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第三章
第5节 共点力的平衡
题型1 判断物体的受力个数 题型2 对物体进行受力分析
题型3 共点力的平衡问题及求解 题型4 利用平衡推论求解受力问题
题型5 整体法与隔离法处理物体的平衡问题 题型6 解析法求共点力的平衡
题型7 图解法解决动态平衡问题 题型8 相似三角形法解决动态平衡问题
题型9 辅助圆法解决动态平衡问题 题型10 受力平衡中的临界与极限问题
题型11 晾衣杆模型 题型12 力矩的平衡条件
题型1 判断物体的受力个数
解｜题｜知｜识 1.定义：根据研究的问题，选取合适的物体作为研究对象，分析研究对象受到哪些力的作用，并画出所受力的示意图，这一过程即为物体的受力分析。 2.一般步骤：
【典例1】如图所示，圆筒竖直固定，三个相同的均质光滑小球a、b、c均在圆筒内处于静止状态。a球所受力的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：a球处于静止状态，合外力为0，受到重力，b对a的压力，圆筒底部向上的支持力和圆筒左侧壁向右的支持力作用，共4个力的作用，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【变式1】如图所示，长方体物块M、N叠放在固定的斜面上，M受到一个沿斜面向下的拉力F，两物块均保持静止。物块N受力的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：对N受力分析可知，其受重力、斜面的支持力、M对N的压力，因为M处于静止状态，M还受到沿斜面向下的拉力，说明MN之间存在着摩擦力，所以M对N还有沿斜面向下的摩擦力，由于N静止，则受沿斜面向上的摩擦力，即N受5个力作用。故C正确，ABD错误。
故选：C。
【变式2】如图所示，上表面光滑的半圆柱体P放置在水平地面上，一细长木棒Q搭在P上，另一端与地面接触，系统静止，木棒与水平夹角为θ。下列判断正确的是（　　）
A．木棒受到四个力作用
B．木棒受到三个力作用
C．P对地面的压力等于P和木棒的总重力
D．P受到地面的摩擦力可能为零
【答案】A
【解答】解：AB、根据题意分析可知，木棒静止，受到竖直向下的重力G、斜向右上的弹力F1，如图所示，
根据三力汇交原理可知，受到地面的作用力F2，地面对木棒的作用力F2为竖直向上的支持力FN与水平向左的摩擦力Ff的合力，则木棒受到4个力作用，故A正确，B错误；
C、根据题意分析可知，对P、Q整体分析受力可知，P对地面的压力大小等于P、Q总重力减去地面对Q的支持力，小于P、Q的总重力，故C错误；
D.根据题意分析可知，对P、Q整体分析，水平方向受力为零，则P受到地面向右的摩擦力，故D错误。
故选：A。
【变式3】下列图中静止物体A受力示意图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、球受到的重力方向应该竖直向下，即球受到竖直向下的重力、挡板水平向右的弹力和斜面的支持力，故A错误。
B、棒球受重力、左端指向圆心的支持力、右侧接触点垂直棒向上的支持力，故B错误。
C、球受重力和地面的支持力，右球对其没有弹力，否则不会静止的，故C正确。
D、球受重力、绳子的拉力、竖直面对它向右的弹力，故D错误。
故选：C。
题型2 对物体进行受力分析
解｜题｜知｜识 1.定义：根据研究的问题，选取合适的物体作为研究对象，分析研究对象受到哪些力的作用，并画出所受力的示意图，这一过程即为物体的受力分析。 2.一般步骤：
【典例1】如图所示，两物体A和B通过跨过定滑轮的细绳连接，它们都处于静止状态．对于物体A的受力，下列说法正确的是（　　）
A．有可能绳子拉力的竖直分量跟重力大小相等，则水平面给它的弹力为零所以A受重力、绳子拉力和摩擦力三个力的作用
B．可能受重力、绳子拉力、水平面给它的弹力三个力的作用
C．一定受重力、绳子拉力、水平面给它的弹力和摩擦力四个力的作用
D．可能受重力和绳子拉力两个力的作用
【答案】C
【解答】解：以A为研究对象，一定受到重力和绳子的拉力；由于绳子的拉力，物体有向左运动的趋势而保持静止，受到水平面对它的向右的静摩擦力，有摩擦力就一定有支持力，故水平面对物体一定有向上的支持力，即物体共受到四个力作用：重力、绳子拉力、水平面给它的弹力和摩擦力作用。
故选：C。
【变式1】（多选）用一轻绳将小球P系于光滑竖直墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，如图所示。P、Q均处于静止状态，则下列说法正确的是（　　）
A．小物块Q受到的静摩擦力方向竖直向上
B．小球P受4个力的作用
C．小物块Q受到3个力的作用
D．P受到的静摩擦力方向竖直向上
【答案】AB
【解答】解：A.小物块Q在重力作用下，有向下运动的趋势，所以受到的摩擦力方向竖直向上，故A正确；
B.受力分析可知，小球P受到重力，拉力，支持力，以及P、Q之间的摩擦力，故4个力的作用，故B正确；
C.小物块Q受到重力，支持力，摩擦力以及小球P给的压力，故C错误；
D.受力分析可知，P、Q之间，物块Q受到的摩擦力竖直向上，所以小球P受到的摩擦力的方向竖直向下，故D错误。
故选：AB。
【变式2】（多选）一个静止在水平地面上的篮球，下列关于篮球所受力的分析，正确的是（　　）
A．篮球受到重力的作用
B．篮球受到地面的支持力
C．篮球受到地面的摩擦力
D．篮球受到空气对它的压力
【答案】AB
【解答】解：静止的篮球处于平衡状态，受到重力和地面的支持力作用，没有摩擦力和空气的压力作用，故AB正确，CD错误。
故选：AB。
【变式3】（多选）如图所示，在皮带运输机将物体匀速送往高处的过程中，下列结论正确的是（　　）
A．物体受到与运动方向相同的摩擦力作用
B．皮带的速度越大，物体受的摩擦力也越大
C．物体所受的摩擦力与匀速传送的速度无关
D．若匀速地向下传送物体，物体所受的摩擦力沿皮带向下
【答案】AC
【解答】解：ABC、物体匀速向上运动由平衡条件可知摩擦力的大小等于物体所受重力沿斜面下滑的分量，方向沿皮带向上，与运动方向相同，但与传送带速度无关，故AC正确，B错误；
D、无论把物体匀速运往高处还是匀速运往地面，物体在重力的作用下，都有沿皮带向下的运动趋势，物体都会受到沿皮带向上的摩擦力，故D错误。
故选：AC。
题型3 共点力的平衡问题及求解
解｜题｜知｜识 1.共点力 （1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。 （2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。 2.共点力平衡的条件 （1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。 （2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 3.对共点力平衡条件的理解及应用 合外力等于0，即F合＝0→正交分解法，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。 4.平衡条件的推论 （1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。 （3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n﹣1）个力的合力等大、反向。 5.解答共点力平衡问题的三种常用方法 6.平衡中的临界、极值问题 a.临界问题 （1）问题特点： ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 b.极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 7.“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型 （1）“活结”与“死结”模型 ①“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。 ②“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。 （2）“活杆”与“死杆”模型 ①“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。 ②“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。
【典例1】如图所示，水平地面上有倾角为θ的斜面，一箱苹果沿着斜面以速度v匀速下滑，斜面始终静止。在箱子的中央有一个质量为m的苹果P，则上述过程中（　　）
A．苹果P受到周围苹果对它作用力的合力的方向沿斜面向下
B．苹果P受到周围苹果对它作用力的合力的方向竖直向上
C．水平地面对斜面的摩擦力水平向左
D．水平地面对斜面的摩擦力水平向右
【答案】B
【解答】解：AB．由于苹果P做匀速直线运动，合力为零，故周围苹果对它作用力的合力大小与其重力等大反向，即方向竖直向上，故A错误，B正确；
CD．对整体受力分析，整体受竖直向下的重力，地面竖直向上的支持力，不受地面的摩擦力，故CD错误。
故选：B。
【变式1】传送带在实际生活中有广泛应用。如图所示，飞机场运输行李的传送带可以将行李箱送入飞机货舱。已知传送带与水平面夹角为θ，某行李箱的质量为m，与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，此行李箱随传送带一起斜向上匀速运动过程中，下列说法正确的有（　　）
A．行李箱受到与运动方向相反的摩擦力作用
B．传送带速度越大，行李箱受到的摩擦力也越大
C．行李箱受到的摩擦力大小为mgsinθ
D．行李箱受到的摩擦力大小为mgcosθ
【答案】C
【解答】解：A、由于行李箱与传送带一起斜向上做匀速直线运动，可知行李箱与传送带相对静止，行李箱受到重力、支持力、摩擦力，且处于平衡状态，受力分析如图所示：
行李箱受到的摩擦力方向沿传送带向上，与运动方向相同，故A错误；
B、行李箱处于平衡状态，受到的摩擦力与速度大小无关，传送带速度变大，行李箱受到的摩擦力不会发生变化，故B错误；
CD、根据平衡条件可知，行李箱受到的摩擦力大小为f＝mgsinθ，故C正确，D错误。
故选：C。
【变式2】如图是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎（图中是用手指代替颈椎做实验），整个装置在同一竖直平面内。如果要增加手指所受的拉力，可采取的办法是（　　）
A．只增加绳的长度 B．只将手指向下移动
C．只减少重物的重量 D．只将手指向上移动
【答案】B
【解答】解：对重物受力分析，根据重物受力平衡，可得到绳的拉力与重物重力相等，即T＝mg；
对动滑轮受力分析，如图：
根据共点力的平衡条件，可得：2Tcosθ＝F，增加绳长，对拉力、重物重力、夹角均无影响；
减少重物重量，可知绳的拉力T减小，手的拉力F减小；
只将手指向下移动，夹角θ减小，手的拉力F增大；
只将手指向上移动，夹角θ增大，手的拉力F减小，故ACD错误，B正确。
故选：B。
【变式3】匀质铁链悬挂在天花板上，其中A点是最低点，C点是悬挂点，B点是介于A、C之间的某一点，关于这三点铁链拉力大小，下列说法正确的是（　　）
A．A点的张力最大
B．C点的张力最大
C．A、B、C三点张力大小均相等
D．铁链C处切线方向是竖直的
【答案】B
【解答】解：对AC段铁链受力分析，构建矢量三角形如图所示（其中C不是沿竖直方向）：
根据图中几何关系可知，TC＞TA
对AB段分析，设其质量为m′，如图所示：
其中m′g且TB与竖直方向夹角大于TC与竖直方向的夹角，则有：TA＜TB＜TC，故B正确，ACD错误。
故选：B。
题型4 利用平衡推论求解受力问题
解｜题｜知｜识 当物体处于平衡状态时，所受的合力一定为零，利用这一特点来解决受力问题。
【典例1】如图所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都为μ，两物块的质量都是m，滑轮上的摩擦不计，若用一水平向右的力F拉P使其做匀速运动，则F的大小为（　　）
A．4μmg B．3μmg C．2μmg D．μmg
【答案】A
【解答】解：对Q受力分析，由平衡条件可知FT＝μmg，
对P受力分析，由平衡条件可知F＝μmg+μ 2mg+FT，代入数据可得F＝4μmg，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【变式1】如图所示，一质量为m的木块在质量为M的长木板上滑动，滑动过程中长木板始终处于静止状态。已知长木板与水平地面间的动摩擦因数为μ1，木块与长木板间的动摩擦因数为μ2，则长木板受到地面的摩擦力大小为（　　）
A．μ2mg B．μ1mg C．μ1（m+M）g D．μ2mg+μ1Mg
【答案】A
【解答】解：对小滑块受力分析，受重力mg、长木板的支持力FN和向左的滑动摩擦力f1，有：
f1＝μ2FN
FN＝mg
故f1＝μ2mg
再对长木板受力分析，受到重力Mg、小滑块的对长木板向下的压力FN、小滑块对其向右的滑动摩擦力f1、地面对长木板的支持力FN′和向左的静摩擦力f2，根据共点力平衡条件，有
FN′＝FN+Mg
f1＝f2
故
f2＝μ2mg
故选：A。
【变式2】（多选）如图所示，A、B两物体的重力分别是GA＝3N，GB＝4N．A用细线悬挂在顶板上，B放在水平面上，A、B间轻弹簧中的弹力F1＝2N，则细线中的张力F2及B对地面的压力F3的可能值分别是（　　）
A．5 N和6 N B．5 N和2 N C．1 N和2 N D．1 N和6 N
【答案】BD
【解答】解：当弹簧处于伸长状态，以A为研究对象，由平衡条件得到，细线对A的拉力F＝GA+F弹＝3N+2N＝5N．对B研究可得，地面对B的支持力为FN＝GB﹣F弹＝4N﹣2N＝2N，则B对地面的压力大小等于2N。
当弹簧处于压缩状态，以A为研究对象，由平衡条件得到，细线对A的拉力F＝GA﹣F弹＝3N﹣2N＝1N．对B研究可得，地面对B的支持力为FN＝GB+F弹＝4N+2N＝6N，则B对地面的压力大小等于6N，因此BD正确，AC错误。
故选：BD。
题型5 整体法与隔离法处理物体的平衡问题
解｜题｜知｜识 整体法与隔离法是物理学中处理物体平衡问题的两种基本方法，它们各有适用场景，并且经常交替使用以解决复杂问题。 ①整体法适用于将两个或多个物体组成的系统作为研究对象，当需要研究外力对系统的作用时，整体法更为简便，因为它不需要考虑系统内部的作用力。整体法的思维特点是从全局出发，通过整体受力分析揭示系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从而避免繁琐的中间环节计算，能够灵巧地解决问题。例如，在处理连接体平衡问题时，如果只涉及系统外力而不涉及系统内部物体之间的内力以及加速度问题，通常选取整个系统为研究对象，使用整体法进行分析。 ②隔离法则是将研究对象从周围物体中隔离出来进行受力分析的方法，适用于需要研究系统内各物体之间的作用力或加速度的情况。隔离法不仅能求出其他物体对整体的作用力，而且还能求出整体内部物体之间的作用力。在处理复杂问题时，通常先用整体法确定整体的运动状态，然后再用隔离法分析内部物体的相互作用。 在实际应用中，整体法和隔离法并不是独立使用的，对于一些复杂问题，可能需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法进行分析。这种方法的交替使用有助于更全面地理解问题的本质，从而找到解决方案。
【典例1】如图所示，一质量为M的斜面体A静止在水平地面上，斜面A倾角θ＝30°，一根轻绳跨过斜面体顶端的小滑轮，绳两端系有两个物块a、b，质量分别为m1、m2，整个装置处于静止状态。不计绳与滑轮间的摩擦，重力加速度为g，则（　　）
A．斜面体A受地面支持力大于（m1+m2+M）g
B．斜面体A可能受摩擦力
C．滑轮对绳子的作用力为m2g
D．斜面体A对物块a的作用力竖直向上
【答案】B
【解答】解：A、对整体受力分析，由平衡条件可知，斜面体受地面的支持力大小为（m1+m2+M）g，水平方向不受力，故A错误；
B、物体a可能有沿斜面向下或向上运动的趋势，因此斜面体可能受到a的摩擦力，故B正确；
C、对b受力分析，由平衡条件可知绳拉力大小T＝m2g，绳子对滑轮的力如图所示：
由平行四边形法则可知，绳子对滑轮的合力大小为F＝2Tcos30°，代入数据可得F＝m2g，由牛顿第三定律可知滑轮对绳子的作用力大小为m2g，故C错误；
D、对a受力分析如图所示：
a受到竖直向下的重力，沿斜面向上的绳拉力，由平衡条件可知斜面体对a的作用力一定不在竖直方向上，故D错误。
故选：B。
【变式1】如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平面上，三条细绳结于O点，一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P，一条绳连接小球Q，P、Q两物体处于静止状态，另一条绳OA在外力F作用下使夹角θ＜90°，现缓慢改变绳OA的方向至θ＞90°，且保持结点O位置不变，整个装置始终处于静止状态，下列说法正确的是（　　）
A．绳OA的拉力先增大后减小
B．斜面对物块P的摩擦力的大小一定先减小后增大
C．地面对斜面体有向左的摩擦力
D．地面对斜面体的支持力等于物块P和斜面体的重力之和
【答案】C
【解答】解：A、根据题意分析可知，缓慢改变绳OA的方向至θ＞90°的过程，OA拉力的方向变化如图从1位置到2位置到3位置所示
可见OA的拉力先减小后增大，OP的拉力一直增大，故A错误；
B、根据题意分析可知，若开始时P受绳子的拉力比较大，则斜面对P的摩擦力沿斜面向下，OP拉力一直增大，则摩擦力一直增大，故B错误；
C、根据题意分析可知，以斜面和PQ整体为研究对象受力分析，根据平衡条件：斜面受地面的摩擦力与OA绳子水平方向的拉力等大反向，故摩擦力方向向左，故C正确；
D、根据题意分析可知，以斜面体和P、Q整体为研究对象受力分析，根据竖直方向受力平衡
N+Fcosα＝M斜g+MPg+MQg
α为F与竖直方向的夹角，由上图分析可知F的最大值即为MQg（当F竖直向上方向时），故
Fcosα＜MQg
则
N＞M斜g+MPg
故D错误。
故选：C。
【变式2】（多选）如图，四根长度相等的轻杆共同组成了一固定在竖直面内的矩形支架，其上有质量分别为m0、m1、m2的物块a、b、c穿在相邻的三根杆上，一根轻绳跨过固定在a上的光滑轻滑轮将b、c连接，整个装置处于静止状态。已知m1＞m2、AB、AC杆光滑，BD杆粗糙。现将a向右缓慢移动一小段距离后三个物块仍处于静止状态，下列说法正确的是（　　）
A．轻绳对b的拉力大小不变
B．滑轮左、右两侧轻绳与竖直杆的夹角α＜β
C．物块a所受AB杆的弹力增大
D．物块c受到的摩擦力不变
【答案】AC
【解答】解：A.物块b静止且AC杆光滑，轻绳对b的拉力始终等于m1g，大小不变，故A正确。
B.由于轻绳跨过光滑轻滑轮，滑轮两侧轻绳上的拉力始终相等，设为T，分析a及轻滑轮的受力，水平方向有Tsinα＝Tsinβ，可得 α＝β，故B错误。
C.对物块a，水平方向受力平衡，AB杆的弹力NAB＝T1sinα+T2sinβ.a向右移动时，两段轻绳夹角增大，α和β均增大，sinα、sinβ均增大，故NAB增大，故C正确。
D.物块C所受摩擦力f＝T2cosβ﹣m2g＝m2g（cosβ﹣1），a向右移动时β增大，cosβ减小，故f减小，故D错误。
故选：AC。
【变式3】（多选）如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一质量为M的重物，将质量为m的两相同木块紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。若将两挡板缓慢靠近少许距离，直至OO1与竖直方向夹角为θ，靠近过程保持O、O1始终等高，且整个系统保持静止。则靠近过程中（　　）
A．挡板与木块间的弹力变大
B．挡板与木块间的摩擦力保持不变
C．若木块没有滑动，则两挡板的摩擦力之和大于（2m+M）g
D．若木块没有滑动，则木块与挡板间摩擦因数至少为
【答案】BD
【解答】解：BC、设木块与挡板间的摩擦力大小为f，对两个木块和重物整体受力分析，竖直方向受力平衡，有2f＝（2m+M）g，与θ无关，所以整个过程中，挡板与木块的摩擦力保持不变，故B正确，C错误；
A、对O和右侧木块受力分析如图所示：
对O，由平行四边形法则可知，Mg＝2Fcosθ，
对木块，将力正交分解，有N＝Fsinθ，f＝Fcosθ+mg，
代入数据可得：N＝Mgtanθ，两挡板缓慢靠近，θ减小，则挡板与木块间的弹力减小，故A错误；
D、若木块刚好没滑动，此时动摩擦因数最小，有f＝μN，代入数据可得：，故D正确。
故选：BD。
题型6 解析法求共点力的平衡
解｜题｜知｜识 1.用解析式法解决动态平衡问题时，可用角度为变量，也可用几何线段的长度为变量。由表达式判定力的变化情况时，需切实注意变量的取值范围。 2.解析式法可解决三力作用下的动态问题，也可解决多个力作用下的动态问题。
【典例1】一串小灯笼（五只）彼此用轻绳连接，悬挂在空中。在稳定水平风力作用下发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示。设每只灯笼的质量均为m，受到风力相同，下列说法正确的是（　　）
A．若绳与竖直方向的夹角增大，此时灯笼间的拉力增大了
B．若绳与竖直方向的夹角增大，说明此时的水平风力减小了
C．自上往下第一只灯笼对第二只灯笼的拉力大小为
D．风力变大后，这串小灯笼可能呈弯曲状（各灯笼之间的连接绳与竖直方向的夹角不同）
【答案】A
【解答】解：对这串灯笼整体受力分析，如图：
由受力平衡可知：T1cosθ＝5mg，，即：，F＝mgtanθ，可知若绳与竖直方向的夹角增大，此时灯笼间的拉力增大，水平风力增大了；
对自上往下的第二只到第五只灯笼受力分析，如图：
由图可知第一只灯笼对第二只灯笼的拉力、第二只到第五只灯笼的重力、第二只到第五只灯笼受到的风力、夹角满足：，，即α＝θ，解得：；
由以上分析可知，各灯笼受到上一只灯笼的拉力与竖直方向的夹角均相等，故BCD错误，A正确。
故选：A。
【变式1】如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利用缆绳，沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆绳质量，则在轿车向上运动的过程中（　　）
A．轿车所受合外力变大
B．缆绳的拉力变小
C．地面所受的总压力变大
D．斜面对轿车的支持力变小
【答案】D
【解答】解：A、轿车缓慢移动，所以受力平衡，合力为零，保持不变，故A错误；
BD、对轿车受力分析，如图所示：
根据受力平衡可得：Tcosα＝Gsinθ，F+Tsinα＝Gcosθ
θ不变，随着车上移，α增大，所以可得：T增大，F减小，故D正确，B错误；
C、对整体受力分析，整个过程中地面受到的压力等于整体的重力，故压力不变，故C错误。
故选：D。
【变式2】如图a，质量为m的半球体静止在倾角为θ的平板上，当θ从0°缓慢增大到90°的过程中，半球体所受摩擦力大小Ff与θ的关系如图b所示，已知半球体始终没有脱离平板，半球体与平板间的动摩擦因数为0.75，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则（　　）
A．O～q段图像可能是余弦图像
B．q～90°段图像可能是正弦图像
C．p＝0.6mg
D．q＝53°
【答案】C
【解答】解：对半球受力分析如图所示：
θ从0°缓慢增大到90°的过程中，半球先处于静止状态，有Ff＝mgsinθ，随着θ增大，静摩擦力增大，
某时刻半球恰好开始滑动，有Ff＝mgsinθ，又Ff＝μN，N＝mgcosθ，代入数据可得tanθ＝0.75，即θ＝37°，
此后半球受滑动摩擦力Ff＝μmgcosθ，随着θ增大，滑动摩擦力逐渐减小，
由此可知，坐标图中q＝37°，p＝0.6mg，0～q段为正弦图像，q～90°段为余弦图像，故C正确，ABD错误。
故选：C。
【变式3】如图所示，轻弹簧A一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球通过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接轻弹簧B且处于平衡状态，已知定滑轮位于弹簧A固定点的正上方。现缓慢收绳，使滑轮右侧的绳长减小少许，小球仍处于平衡状态，弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为一小段圆弧
B．弹簧B的长度变长
C．弹簧A的长度变长
D．弹簧A的长度变短
【答案】A
【解答】解：小球受力如图所示，
设弹簧原长为x0，实际长度x，滑轮右侧绳长为l，则根据相似三角形可知：
根据胡克定律，有：F1＝k（x0﹣x）
解得：
所以：
B、由上式可以看出，由于重力G和高度L不变，所以当l减小，则轻绳拉力F2减小，所以弹簧B长度减小，故B错误；
CD、由于F1的大小不变，即弹簧A的弹力大小不发生变化，所以长度x不变，故CD错误；
A、由于收绳后弹簧的实际长度x不发生变化，轨迹为圆弧，故A正确。
故选：A。
题型7 图解法解决动态平衡问题
解｜题｜知｜识 本考点使用的情况是三个力中，一个力恒定，还有一个力方向恒定，如图：
【典例1】如图所示，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，且细线与竖直方向的夹角为θ，细线与F的夹角为α，下列说法中正确的是（　　）
A．若初始时剪断细线，同时保持F不变，则小球将做平抛运动
B．保持F水平，缓慢增大θ角，则F逐渐减小，FT逐渐增大
C．保持θ角不变，缓慢减小α角过程中，当α＝θ时细线拉力FT最小
D．保持α角、θ角和F方向不变，增加细线的长度，F大小不变，FT变小
【答案】C
【解答】解：A、根据题意分析可知，平抛运动的条件是具有水平方向的初速度且只受重力的作用，若初始时剪断细线，F保持不变，小球不是平抛运动，故A错误；
B、根据题意分析可知，保持F水平，对小球受力分析由平衡条件可知
缓慢增大θ角，则F逐渐增大，FT逐渐增大，故B错误；
C、根据题意分析可知，对小球受力分析如图，将F平移至接在mg的尾端，保持θ角不变，缓慢减小α角过程中，F的方向由水平向右逆时针转如图虚线，当α＝θ时F方向竖直向上，细线拉力为0，FT最小，故C正确；
D、根据题意分析可知，由平衡条件有
保持α角、θ角和F方向不变，增加细线的长度，F大小不变，FT大小也不变，故D错误。
故选：C。
【变式1】如图所示，三根不可伸长的轻质细绳系于O点，A、B端分别固定在竖直与水平墙上，绳OA水平，绳OB与水平方向间夹角为53°，C端竖直悬挂一小球（可视为质点）。现保持结点O不变动，对小球施加一水平向右的作用力F，使小球缓慢运动至绳OC与水平方向成37°夹角的位置（绳始终伸直），不计空气阻力，，，则此过程（　　）
A．力F大小不变
B．力F大小减小
C．绳OC受到的拉力大小不变
D．绳OB受到的拉力大小不变
【答案】D
【解答】解：ABC、对C端的小球受力分析，如图：
根据小球受力平衡，可得F变大，OC绳的拉力变大，故ABC错误；
D、对O点受力分析，如图：
由相互作用力关系，可知：TC＝T′C，根据ABC选项分析，可知绳OC的拉力变大，在竖直方向的分力不变，在水平方向的分力逐渐变大，由共点力平衡条件，可得绳OA的拉力变大，OB段的拉力不变，故D正确。
故选：D。
【变式2】如图所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E、M之间无摩擦力，E的重力为G，M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上。现过E的轴心施以水平作用力F（F始终水平）。可缓慢地将E拉离地面一直滑到M的顶端。整个过程中，M始终处于静止状态，对该过程的分析，下列说法中正确的是（　　）
A．M对地面的压力逐渐增大
B．M对地面的摩擦力不变
C．开始时拉力F最小，以后逐渐增大
D．E、M间的压力开始时最大，以后逐渐减小到G
【答案】D
【解答】解：A、取圆柱体E和半圆柱体M整体为研究对象，地面对M的支持力等于整体的总重力，保持不变，根据牛顿第三定律，M对地面的压力保持不变，故A错误；
CD、对圆柱体E受力分析，圆柱体E受重力G、拉力F、半圆柱体的支持力N作用处于平衡状态，这三个力构成封闭三角形，如图所示：
开始时N与竖直方向成60°角，对应图中的最大三角形，此时拉力F和半圆柱体的支持力N都最大，随着E向上移动，三角形逐渐减小，拉力F、半圆柱体的支持力N都逐渐减小，当E缓慢移动到M顶端时，F减小到零，N减小到G，故C错误，D正确；
B、取整体为研究对象，地面对M的摩擦力等于拉力F，则地面对M的摩擦力随拉力F的减小而减小，故B错误。
故选：D。
题型8 相似三角形法解决动态平衡问题
解｜题｜知｜识 本考点的适用情况是：三个力中，三力构成的封闭三角形与几何三角形在动态变化过程中始终相似。如图： 此时：＝＝
【典例1】一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（　　）
A．F先减小，后增大 B．F逐渐增大
C．FN先减小，后增大 D．FN始终不变
【答案】D
【解答】解：设物体的重力为G．以B点为研究对象，分析受力情况，作出力图，如图。
作出力FN与F的合力F2，根据平衡条件得知，F2＝F1＝G．由ΔF2FNB∽ΔABO得：
＝
得：FN＝G
式中，BO、AO、G不变，则FN保持不变。
同理：＝
得：F＝G，
式中，AO、G不变，但是AB逐渐减小，所以F逐渐减小。
故选：D。
题型9 辅助圆法解决动态平衡问题
解｜题｜知｜识 本考点使用的情况是：三个力中，一个力恒定，其余两个力间的夹角恒定，如图：
【典例1】如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示模型，∠BAC＝80°保持固定。叉车臂AC与水平方向夹角为θ。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若θ从10°缓慢增加为60°，叉车臂对石墩的作用力FAC和车把对石墩的作用力FAB的大小变化为（　　）
A．FAB一直增大 B．FAB先增加后减小
C．FAC先减小后增加 D．FAC一直在增大
【答案】A
【解答】解：对石墩受力分析，由于两个弹力夹角不变，可用辅助圆进行分析，如图所示：
θ从10°缓慢增加为60°，FAB由水平向右变为与水平方向夹角为50°，由图可知，FAB一直增大，FAC一直减小，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【变式1】（多选）如图所示，轻质细线一端拴接一质量为m的小球，另一端悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，且细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。下列说法中正确的是（　　）
A．保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角直至a＝θ，F先减小后增大
B．保持F水平，逐渐缓慢增大θ角，F逐渐减小、FT逐渐增大
C．保持F大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，θ角逐渐增大
D．保持α角不变，缓慢增大θ角，直至悬线水平，F一直增大
【答案】AD
【解答】解：A．根据三角形定则进行动态分析，如图
缓慢减小α角直至a＝θ，保持小球位置及θ角不变，F先减小后增大，故A正确；
B．根据三角形定则进行动态分析，如图
逐渐缓慢增大θ角，保持F水平，则F逐渐增大，FT逐渐增大，故B错误；
C．根据三角形定则进行动态分析，如图
保持F大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，θ角先增大后减小，故C错误；
D．根据三角形定则进行动态分析，如图
保持α角不变，缓慢增大θ角，直至悬线水平，F一直增大，悬线水平时，F最大，故D正确。
故选：AD。
【变式2】（多选）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为2m的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角α＝135°，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．B、C间的摩擦力一直减小
B．绳上拉力FT先减小再增大
C．地面对物体C的支持力先减小再增大
D．物体C对地面的摩擦力方向水平向右
【答案】CD
【解答】解：AB、对结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示
通过上述示意图分析可得FT先增大再减小，F一直减小，初始状态，单独对A分析可得绳子拉力为FT＝mg，
单独对B分析，有FT＝2mgsin30°＝mg
即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力FT从mg先增大再减小到mg，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，故AB错误；
C、将B、C看成整体，由题意可知，竖直方向所受合力为零，根据平衡条件有N地+FTsin30°＝（2m+M）g
由于FT先增大再减小，BC总重力不变，故N地先减小再增大，故C正确；
D、由于绳的拉力，B和C有整体向右移的趋势，根据平衡条件可知地面对物体C的静摩擦力水平向左，根据牛顿第三定律，物体C对地面的摩擦力方向水平向右，故D正确。
故选：CD。
题型10 受力平衡中的临界与极限问题
解｜题｜知｜识 1.临界问题 （1）问题特点： ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 2.极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
【典例1】木块a、b、c和轻弹簧p、q及轻质细线连接成如图所示的装置，桌面水平，滑轮光滑。木块a、b、c的质量均为2kg，木块a与桌面间的动摩擦因数为0.4，两弹簧的劲度系数均为8N/cm，取g＝10m/s2。开始时，弹簧p处于原长，木块a、b间细线恰好伸直但不绷紧，三木块均处于静止状态。现水平向左缓慢拉动弹簧p，当木块c刚好离开地面时，弹簧p左端向左移动的距离为（　　）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【答案】C
【解答】解：初始时对木块b受力分析，有F1＝mg＝2×10N＝20N，弹簧q处于压缩状态，由胡克定律可知F1＝kx1，
木块c刚好离开地面时，对木块c受力分析，有F2＝mg＝2×10N＝20N，弹簧q处于拉伸状态，由胡克定律可知F2＝kx2，
木块c刚好离开地面时，对bc整体受力分析，有T＝2mg＝2×2×10N＝40N，对木块a受力分析，有F＝μmg+T＝0.4×2×10N+40N＝48N，对弹簧p，由胡克定律可知F＝kx3，
弹簧p左端向左移动的距离x＝x1+x2+x3，代入数据可得x＝11cm，故C正确，ABD错误。
故选：C。
【变式1】（多选）在粗糙水平地面上放置一个边长为a、质量为M的正方体ABCD，正方体与地面间的动摩擦因数为μ，在正方体右侧有一竖直光滑墙壁，如图所示，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的球，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为θ，正方体和球均保持静止，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法错误的是（　　）
A．仅改变球的质量，其余条件不变，为保证正方体仍处于静止状态，球的质量应小于
B．将正方体向左推动很小一段距离，其余条件不变，系统仍保持静止，正方体受到的摩擦力不变
C．当正方体的右侧面AB到墙壁的距离小于时，无论球的质量是多少，正方体都不会滑动
D．改变正方体到墙壁的距离，系统始终保持静止，则tanθ的最大值为
【答案】ABD
【解答】解：A．设正方体和球之间的弹力为N1，墙壁对球的弹力为N2，地面对正方体的弹力与摩擦力分别为FN、Ff，对正方体受力分析如图甲所示，由平衡条件可得：Ff＝N1sinθ≤μFN
对球体受力分析如图乙所示，由平衡条件可得：N1cosθ＝mg
对正方体和球体构成的整体受力分析如图丙所示，由平衡条件可得：FN＝（M+m）g
联立可得：mgtanθ≤μ（M+m）g
解得：，故A错误；
B．由上述分析可得：Ff＝mgtanθ，将正方体向左推动一小段距离，θ增大，则Ff增大，故B错误；
D．由：mgtanθ≤μ（M+m）g，解得：，故D错误；
C．由：，当tanθ≤μ时，无论球的质量是多少，正方体都不会滑动，则正方体右侧面AB到墙壁的距离应小于R+Rsinθ，当tanθ＝μ时，sinθ＝，可得正方体右侧面AB到墙壁的距离应小于，故C正确。
本题选择错误的，故选：ABD。
【变式2】如图所示，倾角θ＝30°的斜面体C固定于水平桌面上，物块A悬挂在水平绳OP和倾斜绳OQ的结点O处，水平绳OP另一端固定于竖直墙壁上，OQ与竖直方向的夹角α＝53°、且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上质量mB＝4kg的物块B相连。重力加速度g取10m/s2，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。改变物块A的质量，使A、B始终保持静止，求：
（1）当B与斜面体间的摩擦力恰好为零时，绳QB的拉力大小；
（2）当物块A的质量mA＝1.5kg时，斜面体受到物块B给的摩擦力的大小和方向；
（3）在（2）的情况下，地面对斜面体C的摩擦力的大小。
【答案】（1）当B与斜面体间的摩擦力恰好为零时，绳QB的拉力大小为20N；
（2）当物块A的质量mA＝1.5kg时，斜面体受到物块B给的摩擦力的大小为5N，方向沿斜面向上；
（3）在（2）的情况下，地面对斜面体C的摩擦力的大小为20N。
【解答】解：（1）对物块B受力分析如图所示：
沿斜面方向受力平衡，有T＝mBgsinθ，代入数据可得T＝20N；
（2）对结点O受力分析如图所示：
竖直方向受力平衡，有TOQcosα＝mAg，代入数据可得TOQ＝25N，
对物块B受力分析如图所示：
沿斜面方向受力平衡，有TOQ＝mBgsinθ+fB，代入数据可得fB＝5N，方向沿斜面向下，由牛顿第三定律可知，斜面体受到物块B给的静摩擦力大小为5N，方向沿斜面向上；
（3）对BC整体受力分析如图所示：
水平方向受力平衡，有TOQsinα＝f，代入数据可得f＝20N。
答：（1）当B与斜面体间的摩擦力恰好为零时，绳QB的拉力大小为20N；
（2）当物块A的质量mA＝1.5kg时，斜面体受到物块B给的摩擦力的大小为5N，方向沿斜面向上；
（3）在（2）的情况下，地面对斜面体C的摩擦力的大小为20N。
题型11 晾衣杆模型
解｜题｜知｜识 本考点旨在针对高中物理阶段的晾衣杆模型类问题。
【典例1】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为θ，则轻绳右端沿杆（　　）
A．由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置不变
B．由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置升高
C．由b→c的过程，F变大，θ变小，衣服的位置下降
D．由b→c的过程，F变小，θ变小，衣服的位置升高
【答案】B
【解答】AB．由题意和几何关系可知两段绳子间的夹角为2θ，对衣服受力分析如图所示
由平衡条件可得2Fcosθ＝mg
解得
设绳子总长为L，两杆间距为s，由几何关系有L1sinθ+L2sinθ＝s
可得
由a→b的过程，L、s均不变，则θ不变，则可知F不变，由几何关系可知衣服位置升高，故A错误，B正确；
CD．由b→c的过程，s变小，则θ变小，cosθ变大，则F变小，由几何关系可知衣服位置下降，故CD错误。
故选：B。
【变式1】抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　）
A．沿虚线a向左移动，细线的拉力增大
B．沿虚线b向上移动，空竹向左上方移动
C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变
D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大
【答案】B
【解答】解：A、根据题意分析可知，空竹受力如图所示
根据平衡条件可得
2Fsinθ＝mg
设绳长为L，由几何关系可得
沿虚线a向左移动，d减小，θ增大，细线的拉力减小，故A错误；
B、根据题意分析可知，沿虚线b向上移动，d不变，θ不变，细线的拉力不变，但右侧细线变长，左侧变短，左侧A不动，故空竹会向左上方移动，故B正确；
C、根据题意分析可知，沿虚线c斜向上移动，d增大，θ减小，细线的拉力增大，故C错误；
D、根据题意分析可知，沿虚线d向右移动，d增大，θ减小，细线的拉力增大，但细线对空竹的合力不变，等于空竹的重力，故D错误。
故选：B。
题型12 力矩的平衡条件
解｜题｜知｜识 1．转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或匀速转动状态． 明确转轴很重要： 大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置．如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F的大小．在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴．象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件． 2．力矩： 力臂：转动轴到力的作用线的垂直距离． 力矩：力和力臂的乘积． 计算公式：M＝FL 单位：Nm 效果：可以使物体转动 （1）力对物体的转动效果 力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩． ①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用． ②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂．需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离． （2）大小一定的力有最大力矩的条件： ①力作用在离转动轴最远的点上； ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线． （3）力矩的计算： ①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL 如图中， 力F的力臂为LF＝Lsinθ 力矩M＝F L sinθ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积． 如图中， 力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M＝F sinθ L 两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程． 3．力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和． 即：∑M＝0或∑M顺＝∑M逆 4．解决实际问题的步骤； （a）确定研究对象﹣﹣哪个物体； （b）分析状态及受力﹣﹣画示意图； （c）列出力矩平衡方程：∑M＝0或∑M顺＝∑M逆； （d）解出字母表达式，代入数据； （e）作必要的讨论，写出明确的答案． 5．正确理解力矩的概念 力矩是改变转动物体的运动状态的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用．但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都　不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态和变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响．力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显．物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积．力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量． 力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算
【典例1】扩张机的原理示意图如图所示，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块E就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0m，b＝0.05m，F＝400N，E与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）（　　）
A．3000N B．2000N C．1000N D．500N
【答案】B
【解答】解：将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示：
则有：2F1cosα＝F，
得：F1＝F2＝；
再将F1按作用效果分解为FN和FN'，作出力的分解图如图乙所示：
则有：FN＝F1sinα，联立得到：FN＝；
根据几何知识可知：tanα＝＝10。
得到：FN＝5F＝2000N，故B正确，ACD错误。
故选：B。
【变式1】下列工具，在如图使用的过程中，属于费力杠杆的是（　　）
A．用镊子取砝码
B． 用核桃钳捏核桃
C．用剪刀剪绳子
D． 用开瓶器开瓶盖
【答案】A
【解答】解：A.镊子在使用时，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆：故A正确。
B.用核桃钳捏核桃时，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆；故B错误。
C.用剪刀剪绳子时，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆；故C错误。
D.开瓶器在使用时，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆。故D错误。
故选：A。
【变式2】（多选）如图所示，在轻质杆OA的末端A处，悬挂有重为G的物体M，在端点A施加大小和方向都可以变化的拉力F，但保证A点位置不动，在力F从水平向右逐渐旋转至竖直向上的过程中，下列叙述中正确的是（　　）
A．拉力F的力臂是先变大后变小的
B．拉力F跟它力臂的乘积是不变 的
C．拉力F的大小是先变小后变大的
D．拉力F始终小于 G
【答案】ABC
【解答】解：A、由数学知识分析得知，拉力F的力臂是先变大后变小，当F与杆垂直时力臂最大。故A正确。
B、根据杠杆平衡条件可知，拉力F跟它力臂的乘积等于重力跟其力臂的乘积，而重力跟其力臂都不变，则拉力F跟它力臂的乘积是不变的。故B正确。
C、由上分析知拉力F的力矩不变，由M＝FL，拉力F的力臂是先变大后变小，则F拉力F的大小是先变小后变大。故C正确。
D、当F竖直时，F等于G，而在之前，F大于G．故D错误。
故选：ABC。
1．叠罗汉是一种二人以上层层叠成各种造型的游戏娱乐形式，也是一种高难度的杂技．图示为六人叠成的三层静态造型，假设每个人的重量均为G，下面五人的背部均呈水平状态，则最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为（　　）
A．G B．G C．G D．G
【答案】C
【解答】解：最上面的人受到的竖直向下重力为G，所以每个腿上的力都是
中间层最左边的人，受到竖直向下的力为：G+＝，所以每个腿上的力都是；由对称性，中间层最右边的人每个腿上的力也是
最底层中间的人，受到竖直向下的力为：G+G+G＝G，所以其每根腿上的力为：
即：最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为G。
故选：C。
2．年年和庆庆在一张水平桌面上写作业，年年坐北面、庆庆坐东面，两人都用双手水平拉着桌子试图将桌面拉向自己（两人仅手与桌子接触，身体其余部位均未与桌子接触），年年用力60N，庆庆用力80N，年年、庆庆和桌子均保持静止，则（　　）
A．年年受到的摩擦力为60N，方向向南
B．庆庆受到的摩擦力为80N，方向向东
C．桌子受到地面的静摩擦力为20N，方向向西
D．桌子受到的摩擦力为100N，方向东偏北37°
【答案】B
【解答】解：A、以年年为研究对象，年年相对于与地面有向南的运动趋势，水平方向根据平衡条件可知，年年受到的摩擦力为60N，方向向北，故A错误；
B、以庆庆为研究对象，庆庆相对于与地面有向西的运动趋势，水平方向根据平衡条件可知，庆庆受到的摩擦力为80N，方向向东，故B正确；
CD、以桌子为研究对象，受力情况如图所示：
根据平行四边形法则可知，桌子受到地面的静摩擦力为：f＝＝N＝100N
根据几何关系可得：tanθ＝，解得：θ＝37°，所以摩擦力的方向为西偏南37°，故CD错误。
故选：B。
3．如图所示，山崖上有一块大石头，无风时水平地面对石头的作用力大小为F1，当受到水平向左的风力时，石头依然静止，此时地面对石头的作用力大小为F2。已知石头所受的重力大小为G，则下列关系式正确的是（　　）
A．F2＞F1＞G B．F2＜F1＜G C．F2＞F1＝G D．F2＝F1＝G
【答案】C
【解答】解：无风时石头仅受重力G和地面的作用力F1，二力平衡，有F1＝G；
有风时石头受到重力G、水平向左的风力F风和地面的作用力F2，地面的作用力是支持力与摩擦力的合
力，根据力的合成，F2是G与F风的矢量和，即，显然F2＞G。
综上可得F2＞F1＝G，故V正确，ABD错误。
故选：C。
4．斜面体放在水平地面上，斜面体左侧倾角θ大于右侧倾角α，两个物体均沿斜面匀速下滑，质量m1＜m2。以下说法正确的是（　　）
A．地面施加给斜面摩擦力为零
B．m1所受摩擦力一定小于m2所受摩擦力
C．m1所受斜面作用力不一定竖直向上
D．地面施加给斜面摩擦力方向向左
【答案】A
【解答】解：AD、以整体为研究对象，水平方向不受外力且系统处于平衡状态，则地面施加给斜面摩擦力为零，故A正确，D错误；
B、对m1，沿斜面方向根据平衡条件可得：f1＝m1gsinθ，对m2，沿斜面方向根据平衡条件可得：f2＝m2gsinα，由于θ＞α，m1＜m2，无法判断m1所受摩擦力f1与m2所受摩擦力f2的大小关系，故B错误；
C、两个物体均沿斜面匀速下滑，根据平衡条件可知，m1所受斜面作用力与其重力平衡，方向一定竖直向上，故C错误。
故选：A。
5．中国运动员杨秋霞以121公斤的成绩获得2024年世界举重锦标赛抓举金牌。举起杠铃稳定时的状态如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．杠铃对手的作用力是手发生形变而产生的
B．举起杠铃过程中，杠铃对手的压力小于手对杠铃的支持力
C．举起杠铃过程中，地面对人的支持力等于人与杠铃的总重力
D．稳定时双臂间的夹角越大，单臂所受作用力越大
【答案】D
【解答】解：A：弹力的产生源于施力物体的弹性形变。杠铃对手的作用力，施力物体是杠铃，因此该力是由杠铃发生形变产生的，而非手。故A错误。
B.杠铃对手的压力与手对杠铃的支持力是一对作用力与反作用力。根据牛顿第三定律，作用力与反作用力在任何情况下大小都相等、方向相反。故B错误。
C.举起杠铃的过程中，杠铃有向上的加速度，整体处于超重状态。对人与杠铃整体受力分析，地面对人的支持力会大于人与杠铃的总重力。故C错误。
D.受力模型：杠铃稳定时，双臂的作用力的合力与杠铃的重力大小相等、方向相反，即合力F合＝mg保持不变。分力与夹角的关系：设双臂间的夹角为2θ，则每只手臂的作用力F为分力。根据平行四边形定则，合力与分力的关系为：
F合＝2Fcosθ
变形得：
。
所以夹角变化的影响：当双臂间的夹角2θ越大时，θ也越大，cosθ的值越小，因此单臂的作用力F就大。故D正确。
故选：D。
6．如图所示，放在水平桌面上的木块A处于静止状态，所挂的砝码和托盘的总质量为0.6kg，弹簧测力计读数为2N，滑轮摩擦不计。若轻轻取走盘中的部分砝码，使砝码和托盘的总质量减小到0.1kg，则将会出现的情况是（　　）
A．物块A将向左运动
B．弹簧测力计的读数变小
C．A与桌面间的摩擦力变小
D．A所受的合力变大
【答案】C
【解答】解：A.木块A仍静止，初始状态下，砝码拉力为0.6×10＝6N，弹簧拉力为2N，木块受力平衡，静摩擦力为6﹣2＝4N，说明最大静摩擦力fmax≥4N。当砝码质量减小到0.1kg时，砝码拉力为0.1×10＝1N，此时木块受力：弹簧拉力2N（向左）、砝码拉力1N（向右），静摩擦力为2﹣1＝1N（向右）。因1N＜fmax，木块保持静止。故A正确。
B.弹簧测力计的示数将变小，弹簧测力计的示数由其形变决定，木块静止时弹簧形变未变，因此示数保持2N不变。故B错误。
C.木块A所受摩擦力的大小不变，初始摩擦力为4N（向左），砝码质量减小后摩擦力为1N（向右），大小发生变化。故C错误。
D.木块A所受摩擦力的方向不变，初始摩擦力方向向左，砝码质量减小后摩擦力方向向右，方向发生改变。故D错误。
故选：C。
7．为营造元旦喜庆气氛，街边挂上了红灯笼。如图，用五根轻绳A、B、C、D、E将四个完全相同的灯笼连接悬挂，灯笼处于静止状态，绳A和绳E与竖直方向的夹角为30°，绳C水平。设轻绳A、B、C的张力大小分别为TA、TB、TC，则（　　）
A．TA：TC＝1：2 B．TA：TC＝3：
C．TB：TC＝：2 D．TB：TC＝：2
【答案】C
【解答】解：AB.设每个灯笼的质量均为m，
以左边两个灯笼为整体，对其受力分析，可得下图：
由图，根据平衡条件可得：
TAsin30°＝TC，
TAcos30°＝2mg，
联立可得：
TA＝，
TC＝，
由此可得：
TA：TC＝：＝2：1，
故AB错误；
CD.设绳B与竖直方向的夹角为α，
以左边第一个灯笼为研究对象，对其受力分析，可得下图：
由平衡条件可得：
TAcos30°＝TBcosα+mg，
TAsin30°＝TBsinα，
结合前面分析及数学知识，联立可得：
TB＝，
由此可知：
TB：TC＝：＝：2，
故C正确，D错误；
故选：C。
8．一根质量分布均匀的直杆，上端靠在光滑的竖直玻璃幕墙上，下端放在粗糙的水平地面上，杆保持静止。关于直杆的受力情况，下列说法正确的是（　　）
A．两个竖直方向的力，一个水平方向的力
B．一个竖直方向的力，两个水平方向的力
C．两个竖直方向的力，两个水平方向的力
D．三个竖直方向的力，两个水平方向的力
【答案】C
【解答】解：杆受到重力、地面的支持力和摩擦力，光滑的竖直玻璃对它的支持力，一共4个力，两个竖直方向的力，两个水平方向的力，故C正确、ABD错误。
故选：C。
9．如图所示，两木块的质量分别为m1＝3kg和m2＝6kg，两轻质弹簧1、2的劲度系数均为k＝150N/m，整个系统处于静止，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）弹簧1、2各自的伸长量；
（2）现用手托着m2竖直向上缓慢移动，直到弹簧2变成压缩状态且弹力大小变为原来的，此过程中m2上升的高度。
【答案】（1）弹簧1、2各自的伸长量分别是0.6m和0.4m；
（2）弹簧2变成压缩状态且弹力大小变为原来的，此过程中m2上升的高度是1m。
【解答】解：（1）对整体受力分析，根据平衡条件和胡克定律，有kx1＝（m1+m2）g
解得此时弹簧1的伸长量x1＝0.6m
对质量为m2的木块受力分析，根据平衡条件和胡克定律，有kx2＝m2g
解得此时弹簧2的伸长量x2＝0.4m
（2）再次平衡时弹簧2的弹力大小F＝N＝15N
此时弹簧2的压缩量x′2＝m＝0.1m
对质量为m1的木块受力分析，根据平衡条件和胡克定律，有kx′1+F＝m1g
解得此时弹簧1的伸长量x′1＝0.1m
可知m2上升的高度h＝（x1﹣x′1）+（x2+x′2）＝（0.6﹣0.1）m+（0.4+0.1）m＝1m
答：（1）弹簧1、2各自的伸长量分别是0.6m和0.4m；
（2）弹簧2变成压缩状态且弹力大小变为原来的，此过程中m2上升的高度是1m。
10.（多选）如图所示，OA为一遵守胡克定律的弹性轻绳，其一端固定在天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连。当绳处于竖直位置时，滑块A与地面有压力作用。B为一紧挨绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现用水平力F作用于A，使之向右缓慢的做直线运动，在运动过程中（　　）
A．地面对滑块的支持力逐渐减小
B．地面对滑块的摩擦力逐渐增大
C．水平拉力逐渐增大
D．地面对物体的支持力与弹性绳对物体的弹力的合力逐渐变大
【答案】CD
【解答】解：AB、滑块A受到重力、支持力、水平拉力、弹性绳的拉力和摩擦力，如图所示。
设A处于初始位置时与B点的距离为h，当AB间长度为x时，弹性绳伸长的长度为x，竖直方向根据平衡条件得
所以地面对滑块的支持力不变，因为摩擦力f＝μN，则知地面对滑块的摩擦力保持不变，故AB错误；
C、水平方向有F＝Tcosθ+f，滑块向右运动的过程中，T变大，f不变，θ变小，所以水平拉力逐渐增大，故C正确；
D、因为滑块受力平衡，所以地面对物体的支持力与弹性绳对物体的弹力的合力等于物体所受拉力与重力和摩擦力的合力，又因为重力和摩擦力不变、拉力逐渐变大，故地面对物体的支持力与弹性绳对物体的弹力的合力逐渐变大，故D正确。
故选：CD。第三章
第5节 共点力的平衡
题型1 判断物体的受力个数 题型2 对物体进行受力分析
题型3 共点力的平衡问题及求解 题型4 利用平衡推论求解受力问题
题型5 整体法与隔离法处理物体的平衡问题 题型6 解析法求共点力的平衡
题型7 图解法解决动态平衡问题 题型8 相似三角形法解决动态平衡问题
题型9 辅助圆法解决动态平衡问题 题型10 受力平衡中的临界与极限问题
题型11 晾衣杆模型 题型12 力矩的平衡条件
题型1 判断物体的受力个数
解｜题｜知｜识 1.定义：根据研究的问题，选取合适的物体作为研究对象，分析研究对象受到哪些力的作用，并画出所受力的示意图，这一过程即为物体的受力分析。 2.一般步骤：
【典例1】如图所示，圆筒竖直固定，三个相同的均质光滑小球a、b、c均在圆筒内处于静止状态。a球所受力的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】如图所示，长方体物块M、N叠放在固定的斜面上，M受到一个沿斜面向下的拉力F，两物块均保持静止。物块N受力的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】如图所示，上表面光滑的半圆柱体P放置在水平地面上，一细长木棒Q搭在P上，另一端与地面接触，系统静止，木棒与水平夹角为θ。下列判断正确的是（　　）
A．木棒受到四个力作用
B．木棒受到三个力作用
C．P对地面的压力等于P和木棒的总重力
D．P受到地面的摩擦力可能为零
【变式3】下列图中静止物体A受力示意图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
题型2 对物体进行受力分析
解｜题｜知｜识 1.定义：根据研究的问题，选取合适的物体作为研究对象，分析研究对象受到哪些力的作用，并画出所受力的示意图，这一过程即为物体的受力分析。 2.一般步骤：
【典例1】如图所示，两物体A和B通过跨过定滑轮的细绳连接，它们都处于静止状态．对于物体A的受力，下列说法正确的是（　　）
A．有可能绳子拉力的竖直分量跟重力大小相等，则水平面给它的弹力为零所以A受重力、绳子拉力和摩擦力三个力的作用
B．可能受重力、绳子拉力、水平面给它的弹力三个力的作用
C．一定受重力、绳子拉力、水平面给它的弹力和摩擦力四个力的作用
D．可能受重力和绳子拉力两个力的作用
【变式1】（多选）用一轻绳将小球P系于光滑竖直墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，如图所示。P、Q均处于静止状态，则下列说法正确的是（　　）
A．小物块Q受到的静摩擦力方向竖直向上
B．小球P受4个力的作用
C．小物块Q受到3个力的作用
D．P受到的静摩擦力方向竖直向上
【变式2】（多选）一个静止在水平地面上的篮球，下列关于篮球所受力的分析，正确的是（　　）
A．篮球受到重力的作用
B．篮球受到地面的支持力
C．篮球受到地面的摩擦力
D．篮球受到空气对它的压力
【变式3】（多选）如图所示，在皮带运输机将物体匀速送往高处的过程中，下列结论正确的是（　　）
A．物体受到与运动方向相同的摩擦力作用
B．皮带的速度越大，物体受的摩擦力也越大
C．物体所受的摩擦力与匀速传送的速度无关
D．若匀速地向下传送物体，物体所受的摩擦力沿皮带向下
题型3 共点力的平衡问题及求解
解｜题｜知｜识 1.共点力 （1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。 （2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。 2.共点力平衡的条件 （1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。 （2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 3.对共点力平衡条件的理解及应用 合外力等于0，即F合＝0→正交分解法，其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。 4.平衡条件的推论 （1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。 （2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。 （3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n﹣1）个力的合力等大、反向。 5.解答共点力平衡问题的三种常用方法 6.平衡中的临界、极值问题 a.临界问题 （1）问题特点： ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 b.极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。 7.“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型 （1）“活结”与“死结”模型 ①“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。 ②“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。 （2）“活杆”与“死杆”模型 ①“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。 ②“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。
【典例1】如图所示，水平地面上有倾角为θ的斜面，一箱苹果沿着斜面以速度v匀速下滑，斜面始终静止。在箱子的中央有一个质量为m的苹果P，则上述过程中（　　）
A．苹果P受到周围苹果对它作用力的合力的方向沿斜面向下
B．苹果P受到周围苹果对它作用力的合力的方向竖直向上
C．水平地面对斜面的摩擦力水平向左
D．水平地面对斜面的摩擦力水平向右
【变式1】传送带在实际生活中有广泛应用。如图所示，飞机场运输行李的传送带可以将行李箱送入飞机货舱。已知传送带与水平面夹角为θ，某行李箱的质量为m，与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，此行李箱随传送带一起斜向上匀速运动过程中，下列说法正确的有（　　）
A．行李箱受到与运动方向相反的摩擦力作用
B．传送带速度越大，行李箱受到的摩擦力也越大
C．行李箱受到的摩擦力大小为mgsinθ
D．行李箱受到的摩擦力大小为mgcosθ
【变式2】如图是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎（图中是用手指代替颈椎做实验），整个装置在同一竖直平面内。如果要增加手指所受的拉力，可采取的办法是（　　）
A．只增加绳的长度 B．只将手指向下移动
C．只减少重物的重量 D．只将手指向上移动
【变式3】匀质铁链悬挂在天花板上，其中A点是最低点，C点是悬挂点，B点是介于A、C之间的某一点，关于这三点铁链拉力大小，下列说法正确的是（　　）
A．A点的张力最大
B．C点的张力最大
C．A、B、C三点张力大小均相等
D．铁链C处切线方向是竖直的
题型4 利用平衡推论求解受力问题
解｜题｜知｜识 当物体处于平衡状态时，所受的合力一定为零，利用这一特点来解决受力问题。
【典例1】如图所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都为μ，两物块的质量都是m，滑轮上的摩擦不计，若用一水平向右的力F拉P使其做匀速运动，则F的大小为（　　）
A．4μmg B．3μmg C．2μmg D．μmg
【变式1】如图所示，一质量为m的木块在质量为M的长木板上滑动，滑动过程中长木板始终处于静止状态。已知长木板与水平地面间的动摩擦因数为μ1，木块与长木板间的动摩擦因数为μ2，则长木板受到地面的摩擦力大小为（　　）
A．μ2mg B．μ1mg C．μ1（m+M）g D．μ2mg+μ1Mg
【变式2】（多选）如图所示，A、B两物体的重力分别是GA＝3N，GB＝4N．A用细线悬挂在顶板上，B放在水平面上，A、B间轻弹簧中的弹力F1＝2N，则细线中的张力F2及B对地面的压力F3的可能值分别是（　　）
A．5 N和6 N B．5 N和2 N C．1 N和2 N D．1 N和6 N
题型5 整体法与隔离法处理物体的平衡问题
解｜题｜知｜识 整体法与隔离法是物理学中处理物体平衡问题的两种基本方法，它们各有适用场景，并且经常交替使用以解决复杂问题。 ①整体法适用于将两个或多个物体组成的系统作为研究对象，当需要研究外力对系统的作用时，整体法更为简便，因为它不需要考虑系统内部的作用力。整体法的思维特点是从全局出发，通过整体受力分析揭示系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从而避免繁琐的中间环节计算，能够灵巧地解决问题。例如，在处理连接体平衡问题时，如果只涉及系统外力而不涉及系统内部物体之间的内力以及加速度问题，通常选取整个系统为研究对象，使用整体法进行分析。 ②隔离法则是将研究对象从周围物体中隔离出来进行受力分析的方法，适用于需要研究系统内各物体之间的作用力或加速度的情况。隔离法不仅能求出其他物体对整体的作用力，而且还能求出整体内部物体之间的作用力。在处理复杂问题时，通常先用整体法确定整体的运动状态，然后再用隔离法分析内部物体的相互作用。 在实际应用中，整体法和隔离法并不是独立使用的，对于一些复杂问题，可能需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法进行分析。这种方法的交替使用有助于更全面地理解问题的本质，从而找到解决方案。
【典例1】如图所示，一质量为M的斜面体A静止在水平地面上，斜面A倾角θ＝30°，一根轻绳跨过斜面体顶端的小滑轮，绳两端系有两个物块a、b，质量分别为m1、m2，整个装置处于静止状态。不计绳与滑轮间的摩擦，重力加速度为g，则（　　）
A．斜面体A受地面支持力大于（m1+m2+M）g
B．斜面体A可能受摩擦力
C．滑轮对绳子的作用力为m2g
D．斜面体A对物块a的作用力竖直向上
【变式1】如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平面上，三条细绳结于O点，一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P，一条绳连接小球Q，P、Q两物体处于静止状态，另一条绳OA在外力F作用下使夹角θ＜90°，现缓慢改变绳OA的方向至θ＞90°，且保持结点O位置不变，整个装置始终处于静止状态，下列说法正确的是（　　）
A．绳OA的拉力先增大后减小
B．斜面对物块P的摩擦力的大小一定先减小后增大
C．地面对斜面体有向左的摩擦力
D．地面对斜面体的支持力等于物块P和斜面体的重力之和
【变式2】（多选）如图，四根长度相等的轻杆共同组成了一固定在竖直面内的矩形支架，其上有质量分别为m0、m1、m2的物块a、b、c穿在相邻的三根杆上，一根轻绳跨过固定在a上的光滑轻滑轮将b、c连接，整个装置处于静止状态。已知m1＞m2、AB、AC杆光滑，BD杆粗糙。现将a向右缓慢移动一小段距离后三个物块仍处于静止状态，下列说法正确的是（　　）
A．轻绳对b的拉力大小不变
B．滑轮左、右两侧轻绳与竖直杆的夹角α＜β
C．物块a所受AB杆的弹力增大
D．物块c受到的摩擦力不变
【变式3】（多选）如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一质量为M的重物，将质量为m的两相同木块紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。若将两挡板缓慢靠近少许距离，直至OO1与竖直方向夹角为θ，靠近过程保持O、O1始终等高，且整个系统保持静止。则靠近过程中（　　）
A．挡板与木块间的弹力变大
B．挡板与木块间的摩擦力保持不变
C．若木块没有滑动，则两挡板的摩擦力之和大于（2m+M）g
D．若木块没有滑动，则木块与挡板间摩擦因数至少为
题型6 解析法求共点力的平衡
解｜题｜知｜识 1.用解析式法解决动态平衡问题时，可用角度为变量，也可用几何线段的长度为变量。由表达式判定力的变化情况时，需切实注意变量的取值范围。 2.解析式法可解决三力作用下的动态问题，也可解决多个力作用下的动态问题。
【典例1】一串小灯笼（五只）彼此用轻绳连接，悬挂在空中。在稳定水平风力作用下发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示。设每只灯笼的质量均为m，受到风力相同，下列说法正确的是（　　）
A．若绳与竖直方向的夹角增大，此时灯笼间的拉力增大了
B．若绳与竖直方向的夹角增大，说明此时的水平风力减小了
C．自上往下第一只灯笼对第二只灯笼的拉力大小为
D．风力变大后，这串小灯笼可能呈弯曲状（各灯笼之间的连接绳与竖直方向的夹角不同）
【变式1】如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利用缆绳，沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆绳质量，则在轿车向上运动的过程中（　　）
A．轿车所受合外力变大
B．缆绳的拉力变小
C．地面所受的总压力变大
D．斜面对轿车的支持力变小
【变式2】如图a，质量为m的半球体静止在倾角为θ的平板上，当θ从0°缓慢增大到90°的过程中，半球体所受摩擦力大小Ff与θ的关系如图b所示，已知半球体始终没有脱离平板，半球体与平板间的动摩擦因数为0.75，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则（　　）
A．O～q段图像可能是余弦图像
B．q～90°段图像可能是正弦图像
C．p＝0.6mg
D．q＝53°
【变式3】如图所示，轻弹簧A一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球通过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮连接轻弹簧B且处于平衡状态，已知定滑轮位于弹簧A固定点的正上方。现缓慢收绳，使滑轮右侧的绳长减小少许，小球仍处于平衡状态，弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为一小段圆弧
B．弹簧B的长度变长
C．弹簧A的长度变长
D．弹簧A的长度变短
题型7 图解法解决动态平衡问题
解｜题｜知｜识 本考点使用的情况是三个力中，一个力恒定，还有一个力方向恒定，如图：
【典例1】如图所示，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，且细线与竖直方向的夹角为θ，细线与F的夹角为α，下列说法中正确的是（　　）
A．若初始时剪断细线，同时保持F不变，则小球将做平抛运动
B．保持F水平，缓慢增大θ角，则F逐渐减小，FT逐渐增大
C．保持θ角不变，缓慢减小α角过程中，当α＝θ时细线拉力FT最小
D．保持α角、θ角和F方向不变，增加细线的长度，F大小不变，FT变小
【变式1】如图所示，三根不可伸长的轻质细绳系于O点，A、B端分别固定在竖直与水平墙上，绳OA水平，绳OB与水平方向间夹角为53°，C端竖直悬挂一小球（可视为质点）。现保持结点O不变动，对小球施加一水平向右的作用力F，使小球缓慢运动至绳OC与水平方向成37°夹角的位置（绳始终伸直），不计空气阻力，，，则此过程（　　）
A．力F大小不变
B．力F大小减小
C．绳OC受到的拉力大小不变
D．绳OB受到的拉力大小不变
【变式2】如图所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E、M之间无摩擦力，E的重力为G，M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上。现过E的轴心施以水平作用力F（F始终水平）。可缓慢地将E拉离地面一直滑到M的顶端。整个过程中，M始终处于静止状态，对该过程的分析，下列说法中正确的是（　　）
A．M对地面的压力逐渐增大
B．M对地面的摩擦力不变
C．开始时拉力F最小，以后逐渐增大
D．E、M间的压力开始时最大，以后逐渐减小到G
题型8 相似三角形法解决动态平衡问题
解｜题｜知｜识 本考点的适用情况是：三个力中，三力构成的封闭三角形与几何三角形在动态变化过程中始终相似。如图： 此时：＝＝
【典例1】一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（　　）
A．F先减小，后增大 B．F逐渐增大
C．FN先减小，后增大 D．FN始终不变
题型9 辅助圆法解决动态平衡问题
解｜题｜知｜识 本考点使用的情况是：三个力中，一个力恒定，其余两个力间的夹角恒定，如图：
【典例1】如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示模型，∠BAC＝80°保持固定。叉车臂AC与水平方向夹角为θ。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若θ从10°缓慢增加为60°，叉车臂对石墩的作用力FAC和车把对石墩的作用力FAB的大小变化为（　　）
A．FAB一直增大 B．FAB先增加后减小
C．FAC先减小后增加 D．FAC一直在增大
【变式1】（多选）如图所示，轻质细线一端拴接一质量为m的小球，另一端悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下处于平衡状态。初始时F水平，且细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α。下列说法中正确的是（　　）
A．保持小球位置及θ角不变，缓慢减小α角直至a＝θ，F先减小后增大
B．保持F水平，逐渐缓慢增大θ角，F逐渐减小、FT逐渐增大
C．保持F大小不变，方向沿逆时针缓慢转到竖直过程中，θ角逐渐增大
D．保持α角不变，缓慢增大θ角，直至悬线水平，F一直增大
【变式2】（多选）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为2m的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角α＝135°，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．B、C间的摩擦力一直减小
B．绳上拉力FT先减小再增大
C．地面对物体C的支持力先减小再增大
D．物体C对地面的摩擦力方向水平向右
题型10 受力平衡中的临界与极限问题
解｜题｜知｜识 1.临界问题 （1）问题特点： ①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。 ②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 （2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 2.极值问题 （1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。 （2）分析方法： ①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。 ②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
【典例1】木块a、b、c和轻弹簧p、q及轻质细线连接成如图所示的装置，桌面水平，滑轮光滑。木块a、b、c的质量均为2kg，木块a与桌面间的动摩擦因数为0.4，两弹簧的劲度系数均为8N/cm，取g＝10m/s2。开始时，弹簧p处于原长，木块a、b间细线恰好伸直但不绷紧，三木块均处于静止状态。现水平向左缓慢拉动弹簧p，当木块c刚好离开地面时，弹簧p左端向左移动的距离为（　　）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【变式1】（多选）在粗糙水平地面上放置一个边长为a、质量为M的正方体ABCD，正方体与地面间的动摩擦因数为μ，在正方体右侧有一竖直光滑墙壁，如图所示，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的球，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为θ，正方体和球均保持静止，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法错误的是（　　）
A．仅改变球的质量，其余条件不变，为保证正方体仍处于静止状态，球的质量应小于
B．将正方体向左推动很小一段距离，其余条件不变，系统仍保持静止，正方体受到的摩擦力不变
C．当正方体的右侧面AB到墙壁的距离小于时，无论球的质量是多少，正方体都不会滑动
D．改变正方体到墙壁的距离，系统始终保持静止，则tanθ的最大值为
【变式2】如图所示，倾角θ＝30°的斜面体C固定于水平桌面上，物块A悬挂在水平绳OP和倾斜绳OQ的结点O处，水平绳OP另一端固定于竖直墙壁上，OQ与竖直方向的夹角α＝53°、且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上质量mB＝4kg的物块B相连。重力加速度g取10m/s2，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。改变物块A的质量，使A、B始终保持静止，求：
（1）当B与斜面体间的摩擦力恰好为零时，绳QB的拉力大小；
（2）当物块A的质量mA＝1.5kg时，斜面体受到物块B给的摩擦力的大小和方向；
（3）在（2）的情况下，地面对斜面体C的摩擦力的大小。
题型11 晾衣杆模型
解｜题｜知｜识 本考点旨在针对高中物理阶段的晾衣杆模型类问题。
【典例1】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为θ，则轻绳右端沿杆（　　）
A．由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置不变
B．由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置升高
C．由b→c的过程，F变大，θ变小，衣服的位置下降
D．由b→c的过程，F变小，θ变小，衣服的位置升高
【变式1】抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　）
A．沿虚线a向左移动，细线的拉力增大
B．沿虚线b向上移动，空竹向左上方移动
C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变
D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大
题型12 力矩的平衡条件
解｜题｜知｜识 1．转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或匀速转动状态． 明确转轴很重要： 大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置．如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F的大小．在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴．象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件． 2．力矩： 力臂：转动轴到力的作用线的垂直距离． 力矩：力和力臂的乘积． 计算公式：M＝FL 单位：Nm 效果：可以使物体转动 （1）力对物体的转动效果 力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩． ①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用． ②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂．需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离． （2）大小一定的力有最大力矩的条件： ①力作用在离转动轴最远的点上； ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线． （3）力矩的计算： ①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL 如图中， 力F的力臂为LF＝Lsinθ 力矩M＝F L sinθ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积． 如图中， 力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M＝F sinθ L 两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程． 3．力矩平衡条件： 力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和． 即：∑M＝0或∑M顺＝∑M逆 4．解决实际问题的步骤； （a）确定研究对象﹣﹣哪个物体； （b）分析状态及受力﹣﹣画示意图； （c）列出力矩平衡方程：∑M＝0或∑M顺＝∑M逆； （d）解出字母表达式，代入数据； （e）作必要的讨论，写出明确的答案． 5．正确理解力矩的概念 力矩是改变转动物体的运动状态的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用．但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都　不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态和变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响．力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显．物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积．力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量． 力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算
【典例1】扩张机的原理示意图如图所示，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块E就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0m，b＝0.05m，F＝400N，E与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）（　　）
A．3000N B．2000N C．1000N D．500N
【变式1】下列工具，在如图使用的过程中，属于费力杠杆的是（　　）
A．用镊子取砝码
B． 用核桃钳捏核桃
C．用剪刀剪绳子
D． 用开瓶器开瓶盖
【变式2】（多选）如图所示，在轻质杆OA的末端A处，悬挂有重为G的物体M，在端点A施加大小和方向都可以变化的拉力F，但保证A点位置不动，在力F从水平向右逐渐旋转至竖直向上的过程中，下列叙述中正确的是（　　）
A．拉力F的力臂是先变大后变小的
B．拉力F跟它力臂的乘积是不变 的
C．拉力F的大小是先变小后变大的
D．拉力F始终小于 G
1．叠罗汉是一种二人以上层层叠成各种造型的游戏娱乐形式，也是一种高难度的杂技．图示为六人叠成的三层静态造型，假设每个人的重量均为G，下面五人的背部均呈水平状态，则最底层正中间的人的一只脚对水平地面的压力约为（　　）
A．G B．G C．G D．G
2．年年和庆庆在一张水平桌面上写作业，年年坐北面、庆庆坐东面，两人都用双手水平拉着桌子试图将桌面拉向自己（两人仅手与桌子接触，身体其余部位均未与桌子接触），年年用力60N，庆庆用力80N，年年、庆庆和桌子均保持静止，则（　　）
A．年年受到的摩擦力为60N，方向向南
B．庆庆受到的摩擦力为80N，方向向东
C．桌子受到地面的静摩擦力为20N，方向向西
D．桌子受到的摩擦力为100N，方向东偏北37°
3．如图所示，山崖上有一块大石头，无风时水平地面对石头的作用力大小为F1，当受到水平向左的风力时，石头依然静止，此时地面对石头的作用力大小为F2。已知石头所受的重力大小为G，则下列关系式正确的是（　　）
A．F2＞F1＞G B．F2＜F1＜G C．F2＞F1＝G D．F2＝F1＝G
4．斜面体放在水平地面上，斜面体左侧倾角θ大于右侧倾角α，两个物体均沿斜面匀速下滑，质量m1＜m2。以下说法正确的是（　　）
A．地面施加给斜面摩擦力为零
B．m1所受摩擦力一定小于m2所受摩擦力
C．m1所受斜面作用力不一定竖直向上
D．地面施加给斜面摩擦力方向向左
5．中国运动员杨秋霞以121公斤的成绩获得2024年世界举重锦标赛抓举金牌。举起杠铃稳定时的状态如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．杠铃对手的作用力是手发生形变而产生的
B．举起杠铃过程中，杠铃对手的压力小于手对杠铃的支持力
C．举起杠铃过程中，地面对人的支持力等于人与杠铃的总重力
D．稳定时双臂间的夹角越大，单臂所受作用力越大
6．如图所示，放在水平桌面上的木块A处于静止状态，所挂的砝码和托盘的总质量为0.6kg，弹簧测力计读数为2N，滑轮摩擦不计。若轻轻取走盘中的部分砝码，使砝码和托盘的总质量减小到0.1kg，则将会出现的情况是（　　）
A．物块A将向左运动
B．弹簧测力计的读数变小
C．A与桌面间的摩擦力变小
D．A所受的合力变大
7．为营造元旦喜庆气氛，街边挂上了红灯笼。如图，用五根轻绳A、B、C、D、E将四个完全相同的灯笼连接悬挂，灯笼处于静止状态，绳A和绳E与竖直方向的夹角为30°，绳C水平。设轻绳A、B、C的张力大小分别为TA、TB、TC，则（　　）
A．TA：TC＝1：2 B．TA：TC＝3：
C．TB：TC＝：2 D．TB：TC＝：2
8．一根质量分布均匀的直杆，上端靠在光滑的竖直玻璃幕墙上，下端放在粗糙的水平地面上，杆保持静止。关于直杆的受力情况，下列说法正确的是（　　）
A．两个竖直方向的力，一个水平方向的力
B．一个竖直方向的力，两个水平方向的力
C．两个竖直方向的力，两个水平方向的力
D．三个竖直方向的力，两个水平方向的力
9．如图所示，两木块的质量分别为m1＝3kg和m2＝6kg，两轻质弹簧1、2的劲度系数均为k＝150N/m，整个系统处于静止，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）弹簧1、2各自的伸长量；
（2）现用手托着m2竖直向上缓慢移动，直到弹簧2变成压缩状态且弹力大小变为原来的，此过程中m2上升的高度。
10.（多选）如图所示，OA为一遵守胡克定律的弹性轻绳，其一端固定在天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连。当绳处于竖直位置时，滑块A与地面有压力作用。B为一紧挨绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现用水平力F作用于A，使之向右缓慢的做直线运动，在运动过程中（　　）
A．地面对滑块的支持力逐渐减小
B．地面对滑块的摩擦力逐渐增大
C．水平拉力逐渐增大
D．地面对物体的支持力与弹性绳对物体的弹力的合力逐渐变大

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