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1.2 集合间的基本关系 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【集合与集合的关系】
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．
记作：
读作：A包含于B（或B包含A）．
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．
记作：
读作：A等于B．
图示：
【真子集】
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
【空集】
不含有任何元素的集合称为空集，记作：．
规定：空集是任何集合的子集．
结论：（1）（类比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．
一、单选题
1．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设集合，则的真子集的个数是( )
A．8 B．7 C．4 D．3
3．集合的子集为( )
A． B．
C． D．
4．设集合，若，则( )
A．2 B．1 C． D．
5．已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A． B．
C．且 D．且
6．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知集合，，下列结论正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则可以取3
8．下列说法正确的是( )
A． 是菱形 是正方形
B．若，，则
C．集合的真子集个数为7
D．
9．下列说法中正确的是( )
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
10．已知集合，且，则实数可能的取值是( )
A． B．0 C．-1 D．
三、填空题
11．设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则______．
12．已知集合满足，则不同的集合的个数为______．
13．是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
与集合相等的集合序号是______.
14．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________.
四、解答题
15．已知集合，非空集合，若，求实数的值．
16．设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值．
17．设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”.
(1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的；
(2)若集合是“等差集”，求的值.
18．已知集合，，，为实数且．
(1)当，时，判断集合，间的关系；
(2)若，求实数和的值．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
《1.2 集合间的基本关系 同步练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A D A AC BC BC ABC
1．B
【分析】根据集合的性质逐个判断即可.
【详解】对①，正确；
对②，空集是集合，故正确；
对③，是无理数，故错误；
对④，两集合中元素不一样，故，故④错误.
综上①②正确.
故选：B
2．D
【分析】写出集合，计算真子集个数.
【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.
故选：D.
3．D
【分析】根据集合子集的定义，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合子集的定义，可得，
故选：D.
4．A
【分析】利用集合相等列式求值并验证得解.
【详解】集合，由，得或，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
所以.
故选：A
5．D
【分析】先求出集合中绝对值不等式的解集，然后根据子集的定义求出结果.
【详解】集合，由，得
解得且，
所以实数的取值范围是且.
故选：D.
6．A
【分析】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项.
【详解】由题意知，集合，
因为，所以C、D不正确；
“”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确
所以．
故选：A.
7．AC
【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误；
对于CD，由，得，解得，C正确，D错误.
故选：AC.
8．BC
【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集及空集的定义逐项判断即可得.
【详解】对A：菱形不一定是正方形，A错误；
对B：因为集合与集合均表示奇数集，所以，B正确；
对C：集合的真子集为，共7个，C正确；
对D：，由于空集不是空集的真子集，D错误．
故选：BC.
9．BC
【分析】根据集合的性质依次判断即可.
【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；
对D，因为，
当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.
故选：BC.
10．ABC
【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案.
【详解】解：，且，则：
①当时，或，解得或，A适合题意；
②若，则，解得，
③若，则，此时无解，
④若，则，此时无解，不合题意；
综上：的值为0和.
故选：ABC.
11．8
【分析】利用子集的定义求出所有的非空子集，然后计算所有元素之和即可得解．
【详解】易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，，
则所有非空子集的元素之和为．
故答案为：8．
12．4
【分析】根据集合的包含关系列举出集合，即可得解.
【详解】由题知中必然含有元素，1，可能含有元素，2，
所以可能为，共4个．
故答案为：4
13．④
【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可.
【详解】对于①，因为，设，
则，
不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等；
对于②，令，则，
显然，但，即②与集合不相等；
对于③，当时，此时，即，
而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等；
对于④，令，
则，其中，
所以④与集合相等；
故答案为：④
14．
【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.
【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，
等价于有一个不等于3的实数解，
1.当时，解为，满足题意；
2.当时，只有一解时，
则，解得，
若，则，解得，符合题意；
3.当时，且有两解但3是方程的解，
故，解得；
综上所述，实数取值集合为.
故答案为：.
15．2
【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值.
【详解】因为，所以．由题知，
当时，，即，解得或．
若，则，所以，满足题意；
若，则，不符合题意．
当时，，即，解得或．
若，则，不合题意．
综上所述，实数的值为2．
16．，或，
【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验．
【详解】由集合相等的概念可知，
或，
解得：或或，
因为当，时，
集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性，
所以，或，．
17．(1)或或
(2)2
【分析】（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举；
（2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解.
【详解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得，
所以集合中必然同时含有元素或，
则或或
（2）因为集合是“等差集”，
所以或或，
计算可得或或或或，
又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以，
经检验，当时，集合，满足题意，故.
18．(1)B A
(2)或．
【分析】（1）解出集合，再判断结果即可；
（2）分和两种情况分别在时求出对应的即可；
【详解】（1）当时，集合，故B A．
（2）①当时，集合，由得，解得；
②当时，集合，此时，解得．
综上所述，或．
答案第6页，共6页
答案第1页，共6页

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