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(共207张PPT)
第四章　三角函数、解三角形
教材考点·真题分布
目 录 CONTENTS
教材探究问题 · 研析
教材阅读文字 · 拓展
教材典型母题 · 必刷
01
02
03
04
教材常用结论 · 推导
教材探究问题·研析
01
1.(人教A版必修第一册P172)如图,在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ＝r1.在旋转过程中,点Q所形成的圆弧的长为l1,l1与r1的比值是多少 你能得出什么结论
探究
提示:可以发现:圆心角α所对的弧长与半径的比值,只与α的大小有关,也就是说,这个比值随α的确定而唯一确定.
2.(人教A版必修第一册P178)在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.设x∈,把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1,并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为y1,z1与y1相等吗 对于余弦、正切也有相同的结论吗
提示:z1＝y1,对于余弦,正切也有相同的结论.按照本节三角函数的定义,设角x终边上任意一点P(a,b),点P到原点的距离
r＝,
∴sin x＝＝y1,
cos x＝,
tan x＝,
作PM⊥x轴,在直角三角形中,＝斜边长度,
由锐角三角函数的定义可得:
sin x＝＝z1,
cos x＝,
tan x＝,
∴z1＝y1.
因此,两种方式定义的正弦、余弦、正切的函数值相同.
3.(人教A版必修第一册P200)你能利用函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象,通过图象变换得到y＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象吗 同样地,利用函数y＝cos x,x∈[0,2π]的图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y＝－cos x,x∈[0,2π]的图象
提示:将函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位长度就得到y＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象.函数y＝cos x,x∈[0,2π] 的图象与y＝－cos x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称,只需将函数y＝cos x,x∈[0,2π]的图象作关于x轴对称的变换即可得到函数y＝－cos x,x∈[0,2π]的图象.
4.(人教A版必修第一册P207)你能求出函数y＝sin,x∈[－2π,2π]的单调递增区间吗
提示:由y＝sin得y＝－sin,
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ,k∈Z,
解得＋4kπ≤x≤＋4kπ.
又x∈[－2π,2π],
所以y＝sin,x∈[－2π,2π]的单调递增区间是,.
探究5.(人教A版必修第一册P218)和(差)角公式中,α,β都是任意角.如果令α为某些特殊角,就能得到许多有用的公式.你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗 你还能得到哪些等式
提示:令β＝k·2π,由和角公式可推导出诱导公式一;
令β＝π,,由和角公式可推导出诱导公式二、六;
令α＝0,由差角公式可推导出诱导公式三;
令α＝π,,由差角公式可推导出诱导公式四、五.
当α＝β时,还能得到
sin(α＋β)＝sin(α＋α)＝sin 2α
＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α;
cos(α＋β)＝cos(α＋α)＝cos 2α
＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α,等等.
6.(人教A版必修第一册P219)sin＝cos.那么对于任意角α,此等式成立吗 若成立,你会用几种方法予以证明
提示:对于任意角α,等式sin＝cos成立.
法一　sin＝sin＝cos.
法二　∵sin＝sin cos α－cos sin α＝(cos α－sin α),
又∵cos＝cos cos α－sin sin α
＝(cos α－sin α),
∴sin＝cos,
综上,对于任意角α,
等式sin＝cos成立.
7.(人教A版必修第一册P236)你能总结一下从正弦函数图象出发,通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的过程与方法吗
提示:由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)图象的步骤
上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的.
8.(人教A版必修第二册P42)在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用a,b和C表示c
提示:如图,设＝a,＝b,＝c,那么c＝a－b. ①
我们的研究目标是用|a|,|b|和C表示|c|,联想到数量积的性质c·c＝|c|2,可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C,
所以c2＝a2＋b2－2abcos C.
同理可得
a2＝b2＋c2－2bccos A,
b2＝c2＋a2－2cacos B.
教材常用结论·推导
02
1.(苏教版必修第二册P66例4拓展)正切恒等式:在斜三角形ABC中,tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
证明　在斜三角形ABC中,有A＋B＋C＝π,即A＋B＝π－C,且A,B,A＋B都不等于,
所以tan(A＋B)＝tan(π－C),
即＝－tan C,
即tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C,
从而tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
【应用示例】 在锐角三角形ABC中,若sin A＝2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是　　　.
解析　sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C tan B＋tan C＝2tan Btan C,
又tan A＝,
因此tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C
＝tan A＋2tan Btan C≥2
tan Atan Btan C≥8,即最小值为8.
当且仅当tan A＝2tan Btan C时,取到等号.
8
2.(人教B版必修第三册P113T11拓展)三倍角公式:
(1)sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ;
证明　(1)sin 3θ＝sin(2θ＋θ)
＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ
＝2sin θcos2θ＋(1－2sin2θ)sin θ
＝2sin θ(1－sin2θ)＋sin θ－2sin3θ
＝3sin θ－4sin3θ.
(2)cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ.
证明　cos 3θ＝cos(2θ＋θ)
＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ
＝(2cos2θ－1)cos θ－2sin2θcos θ
＝2cos3θ－cos θ－2(1－cos2θ)cos θ
＝4cos3θ－3cos θ.
【应用示例】 (2025·沧州模拟)已知tan θ＝,则＝　　　　.
解析　sin 3θ＝sin(θ＋2θ)
＝sin θcos 2θ＋cos θsin 2θ
＝sin θ(1－2sin2θ)＋2sin θcos2θ
＝3sin θ－4sin3θ,
因为tan θ＝,
所以＝3－4sin2θ＝3－＝3－＝3－.
3.(人教A版必修第一册P225例8拓展)(1)积化和差公式:
①sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)];
②cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)];
③cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)];
④sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)].
证明　①因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β,
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β,
两式相加得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β,
即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)].
同理可证②③④.
(2)和差化积公式:
⑤sin θ＋sin φ＝2sin cos ;
⑥sin θ－sin φ＝2cos sin ;
⑦cos θ＋cos φ＝2cos cos ;
⑧cos θ－cos φ＝－2sin sin .
证明　⑤由①可得sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝2sin αcos β.
设α＋β＝θ,α－β＝φ,那么α＝,β＝,
将α,β代入可得sin θ＋sin φ＝2sin cos .
⑥⑦⑧证明略.
【应用示例】 (2025·新高考Ⅰ卷节选)求函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值.
解　法一　因为f(x)＝5cos x－cos 5x,
所以f'(x)＝－5sin x＋5sin 5x
＝5[sin(3x＋2x)－sin(3x－2x)]
＝5(sin 3xcos 2x＋cos 3xsin 2x－sin 3xcos 2x＋cos 3xsin 2x)
＝10cos 3x·sin 2x,
因为x∈,
所以2x∈,3x∈.
所以sin 2x≥0,
故只需判断cos 3x的符号即可,
令cos 3x＝0,解得x＝.
所以当x∈时,f'(x)>0,
当x∈时,f'(x)<0.
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,
故f(x)max＝f＝5cos －cos ＝3,
所以函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值为3.
法二　因为f(x)＝5cos x－cos 5x,
所以f'(x)＝－5sin x＋5sin 5x
＝5×2cos sin
＝10cos 3xsin 2x
下同法一.
4.(湘教版必修第二册P85例3拓展)万能公式:当α≠2kπ＋π(k∈Z)时,求证:
sin α＝,cos α＝,tan α＝.
证明　当α≠2kπ＋π(k∈Z)时,利用二倍角公式及sin2＋cos2＝1,
可得sin α＝2sin cos ＝,
cos α＝cos2－sin2＝.
将两式相除,可得tan α＝.
【应用示例】 函数f(x)＝sin x(1＋cos x)的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　法一　不妨设x∈[0,2π],
则f'(x)＝cos x＋2cos2x－,
整理得到f'(x)＝(2cos x－1)(cos x＋1),
当x∈∪时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0,故f(x)在,上单调递增,在上单调递减,
而f(2π)＝0,f,故f(x)的最大值为.
D
法二　由万能公式得
sin x＝,cos x＝,
代入原式并化简得
f(x)＝×
＝,令tan ＝t,
因为题设中欲求最大值,故可设t>0,
故原式转化为f(t)＝,
f'(t)＝,t∈,f'(t)>0,f(t)单调递增,t∈,
f'(t)<0,f(t)单调递减,
f(t)max＝f.
5.(人教B版必修第三册P99练习BT3)余弦幂积方程的解.
(1)满足cos α·cos 2α·…·cos 2nα＝(n∈N*)的解为α＝,k∈Z或α＝,k∈Z.
证明　显然sin α≠0,所以左＝＝,
故sin 2n＋1α＝sin α,即2n＋1α＝α＋2kπ或2n＋1α＋α＝π＋2kπ,k∈Z,
即α＝或α＝,k∈Z.
(2)满足cos α·cos 2α·…·cos 2nα＝－(n∈N*)的解为α＝,k∈Z或α＝,k∈Z.
证明　显然sin α≠0,
所以左＝＝,
故sin 2n＋1α＝－sin α＝sin (－α),
即2n＋1α＝－α＋2kπ或2n＋1α＋(－α)＝π＋2kπ,k∈Z,
即α＝或α＝,k∈Z.
【应用示例】 cos ·cos ·cos ·cos ＝　　　　.
－
解析　原式＝
＝
＝－.
6.(人教A版必修第一册P230T20)正余弦函数偶次幂和的值域,函数y＝sin2nx＋cos2nx(n>1,n∈N*)的值域为.
证明　令t＝sin2x,则cos2x＝1－t,t∈[0,1],
令f(t)＝tn＋(1－t)n,
则f'(t)＝ntn－1－n(1－t)n－1,
令g(t)＝ntn－1－n(1－t)n－1,
则g'(t)＝n(n－1)[tn－2＋(1－t)n－2]≥0,
∴g(t)在[0,1]上单调递增.
∵g＝0,
∴f(t)在上单调递减,在上单调递增,
∴f(t)min＝f,
f(0)＝f(1)＝1,故f(t)∈.
【应用示例】 (多选)对于函数fn(x)＝sin2nx＋cos2nx(n∈N*),下列说法正确的是(　 　)
A.fn(x)的最小正周期为π
B.当n≥2时,0≤fn(x)－fn＋1(x)≤fn－1(x)
C.fn(x)的最小值依次成等比数列
D.fn＋1(x)的值域是fn(x)的值域的子集
BCD
解析　对于A,函数fn(x)＝sin2nx＋cos2nx(n∈N*),则fn＝sin2n＋cos2n＝cos2nx＋sin2nx＝fn(x)(n∈N*),所以fn(x)的最小正周期不为π,故A错误;
对于B,fn(x)－fn＋1(x)＝sin2nx＋cos2nx－sin2n＋2x－cos2n＋2x＝sin2nx(1－sin2x)＋cos2nx(1－cos2x)＝sin2nxcos2x＋cos2nxsin2x≥0,
当n≥2时,fn－1(x)＝(sin2n－2x＋cos2n－2x),
则当sin2x＝0时cos2x＝1或当cos2x＝0时sin2x＝1,
此时均有fn(x)－fn＋1(x)＝0,fn－1(x)＝(sin2n－2x＋cos2n－2x)＝,
所以fn(x)－fn＋1(x)当sin2x≠0且当cos2x≠0时, 0fn－1(x)＝(sin2n－2x＋cos2n－2x)＝
＝
＝≥fn(x)－fn＋1(x),
综上,当n≥2时,0≤fn(x)－fn＋1(x)≤fn－1(x),故B正确;
对于C,令t＝sin2x∈[0,1],
则cos2x＝1－t∈[0,1],则函数y＝fn(x)＝tn＋(1－t)nx(n∈N*),
所以y'＝ntn－1－n(1－t)n－1＝n[tn－1－(1－t)n－1],
令y'＝0 tn－1＝(1－t)n－1 t＝1－t t＝,所以t∈时,y'≤0,函数单调递减;当t∈时y'>0,函数单调递增,所以fn(x)min＝2,所以,f1(x)min＝1,所以fn(x)min依次成等比数列,故C正确;
对于D,对y＝fn(x)＝tn＋(1－t)nx(x∈N*),则y|t＝0＝0n＋1n＝1,y|t＝1＝1n＋0n＝1,所以由C可知函数y＝tn＋(1－t)nx(n∈N*)的值域即fn(x)的值域是,
所以fn＋1(x)的值域是,
因为 ,
所以fn＋1(x)的值域是fn(x)的值域的子集,故D正确.
7.(人教B版必修第四册P10例5,苏教版必修第二册P95T7拓展)射影定理:在△ABC中,求证:
(1)a＝bcos C＋ccos B;(2)b＝acos C＋ccos A;
(3)c＝acos B＋bcos A.
证明　(1)因为,
因此·＝()·
＝··.
又因为||＝a,·＝bacos C,
·＝cacos B,
所以a2＝bacos C＋cacos B,即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)(3).
【应用示例】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A,则A等于(　　)
A. B.
C. D.
D
解析　因为2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A,
所以2bcos(π－A)＝acos C＋ccos A,
即－2bcos A＝acos C＋ccos A,
如图,过B点作BD⊥AC于D,
可知acos C＋ccos A＝b,
所以－2bcos A＝b,所以cos A＝－,
又A∈(0,π),所以A＝.
8.(人教B版必修第四册P6例6拓展)角平分线定理:如图所示,
在△ABC中,已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于
点D,求证:.
证明　如题图,设∠ADB＝α,∠BAD＝β,
则由题意可知∠ADC＝π－α,∠CAD＝β.
在△ABD和△ADC中,分别应用正弦定理,可得
,,
两式相除即可得.
【应用示例】 在△ABC中,已知sin(∠BAC－∠B)＝sin B＋sin C.
(1)求∠BAC.
解　因为sin(∠BAC－∠B)
＝sin∠BACcos B－cos∠BACsin B
＝sin B＋sin C,
又sin C＝sin(π－C)＝sin(∠BAC＋∠B)
＝sin∠BACcos B＋cos∠BACsin B,
所以－2cos∠BACsin B＝sin B.
又00,
所以cos∠BAC＝－.
因为0<∠BAC<π,所以∠BAC＝.
(2)若AC＝2AB,∠BAC的平分线交BC于点D,求cos∠ADB.
解　设AB＝t,则AC＝2t.
由余弦定理,得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝4t2＋t2＋2t2＝7t2,
故BC＝t.
由角平分线的性质及三角形的面积公式,知,故BD＝BC＝t.
在△ABD中,由正弦定理,得
.
因为∠BAD＝,所以,所以sin∠ADB＝.
因为AC>AB,所以B>C,
所以B＋>C＋,即∠ADC>∠ADB.
又∠ADC＋∠ADB＝π,
所以∠ADB为锐角,
故cos∠ADB＝.
9.(北师大版必修第二册P131T1拓展)张角定理:如图,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC＝α,∠BPC＝β.求证:.
证明　∵S△PAB＝S△PAC＋S△PBC,
∴PA·PBsin(α＋β)
＝PA·PCsin α＋PB·PCsin β.
两边同除以PA·PB·PC得:
.
【应用示例】 (2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC＝60°,AB＝2,BC＝,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD＝　　　　.
解析　由余弦定理得cos 60°＝,
整理得AC2－2AC－2＝0,得AC＝1＋.
由张角定理,,
所以AD＝＝2.
2
10.(人教A版必修第二册P53T15拓展)中线长公式:△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦定理证明ma＝,mb＝,mc＝.
证明　取BC中点为D,连接AD(图略),
则BD＝CD＝a,
在△ABC中,由余弦定理可得,
cos B＝.
在△ABD中,cos B＝,
∴,
∴ma＝;
同理可得:mb＝,
mc＝.
推论1　在 ABCD中,AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
证明　设AC∩BD＝O,
由中线长公式得AO＝,
即4AO2＋BD2＝2(AB2＋AD2),
即AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
推论2　若 ABCD为矩形,P为矩形所在平面内任一点,则PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
证明　设AC∩BD＝O,连接PA,PB,PC,PD(图略),在△PAC中,由中线长公式得
PO＝,
在△PBD中,由中线长公式得
PO＝.
又因为 ABCD为矩形,所以AC＝BD,
所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
【应用示例】 (2023·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD＝1.若b2＋c2＝8,求b,c.
解　法一　因为D为BC的中点,
所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π,
所以cos∠ADB＝－cos∠ADC,
则在△ABD与△ADC中,由余弦定理,
得＝－,
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2),
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6,
所以BD＝,所以a＝2.
在△ABC中,由余弦定理,
得cos∠BAC＝＝－,
所以S△ABC＝bcsin∠BAC
＝bc
＝bc
＝,
解得bc＝4.
则由解得b＝c＝2.
法二　因为D为BC的中点,
所以BC＝2BD.
在△ABD与△ABC中,由余弦定理,
得cos B＝,
整理,得2BD2＝b2＋c2－2＝6,
得BD＝,所以a＝2.
以下同法一.
法三　由中线长公式知,
AD＝.
又因为b2＋c2＝8,
所以a＝2,
以下同法一.
教材阅读文字·拓展
03
1.通过阅读《探究与发现——函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期》(人教A版必修第一册P203),可从中提炼如下结论:
(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0,A≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0,A≠0)的最小正周期均为,y＝Atan(ωx＋φ)＋b(ω>0, A≠0)的最小正周期为.
证明　令f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b,
因为Asin(ωx＋φ)＋b＝Asin(ωx＋φ＋2π)＋b
＝Asin＋b,
即f(x)＝f,
所以y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最小正周期为.
同理y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最小正周期也为.
令g(x)＝Atan(ωx＋φ)＋b,
因为Atan(ωx＋φ)＋b＝Atan(ωx＋φ＋π)＋b
＝Atan＋b,即g(x)＝g,
所以y＝Atan(ωx＋φ)＋b的最小正周期为.
(2)若函数y＝f(x)的最小正周期为T,则函数y＝f(ωx)(ω>0)的最小正周期为.
证明　令g(x)＝f(ωx)(ω>0).
因为f(x)的最小正周期为T,
所以f(ωx)＝f(ωx＋T)＝f,
即g(x)＝g,故f(ωx)的最小正周期为.
【应用示例】 (2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B.
C. D.
C
解析　由图象知π即π<<2π,所以1<|ω|<2.
因为图象过点,
所以cos＝0,
所以－ω＋＝kπ＋,k∈Z,
所以ω＝－k－,k∈Z.
因为1<|ω|<2,故k＝－1,得ω＝.
故f(x)的最小正周期为T＝.故选C.
2.通过阅读《阅读与思考——振幅、周期、频率、相位》(人教A版必修第一册P250),可从中提炼出函数fn(x)＝sin ix的如下结论:
(1)函数fn(x)为奇函数.
证明　fn(－x)＝sin(－ix)
＝－sin(ix)＝－fn(x),
故fn(x)为奇函数.
(2)证明fn(x)的周期为2π.
证明　y＝sin nx的周期为,n∈N*,
猜测fn(x)的周期为2π,,,…,的最小公倍数2π.
下面用定义证明:
fn(x＋2π)＝sin i(x＋2π)
＝sin(ix＋2iπ)＝sin ix＝fn(x),
故fn(x)的周期为2π.
(3)(kπ,0),k∈Z为函数fn(x)的对称中心.
证明　因为fn(x)＋fn(2kπ－x)
＝
＝[sin ix＋sin(2kiπ－ix)]
＝(sin ix－sin ix)＝0,
即fn(x)＋fn(2kπ－x)＝0,
所以fn(x)的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
(4)函数f3(x)的最大值.
证明　因为f3(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x,
所以f3'(x)＝cos 2x(1＋2cos x).
因为f3(x)的周期为2π,
所以只考虑f3(x)在[0,2π]上的最大值即可,
易得f3(x)在,,,上单调递增,
在,,上单调递减,
f3,f3,
f3,f3(2π)＝0,
所以f3(x)的最大值为f3.
【应用示例】 (多选)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波,我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x(x∈R),则下列结论正确的是(　　 )
A.f(x)的一个周期为2π
B.f(x)的最小值为－
C.f(x)的图象关于点(π,0)对称
D.f(x)在区间[0,2π]上有3个零点
ACD
解析　选项A,f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin[2(x＋2π)]＝sin x＋sin 2x＝f(x),故f(x)的一个周期为2π,A正确;
选项B,y＝sin x,当x＝－＋2kπ,k∈Z时,取得最小值－1,y＝sin 2x,当2x＝－＋2kπ,k∈Z时即x＝－＋kπ,k∈Z时,取得最小值－,所以两个函数不可能同时取得最小值,所以f(x)的最小值不是－,故B错误;
选项C,f(π＋x)＝sin(π＋x)＋sin[2(π＋x)]＝－sin x＋sin 2x,
f(π－x)＝sin(π－x)＋sin[2(π－x)]＝sin x－sin 2x,
所以f(π－x)＋f(π＋x)＝0,
所以f(x)的图象关于点(π,0)对称,C正确;
选项D,f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x＋sin xcos x＝sin x(1＋cos x)＝0,得sin x＝0,或cos x＝－1,得x＝kπ,或x＝π＋2kπ,k∈Z,故[0,2π]区间中的根为0,π,2π,故D正确.
3.通过阅读《阅读与思考——海伦和秦九韶》(人教A版必修第二册P55)和《拓展阅读——秦九韶的“三斜求积术”》(人教B版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论:
(1)(海伦公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p＝(a＋b＋c),则三角形的面积S＝.
证明　S＝absin C＝ab
＝ab
＝
＝
＝.
因为p＝(a＋b＋c),
所以(b＋c－a)＝p－a,
(a＋b－c)＝p－c,(c＋a－b)＝p－b,
所以S＝.
(2)(“三斜求积”公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则三角形的面积S＝
＝
＝.
证明　S＝acsin B＝ac
＝ac
＝
＝.
同理可证
S＝
＝.
(3)“海伦公式”与“三斜求积”公式是等价的.
证明　S＝＝
＝
＝
＝
＝.
【应用示例】 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S＝ 求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a＝6,b＋c＝8,则此三角形面积的最大值为　　　　.
3
解析　∵a＝6,b＋c＝8.
p＝＝7.
∴S2＝7×(7－6)×(7－b)(7－c)
＝7[bc－7(b＋c)＋49]
＝7(bc－7)≤7×＝7×9,
当且仅当b＝c＝4时取等号.
∴S≤3,即三角形面积的最大值为3.
教材典型母题·必刷
04
母题1 (人教A版必修第一册P176T12)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿.
(1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角度;
解　∵相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,
∴当大轮转动一周时,大轮转动了48个齿,
∴小轮转动周,即×360°＝864°.
(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少
解　当大轮的转速为180 r/min时,
×180＝432 r/min,
即小轮转速为432 r/min,
∴小轮周上一点每1 s转过的弧度数为432×2π÷60°＝ π.
∵小轮的半径为10.5 cm,
∴小轮周上一点每1 s转过的弧长为π×＝151.2π cm.
(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s＝AB＋.当OA＝2,∠AOB＝60°时,s＝(　　)
A. B.
C. D.
B
解析　由题意知,△OAB是等边三角形,
所以AB＝OA＝2.
连接OC(图略),因为C是AB的中点,
所以OC⊥AB,OC＝.
又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线,
所以CD＝OD－OC＝2－,
所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
母题2 (人教A版必修第一册P185T12)已知tan α＝,π<α<π,求cos α－sin α的值.
解　∵tan α＝,π<α<,
∴α＝,
∴cos α＝－,sin α＝－,
∴cos α－sin α＝.
(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ＝,则sin θ－cos θ＝　　　　.
－
解析　由
且θ∈(0,),
解得 故sin θ－cos θ＝－.
母题3 (人教A版必修第一册P186T15)已知tan α＝2,求的值.
解　∵tan α＝2,
∴＝3.
(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2,则＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
解析　法一　因为tan θ＝－2,
所以角θ的终边在第二或第四象限,
所以
C
所以
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ
＝.故选C.
法二　因为tan θ＝－2,
所以
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝.故选C.
法三　因为tan θ＝－2,
所以sin θ＝－2cos θ.
则
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝.故选C.
母题4 (人教A版必修第一册P214T10)求下列函数的值域:
(1)y＝sin x,x∈;
解　∵x∈,
∴sin x∈,
即函数的值域为.
(2)y＝cos,x∈.
解　∵x∈,
∴x＋∈,
∴cos∈,
即函数的值域为.
母题5 (人教A版必修第一册P214T12)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝cos x
C.y＝tan x D.y＝cos
解析　A中,最小正周期为＝π,在上,
y＝|sin x|＝sin x单调递减,故A符合题意;
B中,最小正周期为2π,故B不符合题意;
C中,最小正周期为π,在上,y＝tan x单调递增,故C不符合题意;
D中,最小正周期为2π×2＝4π,故D不符合题意.
故选A.
A
母题6 (人教B版必修第三册P44T6)写出函数y＝sin x－2的图象的对称中心和对称轴.
解　由正弦函数的性质可得对称中心的横坐标为x＝kπ,k∈Z;
对称轴为x＝＋kπ,k∈Z;
所以函数的对称中心为(kπ,－2),k∈Z;
对称轴.
(1)(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0),若f(x＋π)＝f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
C
解析　函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝sin(ω>0),
设函数f(x)的最小正周期为T,
由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π(k∈N*),
所以T＝(k∈N*),即ω＝2k(k∈N*);
又函数f(x)在上存在零点,
且当x∈时,
ωx＋∈,
所以≥π,即ω≥3,故ω＝4即为所求.
(2)(2025·天津卷)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,－π<φ<π)在上单调递增,且x＝为f(x)图象的一条对称轴,是f(x)图象的一个对称中心,当x∈时,f(x)的最小值为(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.0
A
解析　因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴,
所以×≥,
得0<ω≤2,
f＝sin＝1,
且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z). ①
因为是f(x)图象的一个对称中心,
所以f＝sin＝0,
得ω＋φ＝k2π(k2∈Z), ②
由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1,k2∈Z),
结合0<ω≤2,得ω＝2,
则φ＝＋2k1π(k1∈Z),又－π<φ<π,
所以φ＝,故f(x)＝sin.
当x∈时,2x＋∈,
所以f(x)的最小值为f＝sin ＝－.
(3)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin,下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
解析　对于A,令f(x)＝0,则x＝,k∈Z,
又g≠0,故A错误;
对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;
对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;
对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ,k∈Z,即x＝,k∈Z,
g(x)图象的对称轴方程为2x－＋kπ,k∈Z,即x＝,k∈Z,
故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.
(4)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
A
解析　因为所以<<π,
解得2<ω<3.
因为y＝f(x)的图象关于点中心对称,所以b＝2,且sin＋b＝2,
即sin＝0,
所以ω＋＝kπ(k∈Z),
又2<ω<3,
所以<ω＋<,
所以ω＋＝4π,解得ω＝,
所以f(x)＝sin＋2,
所以f＝sin＋2
＝sin ＋2＝1.故选A.
(5)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(　　)
A.f(x)在区间单调递减
B.f(x)在区间有两个极值点
C.直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
AD
解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称,所以sin＝0,
可得＋φ＝kπ(k∈Z),
结合0<φ<π,得φ＝,
所以f(x)＝sin.
对于A,当x∈时,2x＋∈,所以函数f(x)在区间单调递减,故A正确;
对于B,当x∈时,2x＋∈,
所以函数f(x)在区间只有一个极值点,故B不正确;
对于C,因为f＝sin＝sin 3π＝0,所以x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴,故C不正确;
对于D,因为f'(x)＝2cos,若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线,
则由2cos＝－1,得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z),
所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z).
当x＝kπ(k∈Z)时,f(x)＝,
则由－kπ(k∈Z),解得k＝0;
当x＝kπ＋(k∈Z)时,f(x)＝－,方程－－kπ－(k∈Z)无解.
综上所述,直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线,故D正确.
综上所述,选AD.
(6)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ),如图,A,B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝,则f(π)＝　　　　.
－
解析　对比正弦函数y＝sin x的图象易知,点为“五点(画图)法”中的第五点,所以ω＋φ＝2π. ①
由题知|AB|＝xB－xA＝,
两式相减,得ω(xB－xA)＝,
即ω＝,解得ω＝4.代入①,得φ＝－,
所以f(π)＝sin＝－sin＝－.
(7)(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝,x＝为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
3
解析　因为T＝,f,
所以cos,即cos φ＝.
又0<φ<π,所以φ＝.
所以f(x)＝cos.
因为x＝为f(x)的零点,
所以ω＋＋kπ(k∈Z),
解得ω＝9k＋3(k∈Z).
又ω>0,所以当k＝0时,ω取得最小值,
且最小值为3.
母题7 (人教A版必修第一册P214习题5.4T19)容易知道,正弦函数y＝sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗 如果有,那么对称中心的坐标是什么 另外,正弦曲线是轴对称图形吗 如果是,那么对称轴的方程是什么 你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗 对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.
解　由正弦函数的周期性可知,T＝2π,所以除原点外,正弦函数还有其他对称中心,它们的坐标为(kπ,0),k∈Z.正弦曲线是轴对称图形,对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).
对于余弦函数同样有类似的性质,
因为cos A＝sin,
所以对称中心为(k∈Z),
同样余弦曲线也是轴对称图形,对称轴方程为x＝kπ(k∈Z).正切函数同样有类似的性质,对称中心为(k∈Z),但不是轴对称图形,而是中心对称图形.
(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
B
解析　由题意知a－,k∈Z,
得a＝,k∈Z,
因为a>0,所以取k＝0,得a的最小值为.
母题8 (1)(人教A版必修第一册P218例3)已知sin α＝－,α是第四象限角,求sin,cos,tan的值.
解　由sin α＝－,α是第四象限角,得cos α＝,所以tan α＝＝－.
于是有sin＝sin cos α－cos sin α＝××;
cos＝cos cos α－sin sin α＝××;
tan＝－7.
(2)(人教A版必修第一册P223练习T1)已知cos ,8π<α<12π,求sin,cos,tan的值.
解　已知cos ＝－,且8π<α<12π.利用二倍角公式,可得cos ＝2cos2－1＝.根据cos2＋sin2＝1,可得sin ＝－(因为π<<,所以sin <0).
再利用二倍角公式,可得sin ＝2sin cos .
最后根据tan ,可得tan .
因此sin ,cos ,tan .
(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,cos ,则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题得cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－,
因为0<α<π,所以sin α＝,
所以sin(sin α－cos α)＝×.
D
母题9 (人教A版必修第一册P220T2(3))已知tan α＝3,求tan的值.
解　∵tan α＝3,
∴tan
＝＝－2.
(2024·全国甲卷)已知,则tan＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
解析　根据题意有,
即1－tan α＝,
所以tan α＝1－,所以tan＝2－1,故选B.
B
母题10 (人教A版必修第一册P220T5)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝,β是第三象限角,求sin的值.
解　由已知得
sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝,
即sin[(α－β)－α]＝,
所以sin(－β)＝,则sin β＝－,
又β是第三象限角,
所以cos β＝－,
故sin＝sin βcos ＋cos βsin
＝－(sin β＋cos β)＝.
(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β,则(　　)
A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1
解析　由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
＝2×(cos α－sin α)sin β,整理,
得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0,
即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0,所以tan(α－β)＝－1,故选C.
C
母题11 (人教A版必修第一册P221例5)已知sin 2α＝,<α<,求sin 4α,
cos 4α,tan 4α的值.
解　由<α<,得<2α<π.
又sin 2α＝,
所以cos 2α＝－＝－.
于是sin 4α＝sin[2×(2α)]
＝2sin 2αcos 2α
＝2××＝－;
cos 4α＝cos[2×(2α)]
＝1－2sin22α
＝1－2×;
tan 4α＝＝－×＝－.
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α,则sin α＝(　　)
A.1 B.
C. D.
B
解析　如图,由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5,
所以圆心坐标为(2,0),
半径r＝,
所以圆心到点(0,－2)的距离为＝2.
由于圆心与点(0,－2)的连线平分角α,
所以sin,
又∈,所以cos,
所以sin α＝2sincos＝2××,故选B.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝,cos αsin β＝,则cos(2α＋2β)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
B
解析　依题意,得
所以sin αcos β＝,
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝,
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)
＝1－2×,故选B.
母题12 (人教A版必修第一册P226T2)已知cos θ＝,且270°<θ<360°,试求sin 和cos 的值.
解　∵cos θ＝.
∴cos2 ,
sin2.
∵270°<θ<360°,∴135°<<180°,
∴sin ,
cos ＝－＝－.
(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α＝,则sin ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　法一　由题意,cos α＝＝1－2sin2,
得sin2,
又α为锐角,所以sin>0,所以sin,故选D.
D
法二　由题意,cos α＝＝1－2sin2,
得sin2,将选项逐个代入验证可知D选项满足,
故选D.
母题13 (人教A版必修第一册P214T11)根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合:
(1)sin x≥(x∈R);(2)＋2cos x≥0(x∈R).
解　(1).
(2).
母题14 (人教A版必修第一册P214T16)已知函数f(x)＝sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解　(1)T＝＝π,即f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时,
则2x－∈,
故sin∈.
故f(x)在,最小值是－.
母题15 (人教A版必修第一册P227例9)求下列函数的周期,最大值和最小值:
(1)y＝sin x＋cos x;
解　y＝sin x＋cos x
＝2
＝2
＝2sin.
因此,所求周期为2π,最大值为2,最小值为－2.
(2)y＝3sin x＋4cos x.
解　设3sin x＋4cos x＝Asin(x＋φ),
则3sin x＋4cos x＝Asin xcos φ＋Acos xsin φ.
于是Acos φ＝3,Asin φ＝4,
于是A2cos2φ＋A2sin2φ＝25,
所以A2＝25.
取A＝5,则cos φ＝,sin φ＝.
由y＝5sin(x＋φ)可知,所求周期为2π,最大值为5,最小值为－5.
(2024·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A＋cos A＝2,求A.
解　由sin A＋cos A＝2,
得sin A＋cos A＝1,
所以sin＝1.
因为0所以A＋,故A＝.
母题16 (人教A版必修第一册P229T13)在△ABC中,已知tan A,tan B是x的方程
x2＋p(x＋1)＋1＝0的两个实根,求∠C.
解　由题意可得tan A＋tan B＝－p,
tan A·tan B＝1＋p,
∴tan(A＋B)＝＝1,
∴A＋B＝45°.
又A＋B＋C＝180°,∴C＝135°.
(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α＋tan β＝4,
tan αtan β＝＋1,则sin(α＋β)＝　　　　.
－
解析　由题知tan(α＋β)＝
＝＝－2,
即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β),
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1,
可得sin(α＋β)＝±.
由2kπ<α<2kπ＋,k∈Z,
2mπ＋π<β<2mπ＋,m∈Z,
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π, k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0,
所以α＋β是第四象限角,
故sin(α＋β)＝－.
母题17 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y＝2sin的简图.
解　法一　先画出函数y＝sin x的图象,再把正弦曲线向右平移个单位长度,
得到函数y＝sin的图象,然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,
得到函数y＝sin的图象,最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍,
这时的曲线就是函数y＝2sin的图象,如图所示.
法二　先用“五点法”画函数
y＝2sin内的图象.
令X＝3x－,则x＝.列表,描点画图.
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
再把所得图象向左、右延伸即得y＝2sin的简图.
(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
解析　因为函数y＝2sin的最小正周期T＝,
所以函数y＝2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,
所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示,
C
由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C.
母题18 (人教A版必修第一册P239T2)已知函数y＝3sin的图象为C.
(1)为了得到函数y＝3sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
C
解析　根据题意,有:
(1)y＝3sin＝3sin,
故只要把C上所有的点向右平移个单位长度即可,故选C.
(2)为了得到函数y＝3sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
B
解析　y＝3sin＝3sin,
故只要把C上所有的点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变即可,故选B.
(3)为了得到函数y＝4sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
C
解析　y＝4sin×3sin,
故只要把C上所有点的纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变即可,故选C.
(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到,则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
C
解析　把函数y＝cos个单位长度后得到函数
f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象.
作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示.
观察图象知,共有3个交点.故选C.
母题19 (人教A版必修第一册P241T4)函数y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解
析式为　　　　　　　　　　.
y＝2sin
解析　由图象可知A＝2,,
∴T＝π,∴ω＝2,
∴三角函数的解析式是y＝2sin(2x＋φ).
∵函数的图象过这一点,
把点的坐标代入三角函数的解析式,
∴2＝2sin,
∴φ－＝2kπ＋.
∵0<φ<π,∴φ＝,
∴三角函数的解析式是y＝2sin.
(1)(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象,则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A.sin B.sin
C.cos D.cos
BC
解析　由图象知,得T＝π,
所以ω＝＝2.
又图象过点,由“五点法”,结合图象可得φ＋＝π,即φ＝,
所以sin(ωx＋φ)＝sin,故A错误;
由sin＝sin＝sin知B正确;
由sin＝sin＝cos知C正确;
由sin＝cos
＝cos＝－cos知D错误.
综上可知,正确的选项为BC.
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示,则f＝　　　　.
－
解析　法一(五点作图法)　由题图可知T＝(T为f(x)的最小正周期),
即T＝π,所以＝π,即ω＝2,
故f(x)＝2cos (2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点,
故2×＋φ＝,得φ＝－.
故f(x)＝2cos ,
所以f＝2cos
＝－2cos ＝－.
法二(代点法)　由题意知,T＝(T为f(x)的最小正周期),
所以T＝π,＝π,即ω＝2.
又点在函数f(x)的图象上,
所以2cos ＝0,
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|<,所以令k＝0,得φ＝－,
所以f(x)＝2cos ,
所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.
法三(平移法)　由题意知,T＝(T为f(x)的最小正周期),
所以T＝π,＝π,即ω＝2.
函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是,对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是,
所以f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到的,
所以f(x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos
＝2cos,
所以f＝2cos
＝－2cos ＝－.
母题20 (人教A版必修第一册P255T15(1))已知cos(α＋β)＝,cos(α－β)＝,求
tan αtan β的值.
解　由cos(α＋β)
＝cos αcos β－sin αsin β＝,
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝,
解得sin αsin β＝,cos αcos β＝,
所以tan αtan β＝.
(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m,tan αtan β＝2,则cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
解析　由cos(α＋β)＝m得
cos αcos β－sin αsin β＝m. ①
由tan αtan β＝2得＝2, ②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m,故选A.
A
母题21 (人教A版必修第一册P225T21)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.
解　f(x)＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a.
(1)由2＋a＝1得a＝－1.
(2)由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ,k∈Z,得＋2kπ≤x≤＋2kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(3)∵f(x)≥0,即sin≥,
∴＋2kπ≤x＋≤＋2kπ,k∈Z,
∴2kπ≤x≤＋2kπ,k∈Z,
故x的取值集合为.
(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π),f(0)＝.
(1)求φ;
解　因为f(0)＝cos φ＝,
且0≤φ<π,
所以φ＝.
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f,求g(x)的值域和单调区间.
解　g(x)＝f(x)＋f
＝cos＋cos 2x
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos.
因为x∈R,所以当cos＝1时,g(x)max＝,
当cos＝－1时,g(x)min＝－,
所以g(x)的值域为[－,].
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z),
得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z).
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z),
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z),
所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z),
单调递减区间为(k∈Z).
母题22 (人教A版必修第一册P256T26)英国数学家泰勒发现了如下公式:
sin x＝x－＋…,
cos x＝1－＋…,
其中n!＝1×2×3×4×…×n.
这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1－＝0.955 337 5.
试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较.
解　依题意,用前5项计算,即
cos 0.3≈1－
≈1－0.045＋0.000 337 5－0.000 001 012 5＋0.000 000 001 63≈0.955 336 48.
与用前三项计算cos 0.3的结果比较可以发现,用前5项计算的结果精确度更高,同时可知,当取的项数足够多时,可以达到更高的精确度,甚至达到任意精确度的要求.
(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln 0.9,则(　　)
A.aC.c解析　∵ex＝1＋x＋x2＋0(x2),ln(1＋x)＝x－x2＋0(x2),
∴a＝0.1e0.1＝0.1≈0.110 5,
b＝≈0.111 1,c＝－ln 0.9＝ln ＝ln×＋0(x2)≈0.104 9,
∴cC
母题23 (1)(人教A版必修第二册P44T1(2))在△ABC中,已知a＝5,b＝2,C＝,求c.
解　根据余弦定理的推论可得
cos C＝,
即,解得c＝.
(2)(人教A版必修第二册P48T2)①在△ABC中,已知a＝2,c＝,A＝120°,求b和C;
②在△ABC中,已知b＝2,A＝45°,C＝75°,求c.
解　①由正弦定理,得,
解得sin C＝.
∵A＝120°,∴C是锐角,∴C＝30°,
∴B＝180°－120°－30°＝30°＝C,
∴b＝c＝.
②由三角形内角和定理,得
B＝180°－45°－75°＝60°,
∴sin C＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝××
＝,
由正弦定理,得c＝＝.
(3)(人教A版必修第二册P53T10)你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗
解　如图,设在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD,BE,CF分别为a,b,c边上的高,由直角三角形的边角关系可知,AD＝bsin C,BE＝csin A, CF＝asin B.
由三角形面积公式可知,
S△ABC＝BC·AD＝AC·BE＝AB·CF,
所以S△ABC＝absin C＝bcsin A
＝acsin B.
(4)(人教A版必修第二册P54T18)利用上面第(3)题的结论,证明三角形的面积公式S＝a2·.
证明　根据,得b＝,所以S＝absin C＝a××sin C＝a2.
(1)(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为,若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2,
cos Acos Bsin C＝,则(　 　)
A.sin C＝sin2A＋sin2B B.AB＝
C.sin A＋sin B＝ D.AC2＋BC2＝3
ABC
解析　由cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2,得sin2A＋sin2B＝sin C,A正确;
由cos Acos Bsin C＝可知A,B皆为锐角;
若A＋B<,则sin2A＋sin2B若A＋B>,则sin2A＋sin2B>sin Acos B＋sin Bcos A＝sin C,不合题意,
所以C＝A＋B＝,
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝0,
又cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝,
所以sin Asin B＝.
因为S△ABC＝AC·BCsin C＝AC·BC＝,所以AC·BC＝,
所以AB2＝＝2,
故AB＝,B正确;
(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝1＋2sin Asin B＝1＋2×,
所以sin A＋sin B＝,C正确;
AC2＋BC2＝AB2＝2,D错误.故选ABC.
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B＝,b2＝ac,则sin A＋sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
C
解析　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B,
因为B＝,
所以sin Asin C＝sin2B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝
a2＋c2－ac＝ac,
所以a2＋c2＝ac,
所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C,
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝,
又sin A>0,sin C>0,
所以sin A＋sin C＝.故选C.
(3)(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B－
bcos A＝c,且C＝,则B＝(　　)
A. B.
C. D.
C
解析　因为acos B－bcos A＝c,
所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A),
则2sin Bcos A＝0.
在△ABC中,sin B≠0,则cos A＝0,A＝,
所以B＝π－A－C＝π－.
母题24 (人教A版必修第二册P44练习T2)在△ABC中,已知a＝2,b＝,
c＝＋1,解这个三角形.
解　由余弦定理可得cos A＝,
因为0由正弦定理可得,可得sin B＝,又b∴C＝.
故A＝,B＝,C＝.
(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC＝2,AC＝1＋,AB＝,则A＝(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
解析　由题意,得cos A＝,
因为0°所以A＝45°.
A
母题25 (人教A版必修第二册P49例10)如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.
解　如题图,选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.
在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD＝a,测角仪器的高是h,那么,在△ACD中,由正弦定理,得AC＝.
所以这座建筑物的高度为
AB＝AE＋h＝ACsin α＋h
＝＋h.
(1)(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠
穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠
峰高程测量方法之一,如图是三角高程测量法的一个示意图,
现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'＝45°,∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373
C.446 D.473
B
解析　如图所示,根据题意过C作CE∥C'B',交BB'于E,过B作BD∥A'B',交AA'于D,则BE＝100,C'B'＝CE＝.在△A'C'B'中,∠C'A'B'＝180°－∠A'C'B'－∠A'B'C'＝75°,则BD＝A'B'＝,
又在B点处测得A点的仰角为45°,
所以AD＝BD＝A'B'＝,
所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝＋100＝
＋100＝＋100＝＋100＝
100(＋1)＋100≈373.
(2)(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB＝(　　)
A.＋表高
B.－表高
C.＋表距
D.－表距
A
解析　因为FG∥AB,所以,所以GC＝·CA.
因为DE∥AB,所以,
所以EH＝·AH.
又DE＝FG,所以GC－EH＝·(CA－AH)＝·HC＝·(HG＋GC)＝·(EG－EH＋GC).
由题设中信息可得,表目距的差为GC－EH,表高为DE,表距为EG,则上式可化为,表目距的差＝×(表距＋表目距的差),所以AB＝×(表距＋表目距的差)＝＋表高,故选A.
母题26 (人教A版必修第二册P54T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A;
解　根据正弦这理,条件式即为
sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C,
也即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C,
所以sin Acos C＋sin Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin C,
整理得sin A－cos A＝1,即sin,
因为0(2)若a＝2,△ABC的面积为,求b,c.
解　由(1)得A＝,又a＝2,
所以由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos A,
即b2＋c2－bc＝4, ①
又因为△ABC的面积为,
所以S＝bcsin A＝,
即bcsin ,所以bc＝4, ②
联立①②得b＝2,c＝2.
(1)(2025·北京卷)在△ABC中,cos A＝－,asin C＝4.
①求c;
②再从条件(ⅰ)、条件(ⅱ)、条件(ⅲ)这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高.
条件(ⅰ)a＝6;条件(ⅱ)bsin C＝;条件(ⅲ)△ABC面积为10.
解　①因为cos A＝－,A∈(0,π),
所以sin A＝,
由正弦定理,得c＝＝6.
②如图所示,
若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD,
若选(ⅰ),a＝6,
因为c＝6,所以C＝A,
因为cos A＝－<0,这表明此时△ABC有两个钝角,而这是不可能的,所以此时△ABC不存在.
若选(ⅱ),bsin C＝,
由正弦定理,得sin B＝,
因为cos A＝－,所以A∈,
所以B一定为锐角,即cos B＝.
因为A＋B＋C＝π,
所以cos C＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－××
＝<1,
所以△ABC存在且唯一,
在Rt△ABD中,
AD＝csin B＝6×,
所以△ABC存在且唯一,且BC的高为.
若选(ⅲ),△ABC的面积是10,
则S△ABC＝bcsin A＝b×6×＝10,
解得b＝5,
由余弦定理可得a＝＝＝9,
因为b＝5,c＝6,
所以b＋c>a,a＋c>b,a＋b>c,
所以△ABC存在且唯一.
因为S△ABC＝aAD＝10,
所以AD＝.
所以△ABC存在且唯一,且BC的高为.
(2)(2025·天津卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B＝bcos A,c－2b＝1,a＝.
①求A的值;
②求c的值;
③求sin(A＋2B)的值.
解　①因为asin B＝bcos A,
所以由正弦定理可得
sin Asin B＝sin Bcos A,
因为B∈(0,π),所以sin B>0,
所以sin A＝cos A,所以tan A＝.
又因为A∈(0,π),所以A＝.
②因为c－2b＝1,a＝,cos A＝,
所以由a2＝b2＋c2－2bccos A,
可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×,
化简得b2＋b－2＝0,
又b>0,故b＝1.
由c＝2b＋1,得c＝3.
③由正弦定理,
得,
解得sin B＝.
因为b＝1<3＝c,
所以B为锐角,cos B＝.
sin 2B＝2sin Bcos B＝,
cos 2B＝2cos2B－1＝.
所以sin(A＋2B)＝sin
＝sin cos 2B＋cos sin 2B
＝××.
(3)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C＝cos B,a2＋b2－c2＝ab.
①求B;
②若△ABC的面积为3＋,求c.
解　①由余弦定理的推论得
cos C＝,
又0∴cos B＝sin C＝,∴cos B＝.
又0②由①得A＝π－B－C＝,
由正弦定理,
得,∴a＝c.
∴△ABC的面积S＝acsin B
＝c2×＝3＋,
解得c＝2.
母题27 (人教B版必修第四册P21T10)已知锐角△ABC中,sin(A＋B)＝,sin(A－B)＝.
(1)求证:tan A＝2tan B;
证明　∵sin(A＋B)＝,
sin(A－B)＝,
∴sin Acos B＋cos Asin B＝, ①
sin Acos B－cos Asin B＝, ②
①＋②可得sin Acos B＝,
①－②可得cos Asin B＝,
∴＝2,∴tan A＝2tan B .
(2)若AB＝3,求AB边上的高.
解　∵sin(A＋B)＝,
△ABC为锐角三角形,
∴∴cos(A＋B)＝－
＝－＝－,
∴tan(A＋B)＝＝－,
＝－.
∵tan A＝2tan B,
∴2tan2 B－4tan B－1＝0,
解得tan B＝.
∵B为锐角,∴tan B＝,
∴tan A＝2tan B＝2＋.
设AB上的高为CD,
则AB＝AD＋DB＝＝3,
解得CD＝2＋,
则AB上的高为2＋.
(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A;
解　法一　(1)在△ABC中,A＋B＝π－C,
因为A＋B＝3C,
所以3C＝π－C,
所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B,
所以2sin＝sin,
展开并整理得
(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A),
得sin A＝3cos A,
又sin2A＋cos2A＝1,且sin A>0,
所以sin A＝.
(2)设AB＝5,求AB边上的高.
解　由正弦定理,
得BC＝·sin A＝×＝3.
由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C,
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos,
整理得AC2－3AC＋20＝0,
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得,tan A＝3>,所以又A＋B＝,所以B>,即C所以AB设AB边上的高为h,
则·AB·h＝·AC·BCsin C,
即5h＝2×3×,解得h＝6,
所以AB边上的高为6.
法二　(1)在△ABC中,A＋B＝π－C,
因为A＋B＝3C,
所以3C＝π－C,所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B,
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C),
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C,
所以sin Acos C＝3cos Asin C,
易得cos Acos C≠0,
所以tan A＝3tan C＝3tan＝3,
又sin A>0,tan A＝＝3,
sin2A＋cos2A＝1,
所以sin A＝.
(2)由(1)知tan A＝3>0,所以A为锐角,
又sin A＝,所以cos A＝,
所以sin B＝sin(cos A＋sin A)＝×.
由正弦定理,
得AC＝＝2,
故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6.第四章　三角函数、解三角形
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版必修第一册P172)如图,在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ＝r1.在旋转过程中,点Q所形成的圆弧的长为l1,l1与r1的比值是多少 你能得出什么结论
提示:可以发现:圆心角α所对的弧长与半径的比值,只与α的大小有关,也就是说,这个比值随α的确定而唯一确定.
探究2 (人教A版必修第一册P178)在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.设x∈,把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1,并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为y1,z1与y1相等吗 对于余弦、正切也有相同的结论吗
提示:z1＝y1,对于余弦,正切也有相同的结论.按照本节三角函数的定义,设角x终边上任意一点P(a,b),点P到原点的距离
r＝,
∴sin x＝＝y1,
cos x＝,
tan x＝,
作PM⊥x轴,在直角三角形中,＝斜边长度,
由锐角三角函数的定义可得:
sin x＝＝z1,
cos x＝,
tan x＝,
∴z1＝y1.
因此,两种方式定义的正弦、余弦、正切的函数值相同.
探究3 (人教A版必修第一册P200)你能利用函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象,通过图象变换得到y＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象吗 同样地,利用函数y＝cos x,x∈[0,2π]的图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y＝－cos x,x∈[0,2π]的图象
提示:将函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位长度就得到y＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象.函数y＝cos x,x∈[0,2π] 的图象与y＝－cos x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称,只需将函数y＝cos x,x∈[0,2π]的图象作关于x轴对称的变换即可得到函数y＝－cos x,x∈[0,2π]的图象.
探究4 (人教A版必修第一册P207)你能求出函数y＝sin,x∈[－2π,2π]的单调递增区间吗
提示:由y＝sin得y＝－sin,
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ,k∈Z,
解得＋4kπ≤x≤＋4kπ.
又x∈[－2π,2π],
所以y＝sin,x∈[－2π,2π]的单调递增区间是,.
探究5 (人教A版必修第一册P218)和(差)角公式中,α,β都是任意角.如果令α为某些特殊角,就能得到许多有用的公式.你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗 你还能得到哪些等式
提示:令β＝k·2π,由和角公式可推导出诱导公式一;
令β＝π,,由和角公式可推导出诱导公式二、六;
令α＝0,由差角公式可推导出诱导公式三;
令α＝π,,由差角公式可推导出诱导公式四、五.
当α＝β时,还能得到
sin(α＋β)＝sin(α＋α)＝sin 2α
＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α;
cos(α＋β)＝cos(α＋α)＝cos 2α
＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos2α－sin2α,等等.
探究6 (人教A版必修第一册P219)sin＝cos.那么对于任意角α,此等式成立吗 若成立,你会用几种方法予以证明
提示:对于任意角α,等式sin＝cos成立.
法一　sin＝sin＝cos.
法二　∵sin＝sin cos α－cos sin α＝(cos α－sin α),
又∵cos＝cos cos α－sin sin α
＝(cos α－sin α),
∴sin＝cos,
综上,对于任意角α,
等式sin＝cos成立.
探究7 (人教A版必修第一册P236)你能总结一下从正弦函数图象出发,通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的过程与方法吗
提示:由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)图象的步骤
上述两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的.
探究8 (人教A版必修第二册P42)在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用a,b和C表示c
提示:如图,设＝a,＝b,＝c,那么c＝a－b. ①
我们的研究目标是用|a|,|b|和C表示|c|,联想到数量积的性质c·c＝|c|2,可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C,
所以c2＝a2＋b2－2abcos C.
同理可得
a2＝b2＋c2－2bccos A,
b2＝c2＋a2－2cacos B.
1.(苏教版必修第二册P66例4拓展)正切恒等式:在斜三角形ABC中,tan A＋tan B＋tan C＝
tan Atan Btan C.
证明　在斜三角形ABC中,有A＋B＋C＝π,即A＋B＝π－C,且A,B,A＋B都不等于,
所以tan(A＋B)＝tan(π－C),
即＝－tan C,
即tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C,
从而tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
【应用示例】 在锐角三角形ABC中,若sin A＝2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是　　　.
答案　8
解析　sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C tan B＋tan C＝2tan Btan C,
又tan A＝,
因此tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C
＝tan A＋2tan Btan C≥2
tan Atan Btan C≥8,即最小值为8.
当且仅当tan A＝2tan Btan C时,取到等号.
2.(人教B版必修第三册P113T11拓展)三倍角公式:
(1)sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ;
(2)cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ.
证明　(1)sin 3θ＝sin(2θ＋θ)
＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ
＝2sin θcos2θ＋(1－2sin2θ)sin θ
＝2sin θ(1－sin2θ)＋sin θ－2sin3θ
＝3sin θ－4sin3θ.
(2)cos 3θ＝cos(2θ＋θ)
＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ
＝(2cos2θ－1)cos θ－2sin2θcos θ
＝2cos3θ－cos θ－2(1－cos2θ)cos θ
＝4cos3θ－3cos θ.
【应用示例】 (2025·沧州模拟)已知tan θ＝,则＝　　　　.
答案　
解析　sin 3θ＝sin(θ＋2θ)
＝sin θcos 2θ＋cos θsin 2θ
＝sin θ(1－2sin2θ)＋2sin θcos2θ
＝3sin θ－4sin3θ,
因为tan θ＝,
所以＝3－4sin2θ＝3－＝3－＝3－.
3.(人教A版必修第一册P225例8拓展)(1)积化和差公式:
①sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)];
②cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)];
③cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)];
④sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)].
证明　①因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β,
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β,
两式相加得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β,
即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)].
同理可证②③④.
(2)和差化积公式:
⑤sin θ＋sin φ＝2sin cos ;
⑥sin θ－sin φ＝2cos sin ;
⑦cos θ＋cos φ＝2cos cos ;
⑧cos θ－cos φ＝－2sin sin .
证明　⑤由①可得sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝2sin αcos β.
设α＋β＝θ,α－β＝φ,那么α＝,β＝,
将α,β代入可得sin θ＋sin φ＝2sin cos .
⑥⑦⑧证明略.
【应用示例】 (2025·新高考Ⅰ卷节选)求函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值.
答案　
解　法一　因为f(x)＝5cos x－cos 5x,
所以f'(x)＝－5sin x＋5sin 5x
＝5[sin(3x＋2x)－sin(3x－2x)]
＝5(sin 3xcos 2x＋cos 3xsin 2x－sin 3xcos 2x＋cos 3xsin 2x)
＝10cos 3x·sin 2x,
因为x∈,
所以2x∈,3x∈.
所以sin 2x≥0,
故只需判断cos 3x的符号即可,
令cos 3x＝0,解得x＝.
所以当x∈时,f'(x)>0,
当x∈时,f'(x)<0.
所以f(x)在上单调递增,
在上单调递减,故f(x)max＝f＝5cos －cos ＝3,
所以函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值为3.
法二　因为f(x)＝5cos x－cos 5x,
所以f'(x)＝－5sin x＋5sin 5x
＝5×2cos sin
＝10cos 3xsin 2x
下同法一.
4.(湘教版必修第二册P85例3拓展)万能公式:当α≠2kπ＋π(k∈Z)时,求证:
sin α＝,cos α＝,tan α＝.
证明　当α≠2kπ＋π(k∈Z)时,利用二倍角公式及sin2＋cos2＝1,可得sin α＝2sin cos
＝,
cos α＝cos2－sin2
＝.
将两式相除,可得tan α＝.
【应用示例】 函数f(x)＝sin x(1＋cos x)的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　法一　不妨设x∈[0,2π],
则f'(x)＝cos x＋2cos2x－,
整理得到f'(x)＝(2cos x－1)(cos x＋1),
当x∈∪时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0,故f(x)在,上单调递增,在上单调递减,
而f(2π)＝0,f,故f(x)的最大值为.
法二　由万能公式得
sin x＝,cos x＝,
代入原式并化简得
f(x)＝×
＝,令tan ＝t,
因为题设中欲求最大值,故可设t>0,
故原式转化为f(t)＝,
f'(t)＝,t∈,f'(t)>0,f(t)单调递增,t∈,f'(t)<0,f(t)单调递减,
f(t)max＝f.
5.(人教B版必修第三册P99练习BT3)余弦幂积方程的解.
(1)满足cos α·cos 2α·…·cos 2nα＝(n∈N*)的解为α＝,k∈Z或α＝,k∈Z.
证明　显然sin α≠0,
所以左＝
＝,故sin 2n＋1α＝sin α,
即2n＋1α＝α＋2kπ或2n＋1α＋α＝π＋2kπ,k∈Z,
即α＝或α＝,k∈Z.
(2)满足cos α·cos 2α·…·cos 2nα＝－(n∈N*)的解为α＝,k∈Z或α＝,k∈Z.
证明　显然sin α≠0,
所以左＝
＝＝－,
故sin 2n＋1α＝－sin α＝sin (－α),
即2n＋1α＝－α＋2kπ或2n＋1α＋(－α)＝π＋2kπ,k∈Z,
即α＝或α＝,k∈Z.
【应用示例】 cos ·cos ·cos ·cos ＝　　　　.
答案　－
解析　原式＝
＝
＝－.
6.(人教A版必修第一册P230T20)正余弦函数偶次幂和的值域,函数y＝sin2nx＋cos2nx(n>1,n∈N*)的值域为.
证明　令t＝sin2x,则cos2x＝1－t,t∈[0,1],
令f(t)＝tn＋(1－t)n,
则f'(t)＝ntn－1－n(1－t)n－1,
令g(t)＝ntn－1－n(1－t)n－1,
则g'(t)＝n(n－1)[tn－2＋(1－t)n－2]≥0,
∴g(t)在[0,1]上单调递增.
∵g＝0,∴f(t)在上单调递减,在上单调递增,∴f(t)min＝f,
f(0)＝f(1)＝1,故f(t)∈.
【应用示例】 (多选)对于函数fn(x)＝sin2nx＋cos2nx(n∈N*),下列说法正确的是(　　)
A.fn(x)的最小正周期为π
B.当n≥2时,0≤fn(x)－fn＋1(x)≤fn－1(x)
C.fn(x)的最小值依次成等比数列
D.fn＋1(x)的值域是fn(x)的值域的子集
答案　BCD
解析　对于A,函数fn(x)＝sin2nx＋cos2nx(n∈N*),则fn＝sin2n＋cos2n＝cos2nx＋sin2nx＝fn(x)(n∈N*),所以fn(x)的最小正周期不为π,故A错误;
对于B,fn(x)－fn＋1(x)＝sin2nx＋cos2nx－sin2n＋2x－cos2n＋2x＝sin2nx(1－sin2x)＋cos2nx(1－cos2x)＝sin2nxcos2x＋cos2nxsin2x≥0,
当n≥2时,fn－1(x)＝(sin2n－2x＋cos2n－2x),则当sin2x＝0时cos2x＝1或当cos2x＝0时sin2x＝1,
此时均有fn(x)－fn＋1(x)＝0,fn－1(x)＝(sin2n－2x＋cos2n－2x)＝,
所以fn(x)－fn＋1(x)fn－1(x)＝(sin2n－2x＋cos2n－2x)＝
＝
＝≥fn(x)－fn＋1(x),
综上,当n≥2时,0≤fn(x)－fn＋1(x)≤fn－1(x),故B正确;对于C,令t＝sin2x∈[0,1],则cos2x＝1－t∈[0,1],则函数y＝fn(x)＝tn＋(1－t)nx(n∈N*),所以y'＝ntn－1－n(1－t)n－1＝n[tn－1－(1－t)n－1],令y'＝0
tn－1＝(1－t)n－1 t＝1－t t＝,所以t∈时,y'≤0,函数单调递减;当t∈时y'>0,函数单调递增,所以fn(x)min＝2,所以,f1(x)min＝1,所以fn(x)min依次成等比数列,故C正确;对于D,对y＝fn(x)＝tn＋(1－t)nx(x∈N*),则y|t＝0＝0n＋1n＝1,y|t＝1＝1n＋0n＝1,所以由C可知函数
y＝tn＋(1－t)nx(n∈N*)的值域即fn(x)的值域是,
所以fn＋1(x)的值域是,
因为 ,
所以fn＋1(x)的值域是fn(x)的值域的子集,故D正确.
7.(人教B版必修第四册P10例5,苏教版必修第二册P95T7拓展)射影定理:在△ABC中,求证:
(1)a＝bcos C＋ccos B;(2)b＝acos C＋ccos A;
(3)c＝acos B＋bcos A.
证明　(1)因为,
因此·＝()·
＝··.
又因为||＝a,·＝bacos C,
·＝cacos B,
所以a2＝bacos C＋cacos B,即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)(3).
【应用示例】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A,则A等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A,
所以2bcos(π－A)＝acos C＋ccos A,
即－2bcos A＝acos C＋ccos A,
如图,过B点作BD⊥AC于D,
可知acos C＋ccos A＝b,
所以－2bcos A＝b,
所以cos A＝－,
又A∈(0,π),所以A＝.
8.(人教B版必修第四册P6例6拓展)角平分线定理:如图所示,在△ABC中,已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D,求证:.
证明　如题图,设∠ADB＝α,∠BAD＝β,
则由题意可知∠ADC＝π－α,∠CAD＝β.
在△ABD和△ADC中,分别应用正弦定理,可得
,,
两式相除即可得.
【应用示例】 在△ABC中,已知sin(∠BAC－∠B)＝sin B＋sin C.
(1)求∠BAC.
(2)若AC＝2AB,∠BAC的平分线交BC于点D,求cos∠ADB.
解　(1)因为sin(∠BAC－∠B)
＝sin∠BACcos B－cos∠BACsin B
＝sin B＋sin C,
又sin C＝sin(π－C)＝sin(∠BAC＋∠B)
＝sin∠BACcos B＋cos∠BACsin B,
所以－2cos∠BACsin B＝sin B.
又00,
所以cos∠BAC＝－.
因为0<∠BAC<π,所以∠BAC＝.
(2)设AB＝t,则AC＝2t.
由余弦定理,得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝4t2＋t2＋2t2＝7t2,
故BC＝t.
由角平分线的性质及三角形的面积公式,知,故BD＝BC＝t.
在△ABD中,由正弦定理,得
.
因为∠BAD＝,所以,
所以sin∠ADB＝.
因为AC>AB,所以B>C,
所以B＋>C＋,即∠ADC>∠ADB.
又∠ADC＋∠ADB＝π,
所以∠ADB为锐角,
故cos∠ADB＝.
9.(北师大版必修第二册P131T1拓展)张角定理:如图,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC＝α,∠BPC＝β.求证:.
证明　∵S△PAB＝S△PAC＋S△PBC,
∴PA·PBsin(α＋β)
＝PA·PCsin α＋PB·PCsin β.
两边同除以PA·PB·PC得:
.
【应用示例】 (2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC＝60°,AB＝2,BC＝,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD＝　　　　.
答案　2
解析　由余弦定理得cos 60°＝,
整理得AC2－2AC－2＝0,得AC＝1＋.
由张角定理,,
所以AD＝＝2.
10.(人教A版必修第二册P53T15拓展)中线长公式:△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦定理证明ma＝,mb＝,mc＝.
证明　取BC中点为D,连接AD(图略),
则BD＝CD＝a,
在△ABC中,由余弦定理可得,
cos B＝.
在△ABD中,cos B＝,
∴,
∴ma＝;
同理可得:mb＝,
mc＝.
推论1　在 ABCD中,AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
证明　设AC∩BD＝O,
由中线长公式得AO＝,
即4AO2＋BD2＝2(AB2＋AD2),
即AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
推论2　若 ABCD为矩形,P为矩形所在平面内任一点,则PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
证明　设AC∩BD＝O,连接PA,PB,PC,PD(图略),在△PAC中,由中线长公式得
PO＝,
在△PBD中,由中线长公式得
PO＝.
又因为 ABCD为矩形,所以AC＝BD,
所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
【应用示例】 (2023·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD＝1.若b2＋c2＝8,求b,c.
解　法一　因为D为BC的中点,
所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π,
所以cos∠ADB＝－cos∠ADC,
则在△ABD与△ADC中,由余弦定理,
得＝－,
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2),
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6,
所以BD＝,所以a＝2.
在△ABC中,由余弦定理,
得cos∠BAC＝＝－,
所以S△ABC＝bcsin∠BAC
＝bc
＝bc
＝,
解得bc＝4.
则由解得b＝c＝2.
法二　因为D为BC的中点,
所以BC＝2BD.
在△ABD与△ABC中,由余弦定理,
得cos B＝,
整理,得2BD2＝b2＋c2－2＝6,
得BD＝,所以a＝2.
以下同法一.
法三　由中线长公式知,
AD＝.
又因为b2＋c2＝8,
所以a＝2,
以下同法一.
1.通过阅读《探究与发现——函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期》(人教A版必修第一册P203),可从中提炼如下结论:
(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0,A≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0,A≠0)的最小正周期均为,y＝Atan(ωx＋φ)＋b(ω>0, A≠0)的最小正周期为.
证明　令f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b,
因为Asin(ωx＋φ)＋b＝Asin(ωx＋φ＋2π)＋b
＝Asin＋b,
即f(x)＝f,
所以y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最小正周期为.
同理y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最小正周期也为.
令g(x)＝Atan(ωx＋φ)＋b,
因为Atan(ωx＋φ)＋b＝Atan(ωx＋φ＋π)＋b
＝Atan＋b,即g(x)＝g,
所以y＝Atan(ωx＋φ)＋b的最小正周期为.
(2)若函数y＝f(x)的最小正周期为T,则函数y＝f(ωx)(ω>0)的最小正周期为.
证明　令g(x)＝f(ωx)(ω>0).
因为f(x)的最小正周期为T,
所以f(ωx)＝f(ωx＋T)＝f,
即g(x)＝g,故f(ωx)的最小正周期为.
【应用示例】 (2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由图象知π即π<<2π,所以1<|ω|<2.
因为图象过点,
所以cos＝0,
所以－ω＋＝kπ＋,k∈Z,
所以ω＝－k－,k∈Z.
因为1<|ω|<2,故k＝－1,得ω＝.
故f(x)的最小正周期为T＝.故选C.
2.通过阅读《阅读与思考——振幅、周期、频率、相位》(人教A版必修第一册P250),可从中提炼出函数fn(x)＝sin ix的如下结论:
(1)函数fn(x)为奇函数.
证明　fn(－x)＝sin(－ix)
＝－sin(ix)＝－fn(x),
故fn(x)为奇函数.
(2)证明fn(x)的周期为2π.
证明　y＝sin nx的周期为,n∈N*,
猜测fn(x)的周期为2π,,,…,的最小公倍数2π.
下面用定义证明:
fn(x＋2π)＝sin i(x＋2π)
＝sin(ix＋2iπ)＝sin ix＝fn(x),
故fn(x)的周期为2π.
(3)(kπ,0),k∈Z为函数fn(x)的对称中心.
证明　因为fn(x)＋fn(2kπ－x)
＝
＝[sin ix＋sin(2kiπ－ix)]
＝(sin ix－sin ix)＝0,
即fn(x)＋fn(2kπ－x)＝0,
所以fn(x)的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
(4)函数f3(x)的最大值.
证明　因为f3(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x,
所以f3'(x)＝cos 2x(1＋2cos x).
因为f3(x)的周期为2π,
所以只考虑f3(x)在[0,2π]上的最大值即可,
易得f3(x)在,,,上单调递增,
在,,上单调递减,
f3,f3,
f3＝－,f3(2π)＝0,
所以f3(x)的最大值为f3.
【应用示例】 (多选)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波,我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x(x∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的一个周期为2π
B.f(x)的最小值为－
C.f(x)的图象关于点(π,0)对称
D.f(x)在区间[0,2π]上有3个零点
答案　ACD
解析　选项A,f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋sin[2(x＋2π)]＝sin x＋sin 2x＝f(x),故f(x)的一个周期为2π,A正确;
选项B,y＝sin x,当x＝－＋2kπ,k∈Z时,取得最小值－1,y＝sin 2x,当2x＝－＋2kπ,k∈Z时即x＝－＋kπ,k∈Z时,取得最小值－,所以两个函数不可能同时取得最小值,所以f(x)的最小值不是－,故B错误;
选项C,f(π＋x)＝sin(π＋x)＋sin[2(π＋x)]＝－sin x＋sin 2x,
f(π－x)＝sin(π－x)＋sin[2(π－x)]
＝sin x－sin 2x,
所以f(π－x)＋f(π＋x)＝0,
所以f(x)的图象关于点(π,0)对称,C正确;
选项D,f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x＋sin xcos x＝sin x(1＋cos x)＝0,得sin x＝0,或cos x＝－1,得x＝kπ,或x＝π＋2kπ,k∈Z,故[0,2π]区间中的根为0,π,2π,故D正确.
3.通过阅读《阅读与思考——海伦和秦九韶》(人教A版必修第二册P55)和《拓展阅读——秦九韶的“三斜求积术”》(人教B版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论:
(1)(海伦公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p＝(a＋b＋c),则三角形的面积S＝.
证明　S＝absin C＝ab
＝ab
＝
＝
＝.
因为p＝(a＋b＋c),
所以(b＋c－a)＝p－a,
(a＋b－c)＝p－c,(c＋a－b)＝p－b,
所以S＝.
(2)(“三斜求积”公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则三角形的面积S＝
＝
＝.
证明　S＝acsin B＝ac
＝ac
＝
＝.
同理可证
S＝
＝.
(3)“海伦公式”与“三斜求积”公式是等价的.
证明　S＝
＝
＝
＝
＝
＝.
【应用示例】 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S＝ 求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a＝6,b＋c＝8,则此三角形面积的最大值为　　　　.
答案　3
解析　∵a＝6,b＋c＝8.
p＝＝7.
∴S2＝7×(7－6)×(7－b)(7－c)
＝7[bc－7(b＋c)＋49]
＝7(bc－7)≤7×＝7×9,
当且仅当b＝c＝4时取等号.
∴S≤3,即三角形面积的最大值为3.
母题1 (人教A版必修第一册P176T12)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿.
(1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角度;
(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少
解　(1)∵相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,
∴当大轮转动一周时,大轮转动了48个齿,
∴小轮转动周,即×360°＝864°.
(2)当大轮的转速为180 r/min时,
×180＝432 r/min,
即小轮转速为432 r/min,
∴小轮周上一点每1 s转过的弧度数为432×2π÷60°＝ π.
∵小轮的半径为10.5 cm,
∴小轮周上一点每1 s转过的弧长为π×＝151.2π cm.
(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s＝AB＋.当OA＝2,∠AOB＝60°时,s＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知,△OAB是等边三角形,
所以AB＝OA＝2.
连接OC(图略),因为C是AB的中点,
所以OC⊥AB,OC＝.
又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线,
所以CD＝OD－OC＝2－,
所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
母题2 (人教A版必修第一册P185T12)已知tan α＝,π<α<π,求cos α－sin α的值.
解　∵tan α＝,π<α<,
∴α＝,
∴cos α＝－,sin α＝－,
∴cos α－sin α＝.
(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ＝,则sin θ－cos θ＝　　　　.
答案　－
解析　由
且θ∈(0,),
解得 故sin θ－cos θ＝－.
母题3 (人教A版必修第一册P186T15)已知tan α＝2,求的值.
解　∵tan α＝2,
∴＝3.
(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2,则＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　C
解析　法一　因为tan θ＝－2,
所以角θ的终边在第二或第四象限,
所以
所以
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ
＝.故选C.
法二　因为tan θ＝－2,
所以
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝.故选C.
法三　因为tan θ＝－2,
所以sin θ＝－2cos θ.
则
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝.故选C.
母题4 (人教A版必修第一册P214T10)求下列函数的值域:
(1)y＝sin x,x∈;
(2)y＝cos,x∈.
解　(1)∵x∈,
∴sin x∈,
即函数的值域为.
(2)∵x∈,
∴x＋∈,
∴cos∈,
即函数的值域为.
母题5 (人教A版必修第一册P214T12)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝cos x
C.y＝tan x D.y＝cos
解析　A中,最小正周期为＝π,在上,
y＝|sin x|＝sin x单调递减,故A符合题意;
B中,最小正周期为2π,故B不符合题意;
C中,最小正周期为π,在上,y＝tan x单调递增,故C不符合题意;
D中,最小正周期为2π×2＝4π,故D不符合题意.
故选A.
母题6 (人教B版必修第三册P44T6)写出函数y＝sin x－2的图象的对称中心和对称轴.
解　由正弦函数的性质可得对称中心的横坐标为x＝kπ,k∈Z;
对称轴为x＝＋kπ,k∈Z;
所以函数的对称中心为(kπ,－2),k∈Z;
对称轴.
(1)(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0),若f(x＋π)＝f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
(2)(2025·天津卷)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,－π<φ<π)在上单调递增,且x＝为f(x)图象的一条对称轴,是f(x)图象的一个对称中心,当x∈时,f(x)的最小值为(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.0
(3)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin,下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(4)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
(5)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(　　)
A.f(x)在区间单调递减
B.f(x)在区间有两个极值点
C.直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
(6)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ),如图,A,B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝,则f(π)＝　　　　.
(7)(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝,x＝为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
答案　(1)C　(2)A　(3)BC　(4)A (5)AD　(6)－　(7)3
解析　(1)函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝sin(ω>0),
设函数f(x)的最小正周期为T,
由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π(k∈N*),
所以T＝(k∈N*),即ω＝2k(k∈N*);
又函数f(x)在上存在零点,
且当x∈时,
ωx＋∈,
所以≥π,即ω≥3,故ω＝4即为所求.
(2)因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴,
所以×≥,
得0<ω≤2,
f＝sin＝1,
且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z). ①
因为是f(x)图象的一个对称中心,
所以f＝sin＝0,
得ω＋φ＝k2π(k2∈Z), ②
由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1,k2∈Z),
结合0<ω≤2,得ω＝2,
则φ＝＋2k1π(k1∈Z),又－π<φ<π,
所以φ＝,故f(x)＝sin.
当x∈时,2x＋∈,
所以f(x)的最小值为
f＝sin ＝－.
(3)对于A,令f(x)＝0,则x＝,k∈Z,
又g≠0,故A错误;
对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;
对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;
对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ,k∈Z,即x＝,k∈Z,
g(x)图象的对称轴方程为2x－＋kπ,k∈Z,即x＝,k∈Z,
故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.
(4)因为所以<<π,
解得2<ω<3.
因为y＝f(x)的图象关于点中心对称,所以b＝2,且sin＋b＝2,
即sin＝0,
所以ω＋＝kπ(k∈Z),
又2<ω<3,
所以<ω＋<,
所以ω＋＝4π,解得ω＝,
所以f(x)＝sin＋2,
所以f＝sin＋2
＝sin ＋2＝1.故选A.
(5)因为函数f(x)的图象关于点中心对称,所以sin＝0,
可得＋φ＝kπ(k∈Z),
结合0<φ<π,得φ＝,
所以f(x)＝sin.
对于A,当x∈时,2x＋∈,所以函数f(x)在区间单调递减,故A正确;
对于B,当x∈时,2x＋∈,
所以函数f(x)在区间只有一个极值点,故B不正确;
对于C,因为f＝sin＝sin 3π＝0,所以x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴,故C不正确;
对于D,因为f'(x)＝2cos,若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线,
则由2cos＝－1,得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z),
所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z).
当x＝kπ(k∈Z)时,f(x)＝,
则由－kπ(k∈Z),解得k＝0;
当x＝kπ＋(k∈Z)时,f(x)＝－,方程－－kπ－(k∈Z)无解.
综上所述,直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线,故D正确.
综上所述,选AD.
(6)对比正弦函数y＝sin x的图象易知,点为“五点(画图)法”中的第五点,
所以ω＋φ＝2π. ①
由题知|AB|＝xB－xA＝,
两式相减,得ω(xB－xA)＝,
即ω＝,解得ω＝4.代入①,得φ＝－,
所以f(π)＝sin＝－sin＝－.
(7)因为T＝,f,
所以cos,即cos φ＝.
又0<φ<π,所以φ＝.
所以f(x)＝cos.
因为x＝为f(x)的零点,
所以ω＋＋kπ(k∈Z),
解得ω＝9k＋3(k∈Z).
又ω>0,所以当k＝0时,ω取得最小值,
且最小值为3.
母题7 (人教A版必修第一册P214习题5.4T19)容易知道,正弦函数y＝sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗 如果有,那么对称中心的坐标是什么 另外,正弦曲线是轴对称图形吗 如果是,那么对称轴的方程是什么 你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗 对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.
解　由正弦函数的周期性可知,T＝2π,所以除原点外,正弦函数还有其他对称中心,它们的坐标为(kπ,0),k∈Z.正弦曲线是轴对称图形,对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).
对于余弦函数同样有类似的性质,
因为cos A＝sin,
所以对称中心为(k∈Z),
同样余弦曲线也是轴对称图形,对称轴方程为x＝kπ(k∈Z).正切函数同样有类似的性质,对称中心为(k∈Z),但不是轴对称图形,而是中心对称图形.
(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知a－,k∈Z,
得a＝,k∈Z,
因为a>0,所以取k＝0,得a的最小值为.
母题8 (1)(人教A版必修第一册P218例3)已知sin α＝－,α是第四象限角,求sin,cos,tan的值.
(2)(人教A版必修第一册P223练习T1)已知cos ＝－,8π<α<12π,求sin,cos,tan的值.
解　(1)由sin α＝－,α是第四象限角,得cos α＝,所以tan α＝＝－.
于是有sin＝sin cos α－cos sin α＝××;
cos＝cos cos α－sin sin α＝××;
tan＝－7.
(2)已知cos ＝－,且8π<α<12π.利用二倍角公式,可得cos ＝2cos2－1＝.根据cos2＋sin2＝1,可得sin ＝－(因为π<<,所以sin <0).
再利用二倍角公式,可得
sin ＝2sin cos .
最后根据tan ,可得tan .
因此sin ,cos ,tan .
(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,cos ,则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题得cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－,
因为0<α<π,所以sin α＝,
所以sin(sin α－cos α)＝×.
母题9 (人教A版必修第一册P220T2(3))已知tan α＝3,求tan的值.
解　∵tan α＝3,
∴tan
＝＝－2.
(2024·全国甲卷)已知,则tan＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
答案　B
解析　根据题意有,
即1－tan α＝,
所以tan α＝1－,所以tan＝2－1,故选B.
母题10 (人教A版必修第一册P220T5)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝,β是第三象限角,求sin的值.
解　由已知得
sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝,
即sin[(α－β)－α]＝,
所以sin(－β)＝,则sin β＝－,
又β是第三象限角,
所以cos β＝－,
故sin＝sin βcos ＋cos βsin
＝－(sin β＋cos β)＝.
(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β,则(　　)
A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1
答案　C
解析　由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
＝2×(cos α－sin α)sin β,整理,得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0,
即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0,所以tan(α－β)＝－1,故选C.
母题11 (人教A版必修第一册P221例5)已知sin 2α＝,<α<,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值.
解　由<α<,得<2α<π.
又sin 2α＝,
所以cos 2α＝－＝－.
于是sin 4α＝sin[2×(2α)]
＝2sin 2αcos 2α
＝2××＝－;
cos 4α＝cos[2×(2α)]
＝1－2sin22α
＝1－2×;
tan 4α＝＝－×＝－.
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α,则sin α＝(　　)
A.1 B.
C. D.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝,cos αsin β＝,则cos(2α＋2β)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)如图,由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5,
所以圆心坐标为(2,0),
半径r＝,
所以圆心到点(0,－2)的距离为
＝2.
由于圆心与点(0,－2)的连线平分角α,
所以sin,
又∈,所以cos,
所以sin α＝2sincos＝2××,故选B.
(2)依题意,得
所以sin αcos β＝,
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝,
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)
＝1－2×,故选B.
母题12 (人教A版必修第一册P226T2)已知cos θ＝,且270°<θ<360°,试求sin 和cos 的值.
解　∵cos θ＝.
∴cos2 ,
sin2.
∵270°<θ<360°,∴135°<<180°,
∴sin ,
cos ＝－＝－.
(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α＝,则sin ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　法一　由题意,
cos α＝＝1－2sin2,
得sin2,
又α为锐角,所以sin>0,
所以sin,故选D.
法二　由题意,cos α＝＝1－2sin2,得sin2,将选项逐个代入验证可知D选项满足,故选D.
母题13 (人教A版必修第一册P214T11)根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合:
(1)sin x≥(x∈R);(2)＋2cos x≥0(x∈R).
解　(1).
(2).
母题14 (人教A版必修第一册P214T16)已知函数f(x)＝sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解　(1)T＝＝π,即f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时,
则2x－∈,
故sin∈.
故f(x)在,最小值是－.
母题15 (人教A版必修第一册P227例9)求下列函数的周期,最大值和最小值:
(1)y＝sin x＋cos x;
(2)y＝3sin x＋4cos x.
解　(1)y＝sin x＋cos x
＝2
＝2
＝2sin.
因此,所求周期为2π,最大值为2,最小值为－2.
(2)设3sin x＋4cos x＝Asin(x＋φ),
则3sin x＋4cos x＝Asin xcos φ＋Acos xsin φ.
于是Acos φ＝3,Asin φ＝4,
于是A2cos2φ＋A2sin2φ＝25,
所以A2＝25.
取A＝5,则cos φ＝,sin φ＝.
由y＝5sin(x＋φ)可知,所求周期为2π,最大值为5,最小值为－5.
(2024·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A＋cos A＝2,求A.
解　由sin A＋cos A＝2,
得sin A＋cos A＝1,
所以sin＝1.
因为0所以A＋,故A＝.
母题16 (人教A版必修第一册P229T13)在△ABC中,已知tan A,tan B是x的方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两个实根,求∠C.
解　由题意可得tan A＋tan B＝－p,
tan A·tan B＝1＋p,
∴tan(A＋B)＝＝1,
∴A＋B＝45°.
又A＋B＋C＝180°,∴C＝135°.
(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α＋tan β＝4,tan αtan β＝＋1,则sin(α＋β)＝　　　　.
答案　－
解析　由题知tan(α＋β)＝
＝＝－2,
即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β),
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1,
可得sin(α＋β)＝±.
由2kπ<α<2kπ＋,k∈Z,
2mπ＋π<β<2mπ＋,m∈Z,
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π, k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0,
所以α＋β是第四象限角,
故sin(α＋β)＝－.
母题17 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y＝2sin的简图.
解　法一　先画出函数y＝sin x的图象,再把正弦曲线向右平移个单位长度,
得到函数y＝sin的图象,然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,
得到函数y＝sin的图象,最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍,
这时的曲线就是函数y＝2sin的图象,如图所示.
法二　先用“五点法”画函数
y＝2sin内的图象.
令X＝3x－,则x＝.列表,描点画图.
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
再把所得图象向左、右延伸即得y＝2sin的简图.
(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
答案　C
解析　因为函数y＝2sin的最小正周期T＝,
所以函数y＝2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,
所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示,
由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C.
母题18 (人教A版必修第一册P239T2)已知函数y＝3sin的图象为C.
(1)为了得到函数y＝3sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
(2)为了得到函数y＝3sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
(3)为了得到函数y＝4sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
答案　(1)C　(2)B　(3)C
解析　根据题意,有:
(1)y＝3sin＝3sin,
故只要把C上所有的点向右平移个单位长度即可,故选C.
(2)y＝3sin＝3sin,
故只要把C上所有的点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变即可,故选B.
(3)y＝4sin×3sin,
故只要把C上所有点的纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变即可,故选C.
(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到,则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　把函数y＝cos个单位长度后得到函数
f(x)＝cos
＝cos
＝－sin 2x的图象.
作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示.
观察图象知,共有3个交点.故选C.
母题19 (人教A版必修第一册P241T4)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为　　　　.
答案　y＝2sin
解析　由图象可知A＝2,,
∴T＝π,∴ω＝2,
∴三角函数的解析式是y＝2sin(2x＋φ).
∵函数的图象过这一点,
把点的坐标代入三角函数的解析式,
∴2＝2sin,
∴φ－＝2kπ＋.
∵0<φ<π,∴φ＝,
∴三角函数的解析式是y＝2sin.
(1)(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象,则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A.sin B.sin
C.cos D.cos
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示,则f＝　　　　.
答案　(1)BC　(2)－
解析　(1)由图象知,得T＝π,
所以ω＝＝2.
又图象过点,由“五点法”,结合图象可得φ＋＝π,即φ＝,
所以sin(ωx＋φ)＝sin,故A错误;
由sin＝sin
＝sin知B正确;
由sin＝sin
＝cos知C正确;
由sin＝cos
＝cos
＝－cos知D错误.
综上可知,正确的选项为BC.
(2)法一(五点作图法)　由题图可知T＝(T为f(x)的最小正周期),
即T＝π,所以＝π,即ω＝2,
故f(x)＝2cos (2x＋φ).点可看作“五点作图法”中的第二个点,
故2×＋φ＝,得φ＝－.
故f(x)＝2cos ,
所以f＝2cos
＝－2cos ＝－.
法二(代点法)　由题意知,T＝(T为f(x)的最小正周期),
所以T＝π,＝π,即ω＝2.
又点在函数f(x)的图象上,
所以2cos ＝0,
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|<,所以令k＝0,得φ＝－,
所以f(x)＝2cos ,
所以f＝2cos
＝－2cos ＝－.
法三(平移法)　由题意知,T＝(T为f(x)的最小正周期),
所以T＝π,＝π,即ω＝2.
函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是,对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是,
所以f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到的,
所以f(x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos
＝2cos,
所以f＝2cos
＝－2cos ＝－.
母题20 (人教A版必修第一册P255T15(1))已知cos(α＋β)＝,cos(α－β)＝,求tan αtan β的值.
解　由cos(α＋β)
＝cos αcos β－sin αsin β＝,
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝,
解得sin αsin β＝,cos αcos β＝,
所以tan αtan β＝.
(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m,tan αtan β＝2,则cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
答案　A
解析　由cos(α＋β)＝m得
cos αcos β－sin αsin β＝m. ①
由tan αtan β＝2得＝2, ②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m,故选A.
母题21 (人教A版必修第一册P225T21)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.
解　f(x)＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a.
(1)由2＋a＝1得a＝－1.
(2)由＋2kπ≤x＋≤＋2kπ,k∈Z,得＋2kπ≤x≤＋2kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(3)∵f(x)≥0,即sin≥,
∴＋2kπ≤x＋≤＋2kπ,k∈Z,
∴2kπ≤x≤＋2kπ,k∈Z,
故x的取值集合为.
(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π),f(0)＝.
(1)求φ;
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f,求g(x)的值域和单调区间.
解　(1)因为f(0)＝cos φ＝,
且0≤φ<π,
所以φ＝.
(2)g(x)＝f(x)＋f
＝cos＋cos 2x
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos.
因为x∈R,所以当cos＝1时,
g(x)max＝,
当cos＝－1时,g(x)min＝－,
所以g(x)的值域为[－,].
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z),
得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z).
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z),
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z),
所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z),
单调递减区间为(k∈Z).
母题22 (人教A版必修第一册P256T26)英国数学家泰勒发现了如下公式:
sin x＝x－＋…,
cos x＝1－＋…,
其中n!＝1×2×3×4×…×n.
这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1－＝0.955 337 5.
试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较.
解　依题意,用前5项计算,即
cos 0.3≈1－
≈1－0.045＋0.000 337 5－0.000 001 012 5＋0.000 000 001 63≈0.955 336 48.
与用前三项计算cos 0.3的结果比较可以发现,用前5项计算的结果精确度更高,同时可知,当取的项数足够多时,可以达到更高的精确度,甚至达到任意精确度的要求.
(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln 0.9,则(　　)
A.aC.c答案　C
解析　∵ex＝1＋x＋x2＋0(x2),
ln(1＋x)＝x－x2＋0(x2),
∴a＝0.1e0.1＝0.1≈0.110 5,
b＝≈0.111 1,
c＝－ln 0.9＝ln ＝ln×＋0(x2)≈0.104 9,
∴c母题23 (1)(人教A版必修第二册P44T1(2))在△ABC中,已知a＝5,b＝2,C＝,求c.
解　根据余弦定理的推论可得
cos C＝,
即,解得c＝.
(2)(人教A版必修第二册P48T2)①在△ABC中,已知a＝2,c＝,A＝120°,求b和C;
②在△ABC中,已知b＝2,A＝45°,C＝75°,求c.
解　①由正弦定理,得,
解得sin C＝.
∵A＝120°,∴C是锐角,∴C＝30°,
∴B＝180°－120°－30°＝30°＝C,
∴b＝c＝.
②由三角形内角和定理,得
B＝180°－45°－75°＝60°,
∴sin C＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝××
＝,
由正弦定理,得c＝＝.
(3)(人教A版必修第二册P53T10)你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗
解　如图,设在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD,BE,CF分别为a,b,c边上的高,由直角三角形的边角关系可知,AD＝bsin C,BE＝csin A, CF＝asin B.
由三角形面积公式可知,
S△ABC＝BC·AD＝AC·BE＝AB·CF,
所以S△ABC＝absin C＝bcsin A
＝acsin B.
(4)(人教A版必修第二册P54T18)利用上面第(3)题的结论,证明三角形的面积公式S＝a2·.
证明　根据,得b＝,所以S＝absin C＝a××sin C＝a2.
(1)(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为,若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2,
cos Acos Bsin C＝,则(　　)
A.sin C＝sin2A＋sin2B B.AB＝
C.sin A＋sin B＝ D.AC2＋BC2＝3
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B＝,b2＝ac,则sin A＋
sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
(3)(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B－bcos A＝c,且C＝,则B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)ABC　(2)C　(3)C
解析　(1)由cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2,得sin2A＋sin2B＝sin C,A正确;
由cos Acos Bsin C＝可知A,B皆为锐角;
若A＋B<,则sin2A＋sin2B若A＋B>,则sin2A＋sin2B>sin Acos B＋sin Bcos A＝sin C,不合题意,
所以C＝A＋B＝,
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝0,
又cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝,
所以sin Asin B＝.
因为S△ABC＝AC·BCsin C＝AC·BC＝,所以AC·BC＝,
所以AB2＝＝2,
故AB＝,B正确;
(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝1＋2sin Asin B＝1＋2×,
所以sin A＋sin B＝,C正确;
AC2＋BC2＝AB2＝2,D错误.故选ABC.
(2)由正弦定理得sin Asin C＝sin2B,
因为B＝,
所以sin Asin C＝sin2B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝
a2＋c2－ac＝ac,
所以a2＋c2＝ac,
所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C,
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝,
又sin A>0,sin C>0,
所以sin A＋sin C＝.故选C.
(3)因为acos B－bcos A＝c,
所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A),
则2sin Bcos A＝0.
在△ABC中,sin B≠0,则cos A＝0,A＝,
所以B＝π－A－C＝π－.
母题24 (人教A版必修第二册P44练习T2)在△ABC中,已知a＝2,b＝,c＝＋1,解这个三角形.
解　由余弦定理可得cos A＝,
因为0由正弦定理可得,可得sin B＝,又b∴C＝.
故A＝,B＝,C＝.
(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC＝2,AC＝1＋,AB＝,则A＝(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
答案　A
解析　由题意,得cos A＝,
因为0°母题25 (人教A版必修第二册P49例10)如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.
解　如题图,选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.
在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD＝a,测角仪器的高是h,那么,在△ACD中,由正弦定理,得AC＝.
所以这座建筑物的高度为
AB＝AE＋h＝ACsin α＋h
＝＋h.
(1)(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一,如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'＝45°,∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373
C.446 D.473
(2)(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB＝(　　)
A.＋表高 B.－表高
C.＋表距 D.－表距
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)如图所示,根据题意过C作CE∥C'B',交BB'于E,过B作BD∥A'B',交AA'于D,则BE＝100,C'B'＝CE＝.在△A'C'B'中,∠C'A'B'＝180°－∠A'C'B'－∠A'B'C'＝75°,则BD＝A'B'＝,
又在B点处测得A点的仰角为45°,
所以AD＝BD＝A'B'＝,
所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
(2)因为FG∥AB,所以,
所以GC＝·CA.
因为DE∥AB,所以,
所以EH＝·AH.
又DE＝FG,所以GC－EH＝·(CA－AH)＝·HC＝·(HG＋GC)＝·(EG－EH＋GC).
由题设中信息可得,表目距的差为GC－EH,表高为DE,表距为EG,则上式可化为,表目距的差＝×(表距＋表目距的差),所以AB＝×(表距＋表目距的差)＝＋表高,故选A.
母题26 (人教A版必修第二册P54T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且
acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A;
(2)若a＝2,△ABC的面积为,求b,c.
解　(1)根据正弦这理,条件式即为
sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C,
也即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C,
所以sin Acos C＋sin Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin C,
整理得sin A－cos A＝1,
即sin,
因为0所以A－,即A＝.
(2)由(1)得A＝,又a＝2,
所以由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos A,
即b2＋c2－bc＝4, ①
又因为△ABC的面积为,
所以S＝bcsin A＝,
即bcsin ,所以bc＝4, ②
联立①②得b＝2,c＝2.
(1)(2025·北京卷)在△ABC中,cos A＝－,asin C＝4.
①求c;
②再从条件(ⅰ)、条件(ⅱ)、条件(ⅲ)这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高.
条件(ⅰ)a＝6;条件(ⅱ)bsin C＝;条件(ⅲ)△ABC面积为10.
解　①因为cos A＝－,
A∈(0,π),
所以sin A＝,
由正弦定理,得c＝＝6.
②如图所示,
若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD,
若选(ⅰ),a＝6,
因为c＝6,所以C＝A,
因为cos A＝－<0,这表明此时△ABC有两个钝角,而这是不可能的,所以此时△ABC不存在.
若选(ⅱ),bsin C＝,
由正弦定理,得sin B＝,
因为cos A＝－,所以A∈,
所以B一定为锐角,即cos B＝.
因为A＋B＋C＝π,
所以cos C＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－××
＝<1,
所以△ABC存在且唯一,
在Rt△ABD中,
AD＝csin B＝6×,
所以△ABC存在且唯一,且BC的高为.
若选(ⅲ),△ABC的面积是10,
则S△ABC＝bcsin A＝b×6×＝10,
解得b＝5,
由余弦定理可得a＝
＝＝9,
因为b＝5,c＝6,
所以b＋c>a,a＋c>b,a＋b>c,
所以△ABC存在且唯一.
因为S△ABC＝aAD＝10,
所以AD＝.
所以△ABC存在且唯一,且BC的高为.
(2)(2025·天津卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B＝bcos A,c－2b＝1,a＝.
①求A的值;
②求c的值;
③求sin(A＋2B)的值.
解　①因为asin B＝bcos A,
所以由正弦定理可得
sin Asin B＝sin Bcos A,
因为B∈(0,π),所以sin B>0,
所以sin A＝cos A,所以tan A＝.
又因为A∈(0,π),所以A＝.
②因为c－2b＝1,a＝,cos A＝,
所以由a2＝b2＋c2－2bccos A,
可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×,
化简得b2＋b－2＝0,
又b>0,故b＝1.
由c＝2b＋1,得c＝3.
③由正弦定理,
得,
解得sin B＝.
因为b＝1<3＝c,
所以B为锐角,cos B＝.
sin 2B＝2sin Bcos B＝,
cos 2B＝2cos2B－1＝.
所以sin(A＋2B)＝sin
＝sin cos 2B＋cos sin 2B
＝××.
(3)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C＝cos B,a2＋b2－c2＝ab.
①求B;
②若△ABC的面积为3＋,求c.
解　①由余弦定理的推论得
cos C＝,
又0∴cos B＝sin C＝,∴cos B＝.
又0②由①得A＝π－B－C＝,
由正弦定理,
得,∴a＝c.
∴△ABC的面积S＝acsin B
＝c2×＝3＋,
解得c＝2.
母题27 (人教B版必修第四册P21T10)已知锐角△ABC中,sin(A＋B)＝,sin(A－B)＝.
(1)求证:tan A＝2tan B;
证明　∵sin(A＋B)＝,
sin(A－B)＝,
∴sin Acos B＋cos Asin B＝, ①
sin Acos B－cos Asin B＝, ②
①＋②可得sin Acos B＝,
①－②可得cos Asin B＝,
∴＝2,
∴tan A＝2tan
(2)若AB＝3,求AB边上的高.
解　∵sin(A＋B)＝,
△ABC为锐角三角形,
∴∴cos(A＋B)＝－
＝－＝－,
∴tan(A＋B)＝＝－,
＝－.
∵tan A＝2tan B,
∴2tan2 B－4tan B－1＝0,
解得tan B＝.
∵B为锐角,∴tan B＝,
∴tan A＝2tan B＝2＋.
设AB上的高为CD,
则AB＝AD＋DB＝＝3,
解得CD＝2＋,
则AB上的高为2＋.
(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A;
解　法一　(1)在△ABC中,A＋B＝π－C,
因为A＋B＝3C,
所以3C＝π－C,
所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B,
所以2sin＝sin,
展开并整理得
(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A),
得sin A＝3cos A,
又sin2A＋cos2A＝1,且sin A>0,
所以sin A＝.
(2)设AB＝5,求AB边上的高.
解　由正弦定理,
得BC＝·sin A＝×＝3.
由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C,
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos,
整理得AC2－3AC＋20＝0,
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得,tan A＝3>,所以又A＋B＝,所以B>,即C所以AB设AB边上的高为h,
则·AB·h＝·AC·BCsin C,
即5h＝2×3×,解得h＝6,
所以AB边上的高为6.
法二　(1)在△ABC中,A＋B＝π－C,
因为A＋B＝3C,
所以3C＝π－C,所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B,
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C),
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C,
所以sin Acos C＝3cos Asin C,
易得cos Acos C≠0,
所以tan A＝3tan C＝3tan＝3,
又sin A>0,tan A＝＝3,
sin2A＋cos2A＝1,
所以sin A＝.
(2)由(1)知tan A＝3>0,所以A为锐角,
又sin A＝,所以cos A＝,
所以sin B＝sin(cos A＋sin A)
＝×.
由正弦定理,
得AC＝＝2,
故AB边上的高为
AC·sin A＝2×＝6.第四章　三角函数、解三角形
　　　　　　　　　　　　　　　　
探究1 (人教A版必修第一册P172)如图,在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ＝r1.在旋转过程中,点Q所形成的圆弧的长为l1,l1与r1的比值是多少 你能得出什么结论
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 (人教A版必修第一册P178)在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.设x∈,把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1,并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为y1,z1与y1相等吗 对于余弦、正切也有相同的结论吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 (人教A版必修第一册P200)你能利用函数y＝sin x,x∈[0,2π]的图象,通过图象变换得到y＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象吗 同样地,利用函数y＝cos x,x∈[0,2π]的图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y＝－cos x,x∈[0,2π]的图象
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 (人教A版必修第一册P207)你能求出函数y＝sin,x∈[－2π,2π]的单调递增区间吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 (人教A版必修第一册P218)和(差)角公式中,α,β都是任意角.如果令α为某些特殊角,就能得到许多有用的公式.你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗 你还能得到哪些等式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究6 (人教A版必修第一册P219)sin＝cos.那么对于任意角α,此等式成立吗 若成立,你会用几种方法予以证明
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究7 (人教A版必修第一册P236)你能总结一下从正弦函数图象出发,通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象的过程与方法吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究8 (人教A版必修第二册P42)在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用a,b和C表示c
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(苏教版必修第二册P66例4拓展)正切恒等式:在斜三角形ABC中,tan A＋tan B＋tan C＝
tan Atan Btan C.
证明　在斜三角形ABC中,有A＋B＋C＝π,即A＋B＝π－C,且A,B,A＋B都不等于,
所以tan(A＋B)＝tan(π－C),
即＝－tan C,
即tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C,
从而tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
【应用示例】 在锐角三角形ABC中,若sin A＝2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(人教B版必修第三册P113T11拓展)三倍角公式:
(1)sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ;
(2)cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ.
证明　(1)sin 3θ＝sin(2θ＋θ)
＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ
＝2sin θcos2θ＋(1－2sin2θ)sin θ
＝2sin θ(1－sin2θ)＋sin θ－2sin3θ
＝3sin θ－4sin3θ.
(2)cos 3θ＝cos(2θ＋θ)
＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ
＝(2cos2θ－1)cos θ－2sin2θcos θ
＝2cos3θ－cos θ－2(1－cos2θ)cos θ
＝4cos3θ－3cos θ.
【应用示例】 (2025·沧州模拟)已知tan θ＝,则＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.(人教A版必修第一册P225例8拓展)(1)积化和差公式:
①sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)];
②cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)];
③cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)];
④sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)].
证明　①因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β,
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β,
两式相加得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β,
即sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)].
同理可证②③④.
(2)和差化积公式:
⑤sin θ＋sin φ＝2sin cos ;
⑥sin θ－sin φ＝2cos sin ;
⑦cos θ＋cos φ＝2cos cos ;
⑧cos θ－cos φ＝－2sin sin .
证明　⑤由①可得sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝2sin αcos β.
设α＋β＝θ,α－β＝φ,那么α＝,β＝,
将α,β代入可得sin θ＋sin φ＝2sin cos .
⑥⑦⑧证明略.
【应用示例】 (2025·新高考Ⅰ卷节选)求函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(湘教版必修第二册P85例3拓展)万能公式:当α≠2kπ＋π(k∈Z)时,求证:
sin α＝,cos α＝,tan α＝.
证明　当α≠2kπ＋π(k∈Z)时,利用二倍角公式及sin2＋cos2＝1,可得sin α＝2sin cos
＝,
cos α＝cos2－sin2
＝.
将两式相除,可得tan α＝.
【应用示例】 函数f(x)＝sin x(1＋cos x)的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.(人教B版必修第三册P99练习BT3)余弦幂积方程的解.
(1)满足cos α·cos 2α·…·cos 2nα＝(n∈N*)的解为α＝,k∈Z或α＝,k∈Z.
证明　显然sin α≠0,
所以左＝
＝,故sin 2n＋1α＝sin α,
即2n＋1α＝α＋2kπ或2n＋1α＋α＝π＋2kπ,k∈Z,
即α＝或α＝,k∈Z.
(2)满足cos α·cos 2α·…·cos 2nα＝－(n∈N*)的解为α＝,k∈Z或α＝,k∈Z.
证明　显然sin α≠0,
所以左＝
＝＝－,
故sin 2n＋1α＝－sin α＝sin (－α),
即2n＋1α＝－α＋2kπ或2n＋1α＋(－α)＝π＋2kπ,k∈Z,
即α＝或α＝,k∈Z.
【应用示例】 cos ·cos ·cos ·cos ＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.(人教A版必修第一册P230T20)正余弦函数偶次幂和的值域,函数y＝sin2nx＋cos2nx(n>1,n∈N*)的值域为.
证明　令t＝sin2x,则cos2x＝1－t,t∈[0,1],
令f(t)＝tn＋(1－t)n,
则f'(t)＝ntn－1－n(1－t)n－1,
令g(t)＝ntn－1－n(1－t)n－1,
则g'(t)＝n(n－1)[tn－2＋(1－t)n－2]≥0,
∴g(t)在[0,1]上单调递增.
∵g＝0,∴f(t)在上单调递减,在上单调递增,∴f(t)min＝f,
f(0)＝f(1)＝1,故f(t)∈.
【应用示例】 (多选)对于函数fn(x)＝sin2nx＋cos2nx(n∈N*),下列说法正确的是(　　)
A.fn(x)的最小正周期为π
B.当n≥2时,0≤fn(x)－fn＋1(x)≤fn－1(x)
C.fn(x)的最小值依次成等比数列
D.fn＋1(x)的值域是fn(x)的值域的子集
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.(人教B版必修第四册P10例5,苏教版必修第二册P95T7拓展)射影定理:在△ABC中,求证:
(1)a＝bcos C＋ccos B;(2)b＝acos C＋ccos A;
(3)c＝acos B＋bcos A.
证明　(1)因为,
因此·＝()·
＝··.
又因为||＝a,·＝bacos C,
·＝cacos B,
所以a2＝bacos C＋cacos B,即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)(3).
【应用示例】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B＋C)－acos C＝ccos A,则A等于(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.(人教B版必修第四册P6例6拓展)角平分线定理:如图所示,在△ABC中,已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D,求证:.
证明　如题图,设∠ADB＝α,∠BAD＝β,
则由题意可知∠ADC＝π－α,∠CAD＝β.
在△ABD和△ADC中,分别应用正弦定理,可得
,,
两式相除即可得.
【应用示例】 在△ABC中,已知sin(∠BAC－∠B)＝sin B＋sin C.
(1)求∠BAC.
(2)若AC＝2AB,∠BAC的平分线交BC于点D,求cos∠ADB.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.(北师大版必修第二册P131T1拓展)张角定理:如图,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC＝α,∠BPC＝β.求证:.
证明　∵S△PAB＝S△PAC＋S△PBC,
∴PA·PBsin(α＋β)
＝PA·PCsin α＋PB·PCsin β.
两边同除以PA·PB·PC得:
.
【应用示例】 (2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC＝60°,AB＝2,BC＝,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.(人教A版必修第二册P53T15拓展)中线长公式:△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦定理证明ma＝,mb＝,mc＝.
证明　取BC中点为D,连接AD(图略),
则BD＝CD＝a,
在△ABC中,由余弦定理可得,
cos B＝.
在△ABD中,cos B＝,
∴,
∴ma＝;
同理可得:mb＝,
mc＝.
推论1　在 ABCD中,AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
证明　设AC∩BD＝O,
由中线长公式得AO＝,
即4AO2＋BD2＝2(AB2＋AD2),
即AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
推论2　若 ABCD为矩形,P为矩形所在平面内任一点,则PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
证明　设AC∩BD＝O,连接PA,PB,PC,PD(图略),在△PAC中,由中线长公式得
PO＝,
在△PBD中,由中线长公式得
PO＝.
又因为 ABCD为矩形,所以AC＝BD,
所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
【应用示例】 (2023·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD＝1.若b2＋c2＝8,求b,c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.通过阅读《探究与发现——函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期》(人教A版必修第一册P203),可从中提炼如下结论:
(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0,A≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0,A≠0)的最小正周期均为,y＝Atan(ωx＋φ)＋b(ω>0, A≠0)的最小正周期为.
证明　令f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b,
因为Asin(ωx＋φ)＋b＝Asin(ωx＋φ＋2π)＋b
＝Asin＋b,
即f(x)＝f,
所以y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最小正周期为.
同理y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最小正周期也为.
令g(x)＝Atan(ωx＋φ)＋b,
因为Atan(ωx＋φ)＋b＝Atan(ωx＋φ＋π)＋b
＝Atan＋b,即g(x)＝g,
所以y＝Atan(ωx＋φ)＋b的最小正周期为.
(2)若函数y＝f(x)的最小正周期为T,则函数y＝f(ωx)(ω>0)的最小正周期为.
证明　令g(x)＝f(ωx)(ω>0).
因为f(x)的最小正周期为T,
所以f(ωx)＝f(ωx＋T)＝f,
即g(x)＝g,故f(ωx)的最小正周期为.
【应用示例】 (2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.通过阅读《阅读与思考——振幅、周期、频率、相位》(人教A版必修第一册P250),可从中提炼出函数fn(x)＝sin ix的如下结论:
(1)函数fn(x)为奇函数.
证明　fn(－x)＝sin(－ix)
＝－sin(ix)＝－fn(x),
故fn(x)为奇函数.
(2)证明fn(x)的周期为2π.
证明　y＝sin nx的周期为,n∈N*,
猜测fn(x)的周期为2π,,,…,的最小公倍数2π.
下面用定义证明:
fn(x＋2π)＝sin i(x＋2π)
＝sin(ix＋2iπ)＝sin ix＝fn(x),
故fn(x)的周期为2π.
(3)(kπ,0),k∈Z为函数fn(x)的对称中心.
证明　因为fn(x)＋fn(2kπ－x)
＝
＝[sin ix＋sin(2kiπ－ix)]
＝(sin ix－sin ix)＝0,
即fn(x)＋fn(2kπ－x)＝0,
所以fn(x)的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
(4)函数f3(x)的最大值.
证明　因为f3(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x,
所以f3'(x)＝cos 2x(1＋2cos x).
因为f3(x)的周期为2π,
所以只考虑f3(x)在[0,2π]上的最大值即可,
易得f3(x)在,,,上单调递增,
在,,上单调递减,
f3,f3,
f3＝－,f3(2π)＝0,
所以f3(x)的最大值为f3.
【应用示例】 (多选)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波,我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x(x∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的一个周期为2π
B.f(x)的最小值为－
C.f(x)的图象关于点(π,0)对称
D.f(x)在区间[0,2π]上有3个零点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.通过阅读《阅读与思考——海伦和秦九韶》(人教A版必修第二册P55)和《拓展阅读——秦九韶的“三斜求积术”》(人教B版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论:
(1)(海伦公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设p＝(a＋b＋c),则三角形的面积S＝.
证明　S＝absin C＝ab
＝ab
＝
＝
＝.
因为p＝(a＋b＋c),
所以(b＋c－a)＝p－a,
(a＋b－c)＝p－c,(c＋a－b)＝p－b,
所以S＝.
(2)(“三斜求积”公式)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,则三角形的面积S＝
＝
＝.
证明　S＝acsin B＝ac
＝ac
＝
＝.
同理可证
S＝
＝.
(3)“海伦公式”与“三斜求积”公式是等价的.
证明　S＝
＝
＝
＝
＝
＝.
【应用示例】 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S＝ 求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a＝6,b＋c＝8,则此三角形面积的最大值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题1 (人教A版必修第一册P176T12)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿.
(1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角度;
(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s＝AB＋.当OA＝2,∠AOB＝60°时,s＝(　　)
A. B.
C. D.
母题2 (人教A版必修第一册P185T12)已知tan α＝,π<α<π,求cos α－sin α的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ＝,则sin θ－cos θ＝　　　　.
母题3 (人教A版必修第一册P186T15)已知tan α＝2,求的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2,则＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
母题4 (人教A版必修第一册P214T10)求下列函数的值域:
(1)y＝sin x,x∈;
(2)y＝cos,x∈.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题5 (人教A版必修第一册P214T12)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝cos x
C.y＝tan x D.y＝cos
母题6 (人教B版必修第三册P44T6)写出函数y＝sin x－2的图象的对称中心和对称轴.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0),若f(x＋π)＝f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6
C.4 D.3
(2)(2025·天津卷)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,－π<φ<π)在上单调递增,且x＝为f(x)图象的一条对称轴,是f(x)图象的一个对称中心,当x∈时,f(x)的最小值为(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.0
(3)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin,下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(4)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
(5)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则(　　)
A.f(x)在区间单调递减
B.f(x)在区间有两个极值点
C.直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
(6)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ),如图,A,B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝,则f(π)＝　　　　.
(7)(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝,x＝为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
母题7 (人教A版必修第一册P214习题5.4T19)容易知道,正弦函数y＝sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗 如果有,那么对称中心的坐标是什么 另外,正弦曲线是轴对称图形吗 如果是,那么对称轴的方程是什么 你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗 对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
母题8 (1)(人教A版必修第一册P218例3)已知sin α＝－,α是第四象限角,求sin,cos,tan的值.
(2)(人教A版必修第一册P223练习T1)已知cos ＝－,8π<α<12π,求sin,cos,tan的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,cos ,则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
母题9 (人教A版必修第一册P220T2(3))已知tan α＝3,求tan的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·全国甲卷)已知,则tan＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
母题10 (人教A版必修第一册P220T5)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝,β是第三象限角,求sin的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β,则(　　)
A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1
母题11 (人教A版必修第一册P221例5)已知sin 2α＝,<α<,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α,则sin α＝(　　)
A.1 B.
C. D.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝,cos αsin β＝,则cos(2α＋2β)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
母题12 (人教A版必修第一册P226T2)已知cos θ＝,且270°<θ<360°,试求sin 和cos 的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α＝,则sin ＝(　　)
A. B.
C. D.
母题13 (人教A版必修第一册P214T11)根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合:
(1)sin x≥(x∈R);(2)＋2cos x≥0(x∈R).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题14 (人教A版必修第一册P214T16)已知函数f(x)＝sin,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题15 (人教A版必修第一册P227例9)求下列函数的周期,最大值和最小值:
(1)y＝sin x＋cos x;
(2)y＝3sin x＋4cos x.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A＋cos A＝2,求A.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题16 (人教A版必修第一册P229T13)在△ABC中,已知tan A,tan B是x的方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两个实根,求∠C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α＋tan β＝4,tan αtan β＝＋1,则sin(α＋β)＝　　　　.
母题17 (人教A版必修第一册P237例1)画出函数y＝2sin的简图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
母题18 (人教A版必修第一册P239T2)已知函数y＝3sin的图象为C.
(1)为了得到函数y＝3sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
(2)为了得到函数y＝3sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
(3)为了得到函数y＝4sin的图象,只要把C上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到,则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
母题19 (人教A版必修第一册P241T4)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为　　　　.
(1)(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象,则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A.sin B.sin
C.cos D.cos
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示,则f＝　　　　.
母题20 (人教A版必修第一册P255T15(1))已知cos(α＋β)＝,cos(α－β)＝,求tan αtan β的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m,tan αtan β＝2,则cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
母题21 (人教A版必修第一册P225T21)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π),f(0)＝.
(1)求φ;
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f,求g(x)的值域和单调区间.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题22 (人教A版必修第一册P256T26)英国数学家泰勒发现了如下公式:
sin x＝x－＋…,
cos x＝1－＋…,
其中n!＝1×2×3×4×…×n.
这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1－＝0.955 337 5.
试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln 0.9,则(　　)
A.aC.c母题23 (1)(人教A版必修第二册P44T1(2))在△ABC中,已知a＝5,b＝2,C＝,求c.
(2)(人教A版必修第二册P48T2)①在△ABC中,已知a＝2,c＝,A＝120°,求b和C;
②在△ABC中,已知b＝2,A＝45°,C＝75°,求c.
(3)(人教A版必修第二册P53T10)你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗
(4)(人教A版必修第二册P54T18)利用上面第(3)题的结论,证明三角形的面积公式S＝a2·.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为,若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2,
cos Acos Bsin C＝,则(　　)
A.sin C＝sin2A＋sin2B B.AB＝
C.sin A＋sin B＝ D.AC2＋BC2＝3
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B＝,b2＝ac,则sin A＋
sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
(3)(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B－bcos A＝c,且C＝,则B＝(　　)
A. B.
C. D.
母题24 (人教A版必修第二册P44练习T2)在△ABC中,已知a＝2,b＝,c＝＋1,解这个三角形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC＝2,AC＝1＋,AB＝,则A＝(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
母题25 (人教A版必修第二册P49例10)如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一,如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'＝45°,∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373
C.446 D.473
(2)(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB＝(　　)
A.＋表高 B.－表高
C.＋表距 D.－表距
母题26 (人教A版必修第二册P54T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且
acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A;
(2)若a＝2,△ABC的面积为,求b,c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(2025·北京卷)在△ABC中,cos A＝－,asin C＝4.
①求c;
②再从条件(ⅰ)、条件(ⅱ)、条件(ⅲ)这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高.
条件(ⅰ)a＝6;条件(ⅱ)bsin C＝;条件(ⅲ)△ABC面积为10.
(2)(2025·天津卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B＝bcos A,c－2b＝1,a＝.
①求A的值;
②求c的值;
③求sin(A＋2B)的值.
(3)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C＝cos B,a2＋b2－c2＝ab.
①求B;
②若△ABC的面积为3＋,求c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
母题27 (人教B版必修第四册P21T10)已知锐角△ABC中,sin(A＋B)＝,sin(A－B)＝.
(1)求证:tan A＝2tan B;
(2)若AB＝3,求AB边上的高.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB＝5,求AB边上的高.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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