋b,…,yn＝xn＋b,那么;
证明　∵(y1＋y2＋…＋yn)
＝[(x1＋b)＋(x2＋b)＋…＋(xn＋b)]
＝[(x1＋x2＋…＋xn)＋nb]
＝(x1＋x2＋…＋xn)＋b
＝＋b,
∴[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝.
(2)如果y1＝ax1,y2＝ax2,…,yn＝axn,那么＝a2.
证明　∵(y1＋y2＋…＋yn)
＝(ax1＋ax2＋…＋axn)
＝a·(x1＋x2＋…＋xn)＝a,
∴[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]＝[(ax1－a)2＋(ax2－a)2＋…＋(axn－a)2]＝a2·[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝a2.
(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　)
A.0.01 B.0.1
C.1 D.10
解析　10x1,10x2,…,10xn的方差为102×0.01＝1.故选C.
C
母题4 (人教A版必修第二册P216T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天生产的次品数分别为:
甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4
乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1
分别计算这两组数据的平均数和标准差,从计算结果看,哪台机床的性能更好
解　甲机床的平均数
＝1.5,
标准差s甲＝≈1.28;
乙机床的平均数＝1.2,
标准差s乙＝≈0.87.
比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小,说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少,而且更为稳定,所以乙机床的性能较好.
(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i＝1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1,2,…,10),z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
解　由题意,求出zi的值如表所示,
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11,
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).
解　因为2＝2,
＝11＝>,
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
母题5 (人教A版必修第二册P224T2)四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是(　　)
A.平均数为3,中位数为2 B.中位数为3,众数为2
C.平均数为2,方差为2.4 D.中位数为3,方差为2.8
C
解析　对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误;
对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错误;
对于C,若平均数为2,且出现6点,
则方差s2>(6－2)2＝3.2>2.4,
∴平均数为2,方差为2.4时,一定没有出现点数6,故C正确;
对于D,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,
平均数为(1＋2＋3＋3＋6)＝3,
方差为s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]＝2.8,可以出现点数6,故D错误.
(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
BD
解析　取x1＝1,x2＝x3＝x4＝x5＝2,x6＝9,
则x2,x3,x4,x5的平均数等于2,标准差为0,
x1,x2,…,x6的平均数等于3,
标准差为,故A,C均不正确;
根据中位数的定义,将x1,x2,…,x6按从小到大的顺序进行排列,中位数是中间两个数的算术平均数,
由于x1是最小值,x6是最大值,故x2,x3,x4,x5的中位数是将x2,x3,x4,x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数,与x1,x2,…,x6的中位数相等,故B正确;
根据极差的定义,知x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差,故D正确.
综上,选BD.
母题6 (人教B版必修第二册P79练习BT1)已知甲、乙两组数的茎叶图如下,分别计算这两组数的平均数.
解　×(12＋15＋24＋25＋31＋31＋36＋36＋37＋39＋44＋49＋50)＝33.
×(8＋13＋13＋14＋16＋23＋26＋29＋33＋35＋38＋39＋51)＝26.
(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:
则下列结论中错误的是(　　)
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
C
解析　对于A选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4,A选项结论正确;
对于B选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为
×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8,B选项结论正确;
对于C选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4,C选项结论错误;
对于D选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6,D选项结论正确.故选C.
母题7 (人教B版必修第二册P84例2)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
解　因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1,所以(0.12＋0.22＋0.36＋a＋0.12)×1＝1,解得a＝0.18.
(2)设该市有10万个家庭,估计全市月均用水量不低于3 t的家庭数;
(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.
解　(2)抽取的样本中,月均用水量不低于3 t的家庭所占比例为(a＋0.12)×1＝0.3＝30%.
因此估计全市月均用水量不低于3 t的家庭所占比例也为30%,所求家庭数为100 000×30%＝30 000.
(3)因为0.12×0.5＋0.22×1.5＋0.36×2.5＋0.18×3.5＋0.12×4.5＝2.46,
所以估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46.
(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
C
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
解析　对于A,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%,故A正确;
对于B,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%,故B正确;
对于C,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元),故C错误;
对于D,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%,故D正确.
母题8 (人教A版必修第二册P225T8)一名学生通过计步仪器,记录了自己100天每天走的步数,数据如下:
(1)画出这组数据的频率分布直方图,并分析数据的分布特点;
解　这组数据的最大值为20 142,最小值为1 301,极差为18 841.将数据分为9组,组距取2 100,可作出频率分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[1 300,3 400) 7 0.07
[3 400,5 500) 11 0.11
[5 500,7 600) 10 0.10
[7 600,9 700) 31 0.31
[9 700,11 800) 20 0.20
[11 800,13 900) 12 0.12
[13 900,16 000) 3 0.03
[16 000,18 100) 5 0.05
[18 100,20 200] 1 0.01
合计 100 100%
(2)计算这组数据的平均数、中位数和标准差,并根据这些数值描述这名学生的运动情况.
解　平均数为9 170.48,表示该同学平均每天约走9 170步;中位数为8 909.5,表示该同学有50天走的步数不少于8 909.5,即该同学所走步数的中间水平约为8 909;标准差为3 756.404,表示该同学每天所走步数的离散程度,即在平均数附近的波动程度的大小.
(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得表:
C
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
频数 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是(　　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
解析　对于A,因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5,
前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5,
所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100),故A不正确;
对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%,故B不正确;
对于C,因为1 200－900＝300,1 150－950＝200,所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间,故C正确;
对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg),故D不正确.
母题9 (北师大版必修第一册P182T1)下面是2003年4月
21日至5月15日上午10时,北京市非典型性肺炎疫情
新增数据走势图.
(1)哪一天新增确诊的人数最多 哪一天新增疑
似的人数最多
(2)哪一天新增治愈的人数最多 哪一天新增死
亡的人数最多
(3)从图中,你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗
解　由题意,
(1)4月29日新增确诊病例人数最多,为157人,4月27日新增疑似病例的人数最多,为162人.
(2)5月13日新增治愈病例人数最多,为41人,5月15日新增死亡人数最少,为1人.
(3)我们可以预测新增确诊和新增疑似的人数将逐渐减少.
(多选)(2020·新高考全国Ⅱ卷)我国新冠疫情防控进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是(　　)
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
CD
解析　由图可知,第1天到第2天复工指数减少,第7天到第8天复工指数减少,第10天到第11天复工指数减少,第8天到第9天复产指数减少,故A错误;
由图可知,第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差,所以这11天期间,复产指数增量小于复工指数的增量,故B错误;
由图可知,第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确;
由图可知,第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量,故D正确.故选C,D.
母题10 (湘教版选择性必修第二册P185例4)实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据,见下表,试建立转化率y关于反应时间x的回归方程(回归系数保留三位小数).
时间x/min 60 80 100 120 140 150 160 170
转化率y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05
解　根据题表中数据作散点图(图1)
观察散点图可知,样本点并没有分布在某条直线附近,因而变量y与x之间没有明显的线性相关关系,所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系.
根据已有的数学知识,可以认为样本点分布在指数型曲线y＝c1的附近,其中c1和c2是待定参数.
为估计参数c1和c2,在y＝c1的两端取对数,得到ln y＝ln c1＋c2x.
再令z＝ln y,a＝ln c1,b＝c2,则得到直线方程z＝bx＋a.
将题表中的数据进行代换,得到的数据见下表(结果保留三位小数)
x 60 80 100 120 140 150 160 170
z(＝ln y) 1.813 2.302 2.709 3.041 3.438 3.660 3.855 4.008
图2是根据上表中数据作出的散点图.
从图2中可以看出,变换后的样本点分布在一条直线的附近,说明z和x之间具有线性相关关系,因此可以用线性回归方程来拟合.
对表2中的数据,用最小二乘法可得线性回归方程为＝0.020x＋0.686.
再利用y＝ez可得到转化率y关于反应时间x的非线性回归方程为＝e0.686·e0.020x≈1.986e0.020x.
(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i＝1,2,…,20)得到下面的散点图:
D
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个
回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温
度x的回归方程类型的是(　　)
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x
解析　由散点图可以看出,这些点大致分布在对数型函数的图象附近.故选D.第九章　统计与成对数据的统计分析
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版必修第二册P174)假设口袋中有红色和白色共有1 000个小球,除颜色外,小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗
提示:不放回地摸出50个球,以50个球中红球所占的比例估计袋中红球所占的比例.
探究2 (人教A版必修第二册P206)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在图中的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系
提示:一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(图(1)),那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”(图(2)),那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”(图(3)),那么平均数小于中位数,也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.
探究3 (人教A版选择性必修第三册P94)在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如表所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果,它们构成了成对数据.
编号 1 2 3 4 5 6 7
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
编号 8 9 10 11 12 13 14
年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据以上数据,你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗
提示:为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系,类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征,我们用图形展示成对样本数据的变化特征.用横轴表示年龄,纵轴表示脂肪含量,则表中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成了如图所示的统计图.我们把这样的统计图叫做散点图.
可以发现,这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,表明随年龄值的增加,相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.这样,由成对样本数据的分布规律,我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系.如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势.
探究4 (人教B版选择性必修第二册P106)假设y与x具有相关关系,而且回归直线方程为x＋,完成下列任务:
(1)将代入回归直线方程,并求出x＝时的值;
(2)判断一次函数x＋的单调性由谁决定,指出函数的单调性与正相关、负相关之间的联系;
(3)通过计算说明,当x每增大一个单位时,将如何变化,并总结出这一结论的实际意义.
提示:(1)将x＋后,整理可得(x－),这说明回归直线一定过点(,).
(2)一次函数x＋的符号决定,函数递增的充要条件是>0,函数递减的充要条件是<0,即y与x正相关的充要条件是>0;y与x负相关的充要条件是<0.
(3)如果(x1,)和(x2,)都是回归直线上的点,
则
由②式减去①式可得(x2－x1),这就说明,若x2－x1＝1,则.
也就是说,当x增大一个单位时,个单位,这就是回归系数的实际意义.
1.(人教A版必修第二册P218T11拓展)分层随机抽样的平均数和方差公式:已知总体划分为3层,通过分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:l,,;m,,;n,,.记总的样本平均数为,样本方差为s2,证明:
(1);
(2)s2＝{l[＋()2]＋m[＋()2]＋n[＋()2]}.
证明　(1)
＝.
(2)s2＝[(xi－)2＋(yj－)2＋(zk－)2]
＝[(xi－)2＋(yj－)2＋(zk－)2],
由(xi－)＝xi－l＝0,
可得2(xi－)()＝2()(xi－)＝0,
同理2(yj－)()＝0,
2(zk－)()＝0,
因此s2＝[(xi－)2＋()2＋(yj－)2＋()2＋(zk－)2＋()2]
＝{l[＋()2]＋m[＋()2]＋n[＋()2]}.
【应用示例】 树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如表:
性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
男 30 100 16
女 20 90 19
在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为x1,x2,x3,…,xn,其平均数记为,方差记为;把第二层样本记为y1,y2,y3,…,ym,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为s2.
(1)证明:s2＝{n[＋()2]＋m[＋()2]};
证明　s2＝[(xi－)2＋(yi－)2]＝[(xi－)2＋(yi－)2]＝{[(xi－)2＋()2＋2(xi－)()]＋[(yi－)2＋()2＋2(yi－)()]}.
∵[2(xi－)()]
＝2()(xi－)
＝2()(x1＋x2＋x3＋…＋xn－n)＝0,
同理[2(yi－)()]＝0,
所以s2＝{n[＋()2]＋m[＋()2]}.
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
解　将该班参加考试学生成绩的平均数记为,方差记为s2,
则(30×100＋20×90)＝96,
所以s2＝{30[256＋(100－96)2]＋20[361＋(90－96)2]}＝322,
又≈18,所以s≈18.
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分,标准差约为18分.
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N(μ,σ2),以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A,B,C,D四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68,≈17,≈18,≈19.
解　由(2)知μ＝96,σ＝18,所以全年级学生的考试成绩X服从正态分布N(96,182),
所以P(96－18≤X≤96＋18)≈0.68,
P(X≥96)＝0.5.
P(78≤X≤96)＝P(96≤X≤114)≈0.34,
P(X≥114)＝P(X<78)≈0.16.
故可将X≥114定为A等级,96≤X<114定为B等级,78≤X<96定为C等级,X<78定为D等级.
2.(人教A版选择性必修第三册P108~P109讲解,P113T5拓展)经验回归方程:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归方程x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
.
证明　(1)设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),yi＝bxi＋a＋ei,i＝1,2,…,n.
令Q＝(yi－bxi－a)2,来刻画“整体接近程度”.
Q(a,b)＝(yi－bxi－a)2
＝[yi－bxi－(－b)＋(－b)－a]2
＝[(yi－)－b(xi－)＋(－b)－a]2
＝[(yi－)－b(xi－)]2＋2[(yi－)－b(xi－)]×[(－b)－a]＋n[(－b)－a]2,
注意到
[(yi－)－b(xi－)](－b－a)
＝(－b－a)[(yi－)－b(xi－)]
＝(－b－a)[(yi－)－b(xi－)]
＝(－b－a)[(n－n)－b(n－n)]＝0,
所以Q(a,b)＝[(yi－)－b(xi－)]2＋n(－b－a)2.
上式右边各项均为非负数,且前n项与a无关.
所以要使Q取到最小值,n(－b－a)2的值应为0,即a＝－b.
此时Q(a,b)＝[(yi－)－b(xi－)]2
＝b2(xi－)2－2b(xi－)(yi－)＋(yi－)2.
上式是关于b的二次函数,因此要使Q取得最小值,当且仅当b的取值为
.
综上,当a,b的取值为
时,Q达到最小.
(2)(xi－)(yi－)
＝(xiyi－xi－yi＋)
＝xiyi－xi－yi＋n
＝xiyi－·n·n＋n
＝xiyi－n.
(xi－)2
＝(－2xi＋)
＝－2xi＋n
＝－2n＋n
＝－n,
故
＝.
【应用示例】 (多选)已知变量x和变量y的一组成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n)的散点落在一条直线附近,xi,yi,相关系数为r,线性回归方程为x＋,则(　　)
参考公式:r＝,
.
A.当r越大时,成对样本数据的线性相关程度越强
B.当r>0时,>0
C.当xn＋1＝,yn＋1＝时,成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n,n＋1)的相关系数r'满足r'＝r
D.当xn＋1＝,yn＋1＝时,成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n,n＋1)的线性回归方程x＋满足
答案　BCD
解析　对于A,当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强,故A错误;
对于B,当r>0时,成对样本数据正相关,相关系数r与符号相同,则>0,故B正确;
对于C,当xn＋1＝,yn＋1＝时,将这组数据添加后,,不变,故相关系数r的表达式中的分子和分母均不变,故C正确;
对于D,当xn＋1＝,yn＋1＝时,将这组数据添加后,,不变,故线性回归方程中的斜率的表达式中的分子和分母均不变,所以,故D正确.
3.(人教A版选择性必修第三册P120习题8.2T1拓展)决定系数R2的有关结论:
(1)一元线性回归模型y＝x＋＋e,则E(e)＝0,D(e)＝(yi－)2.
证明　因为yi＝xi＋＋ei,
所以yi＝xi＋nei,
即＋E(e),
又,所以E(e)＝0.
即随机误差e的样本均值为0.
D(e)＝(yi－)2,其中xi＋,
(yi－)2称为残差平方和.
(2)(yi－)2＝(yi－)2＋()2.
证明　(yi－)2
＝[(yi－)＋()]2
＝[(yi－)2＋()2＋2(yi－)()]
＝(yi－)2＋()2＋2(yi－)().
注意到(yi－)()
＝(yi－xi－)(xi＋)
＝{[yi－xi－()](xi－)}
＝[(yi－)－(xi－)](xi－)
＝[(xi－)(yi－)－(xi－)2]＝
＝0,
所以(yi－)2＝(yi－)2＋()2.
(3)R2＝r2.
证明　R2＝1－
＝
＝
＝
＝＝r2.
【应用示例】 (多选)如表是某地从2020年至2024年能源消费总量近似值y(单位:千万吨标准煤)的数据表:
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5
能源消费总量近似值y (单位:千万吨标准煤) 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8
以x为解释变量,y为响应变量,若以＝b1x＋a1为回归方程,则决定系数≈0.929 8,若以＝b2x2＋a2x＋c2为回归方程,则≈0.996 5,则下面结论中正确的有(　　)
A.变量x和变量y的样本相关系数为正数
B.＝b2x2＋a2x＋c2比＝b1x＋a1的拟合效果好
C.由回归方程可准确预测2025年的能源消费总量
D.＝3b1＋a1
答案　ABD
解析　对于A选项,随着变量x的增加,变量y也在增加,故变量y和变量x成正相关,即样本相关系数为正数,正确;
对于B选项,因为>,故＝b2x2＋a2x＋c2比＝b1x＋a1的拟合效果好,正确;
对于C选项,回归方程可预测2025年的能源消费总量,不可准确预测,错误;
对于D选项,由回归方程必过样本中心点,可知＝3b1＋a1,正确.
4.(人教A版选择性必修第三册P129讲解拓展)独立性检验中统计量χ2公式:
χ2＝.
证明　
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
事件{X＝0}的概率可估计为P(X＝0)＝,
事件{Y＝0}的概率可估计为P(Y＝0)＝,
事件{X＝0,Y＝0}的概率可估计为P(X＝0,Y＝0)＝,
零假设H0:事件{X＝0}与{Y＝0}独立,
则P(X＝0,Y＝0)＝P(X＝0)P(Y＝0)＝·,
a是事件{X＝0,Y＝0}成立的频数的观测值,根据频率稳定于概率的原理,np(X＝0,Y＝0)＝n·是相应频数的期望值(或预期值),观测值和期望值之差的绝对值应该很小.
＝,
同理,,
,
,
即|ad－bc|越小,事件{X＝0}与{Y＝0}独立性可能越大,将上述每个差值平方后,除以各自的期望值,再相加,用统计量是χ2来表示,
χ2＝＋
＝·
＝·
＝(ad－bc)2·
＝(ad－bc)2·
＝.
【应用示例】 (2025·新高考Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表:
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
(1)记超声波检查结果不正常者中患有该疾病的概率为p,求p的估计值;
解　由题表可知,检查结果不正常者有200人,检查结果不正常者中患有该疾病的有180人,
所以由样本估计总体得p＝＝0.9.
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附:χ2＝,
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
解　零假设H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关.
χ2＝＝765.625>10.828,
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.
通过阅读《拓展阅读——相关系数与向量夹角的余弦》(人教B版选择性必修第二册P111),可从中提炼出如下结论:
相关系数r可表示为两个向量夹角的余弦.
证明　对于n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
设点A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn),
取点M(,),
其中,
,
令a＝(x1－,x2－,…,xn－),
b＝(y1－,y2－,…,yn－),
则cos＝
＝＝r.
拓展:当|r|＝1时,即＝0或π,
此时,a与b共线,存在非零实数λ,使得b＝λa,
即
故,,…,共线,即点A1,A2,…,An,M这n＋1个点共线.
【应用示例】 (1)(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i 根部横截面积xi 材积量yi
1 0.04 0.25
2 0.06 0.40
3 0.04 0.22
4 0.08 0.54
5 0.08 0.51
6 0.05 0.34
7 0.05 0.36
8 0.07 0.46
9 0.07 0.42
10 0.06 0.40
总和 0.6 3.9
并计算得＝0.038,＝1.615 8,
xiyi＝0.247 4.
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
③现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r＝,≈1.377.
解　①样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
＝0.06(m2),
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
＝0.39(m3),
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2,平均一棵的材积量为0.39 m3.
②r＝
＝
＝≈≈0.97.
③设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3,
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,
可得,
解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
(2)(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi＝60,yi＝1 200,(xi－)2＝80,(yi－)2＝9 000,(xi－)(yi－)＝800.
①求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
②求样本(xi,yi)(i＝1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
③根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数r＝,≈1.414.
解　①由已知得样本平均数yi＝60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000.
②样本(xi,yi)(i＝1,2,…,20)的相关系数
r＝
＝≈0.94.
③分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.
理由如下:由②知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关性.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
母题1 (人教A版必修第二册P203例4)利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
解　根据9.2.1节中100户居民用户月均用水量的数据,由样本平均数的定义,可得＝8.79,即100户居民的月均用水量的平均数为8.79 t.将样本数据从小到大排序,得第50个数和第51个数均为6.8,由中位数的定义,可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8 t.因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本,所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79 t,其中位数约为6.8 t.
(2025·新高考Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为(　　)
A.8 B.9
C.12 D.18
答案　C
解析　由题意(2＋8＋14＋16＋20)＝12,故选C.
母题2 (人教A版必修第二册P204例3)如表是100户居民用户的月均用水量数据(单位:t),估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
分组 频数累计 频数 频率
[1.2,4.2) 23 0.23
[4.2,7.2) 32 0.32
[7.2,10.2) 13 0.13
[10.2,13.2) 9 0.09
[13.2,16.2) 9 0.09
[16.2,19.2) 5 0.05
[19.2,22.2) 3 0.03
[22.2,25.2) 4 0.04
[25.2,28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
解　由表可知,月均用水量在13.2 t以下的居民用户所占比例为
23%＋32%＋13%＋9%＝77%.
在16.2 t以下的居民用户所占的比例为77%＋9%＝86%.
因此,80%分位数一定位于[13.2,16.2)内,
由13.2＋3×＝14.2,
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
类似地,由22.2＋3×＝22.95,
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
解　由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%,
所以95设X为患病者的该指标,
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%,
解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标,
则q(c)＝P(Y>c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]上的最小值.
解　当95≤c≤100时,
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19,
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01,
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82;
当100p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19,
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21,
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
综上所述,
f(c)＝
由一次函数的单调性知,函数f(c)在[95,100]上单调递减,在(100,105]上单调递增,
作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略),可得f(c)在区间[95,105]上的最小值f(c)min＝f(100)＝
－0.008×100＋0.82＝0.02.
母题3 (人教A版必修第二册P215T2)数据x1,x2,…,xn的方差为,数据y1,y2,…,yn的方差为,a,b为常数.证明:
(1)如果y1＝x1＋b,y2＝x2＋b,…,yn＝xn＋b,那么;
证明　∵(y1＋y2＋…＋yn)
＝[(x1＋b)＋(x2＋b)＋…＋(xn＋b)]
＝[(x1＋x2＋…＋xn)＋nb]
＝(x1＋x2＋…＋xn)＋b
＝＋b,
∴[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝.
(2)如果y1＝ax1,y2＝ax2,…,yn＝axn,那么＝a2.
证明　∵(y1＋y2＋…＋yn)
＝(ax1＋ax2＋…＋axn)
＝a·(x1＋x2＋…＋xn)＝a,
∴[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]＝[(ax1－a)2＋(ax2－a)2＋…＋(axn－a)2]＝a2·[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝a2.
(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　)
A.0.01 B.0.1
C.1 D.10
答案　C
解析　10x1,10x2,…,10xn的方差为102×0.01＝1.故选C.
母题4 (人教A版必修第二册P216T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天生产的次品数分别为:
甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4
乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1
分别计算这两组数据的平均数和标准差,从计算结果看,哪台机床的性能更好
解　甲机床的平均数
＝1.5,
标准差s甲＝≈1.28;
乙机床的平均数＝1.2,
标准差s乙＝≈0.87.
比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小,说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少,而且更为稳定,所以乙机床的性能较好.
(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i＝1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1,2,…,10),z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
解　由题意,求出zi的值如表所示,
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11,
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).
解　因为2＝2,
＝11＝>,
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
母题5 (人教A版必修第二册P224T2)四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是(　　)
A.平均数为3,中位数为2
B.中位数为3,众数为2
C.平均数为2,方差为2.4
D.中位数为3,方差为2.8
答案　C
解析　对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误;
对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错误;
对于C,若平均数为2,且出现6点,
则方差s2>(6－2)2＝3.2>2.4,
∴平均数为2,方差为2.4时,一定没有出现点数6,故C正确;
对于D,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,
平均数为(1＋2＋3＋3＋6)＝3,
方差为s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]＝2.8,可以出现点数6,故D错误.
(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
答案　BD
解析　取x1＝1,x2＝x3＝x4＝x5＝2,x6＝9,
则x2,x3,x4,x5的平均数等于2,标准差为0,
x1,x2,…,x6的平均数等于3,
标准差为,故A,C均不正确;
根据中位数的定义,将x1,x2,…,x6按从小到大的顺序进行排列,中位数是中间两个数的算术平均数,
由于x1是最小值,x6是最大值,故x2,x3,x4,x5的中位数是将x2,x3,x4,x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数,与x1,x2,…,x6的中位数相等,故B正确;
根据极差的定义,知x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差,故D正确.
综上,选BD.
母题6 (人教B版必修第二册P79练习BT1)已知甲、乙两组数的茎叶图如下,分别计算这两组数的平均数.
解　×(12＋15＋24＋25＋31＋31＋36＋36＋37＋39＋44＋49＋50)＝33.
×(8＋13＋13＋14＋16＋23＋26＋29＋33＋35＋38＋39＋51)＝26.
(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:
则下列结论中错误的是(　　)
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案　C
解析　对于A选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4,A选项结论正确;
对于B选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为
×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8,B选项结论正确;
对于C选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4,C选项结论错误;
对于D选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6,D选项结论正确.故选C.
母题7 (人教B版必修第二册P84例2)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
解　因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1,所以(0.12＋0.22＋0.36＋a＋0.12)×1＝1,解得a＝0.18.
(2)设该市有10万个家庭,估计全市月均用水量不低于3 t的家庭数;
解　抽取的样本中,月均用水量不低于3 t的家庭所占比例为(a＋0.12)×1＝0.3＝30%.
因此估计全市月均用水量不低于3 t的家庭所占比例也为30%,所求家庭数为100 000×30%＝
30 000.
(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.
解　因为0.12×0.5＋0.22×1.5＋0.36×2.5＋0.18×3.5＋0.12×4.5＝2.46,
所以估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46.
(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案　C
解析　对于A,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%,故A正确;
对于B,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%,故B正确;
对于C,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元),故C错误;
对于D,根据频率分布直方图可知,该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%,故D正确.
母题8 (人教A版必修第二册P225T8)一名学生通过计步仪器,记录了自己100天每天走的步数,数据如下:
5 678 13 039 8 666 9 521 8 722 10 575 2 107 4 165 17 073 11 205
5 467 11 736 9 986 8 592 6 542 12 386 13 115 5 705 8 358 13 234
20 142 9 769 10 426 12 802 16 722 8 587 9 266 8 635 2 455 4 524
8 260 13 165 9 812 9 533 2 377 5 132 8 212 7 968 9 859 3 961
5 484 11 344 8 722 12 944 8 597 12 594 15 101 4 751 11 130 11 286
8 897 7 192 7 313 8 790 7 699 10 892 9 583 9 207 16 358 10 182
3 607 1 789 9 417 4 566 12 347 3 228 7 606 8 689 8 755 15 609
8 767 9 226 5 622 11 094 8 865 11 246 17 417 7 995 7 317 6 878
4 270 11 051 5 705 5 442 10 078 9 107 8 354 6 483 16 808 1 509
1 301 10 843 13 864 12 691 8 419 14 267 9 809 9 858 8 922 12 682
(1)画出这组数据的频率分布直方图,并分析数据的分布特点;
解　这组数据的最大值为20 142,最小值为1 301,极差为18 841.将数据分为9组,组距取2 100,可作出频率分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[1 300,3 400) 7 0.07
[3 400,5 500) 11 0.11
[5 500,7 600) 10 0.10
[7 600,9 700) 31 0.31
[9 700,11 800) 20 0.20
[11 800,13 900) 12 0.12
[13 900,16 000) 3 0.03
[16 000,18 100) 5 0.05
[18 100,20 200] 1 0.01
合计 100 100%
(2)计算这组数据的平均数、中位数和标准差,并根据这些数值描述这名学生的运动情况.
解　平均数为9 170.48,表示该同学平均每天约走9 170步;中位数为8 909.5,表示该同学有50天走的步数不少于8 909.5,即该同学所走步数的中间水平约为8 909;标准差为3 756.404,表示该同学每天所走步数的离散程度,即在平均数附近的波动程度的大小.
(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
频数 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是(　　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案　C
解析　对于A,因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5,
前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5,
所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100),故A不正确;
对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%,故B不正确;
对于C,因为1 200－900＝300,1 150－950＝200,所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间,故C正确;
对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg),故D不正确.
母题9 (北师大版必修第一册P182T1)下面是2003年4月21日至5月15日上午10时,北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图.
(1)哪一天新增确诊的人数最多 哪一天新增疑似的人数最多
(2)哪一天新增治愈的人数最多 哪一天新增死亡的人数最多
(3)从图中,你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗
解　由题意,
(1)4月29日新增确诊病例人数最多,为157人,4月27日新增疑似病例的人数最多,为162人.
(2)5月13日新增治愈病例人数最多,为41人,5月15日新增死亡人数最少,为1人.
(3)我们可以预测新增确诊和新增疑似的人数将逐渐减少.
(多选)(2020·新高考全国Ⅱ卷)我国新冠疫情防控进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是(　　)
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
答案　CD
解析　由图可知,第1天到第2天复工指数减少,第7天到第8天复工指数减少,第10天到第11天复工指数减少,第8天到第9天复产指数减少,故A错误;
由图可知,第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差,所以这11天期间,复产指数增量小于复工指数的增量,故B错误;
由图可知,第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确;
由图可知,第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量,故D正确.故选C,D.
母题10 (湘教版选择性必修第二册P185例4)实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据,见下表,试建立转化率y关于反应时间x的回归方程(回归系数保留三位小数).
时间x /min 60 80 100 120 140 150 160 170
转化率 y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05
解　根据题表中数据作散点图(图1)
观察散点图可知,样本点并没有分布在某条直线附近,因而变量y与x之间没有明显的线性相关关系,所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系.
根据已有的数学知识,可以认为样本点分布在指数型曲线y＝c1的附近,其中c1和c2是待定参数.
为估计参数c1和c2,在y＝c1的两端取对数,得到ln y＝ln c1＋c2x.
再令z＝ln y,a＝ln c1,b＝c2,则得到直线方程z＝bx＋a.
将题表中的数据进行代换,得到的数据见下表(结果保留三位小数)
x 60 80 100 120 140 150 160 170
z(＝ln y) 1.813 2.302 2.709 3.041 3.438 3.660 3.855 4.008
图2是根据上表中数据作出的散点图.
从图2中可以看出,变换后的样本点分布在一条直线的附近,说明z和x之间具有线性相关关系,因此可以用线性回归方程来拟合.
对表2中的数据,用最小二乘法可得线性回归方程为＝0.020x＋0.686.
再利用y＝ez可得到转化率y关于反应时间x的非线性回归方程为＝e0.686·e0.020x≈1.986e0.020x.
(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i＝1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x
答案　D
解析　由散点图可以看出,这些点大致分布在对数型函数的图象附近.故选D.第九章　统计与成对数据的统计分析
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版必修第二册P174)假设口袋中有红色和白色共有1 000个小球,除颜色外,小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 (人教A版必修第二册P206)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在图中的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 (人教A版选择性必修第三册P94)在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如表所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果,它们构成了成对数据.
编号 1 2 3 4 5 6 7
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
编号 8 9 10 11 12 13 14
年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据以上数据,你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 (人教B版选择性必修第二册P106)假设y与x具有相关关系,而且回归直线方程为x＋,完成下列任务:
(1)将代入回归直线方程,并求出x＝时的值;
(2)判断一次函数x＋的单调性由谁决定,指出函数的单调性与正相关、负相关之间的联系;
(3)通过计算说明,当x每增大一个单位时,将如何变化,并总结出这一结论的实际意义.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(人教A版必修第二册P218T11拓展)分层随机抽样的平均数和方差公式:已知总体划分为3层,通过分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:l,,;m,,;n,,.记总的样本平均数为,样本方差为s2,证明:
(1);
(2)s2＝{l[＋()2]＋m[＋()2]＋n[＋()2]}.
证明　(1)
＝.
(2)s2＝[(xi－)2＋(yj－)2＋(zk－)2]
＝[(xi－)2＋(yj－)2＋(zk－)2],
由(xi－)＝xi－l＝0,
可得2(xi－)()＝2()(xi－)＝0,
同理2(yj－)()＝0,
2(zk－)()＝0,
因此s2＝[(xi－)2＋()2＋(yj－)2＋()2＋(zk－)2＋()2]
＝{l[＋()2]＋m[＋()2]＋n[＋()2]}.
【应用示例】 树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如表:
性别 参加考试人数 平均成绩 标准差
男 30 100 16
女 20 90 19
在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第一层样本记为x1,x2,x3,…,xn,其平均数记为,方差记为;把第二层样本记为y1,y2,y3,…,ym,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为s2.
(1)证明:s2＝{n[＋()2]＋m[＋()2]};
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N(μ,σ2),以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A,B,C,D四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68,≈17,≈18,≈19.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教A版选择性必修第三册P108~P109讲解,P113T5拓展)经验回归方程:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归方程x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
.
证明　(1)设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),yi＝bxi＋a＋ei,i＝1,2,…,n.
令Q＝(yi－bxi－a)2,来刻画“整体接近程度”.
Q(a,b)＝(yi－bxi－a)2
＝[yi－bxi－(－b)＋(－b)－a]2
＝[(yi－)－b(xi－)＋(－b)－a]2
＝[(yi－)－b(xi－)]2＋2[(yi－)－b(xi－)]×[(－b)－a]＋n[(－b)－a]2,
注意到
[(yi－)－b(xi－)](－b－a)
＝(－b－a)[(yi－)－b(xi－)]
＝(－b－a)[(yi－)－b(xi－)]
＝(－b－a)[(n－n)－b(n－n)]＝0,
所以Q(a,b)＝[(yi－)－b(xi－)]2＋n(－b－a)2.
上式右边各项均为非负数,且前n项与a无关.
所以要使Q取到最小值,n(－b－a)2的值应为0,即a＝－b.
此时Q(a,b)＝[(yi－)－b(xi－)]2
＝b2(xi－)2－2b(xi－)(yi－)＋(yi－)2.
上式是关于b的二次函数,因此要使Q取得最小值,当且仅当b的取值为
.
综上,当a,b的取值为
时,Q达到最小.
(2)(xi－)(yi－)
＝(xiyi－xi－yi＋)
＝xiyi－xi－yi＋n
＝xiyi－·n·n＋n
＝xiyi－n.
(xi－)2
＝(－2xi＋)
＝－2xi＋n
＝－2n＋n
＝－n,
故
＝.
【应用示例】 (多选)已知变量x和变量y的一组成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n)的散点落在一条直线附近,xi,yi,相关系数为r,线性回归方程为x＋,则(　　)
参考公式:r＝,
.
A.当r越大时,成对样本数据的线性相关程度越强
B.当r>0时,>0
C.当xn＋1＝,yn＋1＝时,成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n,n＋1)的相关系数r'满足r'＝r
D.当xn＋1＝,yn＋1＝时,成对样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,n,n＋1)的线性回归方程x＋满足
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.(人教A版选择性必修第三册P120习题8.2T1拓展)决定系数R2的有关结论:
(1)一元线性回归模型y＝x＋＋e,则E(e)＝0,D(e)＝(yi－)2.
证明　因为yi＝xi＋＋ei,
所以yi＝xi＋nei,
即＋E(e),
又,所以E(e)＝0.
即随机误差e的样本均值为0.
D(e)＝(yi－)2,其中xi＋,
(yi－)2称为残差平方和.
(2)(yi－)2＝(yi－)2＋()2.
证明　(yi－)2
＝[(yi－)＋()]2
＝[(yi－)2＋()2＋2(yi－)()]
＝(yi－)2＋()2＋2(yi－)().
注意到(yi－)()
＝(yi－xi－)(xi＋)
＝{[yi－xi－()](xi－)}
＝[(yi－)－(xi－)](xi－)
＝[(xi－)(yi－)－(xi－)2]＝
＝0,
所以(yi－)2＝(yi－)2＋()2.
(3)R2＝r2.
证明　R2＝1－
＝
＝
＝
＝＝r2.
【应用示例】 (多选)如表是某地从2020年至2024年能源消费总量近似值y(单位:千万吨标准煤)的数据表:
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5
能源消费总量近似值y (单位:千万吨标准煤) 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8
以x为解释变量,y为响应变量,若以＝b1x＋a1为回归方程,则决定系数≈0.929 8,若以＝b2x2＋a2x＋c2为回归方程,则≈0.996 5,则下面结论中正确的有(　　)
A.变量x和变量y的样本相关系数为正数
B.＝b2x2＋a2x＋c2比＝b1x＋a1的拟合效果好
C.由回归方程可准确预测2025年的能源消费总量
D.＝3b1＋a1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(人教A版选择性必修第三册P129讲解拓展)独立性检验中统计量χ2公式:
χ2＝.
证明　
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
事件{X＝0}的概率可估计为P(X＝0)＝,
事件{Y＝0}的概率可估计为P(Y＝0)＝,
事件{X＝0,Y＝0}的概率可估计为P(X＝0,Y＝0)＝,
零假设H0:事件{X＝0}与{Y＝0}独立,
则P(X＝0,Y＝0)＝P(X＝0)P(Y＝0)＝·,
a是事件{X＝0,Y＝0}成立的频数的观测值,根据频率稳定于概率的原理,np(X＝0,Y＝0)＝n·是相应频数的期望值(或预期值),观测值和期望值之差的绝对值应该很小.
＝,
同理,,
,
,
即|ad－bc|越小,事件{X＝0}与{Y＝0}独立性可能越大,将上述每个差值平方后,除以各自的期望值,再相加,用统计量是χ2来表示,
χ2＝＋
＝·
＝·
＝(ad－bc)2·
＝(ad－bc)2·
＝.
【应用示例】 (2025·新高考Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表:
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
(1)记超声波检查结果不正常者中患有该疾病的概率为p,求p的估计值;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附:χ2＝,
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通过阅读《拓展阅读——相关系数与向量夹角的余弦》(人教B版选择性必修第二册P111),可从中提炼出如下结论:
相关系数r可表示为两个向量夹角的余弦.
证明　对于n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
设点A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn),
取点M(,),
其中,
,
令a＝(x1－,x2－,…,xn－),
b＝(y1－,y2－,…,yn－),
则cos＝
＝＝r.
拓展:当|r|＝1时,即＝0或π,
此时,a与b共线,存在非零实数λ,使得b＝λa,
即
故,,…,共线,即点A1,A2,…,An,M这n＋1个点共线.
【应用示例】 (1)(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i 根部横截面积xi 材积量yi
1 0.04 0.25
2 0.06 0.40
3 0.04 0.22
4 0.08 0.54
5 0.08 0.51
6 0.05 0.34
7 0.05 0.36
8 0.07 0.46
9 0.07 0.42
10 0.06 0.40
总和 0.6 3.9
并计算得＝0.038,＝1.615 8,
xiyi＝0.247 4.
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
③现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r＝,≈1.377.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i＝1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi＝60,yi＝1 200,(xi－)2＝80,(yi－)2＝9 000,(xi－)(yi－)＝800.
①求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
②求样本(xi,yi)(i＝1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
③根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数r＝,≈1.414.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题1 (人教A版必修第二册P203例4)利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为(　　)
A.8 B.9
C.12 D.18
母题2 (人教A版必修第二册P204例3)如表是100户居民用户的月均用水量数据(单位:t),估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
分组 频数累计 频数 频率
[1.2,4.2) 23 0.23
[4.2,7.2) 32 0.32
[7.2,10.2) 13 0.13
[10.2,13.2) 9 0.09
[13.2,16.2) 9 0.09
[16.2,19.2) 5 0.05
[19.2,22.2) 3 0.03
[22.2,25.2) 4 0.04
[25.2,28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]上的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题3 (人教A版必修第二册P215T2)数据x1,x2,…,xn的方差为,数据y1,y2,…,yn的方差为,a,b为常数.证明:
(1)如果y1＝x1＋b,y2＝x2＋b,…,yn＝xn＋b,那么;
(2)如果y1＝ax1,y2＝ax2,…,yn＝axn,那么＝a2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　)
A.0.01 B.0.1
C.1 D.10
母题4 (人教A版必修第二册P216T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天生产的次品数分别为:
甲　0　1　0　2　2　0　3　1　2　4
乙　2　3　1　1　0　2　1　1　0　1
分别计算这两组数据的平均数和标准差,从计算结果看,哪台机床的性能更好
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i＝1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1,2,…,10),z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题5 (人教A版必修第二册P224T2)四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是(　　)
A.平均数为3,中位数为2
B.中位数为3,众数为2
C.平均数为2,方差为2.4
D.中位数为3,方差为2.8
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
母题6 (人教B版必修第二册P79练习BT1)已知甲、乙两组数的茎叶图如下,分别计算这两组数的平均数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:
则下列结论中错误的是(　　)
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
母题7 (人教B版必修第二册P84例2)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)设该市有10万个家庭,估计全市月均用水量不低于3 t的家庭数;
(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
母题8 (人教A版必修第二册P225T8)一名学生通过计步仪器,记录了自己100天每天走的步数,数据如下:
5 678 13 039 8 666 9 521 8 722 10 575 2 107 4 165 17 073 11 205
5 467 11 736 9 986 8 592 6 542 12 386 13 115 5 705 8 358 13 234
20 142 9 769 10 426 12 802 16 722 8 587 9 266 8 635 2 455 4 524
8 260 13 165 9 812 9 533 2 377 5 132 8 212 7 968 9 859 3 961
5 484 11 344 8 722 12 944 8 597 12 594 15 101 4 751 11 130 11 286
8 897 7 192 7 313 8 790 7 699 10 892 9 583 9 207 16 358 10 182
3 607 1 789 9 417 4 566 12 347 3 228 7 606 8 689 8 755 15 609
8 767 9 226 5 622 11 094 8 865 11 246 17 417 7 995 7 317 6 878
4 270 11 051 5 705 5 442 10 078 9 107 8 354 6 483 16 808 1 509
1 301 10 843 13 864 12 691 8 419 14 267 9 809 9 858 8 922 12 682
(1)画出这组数据的频率分布直方图,并分析数据的分布特点;
(2)计算这组数据的平均数、中位数和标准差,并根据这些数值描述这名学生的运动情况.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200)
频数 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是(　　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
母题9 (北师大版必修第一册P182T1)下面是2003年4月21日至5月15日上午10时,北京市非典型性肺炎疫情新增数据走势图.
(1)哪一天新增确诊的人数最多 哪一天新增疑似的人数最多
(2)哪一天新增治愈的人数最多 哪一天新增死亡的人数最多
(3)从图中,你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(多选)(2020·新高考全国Ⅱ卷)我国新冠疫情防控进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是(　　)
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
母题10 (湘教版选择性必修第二册P185例4)实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据,见下表,试建立转化率y关于反应时间x的回归方程(回归系数保留三位小数).
时间x /min 60 80 100 120 140 150 160 170
转化率 y/% 6.13 9.99 15.02 20.92 31.11 38.85 47.25 55.05
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i＝1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x

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